Введение к работе
АКТуаЛЬНОСТЬ ТеМЫ ДИССертаЦИИ. Теория распределений Л. Шварца - основной инструмент исследования в современной теории линейных дифференциальных уравнений с частными производными. Различные вопросы теории распределений и ее приложений к дифференциальным уравнениям и уравнениям математической физики рассматривались в работах С.Л.Соболева, В.С.Владимирова, М.Л.Горбачука, Ю.В.Егорова, О.Г.Смолянова и других. Существенным недостатком данной теории является то, что она неприменима для решения нелинейных задач. Тем не менее, уже в первых работах П.Дирака, в которых были введены распределения, появилась потребность в умножении распределений. Для математического обоснования произведения использовались различные подходы: метод регуляризации Я.Микусинского, метод, основанный на преобразовании Фурье, В. Амброза, асимптотические функции X. Христова и Б.П.Дамянова и другие.
Решающий прорыв в определении корректного произведения обобщенных функций был сделан в работах Ж.Коломбо и его последователей. Важнейшее отличив новых обобщенных функций от распределений состоит в том, что они определяются как клаосы эквивалентности последовательностей гладких функций и завиоят от способа аппроксимации. Наиболее обширная из такого сорта алгебр была предложена и изучена Ю.В.Егоровым, общая конструкция построения алгебр обобщенных функций дана А.Б.Антоневичем и Я.В.Радыно.
Вместе с развитием теории обобщенных функций шло развитие теории обобщенных случайных процеооов. Так, на основе теории распределений Л.Шварца И.М.Гельфандом создана теория обобщешшх случайных процессов'. К.Урбаником предложена своя трактовка обобщенных случайных процеооов, опирающаяся на секвенциальный подход Я.Микусинского. Надо оказать, что несмотря на значимость данных теорий в современной теории олучайных процессов, они не нашли широкого использования в дифференциальных уравнениях со случайными функциями в силу неприменимости их для решения нелинейных задач.
— с —
В диосертации на основе алгебр обобщенных .„/нкций Ж.Коломбо и Ю.В.Егорова предлагаются две конструкции алгебр обобщенных случайных процеоеов и разрабатывается теория исследования решений дифференциальных уравнений со случайными функциями в этих алгебрах. Поэтому тема исследований представляется актуальной и важной.
Связь работы с крупными научными программами, темами.
Диссертационная работа - часть выполненной на . кафедре функционального анализа БГУ теми " Операторные уравнения в функциональных пространствах" ( 1986 - 1990, планы АН СССР и АН БССР, план Минвуза СССР, N 01860060981) и теш " Дифференциальные и операторные уравнения в топологических векторных ппростанотвах" (!991 - 1995, план АН Беларуси, Республиканская программа в области математики, N 019300553996). Работа была поддержана Фондом фундаментальних исследований Республики Беларусь.
ЦеЛЬ И Задачи ИССЛеДОйаНИЯ. Целью диссертационной работы является разработка нового подхода, базирующегося на теории алгебр обобщенных случайных процессов, для исследования решений дифференциальных уравнений со случайными функциями. Данный, подход позволяет исследовать решения не только классических линейных, нелинейных дифференциальных уравнений со случайными функциями, стохастических дифференциальных уравнений, но и многих новых задач.
Научная НОВИЗНа ПОЛучеННЫХ результатов. В работе на базе алгебр обобщенных случайных процессов разработан единый подход исследования решений линейных и нелинейных дифференциальных уравнений со случайными функциями и стохастических дифференциальных уравнений.
На основе новых обобщенных функций Ю.В.Егорова и Ж.Коломбо введены обобщенные случайные процессы. Доказано, что множества таких случайных процеоеов являются алгебрами.
В алгебре обобщенных случайных процессов по Егорову, которая является новой и для неслучайного анализа, построено пространство обобщенных отохастичеоких дифференциалов. В данном .пространстве выделены подмножества, которые на ассоциированном уровне
J ~
соответствуют стохастическим дифференциалам Ито и Стратоновича.
Доказано, что конечными суммами элементов из алгебры обобщенных случайных процессов по Егорову можно аппроксимировать как стохастические интегралы Ито, так и стохастические интегралы Стратоновича.
На основе аппарата алгебр обобщенных случайных процессов выведена классическая обобщенная формула Ито и найдена связь между стохастическими интегралами Ито и Стратоновича.
Введенные обобщенные случайные процесом являются классами эквивалентности последовательностей классических случайных процессов о гладкими траекториями и зависят от способа аппроксимации. В диссертации на уровне сверточной алгебры дана классификация способов аппроксимации.
В алгебрах обобщенных случайных процессов по Егорову и по Коломбо доказаны теоремы существования и единственности задач Коши, соответственно, для уравнений в обобщенных дифференциалах и для дифференциальных уравнений.
В алгебре обобщенных случайных процессов по Коломбо найдены ассоциированные решения дифференциальных уравнений, зависящих от обобщенного случайного процессу Пуассона.
В алгебре обобщенных случайных процессов по Егорову найдены ассоциированные в смыоле Ито и Стратоновича решения уравнений в дифференциалах. Установлено, что при аппроксимациях в сверточной алгебре они совпадают соответственно о решениями классических стохастических дифференциальных уравнений Ито и Стратоновича. Изучен также смешанный случай, который классическими методами принципиально не может быть исследован. Описаны области Ито и Стратоновича.
Вое результаты, приведенные в диссертации, являются новыми.
Практическая ЗНаЧИМОСГЬ ПОЛучеННЫХ резу/ІЬТаТОВ. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты и методы имеют непосредственное приложение к различным вопросам теории дифференциальных уравнений со случайными функциями. Результаты диссертации могут также найти применение в тех задачах физики, химии, биологии, экономики, где в качестве моделей используются стохастические дифференциальные уравнения или нелинейные
дифференциальные уравнения оо случайными функцк >ми.
Основные положения диссертации, выносимые на защиту.
В диссертации на основе алгебр обобщенных случайных процессов предлагается естественный о позиции неслучайного анализа единый подход исследования всех известных классов дифференциальных уравнений оо случайными Функциями. Данный подход позволяет исследовать решения новых классов дифференциальных уравнений со случайными функциями и находить новые- решения классических. Основные положения, которые выносятся на защиту ооотоят в том, что:
-
Введены и исследованы алгебры обобщенных случайных процессов.
-
Предложена конструкция обобщенного стохастического дифференциала, позволяющая исследовать области применимости отохаотичеоких интегралов Ито и Стратоновича.
3. Доказаны теоремы о разрешимости и единственности решений
уравнений в дифференциалах в алгебрах обобщенных случайных
процессов.
А. Разработана теория, позволяющая исследовать решения
дифференциальных уравнений в алгебрах обобщенных случайных
процессов. Предложенные методы применены к исследованию решений
,нелинейных дифференциальных уравнений со случайными функциями и
стохастических дифференциальных уравнений.
ЛИЧНЫЙ ВК/іаД соискателя. Все приведенные в диссертации основные результаты получены соискателем самостоятельно.
Апробация результатов Диссертации, Результаты диссертации докладывались и обоуадалиоь на III Всесоюзной школо "Понтрягинские чтения " ( г. Кемерово, 1990 г.), на Международной ыатематичеокой конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики" ( г. Тарту, 1990 г.), на VIII Республиканской . конференции ' Нелинейные задачи математической физики и задачи оо свободной границей " (г. Киев, 1991 г.), на конференции математиков Беларуси ( г. Гродно, 1992 г.), на Воронежской веоенней математической школе " Понтрягинские чтения - IV ", ( г. Воронеж, 1993 г. ), на Меадународной математической
> Ъ -
конференции, посвященной 25 - летию Гомельского университета имени Ф. Скорины " Проблемы математики и информатики " (г.Гомель, 1994 г.), на Республиканской научно - методической конференции, посвященной 25 - летию факультета прикладной математики и информатики ( г. Минск, 1995 г.), на Меадународной конференции " Краевые задачи, специальные функции и дробное исчисление ", посвященной 90 - летию со дня ровдения академика Ф.Д.Гахова ( г. Мішок, 1996 г.). на городских научных семинарах по теории вероятностей под руководством проф. Й. П. Кубилюса ( г. Вильнюо, 1980 - 1985 г.г.), на научных семинарах по функциональному анализу ЕГУ под руководством проф. Я.В.Радано ( г. Минск, 19Э0 -1996 г.г.), на семинаре Белорусского математического общества (г. Мішок, 1996 г.).
ОпубЛИКОВаННОСТЬ результатов. По теме диссертации опубликовано 25 работ. Основные результаты диссертации содержатся в работах [1 - 16], приведенных в конце автореферата.
Структура И Объем Диссертации. Диссертация состоит из введения, общей характеристики работы, трех глав о аннотациями и описка литературы. Общий объем диссертации составляет 211 отраниц. Список литературы содержит 134 наименования.