Содержание к диссертации
Введение
1. Чисто механический континуум 14
п. 1.1. Определяющие уравнения чисто механического континуума 14
п. 1.2. Решение определяющих уравнений 18
п. 1.3. Основная алгебра Ли и система уравнений на компоненты тензора напряжений 24
2. Преобразования эквивалентности уравнений чисто механического континуума 29
п. 2.1. Основные уравнения модели 29
п. 2.2. Одномерный случай 33
п. 2.3. Двумерный и трехмерные случаи 40
3. Групповая классификация моделей чисто механического континуума 49
п. 3.1. Определяющие уравнения двухпараметрического чисто механического континуума 49
п. 3.2. Структура тензора вязких напряжений и уравнения состояния чисто механического континуума 59
п. 3.3. Некоторые модели 60
1. Одномерные модели 60
2. Двумерные подмодели 63
3. Трехмерные подмодели 67
4. Изотропные модели 70
5. Анизотропные модели 72
4. Уравнения состояния 81
п. 4.1. Классификация уравнений состояния 81
п. 4.2. Примеры уравнений состояния 91
п. 4.3. Линейные структуры 96
1. Двумерные линейные модели 98
2. Трехмерные линейные модели 108
5. Одномерные нестационарные течения чисто механического континуума 118
п. 5.1. Преобразование эквивалентности 118
п. 5.2. Точечные преобразования 124
п. 5.3. Касательные преобразования 130
6. Классическая теория возмущений и ее теоретико-групповая характеристика 148
п. 6.1. Основная группа Ли для системы уравнений Навье-Стокса с условием аддитивности 148
п. 6.2. Групповые свойства возмущенной бесконечной системы уравнений вязкой несжимаемой жидкости 161
7. Точные решения 206
п. 7.1. Одномерные нестационарные решения в задачах реологии 206
п. 7.2. Простые волны в уравнениях Эйлера 209
п. 7.3. Неустановившиеся движения вращающегося кольца вязкой несжимаемой жидкости со свободной границей 219
1. Постановка задачи 219
2. Радиальное движение кольца 221
3. Априорные оценки 222
4. Теорема существования и единственности 224
5. Качественное описание движения 225
6. Движение кольца идеальной жидкости 227
п. 7.4. Инвариантные решения уравнений Навье-Стокса 228
1. Движение сферического слоя 228
2. Пример неединственности решения задачи Коши 231
3. Движение в криволинейной трубе 232
4. Спиральные движения 235
Заключение 240
Список использованных источников 242
- Основная алгебра Ли и система уравнений на компоненты тензора напряжений
- Определяющие уравнения двухпараметрического чисто механического континуума
- Основная группа Ли для системы уравнений Навье-Стокса с условием аддитивности
- Пример неединственности решения задачи Коши
Введение к работе
Природа — сфинкс. И тем верней Своим искусом губит человека, Что, может статься, никакой от века Загадки нет и не было у ней.
Ф.И.Тютчев
Ожидание того, что новая теория объяснит, наконец, все, сродни тому наивному ожиданию чуда и веры в него, которое издревле присуще нам. Так было, например, при создании квантовой механики, значительные успехи которой, достигнутые при решении различных задач ее методами, позволяли надеяться на универсальность квантово-механического подхода, однако в наше время эта надежда становится все более иллюзорной. При построении математических моделей механики сплошных сред используются, как правило, три уровня описания: феноменологический, динамический и статистический. Динамический уровень описания малоупотребителен из-за слишком большого числа "частиц", входящих в описываемый макрообъект. При статистическом подходе к описанию поведения сплошной среды встречаются некоторые принципиальные трудности, не преодоленные до сих пор. Считается, например, что уравнения состояния, коэффициенты переноса, структура тензора напряжений и т.п. — традиционная область применения методов статистической физики. Однако все количественные успехи современной теории основаны на приближенных интегральных уравнениях, физический смысл которых неясен. Ни из каких физических соображений, постулатов, законов, наконец, невозможно заранее предсказать, что именно приближение Пер-куса - Йевика вместе с уравнением энергии даст наилучшие результаты, а гиперцепное приближение или, например, теория Борна - Грина дадут результаты хуже (см., например, /1, 2/). По сути дела открытие приближения Перкуса - Йевика показывает, что можно получать хорошие результаты не благодаря методам статистической физики, а как бы помимо них /1, 2/. При построении той или иной теории такими методами исследователь, манипулируя таинственными словами типа средняя длина свободного пробега, характерное время столкновения, сечение рассеяния
и т.п., скорее демонстрирует свои оккультные способности в убеждении читателя, что при определенных условиях кинетическая теория сводится к тому, что он хочет получить, нежели то, что эти предположения необходимы для создания такой теории: Наконец, отсутствие модели нулевого порядка приближения в теории жидкости аналогичной модели идеального газа или гармонической решетки в твердом теле приводит к дополнительным трудностям в аналитическом описании жидкости при статистическом подходе. В заключение приведем слова Г.К. Трусделла, сказанные им более 30 лет назад и остающиеся актуальными и сегодня. "Предполагаемое редко отделяется от того, что должно быть доказанным, и последней инстанцией в каждом случае сомнения является модель материи, состоящей из маленьких твердых шариков"/3/.
Все сказанное убеждает нас возвратиться к феноменологическому уровню описания и попытаться найти некоторые достаточно общие подходы к проблеме определяющих уравнений, необходимых для замыкания системы дифференциальных уравнений, являющихся следствием законов сохранения. Что же положить в основу этого описания? Очевидно, что это должен быть принцип инвариантности, поскольку именно он лежит в основании всех современных подходов, связанных с поиском новых типов физических структур. Кроме того, представляется естественным использовать группу непрерывных преобразований для формирования самого принципа инвариантности. Действительно, еще в 1912-1916 годах А. Эйнштейном предлагалась задача об отыскании инвариантов группы непрерывных преобразований как, наиболее важная проблема физики. Вообще, идея использования группы непрерывных преобразований для математического моделирования является довольно старой, однако как технически осуществить ее было не вполне ясно. Если в кристаллофизике успех группового подхода предопределялся тем, что были известны все дискретные группы, характеризующие тот или иной кристалл, то использование групп непрерывных преобразований наталкивалось на непреодолимое препятствие: отсутствие результатов типа классификации Шубникова. Эти трудности могут быть устранены, если решить задачу групповой классификации дифференциальных следствий законов сохранения.
Свойства симметрии лежат в основе представлений о строении окружающего нас физического мира. В современной теоретической физике основную роль при исследовании микро- и макромира играют теоретико-групповые методы исследования. Многие свойства физического мира (однородность и изотропность пространства и времени, динамическое
подобие явлений, галилеева и лоренцева инвариантность и др.) описываются с помощью непрерывных групп преобразований.
Систематическое исследование непрерывных групп преобразований было начато во второй половине XIX века норвежским математиком Со-фусом Ли (1842-1899). Однако широкого применения к исследованию моделей механики сплошной среды в то время групповой анализ дифференциальных-уравнений', не получил, хотя многие методы исследования имеют групповую природу. Целенаправленный: поиск частных решений осуществлялся, в основном, методами теории размерности и подобия. Но уже тогда было осознано, что имеется некоторая аналогия между теорией размерности и подобия и геометрической теорией инвариантов относительно преобразований координат /4/. Впервые наиболее полно исследовал взаимосвязь между этимидвумя теориями Г. Биркгоф /5/. На примере уравнений механики он демонстрирует применение группового анализа к отысканию некоторого класса частных решений. Эти решения, названные им "симметричными"решениями, обладают свойством инвариантности относительно некоторой группы Н преобразований координат, не меняющей вид системы уравнений. По общепринятой теперь терминологии такие решения называются инвариантными if-решениями. В связи с изучением применения теории Ли непрерывных преобразований к отысканию частных решений следует отметить работы Майкэла /6/ и Моргана /7/. Однако во всех перечисленных выше работах использование групповых свойств дифференциальных уравнений к. поиску частных решений было изучено лишь в единичных случаях и носило в основном иллюстративный характер.
Современный этап систематического применения методов группового анализа к моделям механики сплошных сред получил в работах школ Л. В. Овсянникова [8] и Н. X. Ибрагимова /9/. В частности, активно идет изучение групповых свойств дифференциальных уравнений механики жидкости и газа /10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23/.
В 1991 г. на Седьмом Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике Л. В. Овсянниковым была сформулирована концепция программы ПОДМОДЕЛИ, направленной на полное и систематическое изучение групповых свойств различных моделей механики сплошной среды /24, 25/. Под руководством Л. В. Овсянникова группой исследователей ведется активная работа по реализации программы ПОДМОДЕЛИ для уравнений газовой динамики. Работа над данным проектом привела к оформлению более четких алгоритмов, возникающих в групповом анализе дифференциальных уравнений /26/. В частности, были* обобщены
результаты работ алгебраистов по построению нормализованных оптимальных систем подалгебр /27, 28/. Помимо непосредственного описания подмоделей происходит развитие теоретической базы группового анализа, например, были введены понятие ж-автономии /29/ и понятия регулярного и нерегулярного частично инвариантного решения /30/.
Перед описанием структуры диссертации определим основные понятия.
Система дифференциальных уравнений Е допускает группу G преобразований всех участвующих в Е величин (независимых и зависимых переменных), если система Е остается неизменной при всех преобразованиях, принадлежащих группе G.
В случае, когда система дифференциальных уравнений Е содержит произвольный элемент А в виде неопределенных параметров и функций, возможно подчиненных некоторым условиям, естественным образом возникает задача групповой классификации. Такую систему обозначим через Е(А), связь — через Г2(Л), а через GE(A) — группу, допускаемую системой Е(А) при конкретном виде связи ЩА). Тогда ядром основных групп называется группа GEq, равная пересечению всех групп GE(A). Другими словами, ядро основных групп системы уравнений Е(А) — это группа, допускаемая этой системой при любой связи Q(A). Для частных форм дополнительных связей допускаемая группа может расширяться. Таким образом, задача групповой классификации заключается в следующем: для системы дифференциальных уравнений Е(А) найти ядро основных групп GEq и все специализации произвольного элемента А, дающие расширения группы GEq.
Преобразованием эквивалентности системы Е(А) называется преобразование зависимых и независимых переменных и произвольного параметра, которое изменяет только произвольный элемент А, сохраняя структуру дифференциального уравнения Е{А). Преобразования эквивалентности образуют группу, называемую группой эквивалентности. Групповая классификация проводится с точностью до преобразований эквивалентности.
Каждая подгруппа Н С G имеет инварианты, конечные и(или) дифференциальные. Установление дополнительных соотношений между инвариантами подгруппы Я выделяет из множества всех решений Е определенный класс точных частных решений, называемых Н-решениями. Такие решения выражаются через новые искомые функции (инварианты), удовлетворяющие выводимой из Е системе дифференциальных уравнений, называемой фактор-системой Е/Н. Обычно фактор-система
является более простой по сравнению с исходной системой Е, в частности, за счет того, что Е/Н содержит меньшее число независимых переменных. Поэтому фактор-система Е/Н называется подмоделью исходной "большой модели"!?. Число независимых переменных в Е/Н называется рангом подмодели. В стандартном случае четырехмерного пространства событий, на котором определена система Е, ранг подмодели может принимать значения 3, 2, 1, 0.
При изучении решений какого-либо дифференциального уравнения Е полезна геометрическая трактовка решения у = и(х) как (локального) многообразия U в пространстве переменных (х,у). Тогда решение у = и(х) называется инвариантным Н-решением уравнения Е, если соответствующее ему многообразие U является инвариантным многообразием группы Я. Обобщение понятия инвариантного решения возможно за счет отказа от полной инвариантности многообразия U. Решение у = и{х) называется частично инвариантным Н-решением уравнения Е, если многообразие U является частично инвариантным многообразием группы Я", допускаемой уравнением Е. Кроме ранга такие решения характеризуются еще одной числовой характеристикой, называемой дефектом, которая показывает, насколько неинвариантным относительно Я является U. Существенно, что для дефекта имеется явная инфините-зимальная формула. При построении частично инвариантных решений, кроме фактор-системы Е/Н, связывающей только инварианты группы Я, получается еще и дополнительная система уравнений Р, связывающая помимо инвариантов группы Я также зависимые и независимые переменные исходной системы Е. Такие системы дифференциальных уравнений требуют исследования на совместность /31, 32, 33/.
Каждое частично инвариантное относительно группы Я решение является также частично инвариантным относительно любой подгруппы Я' С Я. При переходе к подгруппе ранг решения не убывает, а дефект не возрастает. Тем самым естественно возникает вопрос о редукции частично инвариантных решений, который ставится в следующей формулировке. Пусть дано частично инвариантное Я-решение U, имеющее ранг а и дефект 6; требуется выяснить, существует ли подгруппа Н' С Я, для которой U является частично инвариантным Я'-решением, при этом для ранга а' и дефекта 8' этого решения справедливы соотношения -а' = а, 5' < 5. Важность проблемы редукции определяется тем, что решения с меньшим дефектом искать, вообще говоря, легче. К сожалению, единственный критерий редуцируемости частично инвариантных многообразий к инвариантным, полученный в /51/, труден в практических при-
ложениях. Поэтому приходится использовать те или иные достаточные условия редуцируемости /8/.
Перейдем к изложению содержания и структуры диссертации. Она состоит из введения, семи разделов, заключения и списка использованных источников.
В первом разделе изучаются дифференциальные уравнения, описывающие движение чисто механического континуума и являющиеся следствиями интегральных законов сохранения массы и импульса (уравнение, выражающее закон сохранения энергии, не используется).
В данной ситуации известная проблема определяющих уравнений решается путем исследования задачи групповой классификации /8/ уравнений движения с произвольными элементами П*-7 — компонентами тензора вязких напряжений, являющихся функциями от компонент тензора градиента скоростей.
Найдены коэффициенты инфинитезимальных операторов, установлено групповое ядро [8], состоящее из операторов переносов и галилее-вых переносов. Определяющие уравнения на компоненты тензора вязких напряжений получаются как следствие требования расширения группы симметрии, допускаемой исходной системой дифференциальных уравнений.
Во втором разделе последовательно для одномерного, двумерного и трехмерного случаев вычисляются преобразования эквивалентности.
Доказано, что в группу эквивалентности не входят операторы вращения. Это говорит о том, что традиционное понимание изотропности среды, как требование инвариантности тензора вязких напряжений относительно действия группы 50з, нуждается в уточнении.
Кроме того, широко используемое предположение о равенстве нулю всех компонент тензора вязких напряжений в состоянии равновесия представляет собой дополнительное требование, а не является следствием преобразований эквивалентности, за исключением одномерных течений. Единственное, что можно утверждать, так это равенство нулю неравновесной части давления в состоянии равновесия. Это и обуславливает выделение равновесного давления р в качестве независимой функции — термодинамической переменной.
В третьем разделе дается детальный вывод определяющих уравнений при наличии классической термодинамической связи между давлением, плотностью и температурой.
Доказано, что система уравнений, являющаяся следствием интегральных законов сохранения массы, импульса и энергии при произвольных
элементах П , G и Н допускает только операторы переносов и галилее-вых переносов. Максимальная группа непрерывных преобразований, допускаемая в смысле Ли указанными уравнениями, соответствует Yikt = 0. В результате проделанной классификации указываются одновременно и максимальная группа Г, относительно действия которой инвариантна выстраиваемая модель, и все возможные уравнения состояния, и структуры тензора вязких напряжений. Тем самым показано, что естественным способом детализации в моделировании движения тех или иных сплошных сред является теоретико-групповой подход, а точнее, решение задачи групповой классификации. Более того, доказана справедливость эвристического предположения Дж.Л. Эриксена, выраженное им словами: "...я принадлежу к тому меньшинству исследователей, которое предпочитает непосредственно выводить двумерные уравнения, а не исходить из трехмерной теории" (Дж. Эриксен. Исследования по механике сплошных сред. - М.: Мир, 1977.).
Основная алгебра Ли и система уравнений на компоненты тензора напряжений
Ожидание того, что новая теория объяснит, наконец, все, сродни тому наивному ожиданию чуда и веры в него, которое издревле присуще нам. Так было, например, при создании квантовой механики, значительные успехи которой, достигнутые при решении различных задач ее методами, позволяли надеяться на универсальность квантово-механического подхода, однако в наше время эта надежда становится все более иллюзорной. При построении математических моделей механики сплошных сред используются, как правило, три уровня описания: феноменологический, динамический и статистический. Динамический уровень описания малоупотребителен из-за слишком большого числа "частиц", входящих в описываемый макрообъект. При статистическом подходе к описанию поведения сплошной среды встречаются некоторые принципиальные трудности, не преодоленные до сих пор. Считается, например, что уравнения состояния, коэффициенты переноса, структура тензора напряжений и т.п. — традиционная область применения методов статистической физики. Однако все количественные успехи современной теории основаны на приближенных интегральных уравнениях, физический смысл которых неясен. Ни из каких физических соображений, постулатов, законов, наконец, невозможно заранее предсказать, что именно приближение Пер-куса - Йевика вместе с уравнением энергии даст наилучшие результаты, а гиперцепное приближение или, например, теория Борна - Грина дадут результаты хуже (см., например, /1, 2/). По сути дела открытие приближения Перкуса - Йевика показывает, что можно получать хорошие результаты не благодаря методам статистической физики, а как бы помимо них /1, 2/. При построении той или иной теории такими методами исследователь, манипулируя таинственными словами типа средняя длина свободного пробега, характерное время столкновения, сечение рассеяния и т.п., скорее демонстрирует свои оккультные способности в убеждении читателя, что при определенных условиях кинетическая теория сводится к тому, что он хочет получить, нежели то, что эти предположения необходимы для создания такой теории: Наконец, отсутствие модели нулевого порядка приближения в теории жидкости аналогичной модели идеального газа или гармонической решетки в твердом теле приводит к дополнительным трудностям в аналитическом описании жидкости при статистическом подходе. В заключение приведем слова Г.К. Трусделла, сказанные им более 30 лет назад и остающиеся актуальными и сегодня. "Предполагаемое редко отделяется от того, что должно быть доказанным, и последней инстанцией в каждом случае сомнения является модель материи, состоящей из маленьких твердых шариков"/3/.
Все сказанное убеждает нас возвратиться к феноменологическому уровню описания и попытаться найти некоторые достаточно общие подходы к проблеме определяющих уравнений, необходимых для замыкания системы дифференциальных уравнений, являющихся следствием законов сохранения. Что же положить в основу этого описания? Очевидно, что это должен быть принцип инвариантности, поскольку именно он лежит в основании всех современных подходов, связанных с поиском новых типов физических структур. Кроме того, представляется естественным использовать группу непрерывных преобразований для формирования самого принципа инвариантности. Действительно, еще в 1912-1916 годах А. Эйнштейном предлагалась задача об отыскании инвариантов группы непрерывных преобразований как, наиболее важная проблема физики. Вообще, идея использования группы непрерывных преобразований для математического моделирования является довольно старой, однако как технически осуществить ее было не вполне ясно. Если в кристаллофизике успех группового подхода предопределялся тем, что были известны все дискретные группы, характеризующие тот или иной кристалл, то использование групп непрерывных преобразований наталкивалось на непреодолимое препятствие: отсутствие результатов типа классификации Шубникова. Эти трудности могут быть устранены, если решить задачу групповой классификации дифференциальных следствий законов сохранения.
Свойства симметрии лежат в основе представлений о строении окружающего нас физического мира. В современной теоретической физике основную роль при исследовании микро- и макромира играют теоретико-групповые методы исследования. Многие свойства физического мира (однородность и изотропность пространства и времени, динамическое подобие явлений, галилеева и лоренцева инвариантность и др.) описываются с помощью непрерывных групп преобразований.
Систематическое исследование непрерывных групп преобразований было начато во второй половине XIX века норвежским математиком Со-фусом Ли (1842-1899). Однако широкого применения к исследованию моделей механики сплошной среды в то время групповой анализ дифференциальных-уравнений , не получил, хотя многие методы исследования имеют групповую природу. Целенаправленный: поиск частных решений осуществлялся, в основном, методами теории размерности и подобия. Но уже тогда было осознано, что имеется некоторая аналогия между теорией размерности и подобия и геометрической теорией инвариантов относительно преобразований координат /4/. Впервые наиболее полно исследовал взаимосвязь между этимидвумя теориями Г. Биркгоф /5/. На примере уравнений механики он демонстрирует применение группового анализа к отысканию некоторого класса частных решений. Эти решения, названные им "симметричными"решениями, обладают свойством инвариантности относительно некоторой группы Н преобразований координат, не меняющей вид системы уравнений. По общепринятой теперь терминологии такие решения называются инвариантными if-решениями. В связи с изучением применения теории Ли непрерывных преобразований к отысканию частных решений следует отметить работы Майкэла /6/ и Моргана /7/. Однако во всех перечисленных выше работах использование групповых свойств дифференциальных уравнений к. поиску частных решений было изучено лишь в единичных случаях и носило в основном иллюстративный характер.
Современный этап систематического применения методов группового анализа к моделям механики сплошных сред получил в работах школ Л. В. Овсянникова [8] и Н. X. Ибрагимова /9/. В частности, активно идет изучение групповых свойств дифференциальных уравнений механики жидкости и газа /10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23/.
В 1991 г. на Седьмом Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике Л. В. Овсянниковым была сформулирована концепция программы ПОДМОДЕЛИ, направленной на полное и систематическое изучение групповых свойств различных моделей механики сплошной среды /24, 25/. Под руководством Л. В. Овсянникова группой исследователей ведется активная работа по реализации программы ПОДМОДЕЛИ для уравнений газовой динамики. Работа над данным проектом привела к оформлению более четких алгоритмов, возникающих в групповом анализе дифференциальных уравнений /26/. В частности, были обобщены результаты работ алгебраистов по построению нормализованных оптимальных систем подалгебр /27, 28/. Помимо непосредственного описания подмоделей происходит развитие теоретической базы группового анализа, например, были введены понятие ж-автономии /29/ и понятия регулярного и нерегулярного частично инвариантного решения /30/. Перед описанием структуры диссертации определим основные понятия.
Система дифференциальных уравнений Е допускает группу G преобразований всех участвующих в Е величин (независимых и зависимых переменных), если система Е остается неизменной при всех преобразованиях, принадлежащих группе G.
Определяющие уравнения двухпараметрического чисто механического континуума
Максимальная группа непрерывных преобразований, допускаемая в смысле Ли указанными уравнениями, соответствует Yikt = 0. В результате проделанной классификации указываются одновременно и максимальная группа Г, относительно действия которой инвариантна выстраиваемая модель, и все возможные уравнения состояния, и структуры тензора вязких напряжений. Тем самым показано, что естественным способом детализации в моделировании движения тех или иных сплошных сред является теоретико-групповой подход, а точнее, решение задачи групповой классификации. Более того, доказана справедливость эвристического предположения Дж.Л. Эриксена, выраженное им словами: "...я принадлежу к тому меньшинству исследователей, которое предпочитает непосредственно выводить двумерные уравнения, а не исходить из трехмерной теории" (Дж. Эриксен. Исследования по механике сплошных сред. - М.: Мир, 1977.).
Раздел 4, с одной стороны, завершает классификацию моделей чисто механического континуума и дает необходимый материал для понимания физики таких процессов — с другой. Оказалось, что практически все классические уравнения состояния получаются единообразным способом, более того, часть из них обобщена введением той или иной произвольной функции, при которой симметрия исходной модели не изменяется. Это позволяет, по крайней мере, в принципе, выбирать и подгонять уравнения состояния исходя из экспериментов с реальными средами. Кроме того, вид производящих функций может быть использован и для плановой постановки самих экспериментальных исследований.
Как известно, к числу фундаментальных принципов, на которых строится современная линейная термодинамика, относится принцип Онзаге-ра или его обобщение — принцип Онзагера-Казимира, постулирующий линейные соотношения между обобщенными термодинамическими силами и потоками. Так, например, исходя из общей зависимости между тензором напряжений и тензором деформаций (скоростей деформаций, градиента скоростей), путем разложения по формуле Тейлора в окрестности состояния равновесия получают тензор жесткости или его аналог, являющийся тензором четвертого порядка. Далее предполагается его симметрия. Прямые вычисления для частной линейной модели показали, что это не так.
В этом же разделе на примере общей двумерной модели, допускающей оператор вращения, показано наличие вязкостей двух типов: диссипатив-ные и недиссипативные. Дана их механическая интерпретация. Пятый раздел посвящен исследованию одномерных нестационарных движений жидкости типа Рейнера - Ривлина. Найдены преобразования эквивалентности и точечные и касательные преобразования. Проведен детальный качественный анализ течений типа "бегущая волна"для различных уравнений состояний. Выписаны различные инвариантные подмодели в виде нелинейного уравнения для удельного объема. В зависимости от потребности количество таких примеров может быть легко расширено. Эти точные решения могут быть использованы, например, в качестве тестов при численных расчетах движения реологических сред различной природы.
В шестом разделе рассматривается классическая теория возмущений с точки зрения группового анализа. В качестве исходной модели взяты уравнения Навье-Стокса, описывающие движение вязкой несжимаемой жидкости.
Методы теории возмущений представляют одно из наиболее мощных средств современной прикладной математики. Они используются для получения важных закономерностей и качественных особенностей сложных линейных и нелинейных краевых задач, для получения асимптотик, построения тестовых задач и т.п.
Вначале изучаются групповые свойства следующей задачи. Пусть {и,р — одно из решений системы уравнений Навье-Стокса, а {и$р } — его возмущение. Найдена наиболее широкая группа непрерывных преобразований, допускаемая в смысле Ли системой уравнений Навье-Стокса и системой, которая которой удовлетворяет возмущение. Эта группа оказалась бесконечномерной.
Далее, используя представления компонент вектора скорости и давления в виде разложения в ряд по малому параметру, имеющему смысл амплитуды возмущений, получаем бесконечную систему уравнений: Для нее решается задача группового анализа. Доказана инвариантность полученной бесконечной системы дифференциальных уравнений относительно действия группы, порожденной инфинитезимальными операторами, образующими бесконечномерную алгебру Ли. Эта алгебра сама содержит бесконечномерную подалгебру, порожденную операторами, действующими в бесконечномерном пространстве переменных, отвечающих возмущениям, и никак не затрагивающими ни физические переменные, ни компоненты скорости, ни давление, которые являются решениями уравнений Навье-Стокса. Тем самым выделена алгебра, представляющая самостоятельный интерес. Каждый из операторов, порождающих эту алгебру, задает способ сложения. Найдено матричное представление этой бесконечномерной алгебры Ли, коммутаторы операторов которой удовлетворяют тождествам Витта.
Седьмой раздел посвящен различным точным решениям систем уравнений Навье—Отокса, Эйлера и другим, представляющих интерес как для теоретиков, так и для инженеров.
Вначале для различных уравнений состояния и реологических уравнений строятся точные решения типа бегущих волн, как в локальных, так и в нелокальных системах координат. Найдены периодические решения такого типа. Для уравнений Эйлера получены решения типа простой волны. Эти же решения могут быть использованы при описании бессиловых конфигураций магнитного поля; они вызывают несомненный интерес, поскольку наблюдению для звездных объектов (Солнце) поддаются только внешние магнитные поля.
Следующей задачей, рассмотренной в точной нелинейной постановке, является задача об описании неустановившихся движений вращающегося кольца вязкой несжимаемой жидкости со свободными границами. Здесь доказана глобальная по времени однозначная разрешимость поставленной задачи, найдены ее асимптотики. Приведен результат для идеальной жидкости, совершающей существенно вихревое движение.
Наконец, последовательно рассмотрена задача о движении сферического слоя со свободной границей, приведен пример неединственности решения задачи Коши в классе решений с линейным ростом скоростей и квадратичным — давления, обобщающий пример Е. Хопфа (последний построен для уравнений Эйлера). Изучены движения в криволинейных каналах и спиральные движения; для них доказана теорема существования и единственности.
Материалы диссертации использовались при чтении специальных курсов лекций и выполнении дипломных работ на математическом факультете Красноярского госуниверситета.
Работа поддержана Красноярским краевым фондом науки, гранты 10F061F, 9F0025, и РФФИ, проект № 01-01-00850.
Основная группа Ли для системы уравнений Навье-Стокса с условием аддитивности
В данном разделе рассматриваются основные уравнения двухпараме-трического (в термодинамическом смысле) чисто механического континуума. Найдены преобразования эквивалентности этой системы. Показано, что группа вращений не входит в группу эквивалентности; Это, в свою очередь, приводит к необходимости записи уравнений для каждого класса симметрии отдельно /91/.
Рассмотрим уравнения неразрывности, импульса и энергииздесь p — плотность рассматриваемой сплошной среды; и — вектор скорости с компонентами ul,u2,uz\T — тензор напряжений; U — внутренняя энергия; q — вектор потока тепла. Эти уравнения можно использовать для описания движения самых разнообразных континуумов, применяемых в механике сплошных сред. Различные модели отличаются друг от друга, прежде всего, структурой тензора напряжений; что, в принципе, можно проверить экспериментально.
Предположим, что тензор напряжений, фигурирующий в этих уравнениях, выражает чисто механические свойства описываемого континуума. Тогда его можно,ъ общем случае представить как сумму двух тензоров. Первая часть зависит от состояния чисто механического континуума, вторая; — от скорости изменения этого состояния. Это означает, что тензор напряжений чисто механического континуума состоит из равновесной части Те и неравновесной части Tv, обозначаемой в дальнейшем П, т.е.
Поскольку П зависит от скорости.изменения состояния, и следовательно, от ее градиента, и так как вязкие силы обусловлены именно градиентами, то П называется тензором вязких напряжений. Поэтому П = 0 для любого континуума, находящегося в состоянии равновесия, например, тензор вязких напряжений равен нулю для покоящихся газов или жидкостей. В таких случаях в силу изотропии равновесная часть Те тензора напряжений превращается в скаляр, т.е. Те = —pi, где р — давление (гидростатическое); / — единичный тензор. Это разложение показывает, что в случае неподвижных жидкостей и газов отсутствуют напряжения сдвигов, которые определяются внедиагональными элементами матрицы тензора напряжений Т. Что касается неравновесной части тензора напряжений, то в общем случае тензор вязких напряжений П является функцией тензора Vu. Следующее предположение исключает из рассмотрения полярные среды. Тензор вязких напряжений является симметричным: IPJ — IFV(V i,j).
Далее, закон сохранения энергии выражает тот факт, что изменение полной энергии газа или жидкости (в первом случае) должно равняться полному потоку энергии через границы этого объема. В том случае, когда рассматриваются модели сплошных сред, учитывающие наличие вязких сил, в плотность энергии будет входить еще одно слагаемое, обусловленное процессами внутреннего трения.
Если дополнительно не предполагать изотермичности происходящих процессов, то возможен перенос тепла посредством так называемой теплопроводности. Ясно, что, вообще говоря, этот процесс не связан с макроскопической скоростью движения и может происходить в неподвижной жидкости или газе.
Как правило, предполагается выполненным закон Фурье, согласно которомугде ае — коэффициент теплопроводности. Поэтому полная плотность потока энергии в жидкости при наличии вязких сил и теплопроводности имеет следующий вид (см., например, [42]): Следовательно, общий закон сохранения энергии (2.3) будет выражаться уравнением
Преобразуем полученное уравнение к виду, более удобному для исследования. Вычислим производную, стоящую в левой части, исходя из Первый член, стоящий в правой части этого уравнения, представляет собой энергию, диссипирующуюся в виде тепла (из-за наличия вязкости), а второй — тепло, подводимое в рассматриваемый объем за счет теплопроводности.
Предположим, что изучаемый чисто механический континуум является нетеплопроводным, эе = 0, и двухпараметрическим (в термодинамическом смысле). Последнее означает, что имеются две независимые термодинамические переменные, например, р и р. Тогда можно считать, что
Как уже отмечалось, наличие только одних законов сохранения не позволяет адекватно описывать возможные движения рассматриваемой среды. Чтобы это было возможно, необходимо ввести так называемые определяющие уравнения, связывающие различные параметры, которые входят в описание сплошной среды. Примерами таких уравнений могут служить закон Гука в классической теории упругости, закон Навье -Стокса в классической теории вязкой жидкости и т.п. Кроме того необходимо задавать уравнение состояния описываемого континуума. К сожалению, сколько-нибудь общая теория определяющих уравнений отсутствует. Тем не менее имеется несколько подходов к получению определяющих уравнений.
Во-первых, из уравнений Больцмана или модельных уравнений типа БГК и т.п. Однако, как было показано, при существующих методах исследования кинетического уравнения Больцмана и ему подобных эта проблема неразрешима в принципе /44/. Во-вторых, экспериментальные исследования. Этот метод ограничен, прежде всего, точностью эксперимента, и кроме того, зачастую не ясно, какие именно параметры следует измерять. В-третьих, методы, основанные на использовании некоторого вариационного принципа /45/. В-четвертых, теоретико-групповой подход, базирующийся, как правило, на теории инвариантов той или иной наперед заданной, группы преобразований /46/. Недостатки этого метода очевидны. Принцип материальной независимости Нолла, на котором основан этот метод, не предполагает, вообще говоря, наперед заданной симметрии рассматриваемых процессов. Поэтому группы симметрии должны находиться одновременно с определяющими соотношениями. Предварительно необходимо вычислить преобразование эквивалентности для системы (2.1), (2.2), (2.6), причем в (2.2) Т=-р1 + n(Vu).
Пример неединственности решения задачи Коши
Этот раздел, с одной стороны, завершает классификацию моделей чисто механического континуума и дает необходимый материал для понимания физики таких процессов — с другой. Оказалось, что практически все классические уравнения состояния получаются единообразным способом, более того, часть из них обобщена введением той или иной произвольной функции, при котором симметрия исходной модели не изменяется. Этот подход позволяет продемонстрировать данный метод, например, на вычислении вириальных коэффициентов, основываясь только на симметрийных соображениях /53, 54, 55, 56/.
Задача групповой классификации является обобщением задачи вычисления основной группы и представляет большой интерес с точки зрения приложений, поскольку решение ее позволяет отбирать наиболее интересные значения и формы экспериментально определяемых значений и величин. Общая постановка этой задачи изложена в /1/, см. введение.
Здесь р— плотность рассматриваемой сплошной среды; р — гидростатическое (равновесное) давление; и — вектор скорости; П — тензор вязких напряжений; G — —pSp/Sp;H = —l/peSp; S = S(p,p) — энтропия; Ф = П : Vй — диссипативная функция. Пусть П — симметричный тензор, зависящий только от Vй- В классе таких сред заведомо содержатся жидкости, газы, жидкость Рейнера - Ривлина и т.п. Традиционный подход состоит в том, что накладывается требование инвариантности тензора П относительно действия группы 50з, а затем находится классическое представление его в этом случае
Здесь I — единичный тензор; D — тензор скоростей деформации — симметрическая часть тензора Vu о? Vb V2 — функции от инвариан тов D. Оправданием такого подхода служит предположение об изотропии рассматриваемой сплошной среды. Но это является весьма слабой мотивацией для того чтобы делать столь сильное утверждение. Действительно, уже двумерные движения не могут быть рассмотрены как частный случай трехмерных, допускаюпщх группу изотропии 503 /54, 57/.
Потребуем инвариантности многообразия, задаваемого системой 5, относительно действия группы непрерывных преобразований. Это требование приводит к следующим результатам (раздел 1). Пусть общий оператор инфинитезимального преобразования записан в виде Кроме того, в результате решения задачи группового анализа получены уравнения, играющие роль ограничений, накладываемых на широту допускаемой системой (4.1)-(4.3) группы. Выпишем еще раз эти уравнения:
Здесь введено обозначение Pj- = диг/дх . Исходя из этой системы уравнений нетрудно сделать следующие выводы: при произвольных П, G, Н исходные уравнения допускают операторы
Это означает, что система (4.1)-(4.3) при произвольных П, (7, Н инвариантна только относительно действия группы переносов и галилее-вых переносов. В дальнейшем будем обозначать эту группу Го. Далее, максимальная группа непрерывных преобразований, допускаемая в смысле Ли уравнениями (4.1)-(4.3), соответствует случаю П = О, G = (N + 2)p/N.
Теперь задача состоит в том чтобы определить все возможные типы связей между групповыми постоянными, входящими в выписанную систему уравнений, и как следствие— получить системы дифференциальных уравнений на компоненты тензора вязких напряжений П и на функции G,H. На этом пути получим не только общие представления тензора напряжений и соответствующие уравнения состояний, но и наиболее широкие группы непрерывных преобразований, допускаемые уравнениями движений в каждом конкретном случае специализации тензора П и функций G,H. Другими словами, каждой тройке элементов Hi,Gi,Hi ставится в соответствие группа Г,- D Го.
Замечание 1. В рамках этого подхода (групповая классификация) и сделанных предположений других моделей, кроме тех, которые получены, не существует.
Остановимся более подробно на уравнениях состояния. Для удобства дальнейшего исследования приведем пары функций {G,H}\ которые следует рассмотреть: