Введение к работе
Актуальность темы. Диссертация посвящена вопросам построения асимптотических по параметрам разложений решений краевых и начальных задач для сингулярно возмущенных обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных в случаях, когда соответствующая вырожденная задача имеет решение с особенностями и принадлежит пространству функций с меньшей гладкостью, чем решение исходной задачи. Подобные проблемы возникают при исследовании математических моделей процессов и явлений, протекающих в слоистых средах и композитных материалах (разрывные и резко меняющиеся коэффициенты), в задачах, связанных с решением уравнений Навье — Стокса при малой вязкости (ударные волны и волны разрежения), в нелинейных задачах (внутренние переходы), в задачах для областей с негладкими границами и многих других. Дифференциальные уравнения с малыми множителями при производных естественным образом появляются в теории автомагического регулирования, нелинейных колебаний, газовой и магнитогидродинамике. Подобные уравнения являются непременным элементом при анализе разностных схем, при построении сходящихся численных алгоритмов решения жестких задач.
Начало систематического развития асимптотической теории сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений восходит к работам А.Н. Тихонова. Вслед за его исследованиями появился ряд работ В.Ф. Бутузова, А.Б. Васильевой, М.И. Випшка, A.M. Ильина, С.А. Ломова, Л.А. Люстерни-ка, Е.Ф. Мищенко, Л.С. Понгрягина, Н.Х. Розова, их учеников и последователей. Среди исследований зарубежных ученых наиболее известны работы В. Базова, М. Ван-Дайка, Дж. Коула, Н. Левинсона и многих других. Изучению качественного характера зависимости от параметров решений различных задач, связанных с сингулярно возмущенными дифференциальными уравнениями, посвящены работы большого числа математиков, механиков и представителей других областей науки в нашей стране и за рубежом; отметим здесь работы В.И. Бабича, Н.С. Бахвалова, Н.Н. Боголюбова, В.М. Волосова, В.В. Жикова, В.Г. Мазьи, Р.Е. О'Малли, В.И. Маслова, Ю.А. Митропольского, С.А. Назарова, Ф. Олвера, О.А. Олейник, Б.А. Пламенев-ского, Л.С. Понтрягина, В.А. Треногина, М.В. Федорюка, К.В. Чанга, Ф. Хауэса.
Однако в настоящее время еще нельзя считать общую теорию построения асимптотических разложений сингулярно возмущенных дифференци-
альных уравнений полностью сформировавшейся; многие вопросы, возникающие при построении асимптотических разложений решений конкретных прикладных задач, не имеют не только теоретического обоснования, но и разработанных алгоритмов исследования свойств решений при стремлении параметров к своим предельным значениям. К таким задачам относятся в первую очередь так называемые бисингулярные (бисингулярно возмущенные) задачи, в которых коэффициенты формальных асимптотических разложений имеют особенности, порядок которых нарастает с увеличением номера коэффициента, задачи с угловыми характеристиками соответствующего вырожденного уравнения, задачи с вырождением, в которых коэффициенты при старших производных вырожденного уравнения обращаются в нуль в точках некоторого множества, задачи с резко меняющимися коэффициентами, имеющими в различных частях области определения различный порядок малости относительно малого параметра, задачи для уравнений смешанного типа и многие другие. При этом актуальными являются как вопрос о возможности применения уже известных алгоритмов построения асимптотических разложений, так и разработка новых принципов и алгоритмов построения асимптотических разложений и методов их обоснования.
Диссертация посвящена рассмотрению указанных классов задач и разработке алгоритмов построения и обоснования для асимптотических разложений решений бисингулярно возмущенных задач, связанных с обыкновенными дифференциальными уравнениями и уравнениями в частных производных.
Цель работы — построение асимптотических разложений погранслой-ного типа решений бисингулярных: краевых задач, связанных с линейными и квазилинейными обыкновенными дифференциальными уравнениями и уравнениями в частных производных, при наличии особенностей у решений соответствующего вырожденного уравнения, разрывных, резко меняющихся или вырождающихся коэффициентов либо в случаях смены типа уравнения, получение оценок погрешности асимптотических разложений в нормах естественных для решений исходной задачи пространств функций.
Научная новизна. Полученные в работе результаты являются новыми. В частности, доказаны теоремы о барьерных функциях для решений краевых задач, связанных с вырождающимися обыкновенными дифференциальными уравнениями первого и второго порядков и уравнениями второ-
го порядка с разрывной правой частью. Получены оценки решений: и их производных системы квазилинейных параболических уравнений с малым параметром при производных второго порядка и оценки производных для решений многомерного квазилинейного параболического уравнения со многими малыми параметрами, точные по порядку малости расстояния до начальной гиперплоскости и порядку малости каждого из параметров. Исследованы свойства решений задач в полуполосе для параболических уравнений с обращающимся в пуль коэффициентом при производной по "времени" в зависимости от характера изменения знака указанного коэффициента. Построены и обоснованы асимптотические разложения погранслойного типа для решений обыкновенных дифференциальных уравнений с разрывной как по зависимой, так и по независимой переменным правой частью и с обращающимся в нуль коэффициентом при старшей производной вырожденного уравнения, для решения параболического уравнения при наличии угловых характеристик вырожденного уравнения, для решений эллиптических уравнений с резко меняющимися коэффициентами и с обращающимся в нуль коэффициентом при старшей производной соответствующего вырожденного уравнения, для решений задач, связанных с уравнениями смешанного эллиптико - параболического типа. Для квазилинейного параболи-чекого уравнения построены равномерные асимптотические представления погранслойного типа для решений, моделирующих характерные особенности таких свойств решений уравнений газовой динамики, как ударная волна, слабый разрыв, волна разрежения. В большинстве случаев оценки погрешности асимптотических разложений проведены в норме пространства С\
Методы исследования. Работа основана на методах теории барьерных функций для краевых задач, связанных с обыкновенными дифференциальными уравнениями, методах теории параболических, эллиптических и эллиптико - параболических уравнений, методах априорных оценок, методах построения асимптотических разложений пограпслоиного типа решений краевых задач для линейных и квазилинейных дифференциальных уравнений.
Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит как теоретический, так и прикладной характер. Ее результаты могут служить для дальнейшего развития асимптотической теории сингулярно и бисингуляр-но возмущенных дифференциальных уравнений, могут найти применение в теории построения численных алгоритмов для решения краевых задач,
могут быть использованы при решении различных задач математической физики.
Апробация работы. Материалы, изложенные в диссертации, докладывались на семинарах под руководством акад. А.Н.Тихонова (1990 г.), проф. А.Б. Васильевой и В.Ф. Бутузова (1989, 1992, 1995, 1996 гг.), проф. В.А. Кондратьева, В.М. Миллионщикова, Н.Х. Розова (1985, 1992, 1993, 1995, 1996, 1997 гг.), чл.-корр. РАН Е.И. Моисеева (1997 г.), проф. A.M. Денисова (1997 г.), на расширенных заседаниях семинара Института прикладной математики им. И.Н. Векуа (Тбилиси) (1985,1988 гг.), на расширенных совместных заседаниях Московского математического общества и семинара им. И.Г. Петровского (1983, 1987, 1994, 1996, 1997 гг.), на международных конференциях в ФРГ (1992 г.), Испании (1991,1994 гг.), Польше (1988, 1990 гг.), на Всесоюзных: конференциях по малому параметру в Алма - Ате, Фрунзе, Душанбе, Нальчике, Ноорусе, Минске.
Публикации. Основные результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в работах [15] — [43], список которых приведен в конце реферата.
Структура а объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, и списка литературы, содержащего 180 наименований. Нумерация теорем и формул своя в каждом параграфе. Объем диссертации составляет 310 страниц, включая 13 страниц цитированной литературы.