Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. В настоящее время усилиями многих ученых разработаны вопросы теоши обыкновенных дифференциальных и интегро-диф-ференциальных уравнений с малыми параметрами при страиих производных при условии, что выроненное уравнение имеет гладкие решения. Вместе с тем, слабо исследованы свойства таких систем при более общих предположениях о решениях вырожденных уравнений. В настоящей работе систематически изучены уравнения, полученные сингулярными возмущениями как одним, тан и несколькими малыми параметрами из алгебраических дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений имещих разрывные устойчивые решения. ОБЗОР МЕРАТУШ.
Интенсивное развитие теории сингулярных возмущении дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр при страших производных, началось в начале 50-х годов после появления основополагающих забот А.Н.Тихонова, где была установлена сходимость решения начальной задачи для векторно-матричного уравнения с малым параметром при производной вида.
с начальными данными
где малый положительный параметр; функции /с- Ы,ч,г-), {с=/,а) - непрерывны и удовлетворяют условии Липшица по Ч и г? в некоторой области в пространстве переменных (.ОС , Ч ,2 )
Системе (I) поставим г соответствие вырожденнуо систему, получающуюся из (1)-(2), если положить параметр і равным нулю:
\ґ fO)= tf biirfrhWC*)), (оь?с&0 ^,)
с начальным условием
trfJ = 4i . Су)
Предполагалось, что йункшюнальное уравнение (3^) относительно имеет
в некоторой ограниченной замкнутой области 5& пространства перемен
ных (г,ГЛО)устойчивое решение ur(x)z FCX/fC*]) f f-e. выполняется
неравенство <-> п , .„ ,л * »
^ Л Cn,trс*), Ус*,trJjtO. Сг)
При таком основном предположении доказано, сто при достаточных малых
t ги у Сх, .) =. іГС-х-? , (es-xzj.)^
В работах А.Б.Васильевой, М.И.Иманалиева разработан метод, позволяющий получить при условілх вида (5) и достаточной гладкости заданных функций асимптотические разложения с любой степенью точности относительно малого параметра для дифференциальных и интегро-дифферен-циальных уравнений.
С.А.Ло/йовым разработан метод регуляризации сингулярных возмущений, применимый как к обыкновенным дифференциальным уравнениям, так и уравнениям с частными производными.
В.Ф.Бутузовым бкл построен метод угловых пограничных функций для уравнений с частными производными. Многие результаты по дифференциальным уравнениям в частных производных, а также ряд результатов по дифференциальным уравнениям в банаховом пространстве принадлежит В.А.Треногину. Переходим к работам, в которых рассматривайтся сингулярные возмущения уравнений с некоторыми особенностями в решениях.
В работах М.И.Вишика и Л.А.Лгостешика рассматривались начальные задачи, где начальные условия зависят от параметра нерегулярным образом:
УМ^ЪЫ) j Cosoc&±)
гДе &г()+ при Svo-
Предполагается, что /2 *, ч с-*; 2Ы)) при j?-f о» растет как/?/ , где а<-^^Л . Тогда решение ЦстС)) системы (6)-(7) при соответствующе!.' выборе ix.Ct) будет стремиться при $ о к решению VC"*) отвечающей (6) вырожденной системы, причем \Г Ос) будет при ОС— о принимать значение не VC^) , а некоторое значение \Tix)f &1ГСХ-) Эти исследования были продолжены К.А.Касымовым для задач с начальным скачком при изучении сингулярно-возмущенных нелинейных систем обыкновенных и интегро-дифференциальных уравнений,- а также для уравнений в частных производных.
В работах М.И.Иманалиева построены обобщенные решения для интегральных уравнений типа Вольтерра, а также уравнений типа Фредголъма и их'аппроксимацию методом сингулярного возмущения.
В работах А.М.Самойленко, Н.А.Перестюка исследованы вопросы бурно развиващейся в последние годы теории дифференциальных уравнений с импульсным воздействием.
В работах А.Б.Васильевой, В.Ф.Бутузова показано, что для краевых задач при наличии нескольких корней иХОс)~ ff (х,iTOc)j'_, (o^x-g/J уравнения вида (3 ^ ) внутри промежутка могут возникать зоны, в которых -решение рассматриваемой задачи быстро переходит из окрестности вырожденного решения, определяемого одним.из копией у в окрестность вырожденного решения, определяемого другим ::орнем 'f (явление внутреннего пограничного слоя).
В работах Л.С.Понтрягине, Е.Ф.Мищенко, Н.Х.Розова исследуется случай, когда решение выроненного уравнения вида (3 j ),(3^),(4) имеет несколько гладких ветвой, переходящих одна в другую. У решения возмущенной задачи (1)-(2) могут возникать точки "Срыва".
В работах М.И.Иманалиева, П.С.Панкова рассматриваются еистемы более простого вида, чем (I):
14'С*) *f (*,%*))> (<*&***} (?)
при условии, что внрождепнак система
имеет устойчгтюэ решение t/~(*.)e конечным числом разрывов первого рода. Доказана теорема гипа Тихонова о сходимости тзешений задачи Коши (8)-(9) для Х?о к паэшвному решению вьпхэжденного уравнения. Настояная работа является продолжением выше указанных работ на исследование асимптотической теории сингулярно-возмущенных дифференциальных и іштегро-дифферекцияльнкх уравнений, когда вырожденное уразшЕИив имеет разрывные решения.
ii^Hilfa РАБОТЫ. Изучение асимптотического поведения решений задачи Ксши; дога системы нелинейных дифференциальннх и интегро-дифферента-альныж уравяетгай с малым параметром при страпих производных в случаях,, наяда ттрежденные системы имеют разрывные решения.
ОТЖй: РЕЗУЛЬТАТЫ. В работе разработана теория асимптотических, сценок непрерывных решений систем дифференциальных и интегос-іг^аретциалькнх уравнений в случаях, когда вырожденные систеи-ы имеет рзгаткзные репения первого рода в случаях как одного, так я касяоль-
- б -
ких малих параметров. С этой целью предложен новый метод "правосторонние остаточных членов". Впервые получены достаточные условия существования и асимптотика решений сингулярно-возмущенных уравнений несколькими малыми параметрами, имеющих разрывные -решения, а также краевых задач. Методика настоящей работы может быть применена и для исследования других типов сингулярно-возмущенных динамических систем.
АПРОБАЦИИ РАБОТЫ. Результаты работы докладывались и обсуждались на семинаре кафедры вычислительной.математики Кыргосуниверситета, школы-семинаре "Численные методы для высоко производительным систем" (Фрунзе, 1988 г), на семинаре "Разрывные динамические системы" Киев (1989), семинаре Института математики АН Республики Кыргызстан, семинаре по асимптотическим методам при кафедре математики физического факультета МГУ (1990), на республиканской конференции "Дифференциальные уравнения и их применения" (Фрунзе, 1989), на Всесоюзной конференции "Асимптотические методы теории сингулярно-возмущенных уравнений и некорректно постановленных задач" (Бишкек, 1991), семинаре. "Прикладной асимптотической анализ спектрально? зад.-чи центр прикладной математики и информатики при АН СССР и Туркменской ССР (1990), на Всесоюзном семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений МГУ (1990), на Четвертой конференции по дифференциальным уравнениям и их применениям Руссе (1989).
ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации отражены в публикациях а]-[із] -
СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссеретациаонная работа изложена на 228 страницах машинописного текста, состоит из введения , четырех глав, объединяющих 14 параграфов и списка литературы, включающего 135 работы.