Введение к работе
Актуальность темы. Диссертация посвящена изучению задач о взаимосвя"ч прямых методов Л.С.Понтрягина в теории линейных дифференциальных игр преследования.
Понятие дифференциальной игры является математической моделью таких процессов как преследование одного управляемого объекта другим, приведение управляемого объекта в заданное состояние при неизвестных заранее возмущапцих силах, задачи вживання в условиях конфликта и др.
Развитие теории дифференциальных игр потребовал-? выяснения таких понятий математической кибернетики, как информированность, допустимая стратегия и др. Было обнаружено, что решение даже простейших примеров дифференциальных игр не является тривиальным, что фазовое пространство дифференциальных игр имеет разнообразные особенности, что их исследование) требует развитие новых методов, разработку новых подходов.
Основы теории дифференциальных игр были заложены в фундаментальных исследованиях Р.Айзекса, Л.С.Понтрягина, Н.Н.Красов-ского, Е.Ф.Мищенко. Оно получило глубокое развитие в трудах Ю.С.Осипова, Р.В.Гамкрелидзе, А.Б.Кураансксго, Ф.Л.Черноусько, Б.Н.Пшеничного, Н.Ю.Сатимова, М.С.Никольского, Л.А.Петросяна, А.Н.Субботииа, Л.Борковица, У.Флеминге А.Фридаана и др.
Известно, что постановка задач о дифференпиальных играх и методы их исследования во многом существенно зависят от уточнения самого понятия дифференциальной игры, более конкретно,от определения класоов допустимых стратегий и траекторий.В настоящее время предложены несколько подходов в этом направлении. Одним из наиболее разработанных псдходое принадлежат Л.С.Пон-
трягину. Настоящая диссертация в осковном следует этому подходу. 3 его основе лежат два метода решения задачи преследования, называемые прямыми методами Понгрягина. Эти метода бали развиты и обобщены М.С.Никольским, Б.Н.Пшеничшм, Н.Ю.Сатимо-вым, П.Б.Гусятниковым, Н.Л.Григореико, А.А.Азамовда, Е.С.Поло-еинкеным, Ю.С.Ледяевым и другими.
Первый прямой ыетод Понтрягнна опирается на интеграл от многозначных отображений определяемый формулой вида
W, (?)=W + J efcLF *- ^ Qdt ,
1 о
а второй метод - на понятии альтернированного интеграла Интегралы W^ и уу- строятся по исходным данный дифференциальной игры.
В 1973 году Н.СатимоЕым било предлоконо усиление первого прямого метода Понтрягнна, Дальнейшую модификацию 1-*штода, основанную на интеграле уу* (см. кижо), предложили М.С. Никольский, А.А.Азамов я Б.Саматоз.
На основе этой моди$и"ации Н.Сетимовым разработан новыЯ метод решения задач преследования, сочетающий элементы первого и второго прямых методов. Метод Н.Сатимова основывается на интеграле Wy (см.нике). Между упомянутыми интегралами имеет место связь
Ц(Г)с;Ц(Г)с:1^у(Г)с:\^<Г) ,
В настоящее время многие свойства интегралов W^ и W^ научены достаточно подробно. Однако вопрос о взаимосвязи указанных интегралов, в особенности аппроксимация альтернированного интеграла Понтрягнна внтэгралата W^ и 4< практи-
ческа не скла рассмотрены.
Цель работы. I) Изучение аппроксимативных свойств и разработка упрощенных схем построения интегралов
" W, і
2) Установление связи между альтернированным интегралом Щ и интегралом щ с приложением к задаче преследова-ния в линейных дифференциальных играх.
Методика псслед вани я. При обосновании рез"тьтатов диссертации использованы метода и факты теории дифференциальных игр, выпуклого анализа, теории многозначных отображений, метод "надевает капок" М.С.Никольского.
Научная новизна. Описаны точные и пр~ Сниженные формулы для вычисления интегралов tyj, , Ж , 1\L и изучены их аппроксимативные свойства. Получены верхние и нижние сценка для альтернированного интеграла Щ. посредством интеграла "fyL , доказано, чхо при условии равномерной телесности частичных альтернированных сумм внутренности интегралов Щу и Wj_ совпадают. При этом se условии для начальных точек 20 , таких, что сср(Т"С)0 прзнадлекит внутренности альтернированного интеграла, предложен новый метод построения кусочно-стробоскопической стратегии преследования.
Практическая ценность р a d о т ы. Полученные в диссертации результаты могут быть применены при разработке вычислительных алгоритмов, построения конкретных стратегий преследователя, при нсследоват?а проблач, связанных с альтернированным интегралом Нонтрягина п синтезом управления в линейных системах.
- в -
Апробация работ н. По результатам диссерто- , ции сделаны сообщения во Всесоюзной школе "Оптимальное управление, геометрия о анализ" (г. Кемерово, 1988 г.), на семинарах МГУ им. м.В.Ломоносова (руководители Н.Л.Грягоренко, М.С.Никольский), ТашГУ им.В.И.Ленина (руководитель іЧ.Ю.Сатя-мов), отделоз дифференциальных уравнений и некдассаческях уравнений лсатшатической физики Ш дм.В.И.Романовского АН УзССР.
Публикации. Результаты диссертации опубликованы з работах [і - 5] . 3 работе ^I^предложение 1, а в работе ^3} теорема 2 принадлежат Абдуганиеву А.А.
Структура и объем работ и. Диссертация состоит из введения, трех глаЕ, пралоЕеаия и списка лнтературц (130 названий/. Работа содержит 130 страниц машинописного текста.