Введение к работе
Актуальность темы.
В последние десятилетия возник целый ряд новых, неклассических. задач математической физики, приводящих к изучению спектральных свойств несамосопряженных операторов. Примером такой задачи может служить известная задача Бицадзе - Самарского [5,19] с нелокальными краевыми условиями для уравнения теплопроводности.
Исследования по спектральной теории обыкновенных дифференциальных операторов берут свое начало еще с классических работ Ж. Лиувилля, Ш.Штурма, а также более поздних работ Я.Д.Тамаркина [42], Дж.Биркгофа [4], В.А.Стеклова [41] и других авторов, в которых изучались вопросы асимптотики собственных значений и сходимости спектральных разложений для различных классов краевых задач.
На сегодняшний день в работах М.В.Келдыша [21] и многих его последователей достаточно хорошо изучена полнота систем корневых функций обыкновенных дифференциальных операторов в пространстве Li для обширных классов краевых задач. Кроме того, глубоко исследована асимптотика собственных значений и корневых функций.
После этих работ на первый план выдвинулась проблема базисно- стн систем корневых функций несамосопряженных дифференциальных операторов. На пути изучения этой проблемы Г.М.Кесельману [25] и В.П.Михайлову [37] удалось выделить класс краевых условии (усиленно регулярные, по терминологии Дж.Биркгофа), обеспечивающих базисность Рисса в Li систем корневых функций операторов произвольного порядка п. При этом существенной особенностью возникающих задач является простота всех собственных значений, за исключением их конечного числа. В случае же, когда последнее условие не выполняется, возникают большие трудности. Оказывается, что решить вопрос базисности системы корневых функций в такой ситуации, в силу неоднозначности ее построения, в терминах краевых условий принципиально невозможно.
Поэтому В.А.Ильиным была предложена новая трактовка корневых функций [14 - 16], которые определяются как регулярное реше-
нне соответствующего уравнения безотносительно к виду краевых условий. Такой подход обобщает классический и позволяет рассматривать также системы функций, не связанные какими - либо краевыми условиями. В рамках данного подхода все теоремы, в том числе, условия базисности, формулируются в терминах структуры спектра и в терминах соотношений между нормами корневых функций. Существенную роль при доказательстве различных теорем играют так называемые формулы среднего значения. Для операторов второго порядка впервые двусторонняя формула была получена Е.Титчмаршем [43], а ее односторонний аналог - В.В.Тихомировым [44]. Для корневой функции оператора произвольного порядка двусторонняя формула среднего значения была получена Е.И.Моисеевым [38]. Для операторов четного порядка с негладкими коэффициентами - И.С.Ломовым [32]. Односторонний же аналог этой формулы оыл установлен в первоначальном варианте В.Коморником [26], а затем в различных модификациях - В.Д.Будаевым [7,10], И.С.Ломовым [31], В.М.Курбановым [28,29].
Путь этот оказался очень плодотворным. Получены критерии базисности системы корневых функций на компакте [15,16], а также критерии безусловной базисности.
В диссертации сделана попытка обобщить этот подход на квадратичные пучки дифференциальных операторов, то есть рассмотреть ситуацию, когда спектральный параметр встречается не только в коэффициенте при самой функции, но и при ее первой производной. Заметим, что еще в семидесятых годах такой обобщенный подход впервые был применен В.А.Ильиным при рассмотрении пучков операторов [13,14], но в ситуации, когда спектральный параметр не встречается в коэффициенте при первой производной. Кроме того, в этих работах ставились задачи, не являющиеся предметом рассмотрения данной диссертации. Отметим, что ранее, в рамках классического подхода, квадратичными пучками дифференциальных операторов занимались многие авторы (в последние годы - А.А.Шкаликов, Г.В.Радзиевский, А.С.Печенцов, А.И.Вагабов и другие). Обзор результатов исследований спектральных свойств пучков дифференциальных операторов с регулярными краевыми условиями, зависяши-
ми от спектрального параметра, можно посмотреть в работах [12,46]. Там же указана более подробная библиография.
Согласно известной теореме Н.К.Бари [1], установление безусловной базисности данной системы {un}, в некотором гильбертовом пространстве Н, сводится либо к установлению бесселевости систем вида {un/||un[|} и {un'/||vn||}, где {v„} - система, биортогонально сопряженная к {ип} в этом пространстве Н, полноты и равномерной минимальности одной из этих систем, либо к установлению бесселевости, гильбертовости и минимальности системы {un/||un||}. Однако, в рассматриваемой ситуации построение сопряженной системы для системы корневых функций становится весьма проблематичным хотя бы потому, что теперь это уже не система корневых функций формально сопряженного пучка операторов. Поэтому особенно актуальной становится такая проблема спектральной теории, как изучение условий гильбертовости и бесселевости тех или иных систем в некотором гильбертовом пространстве Н. Видимо, первыми работами, где гиль-бертовость и бесселевость выделяется как самостоятельная проблема, являются работы В.А.Ильина [18] и В.А.Ильина и И.Йо [17].
Цель работы. Распространение подхода Ильина В.А. на изучение' квадратичных пучков дифференциальных операторов. Исследование свойств гильбертовости и бесселевости систем корневых функций квадратичных пучков дифференциальных операторов, а также некоторых двупараметрических систем. Изучение устойчивости этих свойств к малому возмущению параметров задачи.
Научная новизна. Все теоремы, доказанные в работе, являются
новыми.
Приложения. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в спектральной теории дифференциальных операторов, при исследовании задач математической физики, а также изучении обобщенных систем экспонент.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научном семинаре кафедры обшей математики МГУ под руководством академика В.А.Ильина, на Герценовских чтениях в РГПУ им. Герцена ( С. - Петербург ), на научном семинаре проф. А.М.Седлецкого и проф. В.В.Власова ( мех. - мат. МГУ ), в Смоленском государственном педагогическом университете на семинарах профессора В.Д.Будаева, на международном семинаре и конференции в СГПУ.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 7 работах автора, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на двенадцать параграфов, и списка литературы, содержащего 56 наименований. Объем работы составляет 99 страниц.