Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Асимптотический анализ сингулярно возмущнных начальных задач на полуоси для линейных и слабо нелинейных неавтономных систем ОДУ c периодической матрицей 17
1.1. Введение 17
1.2. Анализ сингулярно возмущенной задачи Коши для систем при наличии предельного оператора простой структуры 18
1.3. Изучение сингулярно возмущенной задачи Коши для систем при наличии предельного оператора полупростой структуры 24
Глава II. Спектральный асимптотический метод исследования сингулярно возмущенных задач на полуоси для систем ОДУ с полиномиальной матрицей 35
2.1. Введение 35
2.2. Исследование сингулярно возмущнных задач для систем при наличии предельного оператора простой структуры 35
2.3. Анализ сингулярно возмущнных задач для систем при наличии предельного оператора полупростой структуры 41
Глава III. Исследование устойчивости решений сингулярно возмущнных линейных и слабо нелинейных систем ОДУ с нормальной и почти нормальной матрицей 51
3.1. Введение 51
3.2. Анализ сингулярно возмущнных неавтономных линейных и слабо нелинейных систем ОДУ с нормальной или «почти нормальной» матрицей 52
3.3. Исследование сингулярно возмущнных неавтономных систем с нелинейными нормальными матрицами 62
Заключение 71
Литература
- Анализ сингулярно возмущенной задачи Коши для систем при наличии предельного оператора простой структуры
- Изучение сингулярно возмущенной задачи Коши для систем при наличии предельного оператора полупростой структуры
- Исследование сингулярно возмущнных задач для систем при наличии предельного оператора простой структуры
- Анализ сингулярно возмущнных неавтономных линейных и слабо нелинейных систем ОДУ с нормальной или «почти нормальной» матрицей
Анализ сингулярно возмущенной задачи Коши для систем при наличии предельного оператора простой структуры
В отличие от [9-11,36-39] предложен асимптотический метод исследования поведения решения указанных систем (1.1.1) и (1.1.2) на всей полуоси с описанием структуры экспоненциального пограничного слоя в окрестности точки t = 0.
В работе приведены достаточные условия асимптотической устойчивости (и устойчивости) тривиального решения указанных сингулярно возмущнных линейных и слабо нелинейных задач с Г-периодической матрицей, что является развитием или уточнением известных ранее результатов.
Для слабо нелинейных сингулярно возмущнных неавтономных систем указанного класса доказанные в диссертации теоремы можно считать обобщением известной теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости по первому приближеннию и метода расщепления [30] на более широкий класс сингулярно возмущнных неавтономных систем. Так как материал диссертации посвящены изучению сингулярно возмущенных задач на полуоси, то желательно привести основные определения теории устойчивости.
Предложен конструктивный алгоритм приведения класса сингулярно возмущнных начальных задач для неавтономных систем ОДУ с Г-периодической матрицей к более простым системам с почти диагональной Г-периодической матрицей, что существенно облегчает анализ поведения решения таких систем на полуоси, позволяя сформулировать и доказать достаточно конструктивные условия асимптотической устойчивости (или устойчивости) их решения.
Перед изложением основных результатов первой главы сформулируем вспомогательное утверждение.
Диагональные fc(t) и бездиагональные матрицы Hkt (к = 1JV) однозначно определяются с помощью итерационного алгоритма изложенного ниже, а оценка (#+і(, Ю — проверяется прямым вычислением.
Доказательство теоремы 1.2. После невырожденной Г-периодической замены х = S0(t)y система (1.1.4) принимает вид y = Bt,y + hy,t,, у0,Е=у0 , flt,=Ao(t+S flfctfc, а невырожденное при достаточно малых О Г-периодическое преобразование у = H(N(t, E)Z приводит к нужному результату (1.1.6), если матрицы Bt,E, H{Nt, и Q(t,E) удовлетворяют дифференциальному матричному уровнению то при выполнении условия A тривиальное решение сингулярно возмущнной задачи (1.1.6) и эквивалентной ей задачи (1.1.4) при всех достаточно малых (0 є є0) асимптотически устойчиво.
Доказательство теоремы 1.3.
Так как выполнено условие A, то задача (1.1.4) разрешима на полуоси t 0 для достаточно малых отклонений х0 77 , а значит таким же свойством обладает и задача (1.1.6), причем е решение z(t, є) удовлетворяет неравенству1 z(t, R0 Vt,e Є {t 0 X 0,0L 0 0 - достаточно мало, R0 — постоянная, не зависящая от Є (0, 0]. С учетом леммы 1.1
Всюду далее, если это не вызывает недоразумений, ограничивающую константу будем обозначать одной и той же буквой R0 . запишем дифференциальное равенство для квадрата евклидовой нормы решения сингулярно возмущнной задачи (1.1.6) что приводит к оценке нормы решения сингулярно возмущнной задачи (1.1.6) z(t,e) z0 expi- t/є + a(t) - 0 (t - +oo), откуда следует асимптотическая устойчивость тривиального решения задачи (1.1.6) и эквивалентной ей задачи (1.1.4). Теорема 1.4. Пусть сингулярно возмущнная линейная задача Коши EX=A(t,EX + f(t,E, х0,=х0 , (1.1.8) где матричный ряд Аґ,є = %Ak(tk и векторный ряд ft,e = ofk(tek из Г-периодических достаточно гладких функции Ак(і и fkt сходятся абсолютно и равномерно по некоторой норме при достаточно малых
Изучение сингулярно возмущенной задачи для систем при наличии предельного оператора полупростой структуры
Возникает ряд дополнительных трудностей при анализе сингулярно возмущнных слабо нелинейных задач вида (1.1.4) при наличии у матрицы A0(t) полупростой структуры [25] (т.е эквивалентной диагональной матрице вида 0t = diag01(t,. . .,0p(t, o; (t = Ao; tE, (/ = l,p)) или более сложной структуры со стабильным кратным спектром. Условия стабильности спектра переменного оператора, если говорить коротко, обеспечивают такое же поведение спектральных характеристик переменного оператора (равномерно по независимой переменной), как и в случае постоянном оператора [36].
В этом случае дальнейшее расщепление системы вида mX=At,x + mfx,t, Х0,=Х0 (1.1.14) возможно только при степени сингулярности больше двух (т 2) и при дополнительных ограничениях на структуру спектра предельного оператора. Мы ограничимся изучением сингулярно возмущнных задач вида (1.1.14) только для случая т = 2. Теорема 1.5 Пусть для сингулярно возмущнной слабо нелинейной задачи Коши вида 82x = At,8x + 82f(x,t, х0,г=х0 (Х,/ЁГ, (1.1.15) где матричный ряд At,e = %Ak(tEk из Г-периодичеких достаточно гладких матриц Akt сходятся абсолютно и равномерно при достаточно малых є О по некоторой норме и векторная функция f(x, t) является достатачно гладкой по обоим переменым в области П = х R , t 0 .
Изучение сингулярно возмущенной задачи Коши для систем при наличии предельного оператора полупростой структуры
В отличие от известного [29,53] разработан алгебраический спектральный метод анализа сингулярно возмущенных задач на полуоси для систем ОДУ с полиномиальной матрицей и предложен конструктивный метод построения квазирегулярной асимптотики их решения и сформулированы достаточно условия устойчивости и асимптотический устойчивости, что является развитием метода расщепления.
Исследование сингулярно возмущнных задач для систем при наличии предельного оператора простой структуры Теорема 2.1 Пусть сингулярно возмущнная задача Коши для слабо нелинейных системы ОДУ с полиномиальной матрицей вида EX = tmA(tx + fx,t , x(t0 = х0 (2.2.1) (Х,/ЁГ, t t0 1 , m 0 , где матричный ряд At = oAkt k сходятся абсолютно и равномерно по некоторой норме при некотором t t0 1 и спектр {Я0;] матрицы А0 простой структуры удовлетворяет неравенствам
Диагональные к(є) и бездиагональные матрицы Нк(є) определяются с помощью итерационного алгоритма, и оценка G(iV+rn+1 (t, г) С проверяется прямым вычислением. Доказательство теоремы 2.1 После невырожденной замены х = S0y (которая всегда существует в условиях теоремы) сингулярно возмущнная система (2.2.1) приводится к виду єу = tmBty + Eq(y,i , yto = уо , B{t = 0 + TiBkt k , позволяя после еще одного невырожднного при достаточно больших t t0 1 полиномиального преобразования у = H{Nt,z получить нужный результат (2.2.2) в том случае, если матрицы Bt, H{N{t, и Q(t,e) удовлетворяют дифференциальному матричному уровнению что и доказывает устойчивость тривиального решения однородного (д ЕЕ 0) сингулярно возмущнной системы (2.2.2) и эквивалентной ей однородной (/ ЕЕ 0) системы (2.2.1) при наличии экспоненциального пограничного слоя в окрестности точки t = t0. Теорема 2.3 Пусть в условиях теоремы 2.1 сингулярно возмущнной задачи Коши где матричный ряд At = YSAkt k и векторный ряд ft = fkt k сходятся абсолютно и равномерно по некоторой норме при достаточно больших t t0 1 и спектр матрицы А0 удовлетворяет неравенствам
Матричные функции Hmit,e и A(N(t,) определяются однозначно итерационным методом. Доказательство теоремы 2.3 проведм при т = 0. Найдем частичную сумму w(iVt, = о wk et_/c (аналог частного решения системы (2.2.5)), которая определяется при непосредственной подстановке W(W (t, є) в систему 2.2.5 (без учета начальных условий):
Докажим ограниченность решения p(t,s) сингулярно возмущнной задачи (2.2.10) при Vt 0 и достаточно малых є. Для этого запишем дифференциальное неравенство (с учетом леммы 1.1) для квадрата евклидовой нормы решения p(t, є) сингулярно возмущнной задачи (2.2.10) откуда получим оценку у = u(t, EvQ(t, є e — uQ + — е ъ - e t0 C, что завершает доказательство оценки и теоремы 2.3.
Анализ сингулярно возмущнных задач для систем при наличии предельного оператора полупростой структуры «Блочно-диагональные» к(є) и «блочно-бездиагональные» матрицы Нк(є) определяются с помощью итерационного алгоритма, и оценка 6(iv+m+i( ) — проверяется прямым вычислением. Доказательство теоремы 2.4 аналогично доказательству теоремы 2.1 и нами опускаемся.
Сингулярно возмущнная система (2.2.12) почти распадается с точности до 0(t N m) на р подсистем меньшей размерности, для исследования каждой из них требуется выполнение дополнительных условий.
Диагональные матрицы Ак(є и бездиагональные матрицы Нк(є) однозначно определяются с помощью итерационного алгоритма, и оценка 6(iv+m+i;( С проверяется прямым вычислением. Замечание «Блочно диагональные» матрицы Рк(є) и «блочно бездиагональные» матрицы Нкє (k = l,N) однозначно определяются с помощью итерационного алгоритма, и оценка G(w+m+i(t ) С проверяется прямым вычислением. Доказательство теоремы 2.7 После невырожденной замены х = S0(t)y сингулярно возмущнная система (2.2.16) приводится к виду єу = tmBty + hy, t , уt0, E = y0 , Bt = F0 + TiBkt k , позволяя после еще одного невырожденного при t t0 1 полиномиального преобразования y = Hm(t,)z получить нужный результат (2.2.17), если матрицы B(t), H (t,s и Q(t,s) удовлетворяют дифференциальному матричному уровнению
Изучение линейных и слабо не линейных сингулярно возмущнных задач с нестабильным спектром предельного (г = 0) оператора вызывает принципиальные трудности особенно при анализе поведения их решения на полуоси.
В третьей главе предложен отличный от ранее известного [8-10,51,58] метод исследования устойчивости различных классов сингулярно возмущнных линейных и слабо нелинейных систем ОДУ с нормальной или почти нормальной матрицей (в предположении существования тривиального решения исследуемых сингулярно возмущнных нелинейных систем в области П = х R, t 0 ) в том числе и при наличии счетного числа пограничных слов, включая и критические случаи, когда спектр определяющей матрицы может касаться мнимой оси.
В основе предложенного алгоритма лежит метод унитарных преобразованный [31] для линейных систем ОДУ, матрица которых может быть представлена в виде суммы нормальных матриц или является «почти нормальной» матрицей.
Данный метод позволяет получить качественную и точную оценки нормы решения с описанием структуры «радикальных» и экспоненциальных пограничных слоев. 3.2 Анализ сингулярно возмущнных неавтономных линейных и слабо нелинейных систем ОДУ с нормальной или «почти нормальной» матрицей
Исследование сингулярно возмущнных задач для систем при наличии предельного оператора простой структуры
Актуальность темы. Диссертация посвящена исследованию сингулярно возмущенных задач на полуоси для линейных и слабо нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими, полиномиальными и нормальными определяющими матрицами. Сингулярно возмущенные задачи первоначально возникли в физике и технике. Еще в 19 веке в работах Лапласа, Максвелла и Кирхгофа изучались конкретные сингулярные задачи. В дальнейшем выяснилось, что все области естествознания и техники богаты такими задачами.
Современная теория сингулярно возмущенных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений основана на работах Боголюбова Н.Н. и Митропольского Ю. А., Вазова В., Эрдейи А., Тихонова А.Н., Васильевой А.Б. и Бутузова В. Ф., Моисеева Н.Н., Мищенко Е.Ф. и Розова Н.Х., Нефедова Н.Н. , Федорюка М.В., Шкиля Н.И. и многих других математиков.
Существенный вклад в теорию сингулярных возмущений внесли работы научной школы Ломова С. А. и его учеников Сафонова В.Ф., Качалова В.И., Елисеева А.Г., Бободжанова А.А. и других, создавших метод регуляризации для исследования различных классов сингулярно возмущенных задач.
Для уравнений с частными производными систематическое изучение сингулярно возмущенных задач началось с работ Левинсона Н., Олейник О.А., Ладыженской О.А., Вишика М.И. и Люстерника Л.А. и активно продолжается по настоящее время (см., например,[4,21,45]).
При решении прикладных задач важную роль играет не только создание адекватных математических моделей в виде систем ОДУ, достаточно хорошо отражающих основные параметры исходной задачи или процесса, но и разработка эффективных аналитических и асимптотических методов их исследования. В данной работе отдано предпочтение аналитическим, спектральным и асимптотическим методам, так как они позволяют исследовать математические модели в более широком (по сравнению с численными методами) диапазоне исходных параметров, а также прогнозировать различные свойства изучаемого обьекта.
В диссертации исследованы вопросы асимптотического представления и устойчивости решений сингулярно возмущенных задач на полуоси для систем ОДУ с периодическими, полиномиальными матрицами, а также с матрицами, являющимися суммами нормальных матриц. Предложенные в работе методы являются развитием метода расщепления [8,30,55] и метода регуляризации Ломова С. А. [36,37,50,51], а также метода унитарных преобразований [31] (при изучении сингулярно возмущенных систем с нормальными или «почти нормальными» матрицами).
При решении сингулярно возмущенных начальных линейных и слабо нелинейных задач на полуоси возникают дополнительные трудности, связанные с описанием пограничного слоя в окрестности начальной точки = 0 и с обоснованием нетривиальных условий устойчивости решений исследуемых задач, включая критические случаи.
Как известно, вопросам теории устойчивости посвящено очень большое количество работ, в первую очередь Ляпунова А.М. и Пуанкаре А., а также Четаева Н.Г., Малкина И.Г., Красовского Н.Н., Меркина Д.Р., Хапаева М.М., Розо М. и многих других математиков, создавших фундамент теории устойчивости.
Цель работы. Основной целью диссертации является развитие спектральных и асимптотических методов исследования сингулярно возмущенных задач для линейных и слабо нелинейных систем ОДУ на полуоси с периодическими, полиномиальными и нормальными матрицами. В частности, ставятся задачи построения асимптотических представлений решений и получение условий устойчивости для указанных систем при наличии определяющих матриц различной структуры.
Методы исследования. В данной работе использованы методы теории сингулярных возмущений, в первую очередь уточненные варианты метода расщепления для анализа сингулярно возмущенных задач с периодическими и полиномиальными матрицами. Системы с нормальными или «почти нормальными» матрицами исследуются с помощью метода унитарных преобразований. Научная новизна. Предлагаемые в диссертации подходы представляют собой существенное развитие и обобщение методов расщепления и унитарных преобразований. Основные результаты состоят в следующем.
Разработан асимптотический спектральный метод исследования устойчивости решений сингулярно возмущенных неавтономных линейных и слабо нелинейных систем ОДУ с периодическими или полиномиальными матрицами при наличии предельных матриц различной структуры.
Предложен алгоритм построения квазирегулярной асимптотики решений сингулярно возмущенных линейных систем ОДУ c периодическими или полиномиальными матрицами, при этом выделен пограничный слой в замкнутой аналитической форме.
Анализ сингулярно возмущнных неавтономных линейных и слабо нелинейных систем ОДУ с нормальной или «почти нормальной» матрицей
Если для системы (3.3.10) нормальная нелинейная матрица A(x,t) является кососимметриченой или косоэрмитовой в области а = z R, t 0 , тогда тривиальное решение всегда будет устойчивым, так как в этом случае матрица А(х, t) имеет чисто мнимый спектр.
Изучим другие случаи, связанные с более сложной структурой спектра и имеем точное x(t, г) = х0ехр—— при ReAj (х, t = — С0 , гарантирующие при всех достаточно малых (0 є 0) асимптотическую устойчивость решения и наличие экспоненциального погранслоя (при /? = 0), или «радикального» погранслоя (при /? 0) в окрестности точки t = 0.
Доказательство теоремы 3.6 Для неавтономной системы с нелинейной нормальной матрицей вида x = Ax,tx, х0,=х0 (3.3.12) с учетом унитарной в области П подстановки х = UAx,ty (x(t = y(t) запишем дифференциальное неравенство для квадрата евклидовой нормы е решения ap = 2Rex A(x,ix = 2Re{y UA\x,tA{x,tUA{x,ty)
Из полученного неравенства сразу следуют оценка для нормы решения исследуемой задачи (3.3.12), что и требовалось доказать. met і г/Р При этом неравенство x(t,e) —+тп при В 0 отражает наличие нового типа пограничного слоя так называемого «радикального» пограничного слоя в окрестности точки t = 0 , гарантируя асимптотическую устойчивость е решения. что отражает наличие в решении «радикального» пограничного слоя, гарантируя асимптотическую устойчивость е решения. с так называемым «радикальным» пограничным слоем, или при а = 0 другая оценка x(t,є) х0 exp-C2t - 0 (t- +oo), (3.3.16) что гарантирует в обоих случаях асимптотическую устойчивость е решения. Доказательство теоремы 3.7 (Для случая р а 0, С± С2 0) Для задачи (3.3.14) с учетом нормальности матриц A(x,t) и B(x,t) и наличия унитарных подстановок х = UAx,ty, х = UBx,tz (x(t) = y(t) = z(t) ) может быть записано дифференциальное неравенство для квадрата евклидовой нормы решения что позволяет получить (при а 0) нужную оценку (3.3.15) или (при а = 0) (3.3.16), что в обоих случаях гарантирует асимптотическую устойчивость тривиального е решения. Теорема 3.7 доказана. что с учетом теоремы 3.7 приводит к оценке евклидовой нормы решения x(t,E) Х - 0 , хо О t- +оо), гарантирует асимптотическую устойчивость решения сингулярно возмущнной задачи при наличии «радикального» пограничного слоя. Теорема 3.8 Если для сингулярно возмущнной задачи вида x = A{x,tx, х0, = х0 (3.3.17) с ограниченной нормальной в области П = х R, t 0 матрицей A(x,t\ спектр которой Л,(х,Ш удовлетворяет в области П неравенствам и задача (3.3.17) разрешима на полуоси при t О для всех достаточно малых х0 S, то тривиальное решение устойчиво при at О и асимптотически устойчиво при a(t - -оо (t - +оо) и для евклидовой нормы е решения имеет место при /? О оценка
Полученные оценки гарантируют при всех достаточно малых є (0 є 0) устойчивость тривиального решения задачи (3.3.17) в обоих случаях при at 0 , или асимптотическую устойчивость при at - -оо (t - +оо).
С учетом результатов леммы 1.1, используя унитарную подстановку x = UA(x,ty, (xt = yt) запишем дифференциальное неравенство для квадрата евклидовой нормы решения сингулярно возмущнной задачи что приводит к нужному результату (3.3.18) и (3.3.19), что гарантирует устойчивость тривиального решения при at 0 (t 0), и асимптотическую устойчивость при a(t - -оо (t - +оо).
В точках tk (atk = 0) может возникнуть (аналогично предыдущему) счетное число дополнительных пограничных слоев «радикальной» (а 0) или экспоненциальной (а = 0) структуры. абсолютная скорость точки подвеса, R — радиус земли, H(t) — проекция абсолютного угловой скорости чувствительного элемента гирогоризонткомпаса на направлени геоцентрической вертикали, w0 =gR. Величины р,т, у -определяются конструкций прибора, & (j = 1,2,3,4 углы ориентации осей чувствительного элемента в неподвижной системе координат (и2 (t) gR) и -малый параметр.
Доказанная в работе [23] устойчивость системы (3.3.23) классическими методами сразу следует (в силу теоремы 3.1), так как кососимметрическая матрица имеет чисто мнимый спектр. При этом xt,є х0 (t 0, 0 є « 1). ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В первой главе исследован класс сингулярно возмущенных начальных задач на полуоси для неавтономных систем ОДУ с периодической матрицей при наличии определяющей матрицы A0(t) различной структуры.
Сформулированы и доказаны конструктивные условия асимптотический устойчивости решений сингулярно возмущенных начальных задач для линейных и слабо нелинейных систем ОДУ с периодическими матрицами в случае когда определяющими матрицами A0(t имеет не только простую, но и полупростую структуру (т.е. при наличии тождественно кратных точек спектра).
Предложен алгоритм построения асимптотического решения указанного класса сингулярно возмущенных начальных задач для линейных систем ОДУ с периодической матрицей, справедливый на всей полуоси.
Во второй главе определены достаточно конструктивные условия асимптотический устойчивости решения одного класса сингулярно возмущенных начальных задач на полуоси для линейных и слабо нелинейных систем с определяющими полиномиальными матрицами при наличии различной структуры.
Построено асимптотическое представления решения (при t - +оо) для указанного класса сингулярно возмущенных задач для линейных систем ОДУ с полиномиальной матрицей, справедливое на всей полуоси
В третьей главе изучен принципиально новый класс сингулярно возмущенных задач на полуоси для линейных и слабо нелинейных неавтономных систем ОДУ, матрица которых может быть представлена в виде суммы нормальных неавтономных (и даже нелинейных матриц). Исследованный в этой главе метод является развитием и обобщением метода унитарных преобразований.
Приведены достаточные условия для построения точной оценки евклидовой нормы решения с аналитическим описанием структуры «радикальных» или экспоненциальных пограничных слоев сформулирования критерии устойчивости или асимптотической устойчивости.