Введение к работе
Актуальность темы диссертации. Интерес к чисто математическим и прикладным задачам, и котрих присутствует та или иная группа симметрии, существует довольно давно.
В теории дифференциальных уравнении источником таких задач издавна служили уравнения классической физики. Последние часто оказыванием инвариантными относительно непрерывных групп преобразовании (например, подгрупп группы движении), что позволяет находить их частные решения. Возможность "частичного интегрирования" уравнений, допускающих непрерывные cuuufrn. '-.- ^.;*_\г""-"«- 1,,а '"' " """""""":::., І5І, ''.".IICpuiriMOD, ІУл* С>|: н тр), ілніельпис премч обуславливала интерес к групповому анализу дифференциальных уравнений.
Теория динамических систем с дискретными симметриями развита значительно меньше. Отметим, что конечные группы симметрии могут порождаться исходной (естественнонаучной) задачей или возникать в процессе математического исследования.
Пример первого рода - известная система Лоренца, возникшая из гидродинамической задачи (о конвекции жидкости). Серию разнообразных примеров доставляют системы связанных нелинейных осцилляторов. Конечная группа симметрии здесь связана с архитектурой связен между осцилляторами.
Примеры второго рода возникают, в частности, в теории бифуркаций. Так, задача о потере устойчивости автоколебаний вблизи резонанса порядка д сводится к двумерной модельной системе с симметрией, отвечающей циклической группе Z^ (см. В.И.Арнольд. 1977 |||). Недавно выченплось. чго. система Лоренца может играть роль (симметричной) нормальної! формы при изучении некоторых бифуркаций коразмерности 3 в системах с симметрией или без неё (см. А.Л.Шилышков, Л.П.Шильников, Д.В.Тураев. 1993 |14|).
К настоящему времени теория бифуркации с симметрией получила наибольшее развитие для стационарных решений (си В.И Юлоглгч. 1967 [9]; D.Riielle, 1973 | J 31, M.GoIututsky, Stewart I., ScliaelTei D„ 19X8 ||2|; и др.).
Результаты, относящиеся к исследованию бифуркаций периодических решений (неподвижных точек отображений) в задачах с симметрией, до сих пор имели фрагментарный характер (см. P.Cliossat, M.Golubitsky, 1988 110]- B.Fiedler, 1988 [11|; и др.) и не давали ясного ответа на ряд принципиальных вопросов: о структуре спектра мультипчикаторов, о сводимости бифуркаииоиных задач с симметрией к задачам без симметрии и т.д. Вместе с тем, важность изучения периодических процессов, в том числе обладающих теми или иными свойствами симметрии, хорошо известна. Этими двумя обстоятельствами обусловлены выбор темы диссертации и её актуальность.
Цель работы состояла в изучении локальных бифуркаций невысоких коразмерностей (I и 2) предельных циклов в семействах обыкновенных дифференциальных уравнений, обладающих конечной группой симметрии.
Научная новизна работы. В диссертации получены следующие основные результаты.
-
Предложена классификация периодических орбит по типам их пространственной и "пространственно-временной" организаций. Эти классы (F, S и FS) исчерпывают все типы периодических орбит с нетривиальными собственными симметриями (которые не обязаны совпадать с полной группой симметрии исходной системы, а образуют лишь её подгруппы).
-
Решена задача о спектре мультипликаторов F- и ічшклов, встречаюшихся в типичных однопараметрических семействах симметричных векторных полей. Изучение мультипликаторов АГ-ииклов опирается на результаты для F- и ^"-циклов. Однако здесь требуется учёт специфики собственной симметрии АУ-цикла. В частности, случаи, в которых подгруппы, образующие собственную симметрию /У-иикла, являются коммутативными или некоммутативными - принципиально различны.
3. Доказана теорема о факторизации векторного поля в окрестности
произвольного J-цикла, позволяющая сводить исследование бифуркаций этого
цикла к анализу бифуркаций некоторого предельного цикла в семействе
вспомогательных векторных полей без симметрии.
4. Разобраны бифуркации циклов коразмерностей 1 (полностью) и
2 (частично) в системах с простейшими (инволютивными) симметриями -
зеркальной и центральной, допускающими два типа циклов - F и S.
Проведённый здесь анализ позволил выявить многие важные особенности
(кратность мультипликаторов, сводимость к вспомогательным несимметричным
задачам и др.) бифуркаций циклов произвольных симметричных систем.
5. Изучены все бифуркации коразмерности 1 для F-, S- и /^циклов в
системах с диэдральной группой симметрии D^ Показано, что уже в случаях
коразмерности 1 некоммутативность bq (при 42.У) приводит к двукратным
комплексным и вещественным мультипликаторам без жордановых клеток.
Первый случай реализуется для /^циклов (в этом случае может рождаться 3-тор,
"рассечённый" некоторым числом 2-торов). Двукратный вещественный
мультипликатор встречается при исследовании бифуркаций F- и АУ-циклов.
Отвечающая ему модельная система - частный случай "резонансной" модельной
системы, возникающей в упомянутой выше задаче о резонансе порядка q. Все
коэффициенты и параметр здесь - вещественны. Это обстоятельство позволило
провести полный бифуркационный анализ соответствующих модельных систем.
/Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинаре "Аналитическая теория обыкновенных дифференциальных уравнений," (МГУ,
1992); на VIII конференции "Качественная теория дифференциальных уравнении" (СГУ, Самарканд. 1992); на семинаре НИИ ПМК при ННГУ (Нижний Новюрод. 1993); н рамках семестра "CRM Fall Special Semester он Spatial and Temporal Dynamics" (Centre de Recherches Matheiuatiques. Umveisite de Montreal. Canada. 1993); на факультете Departemeiit rfe Mathematiques et de Statistique (Lniversite de Montreal, 1993); на коллоквиуме (Stafcolioquiuml (University of Groningeii. The Netherlands, 1993).
Публикации. По материалам диссертации опубликованы 4 работы: 1. ,\'ikolac\- Є.У. Он bifurcations of closed orbits in the presence <>*" ;—;U..„, r symmetry//Preprint. Institute of M^1—.::--1 їч«оіс"» ^ Z'.S.^\. Oai'! P!-3j.
> V'v.'.i j L. V. Geometrical features of a vector field with built-in an involution and bifurcations of a syiiuiietric limit cycle//Preprint. Institute of Mathematical Problems of Biology. ONTI. P.l-16. Puslichino: 1993.
-
Nikolaev E.V. Periodic motions in systems with a finite symmetry group//Preprint. Institute of Mathematical Problems of Biology. P. 1-29. Puslichino: 1994.
-
Николаев .B. Бифуркации предельных циклов дифференциальных уравнении, допускающих ннволютивную симметрию//Мат. сборник. I995.T. IS6(4).C. 143-160.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Работа изложена на 7S страницах машинописного текста, включающих 5 рисунков и список литературы и) 45 наименований.