Введение к работе
Актуальность темы. Многие современные математические модели механики сплошной среды приводят к изучению нелинейных систем дифференциальных уравнений с частными производными. Как правило, это системы составного типа, обладающие рядом особенностей. Этими особенностями рассматриваемых систем уравнений обусловлены, с одной стороны, специфические свойства их решений, а с другой - отсутствие общих методов и подходов к их изучению. В то же время, априорное (до решения) знание качественных свойств решений совершенно необходимо для построения алгоритмов их численных расчетов, для правильного понимания рассматриваемых физических процессов. К такому классу моделей относятся и широко распространенные модели фильтрации несмешивающихся жидкостей, которые используются для расчетов при проектировании и эксплуатации нефтяных и газовых месторождений.
Целью работы является исследование корректности и изучение свойств решений некоторых начально-краевых задач теории фильтрации несмешивающихся несжимаемых жидкостей.
Состояние вопроса. В работах С. К. Антонцева, В. Н. Монахова и А. Н. Коновалова были даны основные постановки краевых задач двухфазной фильтрации. Для многомерного нестационарного процесса в [1] доказано существование обобщенного в слабом смысле решения, выяснены условия отсутствия в течении зон с остаточными значениями насыщенности (регулярная задача). Здесь же исследован., дифференциальные свойства регулярной задачи; в случае, когда коэффициент при старшей производной является выпуклой функцией, показана гладкость решений вырождающейся задачи и получены условия существования сильного решения. Кроме этого доказана конечная скорость распространения возмущений и конечное время стабилизации решений.
Исследованию плоский регулярной задачи посвящены также работы С. Н. Кружкова и С. М. Сукорянского.
Позднее в работах С. Н. Антонцева была доказана теорема
единственности в целом по времени для вырождающейся задачи, асимптотика при |Г|-«ю регулярной и вырождающейся задач в плоском случае (последний результат носит условный характер, так как существование обобщенного решения не доказывается), устойчивость решений по начальным и граничным данным.
Наиболее полно изучены задачи.двухфазной фильтрации в одномерном случае, приводящие к одному вырождающемуся параболическому уравнению. В работе [2] впервые доказана разрешимость и непрерывность первой краевой задачи и задачи Коши, а затем в работах Н. В. Хуснутдиновой были изучены также сходимость к автомодельному решению и конечная скорость распространения возмущений.
В последнее время для одномерной фильтрации изучаются и другие постановки краевых задач, например, задача с сосредоточенной емкостью, задачи с заданным перепадом давления. Для этих задач в работах ряда авторов доказывается разрешимость и исследуются некоторые свойства решений.
Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты:
I. Доказана разрешимость регулярной и вырождающейся задач
Ковш в трехмерном и плоском случае и исследовано асимптоти
ческое поведение решений втих задач для трехмерных областей.
II. Исследована корректность краевой задачи для области
из R (П22) с вырождением другого типа (коэффициент при
старшей производной в параболическом уравнении на решении
обращается в ноль и бесконечность). Изучены свойства реше
ний: гладкость, устойчивость по начальным и граничным дан
ным.
III. Дано теоретическое обоснование предельного перехода
по малому капиллярному давлению от модели Маскета-Леверетта
к модели Баклея-Леверетта в неограниченной области в плоском
случае. Дана оценка близости решений двух моделей по капил
лярности.
IV. Доказана разрешимость одномерных краевых, задач с ус
ловием симметрии для потоков: 1) с заданным перепадом давле
ния, 2) с заданным расходом одной из фаз на эксплуатационной
скважине. Показано, что при стремлении капиллярного давления к нули решение этих задач сходится к решению модели Баклея-Леверетта.
V. Исследована асимптотика при t-»t» одномерных краевых задач .двухфазной фильтрации в выровдающемся случае.
Методика исследования. Доказательство теорем существования проводилось с помощью построения некоторых вспомогательных задач с последующим предельным переходом. Для изучения качественных свойств решений использовались методы интегральных оценок и барьерных функция. При обосновании и выводе научных положений были использованы известные оценки решений линейных и квазилинейных эллиптических и параболических уравнений, а такие методы теории вырождающихся параболических уравнений и нелинейных краевых задач, развитые в работах 0. А. Ладыженской, 0. А. Олейник, С. К. Кружкова, С. Н. Ан-тонцева, В. Н. Монахова, Н. В. Хуснутдиновой и других авторов.
Теоретическая и практическая ценность. Полученные в диссертации результаты носят теоретический характер. Они могут .служить обоснованием для применения соответствующих моделей и численных методов к решению практических задач двухфазной фильтрации.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на научной студенческой конференции в г.Новосибирске (1985), на Всесоюзной школе "Оптимальное управление, геометрия и анализ" (г.Кемерово, 1986), на Тії Всесоюзной школе по качественной ті ,рии дифферегциальных. уравнений ' гидродинамики (г.Барнаул, 1989), на семинарах "Краевые задачи механики сплошной среды" в Институте гидродинамики СО .РАН под руководством профессора В. Н. Монахова, на семинарах лаборатории фильтрации Института гидродинамики СО РАН под руководством профессора С. Н. Антонцева.
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [I - IV].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 52 на-