Введение к работе
"" . . .
Актуальность темы. В основе современной асимптотической теории линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений лежат исследования А.М.Ляпунова, изложенные в его монографии "Общая задача об устойчивости движения". И, как известно, одним из аффективных инструментов изучения асимптотики решений таких систем является математический аппарат,-разработанный в рамках теории характеристических показателей.
Многомерность области определения решений вполне разреши-пых дифференциальных систем обуславливает различные подходы к -обобщению понятия характеристического показателя Ляпунова.В ра-' ботах Э.И.Грудо и П.Г.Лзсого для фуакций,определенных на положительном октанте. &f ,была разработана теория характеристических векторов и применена к исследовании пфаффовых систем. И.В.Гайшун обобщил некоторые аспекты этой теории на случай банаховых пространств.Другой подход к обобщений понятия характеристического показателя Ляпунова на многомерный случай был предложен М.В.Кожеро. Им были введены в рассмотрение слабый и сальный верхние показатели и исследованы их основные свойства*
Характеристические векторы и слабые (сильные) верхние показатели, а также другие асимптотические характеристики линейных систем являются инвариантами преобразования Ляпунова.И, в частности,асимптотические характеристики приводимой системы будут такими же как у соответствующей системы о поотоянныш коэффициентами .Это замечание, разумеется, не иочерпываег всех.трудностей исследования приводимых оиотем, поскольку, во-первых.далеко не просто определить«является ли данная сяотема приводимой, а во-вторых, если даже факт приводимости известен заранее (как, например,в случае периодических коэффициентов), все же оотаетса
неизвестным само преобразование,равно как и получаемая в результате него стационарная система.
В диссертационной работе этот вопрос решается для линейных систем с функционально-коммутативным оператором, а также исследуется влияние специальных возмущений на асимптотические характеристики систем Лаппо- Данилевского.
Цель работы. Получение коэффициентных необходимых и достаточных условий приводамооти линейных систем с функционально-коммутативным оператором и изучение влияния специальных возмущений на асимптотические характеристики систем Лаппо-Данилевского.
Методика исследования. Методика, используемая в диссертации, основана на общих и специальных способах изучения дифференциальных систем и базируется прежде всего на теории характеристических показателей Ляпунова при рассмотрении линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений и на теории характеристических векторов при рассмотрении,многомерных линейных дифференциальных уравнений.
Научная новизна. По'лучены новые условия,при которых Еозму-щення не влияют на асимптотические свойства системы Лаппо-Данилевского, а также условия,при которых те или иные асимптотические характеристики изменяются в результате действия возмущения,однако- при этом остается известными. Установлены необходимые и достаточные условия приводимости линейных систем с функционально-ком-мутатшшым оператором.
Теоретическая и практическая ценность. Изучение асимптотических свойств' линейной системы сводится к изучению асимптотических свойств упрощенной, в том или ином смысле, системы.
На защиту выносятся"следующие «результаты: - теоремы об асимптотических инвариантах систем с функционально-коммутативным оператором при специальных возмущениях;
теореми об аоимптотических инвариантах систем Лаояо-Даїшле-вского при специальных возмущениях;
необходимые и достаточные уоловия пряводимоотя оисгем с фун-кционально-комглуігагивннм оператором»
Апробация. Основные результаты дяооертации докладывалиоь в институте математики АН Беларуси, на межреспубликанской конференции творческой молодежи ( Минск, 1992), на научной конференции математиков Беларуси ( Гродно, 1992) и на математической конференции, посвященной 200-летиг со дня роддения Н.И.Лобачевского ( Минск, 1992).
Публикации. Основные результаты выполненных исследований представлены в работах / I - 5 /.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав и списка цитированной литерагуры,вклв-чающего 107 наименований. Объем работы составляет //р страниц машинописного текста.