Введение к работе
Актуальность теш исследования. Как известно, основы теории бифуркаций были заложены в трудах А.Пуанкаре и , A.M. Ляпунова. Здесь преаде всего имеется в виду задача о фигурах равновесия вращавшейся хидкости, метод малого параметра, исследование критических' случаев, теория-"линейных рядов" и др.. Лальнейший существенный вклад в теории бифуркаций динамических систем был сделан А.А.Андроновым и Л, С. Понтрягиным введением в 1937 г. понятия грубости динамической системы. Именно с этого времени теория бифуркаций получила свой адекватный математический фундамент, в основе которого лежит понятие топологической эквивалентности. В те se годы А. А. Андроновым и Е.А.Леонтович были изучены все основные бифуркации предельных циклов двумерных динамических систем и выделены системы первой степени негрубосги. Дальнейшее развитие теории бифуркаций пошло как по пути исследования бифуркаций более высокой коразмерности для двумерных систем (вюгочая потоки на поверхностях), гак и по пути исследования бифуркаций многомерных динамических систем.
В настоящее время все бифуркации принято делить на три группы.
1.Бифуркации, в классе систем с простой динамикой, т.е. Н9 выводящие из класса систем Морса-Смейла.
2. Бифуркации, переводяие из класса систем Морса-Смейла в класс систем со счетным множеством периодических движений, т.е. к системам со сложной динамикой. 3.Бифуркации в классе систем со сложной динамикой.
При исследовании бифуркаций первой группы обычно ставится классическая задача, которая состоит: 1) в разбиении пространства параметров на области грубости и выделении бифуркационного
Автореферат - 2 -
Жохэетва; 2) в разбиений бифуркационного -множества на связанные компоненты» отвечавшие одинаковым фазовым портретам (в .смысле топологической эквивалентности). В этом направлении принципиально, ковам явилось открытие Паласом (Palis . 1978] непрерывных топологических инвариантов динамических систем - модулей.
Бифуркации второй группы интересны прежде всего тем, что они позволили объяснить основные сценарии перехода к хаосу, Среди бифуркаций третей группы наибольший интерес вызывает бифуркации странных аттракторов - аттракторов Лоренца и квазиаттракторов. При исследовании бифуркаций второй и третей групп в многомерных задачах мы сталкиваемся с новым явлением - - существованием , в пространстве динамических систем открытых областей, всем точкам которых отвечает негрубые системы. Например, в любой окрестности системы с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре существует области HbDxayca (Newhouse 1979], в которых системы с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре всюду плотны. Кроме того, в областях Ньвхауса плотны системы, обладающие сколь угодно вырожденными периодическими движениями (Тонченко, Тураев, Шильников 19913. Это означает, что полное исследование бифуркаций системы с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре в рамках конечно-параметрических семейств невозможно, Такая же ситуация возникает при изучении систем с гомоклинической петлей седло-фокуса в случае, когда выполнено условие Шильникова I1965], .поскольку в лвбой окрестности такой динамической системы существуют системы с нёгрубой гомоклинической-'петлей-Пуанкаре— (Овсянников, Шильников 19861..
Представляется актуальным исследование динамических систем, которые содержат гетероклинический контур, составленный из двух седловых состояний, равновесия и двух соединяющих их гетероклинических траекторий. Здесь возможны два принципиально различных случая. К первому случае относятся системы с
Автореферат - 3 -
гетероклинический контурами, содержащими состояния равновесия разного топологического типа. Ко второму случае относятся системы, содержащие гетероклинический контур, составленный из седловых состояния равновесия одинакового топологического тала. В обоих случаях возможны два типа бифуркаций: бифуркации в классе систем Морса-Сиейла и бифуркации в классе систем со сложной динамикой.
Цель работы. Исследование поведения траекторий и структуры бифуркационных множеств систем с простой динамикой, содержащих гетероклинический контур составленный из двух седловых состояний равновесия одинакового топологического типа и двух структурно-неустойчивых гетероклинических траекторий.
Методы исследований. Исследования проводились методами качественной теории динамических систем., теории бійуркаиий и символической динамики.
Научная новизна. Выделено три" класса динамических систем, бифуркации которых удается описать в рамках двухпараметрических семейств дифференциальных уравнений. В первый класс входят системы, содержащие гетероклинический контур с двумя состояниями равновесия типа седло (рис.2.1).. Системы второго класса содержат гетероклинический контур с двумя состояниями равновесия типа седло-фокус (рас.2.2). В третий класс входят системы, гетероклинический контур которых содержит одно состояние равновесия типа седло и одно - типа седло-фокус (рис.2.3). Для всех трех классов систем построены бифуркационные диаграммы. Кроме того, в работе получен ряд вспомогательных результатов, среди которых самостоятельное значение имеет георемы 2.1 я 2.2 о существований гладких инвариантных многообразий. Эти теоремы позволяет сводить многие вопросы качественной теории динамических систем к соответствушы вопросам для систем меньшей размерности. Полученные результаты является новыми.
Автореферат - 4 -
Практическое и теоретическое значение. Полученные результата
могут Сыть использованы как при исследовании обыкновенных
дифференциальных уравнений, так и в теории распределенных систем.
В частности, изученные гетероклшшческие контура возникает при
исследовании уравнений реащии-дийугчи, уравнений
FitzHugh-fegumo, цепей Chua.
Апробация работы, Результаты работа докладывались. на ряде научных конференций и семинаров.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы., Изложение начинается с краткого обзора, точной постановки задачи - л формулировки .основных', результатов. Глава' I носит вспомогательный характер. Она содержит промежуточные результата. В частности, в ней доказывается теореш 2.1 и 2.2 о cyecтвoзaнйй гладких . инвариантных многообразий.. Глава II посвящена доказательству основных теорем 2.3, 2.4 и 2.5 о бифуркационных множествах. Завершает работу список цитированной литературы. Объем работы .-' 134 страниц, библиография - 68 названий.
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 9 работ.