Введение к работе
Актуальность темы. Построение явных формул для точних реше-
аий реальных задач (или модальных, учитывающих неоднородность сре
ды), как правило,оказывается невозмокным. Поэтому потребности ма
тематического моделирования привели к развитию математических ме
тодов исследования задач, явные формулы для решения которых неиз
вестны,, Одним из наиболее мощных средств исследования математиче
ских' моделей, содержащих малый параметр, являются асимптотические
методы построения приближенных решенийе удовлетворяющих уравнейно
с любой степенью точности по малому параметру. Круг задач, для
исследования которых применяются асимптотические-методы, весьма
широк и,, соответственное имеется много методов, применяемых в той
или иной ситуации. Фундаментальный вклад в развитие асимптотичес
ких методов внесли Н.Н.Боголюбов, Н.М'.Крылов, А.Н.Тихонов, В.П.
Маслов, Дл.Уизем и др. , .
В диссертации развиваются методы построения быстро осциллирующих и быстро убывающих вце некоторой поверхности асимптотических решений эволюционных нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных математической физики. В первой главе диссертации излагается метод построения солитонообразных асимптотических решений эволюционных нелинейных уравнений с переменными коэффициентами и малой дисперсией, Солитонообразными называются решения, представляющие собой "искаженные" солитоны, амплитуда и скорость которых меняются cd временем. Уравнения с малой дисперсией и переменными коэффициентами возникают в различных физических задачах: теория волн на воде, нелинейная теория упругости, физика плазмы и т.д. Основные методы решения этой задачи можно разделить
- * -
на две группы: методы опирающиеся на технику обратной задачи рассеяния (ОЗР) и методы, нэ использующие ОЗР, так называемые прямые методы. Б первом случае рассматриваются уравнения вида
А(и,)=РСаЛ>«А,^ . (і) где уравнение ACU,^=0 интегрируется методом ОЗР, &-&Q - малый параметр, SF - малая поправка. Здесь в первую очередь следует отметить работы Дж.Кинера, Д.Мак Лафлина, Э.Скотта; Д.Каупа, А.Ныоэлла.'В.Й.Карпмана, Е.М.Маслова и др., в которых была построена теория возмущений для солитонов на основе метода ОЗР. Вместе с тем, уравнения с переменными коэффициентами (А* А (огД^М/о) в общей случае не сводятся к уравнениям вида (I) с интегрируемой методом ОЗР главной частью. Таким образом, развитые в указанных работах методы не решают полностью задачи построения теории возмущений для солитонов.
В разработке прямых методов также принимало участив много авторов. Здесь следует отметить работы М.Абловица, С.А.Вакуленко, Р.Грмшоу,Р.Джонсона, К.Ко, К.Куэла, Д.Цак-Лафлина, В.П.Иаслова, И.А.Молоткова, Л.А'.Островского, Е.Н.Пелиновского, В.А.Цупина и др. На.первом этапе изучались односолитонныв асимптотики для уравнений с постоянными, либо зависящими только от времени коэффициентами и, в основном, только в адиабатическом приближении. Систематическая теория возмущений для уравнений с переменными коэффициентами строилась в работах Р .Джонсонами Р.Гришиоухх'исходя из метода многомасштабных разложений Уизеиа, однако их построения справедливы только в малом.
Во второй главе диссертации развивается метод построения быстро .осциллирующих асимптотических решений з'адачи Коти для много-
xX) о to мерных уравнений с малой нелинейностью и слабой дисперсией или вязкостью. Уравнение с параметром -*о имеет малую нелинейность, еслиі I) главный член асимптотического, осциллируюцего с частотой Oiifs.) решения имеет фазу, удовлетворяющую уравнению Гамильтона -Якоби (эйконала), которое соответствует линейной части исходного уравнения, 2) для главного члена асимптотического решения не выполнен принцип суперпозиции. Приближение малой нелинейности издавно использовалось в работах физиков. Здесь следует отметить работы Р^В.Хохлова, Н;Блом-бергена, С.А.Ахманова, В.Е.Захарова, С.В.Манакова, О.В.Руденко,0 СЙ.Солуяна (нелинейная оптика и акустика), Б.Б.Кадомцева, В'.И.Пе-твиагаили, О.П.Погуце, В.И.Нарпмаяа, А.Б.Михайловского (физика плазмы), А.М.Обухова, Дж.Уизема, О.Филлипса, Л.А.Островского, Е.Н. Пелиновского (гидродинамика и газовая динамика), а также многих других авторов, в которых для различных физических задач выведены основные нелинейные модельные уравнения математической физики.- Выведенные уравнения, в связи с их фундаментальным значением для физических приложений, привлекали внимание многих математиков. Именно изучение одного из таких модельных уравнений - уравнения Кортзвега - де фриса привело к созданию метода обратной задачи рассеяния. Исследования указанных уравнений проводились также традиционными методами, в том числе и численными^ В этой связи следует отметить работы Ю.Н.Днестровского, Д.П.Костомарова, С.Н.Кру-яскова, А.А.Самарского, Р.Темама, И.А.Шишмарева и других авторов. Систематическая разработка асимптотических методов'в лрибли-жении малой нелинейности была начата в работах А.В.Гапонова, Л.А; Островского, Ы.И.Рабиновича л др. Первые строгие результата по иссл дованию эволюционных задач с одной пространственной -временной были получены A.JI.ffiiapacou для осциллирувдих резений л Л .А. Каляккныа для.реавнля, стабпллзирукаягся на бесконечности, тіла^-і библиография пригадана в обзоре*} Вместе с тем широкий круг задач, связанный с резонансным взаимодействием коротких воли в многопарных средах со слабой дисперсией или 'вязкостью, долгое время оставался нерешенным. Построение теории таких взаимодействий было начато в работах В.П.Маолова и его учеников для задач со слабой дисперсией или вязкостью и в более поздних работах А.Майды с сотрудниками для гиперболических систем. В третьей главе диссертации рассматривается кразвая задача для уравнений магнитной гидродинамики (МГД) и уравнений газовой динамики при больших числах Рейнольдса в случае, когда быстро меняющееся начальное возмущение имеет величину ЮСІ) , т.о. сра'вниыс с основным "гладким фоном". Подобные задачи в погранслойной постановке, начиная с классических результатов Прандтля, Кардана, Г. .Шлихтинга,.Л.Г.Лойцянского, изучались в работах'Ю.Д.Шевелева, О.С Рыжова, Э.Хирієля, Б.Кордулла и ыногих других авторов для уравнений гидродинамики и газовой динамики, а также В.Н.Жигулевым, А.Б. Ватажииын, Г.А.Любимовым, С.Д.Регирером для уравнений МГД» В последние годы активно развивается такке направление, связанное с исследованиеи возникновения, эволюции и устойчивости структур. Общеизвестным примером таких структур являются ячейки Банара в подогреваемой жидкости. Другий примером являются так на- О зываемыа ногарентныа структуры в гидродинаиике, ппвдставлящие со бой быстро осциллирующие решения уравнений Навье - Стокса. Первый результат по построению асимптотического решения, описывающего анизотропную когерентную структуру для уравнений Навье - Стокса О и газовой динамики был получен в работах В.П.Маслова^, в которых был установлен факт асимптотической неединственности для этих урз х^Калякин. Л.А. - JMH, 1989, т. 44, вып. Г, с. 5-3*. хх>Иаслов В.П. - ТМФ, 1985, т. 65, 16 3, с. 448-459. - ? - внеяий. Практически в это se время была опубликована статья Д.Мак-Лафлина, Д.Папаниколау и О.Пирннеу, содержащая условный результат по построении асимптотического решения, описызающего изотропную когерентную структуру. Следует отметить такав работу З.Н.Пет-виашвкли и В.В.Яиькова по теории плазмы» з которой исследовались вояросыв связанные с третьим типом структур - солитонани. Близкими я рассматриваемым здесь вопросам являются также исследования по проблеме турбулентного дияако, г.е. по явлению "самопроизвольной" генерации сравнительно больших магнитных пояе'Й. Целью работы является: I. Разработка метода'построения сояитоиообразных асимйтоти-ческих решений нелинейных уравнений с переменными коэффициентами и малой дисперсией. 2 о Развитие метода построения быстро осциллирующих асимптотических решений задачи Коши для многомерных уравнений с калой нелинейностью и слабой дисперсией или вязкостью. 3. Построение асимптотического решения, описывающего когерентный структуры в магнитной гадодинаиикв и газовой динамике при больших числах ?ейнольдса. Научная новизна. Предложен метод построения солитонообразных асимптотических решений уравнений с переменными коэффициентами и малой дисперсией. Построены указанные асимптотические раиения уравнений Кортевега - да Фриса, Уизема, Кадомцева - Петвиашвили, системы уравнений Буссинеска и многомерного уравнения 3*»6 - Гордона с переменными.коэффициентам. Получены оценки для невязки между точным и асимптотическим решением для уравнений Кортевега - де Фриса, Уизема и Зіпе - Гордона. Развит метод построения асимптотических реаений, описывающих как трехцуговое взаииодейстіле, так и явление полного резонанса в слабонелинвйных средах с малой вяз- костью али дисперсией. Построены асимптотические решения,, описывающие взаимодействие коротких волн'в вязкоупругой средев барот-ропной атыссфера, магнитной гидродинамике, а такке взаимодействи оптических и акусіических волн. Получека оценка для невязки межд точный и асимптотическим решением задачи Коши дли пятиконстантны уравнений теории упругости. Выведены новые модельные уравнения, описывающие взаимодействие волн в плазме в приближении токамака, обобщающие известные уравнения Кадомцева - Погуце на случай нера; новеоного внешнего поля и произвольной симметрии конфигурации пл амы, а также учитывающие аффекты генерации продольных компонент скорости и $оля. Доказано существование и единственность решения с винтовой 'симметрией указанных уравнений в изэнтропическом случае. Построено асимптотическое решение, описывающее при больших числах Рейнольдса (Re~ Re^"5*) анизотропную когерентную МГД-стр; .ктуру. Показано, что решение уравнений магнитной гидродинамики асимптотически неединственно, и что гидродинамические осцилляции при малых, величины <9(i/v/Re ) гладких возмущениях магнитного пол: генерируют гладкое магнитное поле амплитуды 0(f) . Выведенные мо дельные уравнения образуют замкнутую систему для МГД-аналога ура внений Рейнольдса. Построено также асимптотическое решение, описывающее для областей со специальной симметрией (в -пинч, 2-пинч тор) "одномерС^ю" когерентную структуру. Получен критерий асимп-тотической устойчивости структуры в несжимаемом случае. Выведана: модельные уравнения описывают, в частности, погранслойные решениі уравнении МГД и газовой /янаиики для областей с произвольной гла лкой границей. Построено асимптотическое решение,, описывающее ко герентную мТД-структуру в случаях Re~ Rew-»-«u Re^OW.Re-*» -9-. Практическая ценность. Работа носит теоретический характер, Рассмотренные в диссертации уравнения возникают з различных зада-с чах гидродинамики, газовой динамики,.физики плазмы, нелинейной оптики и теории упругости. Методы, развитые в диссертации, позволяют изучать влияние неоднородностей среды на протекание процессов, а также эволюцию быстро меняющихся возмущений. Полученные в диссертации результаты рекомендуется использовать з следующих организацияхїйнституте.прикладной механики РАН, . Институте прикладной математики им. И.В.Келдыша РАН, ИАЗ им. Л.В. Курчатова, Институте гидродинамики им. И.А.Лаврентьева СО РАН, Екатеринбургской институте математики к механики VP РАН. Апробация работы. Результаты, излояенные в диссертации, докладывались на семинарах по дифференциальным уравнениям - институтах проблем механики, проблем управления, ЛОМИ АН России, в институтах математики и гидродинамики АН Украины, з ИГУ им. М.В.Ломоносова, з МйЭМ, Харьковском государственном университете, на Всесоюзных, Республиканских и Международных' конференциях, в том числе на Всесоюзной школа-семинаре "Методы малого параметра и их применение" (Минск, 1982), 6-й Всесоюзной школэ-семинаро по оптической обработке информации (Фрунзе, І9В6), Всесоюзной научное совещаний "Методы малого параметра" (Нальчик, 1987), Всесоюзных школах-семинарах по турбулентности и динамически/системам (Кацивели, 1985, 1988, 1991), Всесоюзной конференции "Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики" (Тарнополь, 1989), Международных рабочих группах по нелинейным и турбулентным процессам в физике (Киев, 1983,1987), Международной конференции по физике плазмы (Каев, 1987), 4-й Международной конференции по пограггеяым и внутренним слоям (Новосибирск, 1986). <-.> - ю - Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения и трех глав, разбитых на параграфы и списка литературы из 205 наименований.
Публикации по теме диссертации,, Основное содержание диссертации опубликовано в 21 статье.