Содержание к диссертации
Введение
I. Предварительные сведения 21
1.1. Вспомогательные сведения из теории производных в среднем 21
1.2. Необходимые сведения из теории матриц 25
II. Дифференциальные уравнения леонтьевского типа с посто янными матрицами 29
2.1. Вычисление симметрических производных в среднем высших порядков от винеровского процесса 29
2.2. О приведении дифференциальных уравнений леонтьевского типа к каноническому виду 31
2.3. Исследование дифференциального уравнения леонтьевского типа 34
2.4. Изучение сингулярного дифференциального уравнения леонтьевского типа 42
2.5. Применение канонической формы Шура регулярного пучка матриц 51
III. Случай с импульсными воздействиями 57
3.1. Изучение дифференциальных уравнений леонтьевского типа
3.2. Сингулярные диффференциальные уравнения леонтьевского типа 66
IV. Дифференциальные уравнения леонтьевского типа с матрицами, зависящими от времени 79
4.1. Случай с вещественно-аналитическими и с С-гладкими квадратными матрицами 79
4.2. Случай с непрерывными матрицами 87
V. Дифференциальные уравнения леонтьевского типа в терминах текущих скоростей решения 103
5.1. Основная конструкция 103
5.2. Одно обобщение 107
Литература 110
- Необходимые сведения из теории матриц
- О приведении дифференциальных уравнений леонтьевского типа к каноническому виду
- Сингулярные диффференциальные уравнения леонтьевского типа
- Случай с непрерывными матрицами
Необходимые сведения из теории матриц
Рассмотрим случайный процесс () в Rn (где мы фиксируем а-алгебру борслсвских множеств), t Є [0,/], заданный на некотором вероятностном пространстве (Г2, J7, Р) и такой, что () является Li-случайной величиной при всех t. Введем в рассмотрение сг-подалгебру сг-алгебры J7, порожденную прообразами борелевских множеств при отображении () : Q Лп, которая, согласно Э. Нельсону [36], называется "настоящее" и обозначается Л//. Для удобства мы обозначим через Е% условное математическое ожидание Е(-\ЛГ[) относительно "настоящего" A/"t для (t) (см. [10]). Обычное ("безусловное") математическое ожидание обозначается символом Е.
В общем случае, почти все выборочные траектории процесса () не дифференцируемы, поэтому его производные существуют только в смысле обобщенных функций. Чтобы избежать использования обобщенных функций, согласно Э. Нельсону (см., например, [36], [37], [38]) даем следующее определение:
Следует отметить, что, вообще говоря, D {t) 7 D {t)1 но если, например, () почти наверное имеет гладкие выборочные траектории, эти производные очевидно совпадают.
Из свойств условного математического ожидания (см. [21]) вытекает, что D {t) и D (t) могут быть представлены как суперпозиции () и бо-релевских векторных полей (регрессий) Y(t,x) и Y(t,x) на Rn, то есть, Dm = Y(t,№) и D(t) = Y?(t,№) Определение 1.1.2. [36] Производная Ds = \{D + D ) называется симметрической производной в среднем. Производная DA = \{D — D ) называется аитисимметрической производной в среднем. Введем в рассмотрение векторные поля v (t, х) = (Y(t, х) + Y {t х)) и ut(t, х) = ±(Y(t, х) - Y?(t, х)).
Определение 1.1.3. ]36]v {t) = vt(t,(t)) = Ds(t) называется текущей скоростью процесса (t); v{t) = v(t,(t)) = D () называется осмотической скоростью процесса (t). Физический смысл текущей и осмотической скоростей (см., например, [10], [36], [37], [38]) состоит в следующем. Текущая скорость является для случайных процессов прямым аналогом обычной физической скорости детерминированных процессов. Осмотическая скорость измеряет насколько быстро нарастает "случайность" процесса . Рассмотрим диффузионный процесс (см., например, [34]) () в Rn7 являющийся сильным решением стохастического уравнения ( ) = &+ [ a(s,(s))ds + w(t), (1.1.1) Jo где w(t) - винеровский процесс, a(t, х) - гладкое по совокупности переменных отображение из [0, /] х Rn в Rn. Через p(t,x) обозначим плотность процесса, удовлетворяющего (1.1.1), относительно лебеговой меры Л на [0,/] х Rn. Тогда имеют место утверждения: Лемма 1.1.1. [34] Для процесса (1.1.1) в Rn векторное поле v(t,x) имеет вид v(t,x) = -grad Inp (t,x). (1-1-2) Лемма 1.1.2. [34] Для процесса (1.1.1) в Rn векторное поле v (t,x) и плотность p (t,x) удовлетворяют уравнению непрерывности ЩЛ = -div(p ). (1.1.3) Введем, следуя Ю. Е. Гликлиху [34], дифференциальный оператор D2-, который действует на Li-случайный процесс (), t Є [0,/] по правилу
K At +О 1 \ At J где (( + At) — C(t)) рассматривается как вектор-столбец (вектор в Rn)} а (( + At) — ()) - это вектор-строка (сопряженный или транспонированный вектор), а предел предполагается существующим в Li(f2, J-, Р). Отметим, что матричное произведение столбца слева и строки справа - это матрица, так что D2 (t) есть симметрическая неотрицательно-определенная матричная функция на [0, /] х Rn. Определение 1.1.4. [34] D z называется квадратичной производной в среднем. Замечание 1.1.1. Из свойств условного математического ожидания [21] следует, что существует измеримое по Борелю отображение (регрессия) a(t,x): Rx R n — S+, такое, что D2 (t) = a(t,(t)), где S+ -множество неотрицательно определенных симметрических п х п матриц. Рассмотрим теперь диффузионным процесс, являющийся сильным решением следующего стохастического дифференциального уравнения в форме Ито № = Со + / a(s,Z(s))ds + / A(s,Z(s))dw(s), (1.1.4) Jo Jo где a(t,x) и A(t,x) - гладкие по совокупности переменных отображения из [О,/] х Rn в Rn и в L(Rn,Rn): соотвстствсно. Тогда имеют место Теорема 1.1.1. [34] Пусть () - диффузионный процесс (1.1.4). Тогда производная в среднем справа D(t) существует и имеет вид D(t) = a(t,(t)) Теорема 1.1.2. [34] Для диффузионного процесса (1.1.4) квадратичная производная D2 (t) существует и имеет вид D2 (t) = a(t} (t)), a(t,x) = A(t,x)A (t,x) - коэффициент диффузии. Приведем еще утверждения, которые нужны будут в дальнейшем: Лемма 1.1.3. [34[ Пусть a(t,x) является непрерывным (измеримым, гладким) по совокупности переменных отображением из [0, /] х Rn в S+(n). Тогда существует непрерывное (измеримое, гладкое, соответственно) по совокупности переменых отображение A(t,x) из [0,/] х Rn в L(Rn,Rn) такое, что для всех t Є R, х Є Rn имеет место равенство A(t,x)A (t,x) = a(t,x).
О приведении дифференциальных уравнений леонтьевского типа к каноническому виду
Если компоненты z% и wl не удовлетворяют этому условию, то система не имеет решений. Здесь число уравнений на единицу больше, чем число неизвестных, т.е. данная подсистема переопределена. Как и ранее, для 2 і к при 0 t Т имеет место рекурентная формула
Отметим, что вопрос о нулевых начальных условиях для решений систем (2.4.3), (2.4.7) и (2.4.9) решается также как и в предыдущем параграфе с использованием функции to(t) (см. (2.3.9)). Итак, суммируя выше сказанное, мы доказали Пусть М + XL - сингулярный пучок матриц размера п х т, у которого строки и столбцы не связаны линейными зависимостями с постоянными коэффициентами, f(t) - достаточно гладкая n-мерная вектор-функция, 0 t Т; Р и PR - невырожденные матрицы размеров п х п и т х т соответственно, приводящие пучок XL + М к канонической форме Кронекера-Вейерштрасса (т.е. к квазидиагональному виду), L = PLLPR и М = PLMPR. Тогда: 1) уравнение (2.4.1) трансформируется к каноническому уравнению (2.4.2); которое распадается на независимые подсистемы уравнений; 2) для подсистемы, соответствующей единичной матрице в L и квадратной матрице К в М, имеет место аналитическая формула для решений вида где v(t) соответствующие компоненты вектора Pi,f{t); 3) для подсистем, соответствующих жордановым клеткам в L размера (р + 1) х (р + 1) с нулями по главной диагонали и единичным, матрицам в М, при 0 t Т имеют место рекуретные соотношения для вычисления реше где u(t) тоже соответствующие компоненты вектора Pbf(t); 4) для подсистем, соответствующих сингулярным клеткам из М + XL размера где 1 і I, g{t) - соответствуют компоненты вектора Pif(t), rjl+1 -произвольный случайный процесс на [0,Т]; принимающий при t = О нулевое значение и для которого при О t Т можно вычислить симметрическую производную порядка I; 5) для подсистем, соответствующих сингулярным клеткам из М + XL размера (к + 1) х к, при О t Т имеют место при выполнении условий согласования рекурентные соотношения для вычисления решений вида где z(t) соответствующие компоненты вектора Pbf(t); 6) зафиксировав сколь угодно малый момент времени to О, мы в знаменателях процес сов, удовлетворяющих приведенным в пунктах 3)-5) рекурентним соотношениям, заменяем t на to(t) по формуле (2.3.9) и получаем процессы, которые при t = 0 принимают нулевые значения, но становятся решениями только при to t Т.
В этом параграфе опишем подход к изучению системы леонтьевского типа с регулярным пучком матриц коэффициентов и единичной диффузией, основанный на применении преобразования матриц коэффициентов к канонической форме Шура. С применением этого подхода не требуется прибегать к замене метрики пространства, а формулы для решений тоже получаются в терминах производных в среднем винеровского процесса.
Рассмотрим дифференциальное уравнение леонтьевского типа в Rn где (t) - случайный, a f(t) - не случайный n-мерные векторы, w{t) -винеровский процесс в Rn} А и В - п х n-матрицы, А вырождена, & В невырождена. Вектор-функция f(t) предполагается достаточно гладкой.
Выполним для регулярного пучка матриц В + ХА преобразование Шура (описывается парой вещественных ортогональных матрицы Qi и QR (см., например, [13])). Тогда уравнение (2.5.1) преобразуется следующим образом или в новых обозначениях примет вид Ar](t) = / Br)(s)ds+ / g(s)ds + w(t)} (2.5.2) Jo Jo где А = QLAQR - верхняя квазитреугольная матрица, В = QLBQR -верхнетреугольная матрица, w(t) = Qbw(t) - винеровский процесс, r](t) = QR1 ( ) Qbf(t) = g(t). Пронумеровав вектора базиса соответствующим образом, в А сначала вдоль главной диагонали стоят блоки размера 2x2, потом невырожденные блоки размера 1 х 1, а затем вырожденные блоки размера 1x1. Отметим, что из вида (2.5.2) понятно, что (для простоты) начальное условие для решения (2.5.2) предполагается вида?7(0) = 0.
В соответствии с канонической формой Шура, уравнение (2.5.2) распадается на дифференциальные уравнения следующих типов. Для строк А с блоками размера 2x2 получаем подсистему из пары уравнений
Перейдем к вопросу о нулевых начальных условиях для решений системы (2.5.3). Как и в параграфе 2.3, для выполнения нулевых начальных условий мы в процессах, удовлетворяющих рекурентным соотношениям (2.5.4) и (2.5.5), в знаменателях t заменяем на to(t)7 где to(t) определяется по формуле (2.3.9).
Таким образом, мы доказали следующее утверждение Теорема 2.5.1. Пусть В + ХА - регулярный пучок п х п-матриц, a f(t) - достаточно гладкая n-мерная вектор-функция, 0 t Т; QL и QR - вещественные ортогональные матрицы размера п х п, преобразующие пучок В + ХА к обобщенной вещественной канонической форме Шура (т.е. матрица А = QLAQR - верхняя квазитреугольная, в которой сначала вдоль главной диагонали стоят невырожденные блоки, а потом вырожденные, а матрица В = QLBQR - верхнетреугольная). Тогда: 1) уравнение (2.5.1) преобразуется в уравнение (2.5.2)7 которое распадается на независимые подсистемы уравнений; 2) для подсистем, соответствующих строкам А с невырожденными блоками размера 2x2, имеет место аналитическая формула для решений вида
Сингулярные диффференциальные уравнения леонтьевского типа
В этом параграфе рассматривается сначала дифференциальное уравнение леонтьевского типа со случайными возмущениями и с вещественно-аналитическими квадратными матрицами коэффициентов, зависящими от времени. Затем рассматривается система с С-гладкими квадратными матрицами, зависящими от времени и удовлетворяющими критерию "ранг-степень".
Для дальнейшего нам понадобится вспомогательная теорема. Теорема 4.1.1. Пусть w(t) - n-мерный винеровский процесс, P(t) -достаточно гладкая к х п-матрица, t Є (0,Т). Тогда для любого t имеет место формула DgJQ P(s)dw(s) = Р{Ь)Щ -. Доказывается Теорема 4.1.1 с применением Определения 1.1.1 производных в среднем, свойств интеграла Ито и Следствия 2.1.1. Пусть у нас имеются вещественно-аналитические п х n-матрицы Lit) и M(t)} t Є [0,Т], причем L(t) вырождена, a M(t) - невырождена. Пусть старший коэффициент многочлена(, Л) = det(XL(t) + М(t)) не обращается в нуль на [0,Т]. Тогда, как известно (Теорема 1.2.6), существуют неосо-беные для любого t Є [0,Т] вещественно-аналитические nxn-матрицы Pit) и Q(t)} такие, что пучок P(t)(XL(t) + M(t))Q(t) имеет вид (1.2.3), т.е.
Nk(t) = 0 на [0,T], J{t) некоторый d x rf-блок. В связи с этим мы рассматриваем дифференциальное уравнение леонтьевского типа со случайными возмущениями в Rn с вещественно-аналитическими матрицами Lit) и M{t)1 пучок которых уже приведен к каноническому виду (1.2.3).
Итак, с учетом выше сказанного, рассматривается специальная система в Rn вида L(t)r](t)= / M(s)ri(s)ds+ / P(s)f(s)ds+ / P(s)dw(s), 0 t T, Jo Jo Jo где w{t) - n-мерный винеровский процесс, fit) - достаточно гладкая функция. Понятно, что (для простоты) 7?(0) = 0. В матричных обозначениях система имеет вид где, как нетрудно видеть, пучок матриц коэффициентов имеет вид (1.2.3). Верхним парам блочных матриц соответствует система
Особенность подобных систем уравнений предполагает рассмотрения производных от их правых частей достаточно высоких порядков (включая ви-неровский процесс), которые, как известно, существуют только в терминах обобщенных функций. Поэтому, чтобы избежать использования аппарата обобщенных функций, мы для дифференцирования уравнений будем применять симметрические производные в среднем Dg (текущие скорости), а для вычисления симметрических производных в среднем от винеровского процесса будем пользоваться Леммами 2.1.3 и 2.1.4. Итак, получим формулы для решений 4.1.1 в терминах производных в среднем.
Вопрос о нулевых начальных условиях для решений системы (4.1.1) решается с помощью приема, описанного в параграфе 2.3 с применением to(t).
Таким образом, имеет место Теорема 4.1.2. Пусть имеются вещественно-аналитические невырожденная d х d-матрица J{t), верхнетреугольная (п — d) х (п — d)-матрица N(t) с нулями по главной диагонали (Nk{t) = 0 на [0,Т],); невырожденная п х п - матрица P{t), пусть P\{t) - матрица из первых d строк матрицы P{t), Е - единичная матрица ut Є [0,Т]. Тогда: 1) для достаточно гладкой вектор функции f(t) уравнение распадается на две независимые подсистемы; 2) для подсистемы, соответствующей матрицам Е^ и J, имеет место аналитическая формула для решений где матричная функция Q(t) удовлетворяет задаче Коши Q(t) = J(t)0(t), 0(0) = Ed; 3) для подсистемы, соответствующей матрицам N(t) и En_d, при 0 < t < Т имеют место рекурентные формулы для вычисления решений зафиксировав сколь угодно малый момент времени t0 > О, мы в знаменателях процессов, удовлетворяющих приведенным в пункте 3) реку-рентным соотношениям, заменяем t на t0(t) по формуле (2.3.9) и получаем процессы, удовлетворяющие нулевым начальным условиям, но являющиеся решениями только при t0 < t < Т.
Перейдем теперь к случаю с С-гладкими матрицами. Пусть у нас есть С-гладкие квадратные матрицы матрицы Lit) и M(t): причем Lit) вырождена, a M(t) - невырождена. Пусть многочлен (, А) = det(\L(t) + M{t)) удовлетворяет критерию "ранг-степень" для любого/: G [0,Т] и его старший коэффициент не имеет нулей на [0,Т]. Тогда, как известно (Теорема 1.2.5), существуют неособенные для любого t Є [0,Т] С-гладкие (п х п)-матрицы P{t) и Q(t) такие, что пучок P(t)(XL(t) + M{t))Q{t) имеет вид (1.2.2), т.е.
В связи с этим мы рассматриваем дифференциальное уравнение леонтьев-ского типа со случайными возмущениями в Rn с С-гладкими матрицами L{t) и M(t), пучок которых уже приведен к каноническому виду (1.2.2).
Случай с непрерывными матрицами
Как сказано выше, текущая скорость является для случайных процессов прямым аналогом обычной физической скорости детермиинированных процессов. Это означает, что уравнения с текущими скоростями, по видимому, являются наиболее естественными с физической точки зрения.
Пусть заданы измеримые по Борелю отображения v(t,x) и a(t,x) из [0,Т] х Rn в Rn и в S+(n), соответственно, где S+(n) - множество симметрических неотрицательно-определенная матричных функций на [О, Т] х Rn. отрезке [0,Т] с начальным условием, (0) = о? если существует вероятностное пространство (Q, J7, Р) м процесс (t), заданный на (Q, J7, Р); существующий nput Є [0,Т] м принимающий значения в Rn такие, что для (t) Р-п. н. (5.1.1) выполняется при ecext Є [0,Т].
Пусть L и М - вырожденная и невырожденная соответственно п х п-матрицы, такие, что пучок XL + М является регулярным. Всюду ниже мы предполагаем, что этот пучок удовлетворяет критерию "ранг-степень", т.е. rankL = deg[det(XL + М)]. Тогда согласно Теореме 1.2.1 существуют которую будем называть дифференциальным уравнением леонтьевского типа в текущих скоростях. Адекватные начальные условия для решений уравнения (5.1.2) будут описаны ниже. Отметим, что и матрица L, и матрица L по построению симметричны и неотрицательно определены. Поэтому вторая строка в (5.1.2) корректна. Обозначим f]it) = Q lC(t), fit) = Pf(t). Тогда согласно преобразованию, описанному в Теореме 1.2.1, первое равенство из (5.1.2) примет вид LDsrjit) = Mrjit) + f{t). Принимая во внимание равенство r)it) = Q l it) и определение D2 по формуле (1.1.) получаем, что второе равенство для г)it) из (5.1.2) принимает вид D2f]it) = L. Таким образом, уравнение (5.1.2) преобразуется в уравнение для rj{t) и принимает следующий канонический вид:
Таким образом, Rn разлагается в прямую сумму двух подпространств Rd и Rn так, что уравнение (5.1.3) разлагается на два независимых уравнения в этих подпространствах: (5.1.4) D2V{1) = h в подпространстве Rd и в подпространстве Rn d. Из второго равенства (5.1.5) следует, что решение уравнения (5.1.5) не является стохастическим, тогда из первого равенства следует, что решение уравнения (5.1.5) имеет вид rf2 (t) = —f 2 {t). Очевидно, что начальные условия в этом случае предполагаются вида ту (0) = —/ (0).
Для простоты обозначим С-гладкое векторное поле Jx + pl\t) в Rd символом v(t,x) и обозначим через gt поток этого векторного поля. Из второго равенства (5.1.4) следует, что решение, если оно существует, должно представляться в виде (1.1.1). Введем вероятностную плотность ро в R такую, что она нигде не равна нулю. В этом случае из Теоремы 8.50 из монографии [34] следует, что плотность p{t) решения (5.1.4) с начальной плотностью ро имеет вид p(t) = ер \ где p(t,x) = Po(g(x)) — j0(div v)(s,gs(g(x))ds, ро = lnpo- Следовательно, плотность pit) находится во взаимно-однозначном соответствии с векторным полем v(t,x). Подчеркнем, что p(t,x) корректно определено для всех/: є [0,Т]. Обозначим через 7о случайную величину в R с плотностью ро.
По построению Dsrj \t) = vit rj it)). По Лемме 1.1.1 осмотическая скорость решения стохастического дифференциального уравнения (1.1.1) с единичной диффузией имеет вид и = \gradp = gradln fp. Отметим, что и однозначно определяется плотностью р и, следовательно, производная в среднем справа для решения также однозначно определяется формулой a(t, х) = v(t, х) +u(t, х). Тогда из общей теории уравнений с производными в среднем справа (см. Теоремы (1.1.1) и (1.1.2), а также [34]) следует, что rp- it) должно удовлетворять стохастическому дифференциальному уравнению Ґ rj \t) = т?о1}+ / a{s,r){1){s))ds + w{t), (5.1.6) которое имеет сильное и сильно единственное решение?/1) ) с начальной плотностью ро, которое корректно определено для t Є [0,Т] (см. [33]). Это и есть решение уравнения (5.1.4) в виде (1.1.1), которое мы ищем. Таким образом, мы доказали следующее утверждение Теорема 5.1.1. Пусть L и М - вырожденная (d = rankL) и невырожденная соответственно п х п-матрицы, образующие регулярный пучок XL + М и выполняется критерий "ранг-степень" rankL = deg[det(\L+M)]; пусть Р uQ - пхп-матрицы, приводящие пучок XL+M к канонической форме Кронекера-Вейерштрасса, L = PLQ и М = PMQ; пусть L = QLQ и t Є [0,Т]. Тогда для С00 -гладкой n-мерной вектор