Введение к работе
Актуальность темы. Теория гипоэллиптических операторов и гипоэллиптических уравнений, берущая свое начало в работах Л. Хермандера бурно развивается и становится более и более актуальной. Несмотря на то, что многие отечественные и зарубежные математики долгие годы занмимаются теорией гипоэллиптических операторов, ряд вопросов в этой теории остались нерешенными и к тому же постоянно возникают новые задачи.
Одним из важных подклассов регулярных гипоэллиптических операторов1'1 является класс полуэллиптических (семиэллиптических) операторов, включающий в себя эллиптические операторы. Для решений краевых задач для эллиптических уравнений произвольного порядка вопросы существования, единственности, регулярности, а также вопросы приближенного решения этих задач изучены довольно подробно. Для полуэллиптических же уравнений подобные вопросы, а также вопросы поведения решений краевых задач в ограниченных и неограниченных областях в настоящее время являются активно разрабатываемыми.
Целью реферируемой работы является исследование поведения решений регулярных гипоэллиптических уравнений в неограниченных областях, а также изучение возможности аппроксимации этих решений решениями краевых задач в ограниченных областях.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:
получено интегральное представление для решения полуэллиптической краевой задачи;
получена пссимптотическая оценка фундаментального решения одного класса полуэллиптического оператора;
доказана теорема существования и единственности решения полуэллиптического уравнения во всем пространстве с переменными коэффициентами зависящего от комплексного параметра;
1. Никольский СМ. Первая краевая задача для одного общего липейпого уравпепия.- ДАН СССР, 1962, т. 144, 4, с. 7G7-769.
доказаны теоремы об аппроксимации решений полуэллиптических краевых задач в неограниченных областях (в полупространстве) решениями задач в ограниченных областях;
доказаны теоремы существования и аппроксимации решений
краевых задач для квазилинейного иолуэллиптического уравнения во
всем пространстве и строго нелинейного регулярного уравнения и
неограниченной области.
Методика исследования. В работе использованы: теория следов функций
из анизотропных пространств С.Л. Соболева на многообразиях, теоремы
вложения и продолжения, методы функционального анализа, теория
граничных задач для гипоэллиптических уравнений, а также теория
дробных производных, сингулярных интегральных уравнений и метод
монотонных операторов.
Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могуг найти применение и теории общих гипоэллиптических уравнений и краевых задач, а также в теории приближенного решения дифференциальных уравнений в неограниченных областях.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах по функциональным и численным методам исследования гипоэллиптических уравнений в ЕГУ, па научном семинаре посвященном памяти Л.Г. Берберяпа (Ереван, 1999), па научной сессии посвященной 80-летию ЕГУ, па семинарах кафедры дифференциальных уравнений и функционального анализа ЕГУ.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 4-ех статьях, список которых приводится в конце реферата. Структура и обьем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав разделенных на 14 параграфов. Общий объем работы— 115 страниц. Список литературы содержит 144 названий.