Введение к работе
Актуальность теми. Теория сингулярно возмущенных уравнений начала свое интенсивное развитие около 40 лет назад, начиная с работ А.Н.Тихонова, связанных с качественной теорией обыкновенных дифференциальных уравнений с малыми параметрами при производных. Им доказана теорема о предельном переходе, устанавливающая связь между решением вырожденной задачи и решением исходной начальной задачи для нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
С тех пор сингулярно возмущенные уравнения привлекают внимание многих исследователей, что объясняется их большим прикладным значением в таких областях, как теория нелинейных колебаний, теория автоматического регулирования, гидродинамика, химическая,, кинетика, тепло- и массоперенос и др. К настоящему времени развит ряд асимптотических и численных методов, позволяющих получать приближенные решения различных сингулярно возмущенных задач.
В работах Н.Левинсона и О.А.Олейник были доказаны первые теоремы о предельном переходе для уравнений в частных производных. В 50-х годах А.Б.Васильевой было построено асимптотическое разложение для решения начальной задачи, исследованного А.Н.Тихоновым, и ряда краевых задач. М.И.Вишиком и Л.А.Люстерником был разработан общий подход к построению асимптотических разлом жений решений линейных сингулярно возмущенных уравнений в частных производных. Метод построения асимптотики, разработанный.в работах А.Б.Васильевой для обыкновенных дифференциальных уравнений и работах М.И.Вишика и Л.А.Люстерника для уравнений в частных производных, получил название метода пограничных функций. Метод получил дальнейшее развитие во многих последующих
работах, в частности, В.Ф.Бутузовым была разработана процедура введения угловых пограничных функгий при построении асимптотических разложений решений дифференциальных уравнений в частных производных в областях, границы которых содержат угловые точки.
Крупное направление в теории сингулярных возмущений связано с работами Л.С.Понтрягина, Е.Ф.Мшценко, Н.Х.Розова, сыгравшими важную роль в развитии теории релаксационных колебаний. Среди других направлений следует отметить методы типа ВКБ, развитые в работах В.П.Маслова и его учеников, метод регуляризации С.А.Ломова, метод сращивания, получивший обоснование в работах А.М.Ильина и его учеников. Число работ по теории сингулярных возмущений и ее приложениям так велико, что не представляется возможным назвать даже наиболее существенные из них.
Данная диссертация посвящена развитию метода пограничных функций применительно к сингулярно возмущенным задачам типа "реакция-диффузия-перенос". Малый параметр может входить в уравнения такого %гаа различным образом в зависимости от соотношения между скоростями химических реакций, диффузии и переноса. При исследовании таких сингулярно возмущенных задач нередко какие-то члены асимптотики определяются как решения уравнений в частных производных первого порядка, в результате чего они оказываются негладкими или даже разрывными на характеристике, выходящей из угловой точки границы. В такой ситуации стандартный метод пограничных функций не работает. Для построения гладкой асимптотики применяется процедура сглаживания, которая была разработана В.Ф.Бутузовым и его учениками и успешно применялась к ряду скалярных задач. В реальных химических процессах участвуют два или более веществ, поэтому естественно встает задача распространения результатов, полученных для скалярных уравнений, па систему уравнений.
Поль работы. Получить к обосновать асимптотические представления для решений систем сингулярно возмущенных уравнений типа "реакпия-диффузия-перенос" при различной расстановке малого параметра в уравнениях системы.
Методика исследований. При построении асимптотик решений стандартный метод пограничных функций не работает, требуется определенная его модификация. Используемая модификация основана на процедуре сглаживания негладких членов асимптотики, разработанной ранее для скалярных уравнений такого типа.
Оценки остаточных членов проводятся методом последователь-I
ннх приближений с использованием барьерных функций.
Научная новизна. Основные результаты диерерташи являются новыми и состоят в следующем.
Построены и обоснованы асимптотические представления реше-0 ний сингулярно возмущенных задач типа "реакция-диффузия-перенос" для трех различных случаев расстановки малого параметра в уравнениях системы, в каждом из которых построение асимптотики решения и доказательство оценки остаточного члена имеет свои особенности. Следует отметить, что для систем, в отличие от скалярных уравнений, появляются новые моменты в алгоритме построения асимптотики и существенно усложняется задача получения оценки остаточного члена, особенно для полулинейных систем.
Таким образом, основным результатом диссертации является развитие метода пограничных функций применительно к сингулярно" возмущенным системам типа "реакция-диффузия-перенос".
Приложения. Полученные в диссертации результаты представляют как теоретический, так и практический интерес. Методы и процедуры, использованные при построении асимптотик и при доказательстве оценок остаточных членов, могут применяться в дальнейших исследованиях сингулярно возмущенных систем.
Системы указанного типа находят практическое применение в качестве математических моделей при описании различных физических, химических и биологических процессов. Результаты диссертации дают возможность получать приближенные решения таких систем путем сведения их к более простым задачам и исследовать качественно структуру решений.
Аппробация работы. Результаты диссертации докладывались на научных семинарах: по теории сингулярных возмущений под руководством А.Б.Васильевой и В.Ф.Бутузова на (физическом факультете МГУ, по качественной теории дифференциальных уравнений под руководством В.А.Кондратьева, В.М.Миллионщикова, Н.Х.Розова на механико-математическом факультете МГУ, на Всесоюзной конференции "Асимптотические методы теории сингулярно возмущенных уравнений и некорректно поставленных задач" /г. Бишкек, 1991 г./.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы а трех работах, список которых приведен в конце автореферата.
Структури диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разделенных на параграфы, и списка литературы, содержащего 35 наименований. Общий объем диссертации 100 страниц.