Введение к работе
Многочисленные процессы в физике, механике, химии, биологии и т.д. описываются с помощью дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр с.
Поскольку лишь в исключительных случаях удается получить точное решение таких уравнений, то приходится прибегать к различным приближенным методам интегрирования. Весьма эффективными методами приближенного интегрирования таких уравнений являются асимптотігческие методы, в основе которых лежит идея разложения искомого решения в ряд по степеням малого параметра. В настоящее время существует обширная литература, посвященная исследованиям в этой области. Это работы Д.Бнркгоффа, А.Шлезингера, Я.Д.Тамаркипа, Р.Фаулера, Локка, В.Тржитзинского, В.Вазопа, В.С.Пугачева, Х.Территина, Р.Сибуя, С.Ф.Фещенко, Н.И.Шкиля, Н.Н.Моисеева, И.С.Градштейна, И.М.Рапопорта, М.В.Федоргока, К.А.Абгаряна, Г.С.Жуковой, И.И.Старуна, Ю.А.Митропольского, А.Н.Тихопова, С.А.Ломова, А.Б.Васильевой и' многих других апторов. В частности, в работах С.Ф.фещенко, Н.И.Шкиля и их учгникоп всесторонне исследованы системы типа (4) в случае k = l, услопии, что te[0,L[, где L— конечное число, при этом собственные значения матрицы Р„(г,^) могут быть как простыми, так и кратными. С этими исследованиями тесно связаны исследования А.Пуанкаре, Н.П.Еругина, Н.Левннсона, Ф.Хартмана, И.Т.Кигурадзе, А.В.Костина и других апторов, которые изучали поведение решений линейных систем при t ~> +». Актуальность темы. Темой настоящей диссертации является нахождение асимптотических представлений при «-+0. te Объекты исследования I. Изучается вспомогательная квазилинейная система дифференциальных уравнений вида Ak^r = Q(f,«) + P(r.ff)X+F(r,(r,X), (1) которая удовлетворяет следующим условиям: I/е — малый параметр, є el = ]0,so]r= a, teA = [0,+oc[, гєД, keNu, XeG1 = {X:XeC"',JX|Sa}, Q(r,)6C{D,C"}f P(i,)C{d,C"'}, F(r,,X)6C{G>C-'}, где 0 = ДхІ, G=DxG„ „ieR,. II/ существует F^(r,, X) єC(G) (F^ — матрица Якоби для вектор — функции F) такая, что |F^(r,f,X)|sL(a)eR,, L(a)-»0 (а->0), где L(aJ — некоторая скалярная функция, III/ имеют место асимптотические разложения при —> О, X—> О »=1 **V Г(т,е,Х)* F,.(r,)XK = F'(r.t\X), K = (k„....k.). |K| = kl+...+lc.. X* =xf'...x:-, FK=(FK1(r),...,Fjr))T, FK(r,e) = SFK,(TK = F:(r,) (|K|22), причем Q.(0,P.(r),F>u(r)eC-{A) (seNu,|K|a2), ' (2) d'Q. dr" |d*P,| И M dr" d-Fj dr" где считаем Q„( г) s 0 , IV/ inf [detP0(r)|>0, V/ собственные значения матрицы РДт) ЯГ)(х) \j = l,n) удовлетворяет условию П: infJRea'p.(r>|>0 (і = Г»)- Выполнение условий (2) и (3) условимся записывать в дальнейшем кратко - Q,(r), P.tO.F^r) бМ (seN„; |К|г2). 2. Изучается линейная однородная или неоднородная система вида ^'^EPj^VQ^UdexpJ^dt (lc=u). (4) где е - малый параметр, eel, r=it,teA, геЛ, Yk eС'"1 (mk >l;k = l,n), Pkj(r,t-)6C(D,C"""') (k.j^iTn). Qk(r.)6C(D.C"'"')(k = rn), A(r,i)sC(D,C), и имеют место асимптотические разложения при е-»О t=U 3. Изучается линейное однородное или неоднородное дифферен L^'pJr,t)~j-H-pJr,*)—f + q(r,*')exPj—^—dt = 0. №Q "l ou-k ^t T fc где k e{l, ..,n-l}, eel, r=it, tea, rei, p„ -1, pm(r,f)6C(D,C) (m = 0^n). q(r,f)eC(D,C), Цель диссертации Исследовать вопрос о существовании и об асимптотическом характере формального частного решения (в виде ряда но степеням параметра в) квазилинейной системы (I) (задача А). Исследовать вопрос о существовании и об асимптотическом характере формальних частных решений линейной однородной системы (4) (Qk =0,k = 1,п), отвечающих простым собственным значениям некоторих матриц Рио( г) (k = n,...j) (задача В). (5) 3. Исследовать вопрос о существовании и об асимптотическом 4. Исследопать задачи В и С для уравнения (5). Методика исследования. Используются результаты работы К.П.Персидского, работы С.Ф.Фещенко и Н.И.Шкиля. работы Л.В.Костина, а также специальный метод последовательных приближений. Научная кошелка работы заключается в следующем. Известная теорема К.П. Персидского о приведении линейной однородной системы к почти диагональному виду распространяется на случай линейной однородной системы г медленно меняющимися коэффициентами. ГС случае квазилинейной системы (1) разработан эффективный метод исследования задачи А. Для линейной однородной системы (4) (Qk = 0,1с - l.n) разработан эффективный метод исследования задачи В. 4. В случае линейной неоднородной системы (4) разработан При этом основное внимание уделяется изучению случая, когда промежуток изменения аргумента является бесконечным. Теоретическая ценность. Диссертация носит характер фундаментально-теоретического исследования. С помощью результатов диссертации могут быть рассмотрены задачи аналогичного типа для более общих чем (4) типов линейных дифференциальных систем, а также для" дифференциально —разностных и интегро-дифференциальных уравнений. Практическая ценность. Полученные результаты могут иметь приложения в различных областях естествознания: теоретической физике, механике, теории упругости и т.д. Апробация работы. Материалы диссертации обсуждались на научном семинаре кафедры высшей математики Одесского государственного униперситета (научный руководитель — проф. Костин А.В.), на расширенных заседаниях Института Прикладной Математики им. И.Н.Векуа АН Грузии (1992 г.), а также на ежегодных отчетных конферен- циях профессорсхо — преподавательского состава Одесского государ — стпенного университета. Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [ I — б ). Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из списка иекотормх вспомогательных обозначений, введения, трех глав, содержащих 15 параграфов, и списка литературы, включающего 68 наименований.
циальное уравнение айда
характере формальною частного решения линейной неоднородной системы
|4) (задача С).
оффектпшгый метод исследования задачи С.