Введение к работе
- 1 -
Актуа/ІЬНОСТЬ Т8МЫ. На основе обобщенных функций ( распреде -лений) Л.Шварца И.М.Гельфандом было введено понятие обобщенного случайного процесса. Используя секвенциальный подход, К. Урбаником была предложена своя трактовка обобщенных случайных процессов. Но поле их применимости в задачах квантовой механики, теории нелинейных колебаний и др. ограничивалось из-за того, что такие процессы приспособлены к линейным задачам и, вообще говоря, не допускают умножения.
В денной работе рассматриваются дифференциальные уравнения в алгебрах обобщенных случайных процеосов. Пространства обобщенных случайных процессов, допускающих умножение, были построены в последние годы в работах Лазаковича Н.В. на основе интенсивно развивающейся теории мнемофункций (нелинейных обобщенных функций). Так"е конструкции позволяют естественным о позиций неслучайного анализа образом исоледовать решения не і только классических нелинейных дифференциальных уравнений со случайными функциями и стохастических дифференциальных уравнений, но и новых классов дифференциальных уравнений со случайными функциями. Поэтому тематика исследований в втом направлении является актуальной.
Связь работы с крупными научными программами, темами.
Исследования проводились на кафедре функционального анализа в рамках госбюджетной научной темы " Дифференциальные и операторные уравнения в топологических векторных пространствах" N 01910055396 27.29 Белгооуниверситета.
Работа была поддержана Фондом фундаментальных исследований Республики Беларусь и Международной Соросовской Программой Образования в области точных наук.
ЦбЛЬ И Задачи исследования. Целью диссертационной работы является построение алгебр обобщенных случайных процеооов и приложение полученных результатов к исследованию стохаотических дифференциальных уравнений.
Научная новизна полученных результатов заключается в
следующем:
-елементами прямого произведения алгебр обобщенных случайных
процессов аппроксимированы стохастические интегралы Ито по
броуновскому движению и интегралы от пувосоновского случайного процесса. Установлено, что результат аппроксимации зависит от виде обобщенного случайного процесса;
доказаны теоремы существования и единственности решения задачи Коши в прямом произведении алгебр обобщенных случайных процессов:
в прямом произведении алгебр обобщенных случайных процессов найдены ассоциированные в смысле Ито решения дифференциальных уравнений, содержащих обобщенный случайный процесс броуновокого движения и обобщенный пуаосоновский случайный процесс.
Практическая ЭНаЧИМОСТЬ ПОЛучеННЫХ реэу/lbTaTOB. Работа имеет теоретический характер. Полученные результаты могут быть применены к исследованию решений линейных и нелинейных дифференциальных уравнений со случайными функция? м и стохастических Дифференциалі ых уравнений.
Основные положения диссертации, выносимые на защиту.
1. Аппроксимация стохастических интегралов Ито по
броуновскому движению и интегралов от пуассонсвского случайного
процесса елементами прямого произведения алгебр обобщенных
случайных процессов.
-
Теоремы существования и единственности решения задач Коши в прямом произведении алгебр обобщенных случайных процессов.
-
Ассоциированные в смысле Ито решения дифференциальных уравнений, содержащих обобщенный случайный процесс броуновского двикешія и обобщенный пуассоновсюїй случайный процесс в прямом произведении алгебр обобщенных случайных процессов.
ЛИЧНЫЙ ВКЛаД соискателя. Все основные результаты, приводимые в диссортацион"ой работе, получены автором лично. Из результатов, опубликованных совместно о Лазаковичем Н.В., автору выносимой на защиту диссертации принадлежат результаты, связанные о аппроксимацией в прямом произведении алгебр обобщенных случайных процессов стохастических интегралов по броуновскому движению, понимаемых в смысле Ито, а также с отысканием ассоциированных в смысле Ито решений дифференциальных уравнений,' содержащих обобщенный пуассоновсюїй случайный процосс и обобщенный случайный процесс броуновского движешш.
Апробация результатов ДИССертаЦИИ. Основные результаты
диссертации докладывались на Воронежской весенней математической школе " Понтрягинские чтения - IV " , посвященной 85 - летию со дня рождения Л. С. Понтрягина (3-8 мая 1993 года ), на Международной математической конференции, посвященной 25 - летию Гомельского университета имени Ф. Скорины " Проблемы математики и информатики " ( г. Гомель, 1994 г.), на Республиканской нвучно -методической конференции, посвященной 25 - летию факультета прикладной математики и информатики ( г. Минск, 10 - 14 апреля 1995 г.), Международной конференции " Краевые задачи, специальные функции и дробное исчисление ", посвященной 90 - летию со дня рождения академика Ф.Д.Гахова ( г. Минск, 16-20 февраля 1996 г.)
ОпубЛИКОВаННОСТЬ результатов. По теме диссертации подготовлено к публикации 15 печатных работ. Из них 5 являются тезисами докладов на международных и республиканских математи -ческих конференциях, 2 - депонированные научные работы, 3 опубликованы и 4 приняты к печати в научных периодических изданиях Республик» Беларуоь и Российской Федерации.
Структура И Обген диссертации. Диссертация состоит из перечня условные обозначений, введения, общей характеристики работы, трех глав, выводов и списка используемых источников, включающего 93 названия. Общий объем диссертации составляет 103 страницы.