Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Аппроксимация с внешними возмущениями 26
1 Основные определения и вспомогательные утверждения 26
1.1. Аппроксимация дифференциального включения с внешними возмущениями 38
1.2. Аппроксимация периодических и многоточечных краевых задач с внешними возмущениями 44
Глава 2. Устойчивость в аппроксимации с внешними возмущениями 50
2.1. Принцип плотности и устойчивость в аппроксимации дифференциальных включений с внешних возмущений 51
2.2. Устойчивости в аппроксимации периодических и многоточечных краевых задач с внешними возмущениями 58
Глава 3. Аппроксимация с внутренними и внешними возмущениями 61
3.0. Основные определения и вспомогательные утверждения 61
3.1. Аппроксимация дифференциального включения с внутренними и внешними возмущениями 67
3.2. Аппроксимация периодических и многоточечных краевых задач с внутренними и внешними возмущениями 73
3.3. Аппроксимация вложением и с положительной оценкой снизу радиуса внутренних возмущений 77
3.4. Аппроксимация вложением и с положительной оценкой снизу радиуса внутренних возмущений периодических и многоточечных краевых задач 82
Глава 4. Устойчивость в аппроксима ции с внутренними и внешними возмущениями 86
4.1. Принцип плотности и устойчивость в аппроксимации дифференциальных включений относительно внутренних и внешних возмущений 87
4.2. Устойчивость в аппроксимации дифференциального включения по крайним точкам аппроксимирующего отображения 93
4.3. Устойчивость в аппроксимации возмущенных периодических и многоточечных краевых задач 96
Список литературы 101
- Аппроксимация дифференциального включения с внешними возмущениями
- Устойчивости в аппроксимации периодических и многоточечных краевых задач с внешними возмущениями
- Аппроксимация периодических и многоточечных краевых задач с внутренними и внешними возмущениями
- Аппроксимация вложением и с положительной оценкой снизу радиуса внутренних возмущений периодических и многоточечных краевых задач
Введение к работе
Теория дифференциальных включений в настоящее время сформировалась как самостоятельный раздел общей теории дифференциальных уравнений.
Исследование дифференциальных включений началось в тридцатых годах прошлого столетия в работах A. Marchaud (Маршо) [102], S. Zaremba (Заремба) [111]. Кроме того интенсивно развивающейся в шестидесятых годах теория оптимального управления и устанавленная А.Ф. Филипповым связь дифференциальных включений и управляемых систем (лемма о неявных функциях) послужило стимулом к всестороннему изучению дифференциальных включений.
В форме дифференциальных включений можно представить довольно широкий класс математических объектов: дифференциальные неравенства, неявные дифференциальные уравнения, задачи теории дифференциальных игр и математической экономики. Дифференциальные включения можно рассматривать и как непосредственное обобщение дифференциальных уравнений на случай, когда правая часть многозначна. Поэтому в теории дифференциальных включений возникают все задачи, присущие дифференциальным уравнениям (теоремы существования решений, вопросы разрешимости, продолжаемости, ограниченности и др.). В то же время многозначность правой части дифференциальных включений порождает целый ряд специфических вопросов, такие, как, например, устойчивость "возмущенных" дифференциальных включений, замкнутость, выпуклость семейства решений, выбор решений с заданными свойствами и многие другие.
Отметим, что данными вопросами занимались многие математики: Н.В. Азбелев, Ю.И. Алимов, Б.И. Ананьев, Р.В. Ахмеров, Е.А. Барбашин, В.И. Благодатских, А.В. Богатырев, Ю.Г. Борисович, С. А. Брыкалов, А.И. Булгаков, Е.Е. Викторовский, Е.А. Ганго,
Б.Д. Гельман, А.Е. Ирисов, А.Г. Иванов, Н.Н. Красовский, А.Б. Кур-жанский, А.А. Леваков, Л.Н. Ляпин, В.П. Максимов, А.Д. Мышкис, М.С. Никольский, В.Р. Носов, В.В. Обуховский, А.И. Поволоцкий, Е.С. Половинкин, Р.К. Рагимханов, Б.Н. Садовский, А.Б. Самаров, А.Н. Сесекин, А.И. Субботин, СИ. Суслов, А.А. Толстоногов, Е.Л. Тонков, B.C. Тонкова, СТ. Завалищин, Л.Н. Фадеева, А.Ф. Фил-липов, Т.Ф. Филиппова, И.А. Финогенко, А.Г. Ченцов, П.И. Чугунов, З.Б. Цалюк, Н.А. Antosiewicz, A. Bressan, A. Cellina, G. Colombo, J. Davy, A. Fryskowski, Н. Hermes, W. Kelley, N. Kikuchi, M. Kisielewicz, A. Lasota, S.J. Lojasiewicz, H. Murakami, S. Nakagiri, C. Olech, Z. Opial, N.S. Papargeorgiou, G. Pianigiani, A. Plis, S. Szufla, T. Wazewski, P. Zecca и др.
В диссертации рассматриваются дифференциальные включения
x(t)eF(t,x(t)), «Є [а,6], (1)
x(t) є соF(t,x{t)), *є[а,6], (2)
где отображение F : [a, b] —> сотр[Жп] удовлетворяет условиям Каратео-дори.
Будем говорить, что многозначное отображение F : [а, 6] xl"x х [0, со) —> comp[Rn] аппроксимирует отображение F : [а, Ь] х Шп —* —> сотр[Жп], если найдется такая функция (-,-,) Є К ([a, b] х W1 х х [0, со)), что при почти всех t Є [a, b] и всех (ж, 6) Є Шп х [0, со) выполняется оценка
h[F(t,x),F(t,x,6)]^t(t,x,6). (3)
Отображение F( , , ) будем называть аппроксимирующим отображение F(-,-) или просто аппроксимирующим. Функция ( -,-,) Є К ([а, Ь] хШп х [0, со)) в неравенстве (3) определяет степень близости значения F(t,x,S) в точке (і,ж) Є [a.b] х Жп к значению F(t, х) для каждого фиксированного 5 Є [0, со). Эту функцию (,-,)
будем называть степенью аппроксимации отображения F : [а, Ь] х хГ^ comp[Rn] отображением F : [а, і] х Г х [0, оо) -> comp[Mn] или просто степенью аппроксимации. Будем считать, что F( , , ) определяет способ или метод аппроксимации отображения F( , ). Пару (F( -,-,-), ( -,-,)) будем называть аппроксимацией отображения F(-, ), а если при почти всех t Є [а, 6] и всех (х,5)
Рассмотрим также для каждого 5 Є [0, оо) дифференциальные включения
x(t)GQv(t,x(t),S), te[a,b], (4)
x(t)eQmr}{t,x{t),8), *е[а,Ь], (5)
где отображение ( : [а, 6] х IRn х [0, оо) -—> comp[Mn] задано равенством
Qr,(t,x,S) = F{t,xJ)^t^i (6)
а отображение Qmrt ' [«, 6] х IRn х [0, оо) —> comp[Rn] определено равенствами
h(t,x,6) = F(t,B[x,rio(t,x,8)]-A (7)
QVoV(t,x,e) = (F0(t,x,5))^6l
Будем считать, что функции 770(-,-,-)5 v(' > ' > ') ^ -^( [а> b] х IRn х х [0, оо)) задают соответственно радиус внутренних и внешних возмущений аппроксимирующего отображения F( , , ). Дифференциальное включение (4) будем называть аппроксимирующие дифференциальное включение (1) с внешними возмущениями, а дифференциальное включение (5) аппроксимирующие дифференциальное включение (1) с внутренними и внешними возмущениями.
В настоящей диссертации рассмотрены условия, при которых множества решений включений (4) и (5) сходятся к множеству решений задачи (1) для любых возмущений.
Под решением включения (1) или (2) понимается абсолютно непрерывная функция х : [а, Ь] —> Жп при почти всех t Є [а, b] удовлетворяющая включению (1) или (2). Каждое решение дифференциального включения (4) или (5) при фиксированном S > 0 называется ^-решением дифференциального включения (1) и определяется аналогично.
Понятие приближенного решения (^-решения) дифференциального включения введено А.Ф. Филипповым (см. [81, с.60]). Это определение имеет важное значение для изучения дифференциальных включений с выпуклозначной и полунепрерывной сверху правой частью, поскольку пределы сходящихся последовательностей приближенных решений являются решениями (см. [81, с.60]). Отличие от сформулированного здесь и приближенного решения по А.Ф. Филиппову заключается в том, что значения многозначных отображений, определяющие "приближенные дифференциальные включения", не "овыпукляются". Как оказалось, такое определение приближенного решения полезно для исследования аппроксимаций дифференциальных включений с невыпуклой правой частью.
Задачи, связанные с методами аппроксимации дифференциальных включений возникают в различных приложениях, например, когда значения многозначного отображения F : [а, Ь] х Ш"' —> comp[Mn] или значения аппроксимирующего отображения F : [a, b] xln х [0, оо) —> comp[Mn] известны с некоторой степенью точности (погрешностью), которая определяется функциями ( -,-,) и ?](,-,) из множества К {[а, Ь] х Шп х х [0, оо)), соответственно. В то же время значения решения х : [а, Ь] —> W1 дифференциального включения могут быть известны с некоторой степенью точности, которая определяется r}a(t,x,6). Причем эти погрешности неравномерны относительно фазовой переменной х Є Rn. В связи с этим
изучение дифференциальных включений (4) и (5) приобретает особую актуальность и представляет не только теоретический, но и практический интерес.
В работах [4], [5], [72], [801, [81L f84L [Ю6], [107] для задачи Копій показано, что если отображение F(-, ) удовлетворяет условию Липшица по второму аргументу или расстояние по Хаусдорфу между значениями многозначного отображения оцениваются функцией Камке, то замыкание в пространстве непрерывных функций множества решений включения (1) совпадает с множеством решений "овыпукленного" дифференциального включения (2). В общем случае такого равенства может и не быть. Подтверждением этому служит пример А. Плиса (A. Plis) [108], [80]. Данная работа посвящена исследованию структуры множества решений "овыпукленного" включения в общем случае. В ней доказывается, что, если внешние возмущения г}( -,-,) Є K([a,b] хГх [0, со)) сравнимы со степенью аппроксимации (-,-,) Є K([a,b] х Wl х [0, эо)) отображения F( , ), то пересечение замыканий в пространстве непрерывных функций множеств приближенных решений ((^-решений) совпадает с множеством решений "овыпукленного" дифференциального включения (2). Отметим, что результаты первой и третьей главы расширяют границы представления множества решений "овыпукленного" дифференциального включения и представляют собой усиление и уточнение результатов А.И. Булгакова, Л.И. Ткача [20], [21], [22], [23], [26], [27], Н. Hermes [98], [99] и продолжают исследования, опубликованные в работах [24], [28], [29].
На упомянутые выше утверждения опирается изучение проблемы устойчивости множеств решений дифференциального включения (не обладающего свойством выпуклости правой части) к различного рода возмущениям, изложенное в главах 2 и 4. При этом устойчивость множеств решений понимается в естественном смысле, т. е. "небольшие" измене-
ния как самого заранее заданного множества V С Сп[а,Ь], которому принадлежат решения дифференциального включения, так и правой части включения должны "мало" изменять множество решений. Такие задачи представляют особый интерес, поскольку в отличии от дифференциальных уравнений для дифференциальных включений даже незначительные погрешности, вызванные вычислениями значений правой части включения (1), могут существенно изменить множество решений дифференциального включения, определенного даже на конечном отрезке.
В работе получены необходимые и достаточные условия, когда аппроксимация дифференциального включения является устойчивой относительно внутренних и внешних возмущений, т.е. когда "небольшие" изменения (в смысле расстояния по Хаусдорфу) правой части включения приводят к "небольшому" изменению множества решений.
Этим условием является плотность множества решений дифференциального включения (1) с невыпуклой правой частью во множестве решений "овыпукленного" включения (2) (см. ниже).
Вышеописанные результаты далее применяются для исследования аппроксимации периодических и многоточечных краевых задач. Полученные утверждения дополняют результаты работ А.Е. Ирисова, Е.Л. Тонкова [38], G. Colombo [89].
Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Первая глава посвящена изучению аппроксимации дифференциальных включений с внешними возмущениями. В параграфе 1.0 приводятся некоторые общие сведения из теории многозначных отображений и теории дифференциальных включений, а также вводятся понятия аппроксимирующего отображения, степени аппроксимации отображения F : [а, Ь] —» comp[Rn] (см. выше) и модуля непрерывности отображения F : [а, Ь] —> согпр[Жп], радиуса непрерывности.
Пусть ^(-,-,-) Є K([a,b] х En х [0, оо)). Определим функцию
ip(if)) : [a, 6] x Г x [0, oo) —> [0, со) равенством
y>(V)(*, *,<*) = sup /i[F(i,x),F(t,y)].
уЄВ[ж,і/ЧМ,<5)]
Значения функции ip(ip)( , , ) в точке (t, х, S) будем называть модулем непрерывности отображения F : [а, Ь] х Жп —> сотр[Мп] в точке (і, ж) по переменной х в шаре В[х, ф(і, ж, 5)], функцию ^(-, , ) - функцией радиуса модуля непрерывности или просто радиусом непрерывности, а саму функцию (р(ф)( -,-,)- функцией модуля непрерывности или просто модулем непрерывности отображения F : [а, Ь] х Мп —> сотр[Мп] относительно радиуса непрерывности 1р(-, , ).
В параграфе 1.1 изложены основные теоремы о представлении множеств решений дифференциального включения (4). Показана связь между множествами решений дифференциальных включений (2) и (4).
Следует отметить, что поскольку отображение F : [a, b] х!"-» —> сотрІД"] удовлетворяет условиям Каратеодори, то согласно работам А.Ф. Филиппова [80], Н.А. Antosiewicz, A. Cellina [86], [87] множество решений дифференциального включения (1) непусто.
Пусть V С Cn[a,b]. Обозначим через H(V), Hco(V) множества решений дифференциальных включений (1) и (2), соответственно, принадлежащих множеству V, а через HV^)(V) - множество всех ^-решений дифференциального включения (1) при заданном S > 0, принадлежащих множеству V.
Отметим также, что здесь исследование проводится на основе свойств квазирешений дифференциальных включений. Понятие квазирешения (квазитраектории) включения дано Важевским (Т. Wazewski).
Через %{у) обозначим множество всех х{ ) Є V с Сп[а,Ь], обладающих свойством: для каждого х(-) Є 0i(V) существует такая последовательность абсолютно непрерывных функций Хі(-), г = 1,2,...,
что Хі{-) — х(-) в Сп[а,Ь] при і —> ею, для любого г = 1,2,... справедливо включение Хі(-) Є Vа и при почти всех t Є [а, 6] выполняется соотношение
±i{t) eF(t,x(t)).
Для любого множества V С Сп[а,6] через U(V) С Кп обозначим множество
U(V) -{ієГ : Зу( ) Є V,* Є [a, b] х = y(t)}.
Теорема 1.1.1. Пусть V с Cn[a, 6] - ограниченное замкнутое множество пространства Сп[а, Ь] и пусть ?/>(, , ) Є P([a,b] х lRn х х [0,сю)). Далее, пусть пара (F(-, , ),,(, , )) аппроксимирует отображение F( , ). Тогда для любой функции г/( , . ) Є /С([а, Ь] х xlnx [0, сю)), для которой существует такое число є > О, что при почти всех t Є [а, 6], есеж ж Є ([/(У))є іі if G [0, сю) имеет место неравенство
{t,х,8) + <р(ф)&х,6) < /?(,х,(У), (8)
где (р(ф)( -,-,)- модуль непрерывности, а ( -,-,) - степень аппроксимации отображения F{ , ), выполняется соотношение
Нсо(У) = Г\Нф)(У*), (9)
где ^(^(У5) - замыкание в пространстве Сп[а,6] множества Hri(6)(V6)i V6 - замкнутая в пространстве Сп[а,Ь} 8-окрестность множества V.
Если пара (F( , , ), ( , , )) аппроксимирует отображение F : [о, 6] xln-^ comp[IRn] вложением, теорему 1.1.1 можно уточнить.
Теорема 1.1.2. Пусть V - ограниченное замкнутое множество пространства Сп[а,6] и пусть ф{ -,-,) Є Р([а, 6] х Шп х [0, сю)). Далее, пусть пара (F( , , -),{> . )) аппроксимирует отображение
F( , ) вложением. Тогда для любой функции 77(-,-,-) Є K([a,b] х х Rn х [0,оо)), для которой существует такое число є > 0, что при почти всех t є [a, b] всех х Є (U(V)) и 8 є [О, оо) выполняется оценка
справедливо равенство (9).
Полученные результаты используются в параграфе 1.2 для исследования аппроксимации периодических и многоточечных краевых задач.
Отметим, что не всегда множество решений дифференциального включения (1) плотно во множестве решений включения (2).
Утверждение теоремы 1.1.1 вместе с примером Плиса устанавливают, что, если правая часть дифференциального включения (1) не обладает свойством выпуклости, аппроксимация дифференциального включения (1), вообще говоря, может и не быть устойчивой, т.е. "небольшие" изменения правой части включения (1) могут существенно изменить множество решений включения (1). Кроме того, левую часть оценки (8) при заданном радиусе непрерывности ф( ,-,-) Є Є P([a,b] х Rn х [0, сю)) и произвольной степени аппроксимации ( , , ) можно рассматривать как оценку "грубости измерений" аппроксимирующего отображения F(-,-,-), за границей которой нарушается устойчивость множества решений дифференциального включения (1), если замыкание множества решений включения (1) не совпадает с множеством решений включения (2).
Таким образом, сведения изложенные в главе 1, являются основой для изучения вопроса устойчивости аппроксимации дифференциальных включений к внешним возмущениям. Этому вопросу посвящена глава 2. В параграфе 2.1 вводятся понятия устойчивости аппроксимации дифференциального включения относительно внешних возмущений и принципа плотности дифференциального включения, а также формулируются
необходимые и достаточные условия устойчивости аппроксимации дифференциального включения относительно внешних возмущений из различных классов функций.
Для каждой функции ?](,,) Є K([a,b] х Rn х [0, оо)) многозначное отображение Qv : [а, Ь] х Шп х [0, оо) —» comp[Rn], определяющее включение (4), задано равенством (6) и при почти всех t Є [а, 6] и всех х Є Шп обладает свойством
Urn h[Qr,{t,x,S),F{t,x)] = Q, (10)
<5—>0+0
то есть, все отображения Qn{ , , ), определенные равенством (6) и зависящие от функции г/( , , ) Є K([a,b] xSnx [0, оо)) и параметра 5 Є [0,оо), "близки" (в смысле равенства (10)) к отображению F(-, ), порождающему включение (1). Поэтому, естественно возникает вопрос: при каких условиях справедливо равенство
Щ7) = [)1Щуї) (її)
для любой функции ту( -,-,) Є К ([а, Ь] х Шп х [0, оо))?
Будем говорить, что аппроксимация дифференциального включения (1) устойчиво на органиченном замкнутом множестве V С Сп[а, Ь] относительно внешних возмущений из класса K([a,b] х хМпх[0, оо)), если для любой функции г/( -,-,) Є К([а, Ь] хЕпх [0, оо)) выполняется равенство (11).
Будем говорить, что для дифференциального включения (1) на множестве V С Сп[а, Ь] выполняется принцип плотности, если справедливо равенство
Н(У) = Нт(У). (12)
Теорема 2.1.1. Пусть V - ограниченное замкнутое множество пространства Сп[а, Ь]. Пусть пара [F( , , ),(, , )) аппроксимирует отобраоїсение F(-,-). Тогда для того, чтобы для
любой функции ^(-,-,-) є K([a,b] х Шп х [0, сю)) при почти всех t є [a, b] и всех {х, 8) Є U(V) х [0, со) удовлетворяющей соотношению (t,x,5) ^ rj(t,x,5), аппроксимация дифференциального включения (1) была устойчивой необходимо и достаточно, чтобы для включения (1) на множестве V выполнялся принцип плотности.
Таким образом, из теоремы 2.1.1 следует, что дифференциальное включение (1) устойчиво на ограниченном замкнутом множестве из Сп[а, Ь] относительно внешних возмущений из класса К([а,Ь] хГх х [0, ос)) только в том случае, когда отображение F( , ) либо имеет выпуклые образы, либо, когда для включения (1) на этом множестве выполняется принцип плотности. Последнее, как подтверждает пример Плиса (A. Plis), равенство (12) для дифференциальных включений выполняется далеко не всегда.
Будем говорить, что отображение F : [a, b] х R" —> comp[Rn] удовлетворяет условию Липшица, если существует такая суммируемая функция I : [а, Ь] —* [0, со), что при почти всех t Є [ft, b] и всех ж, у Є М.п справедливо неравенство
h[F(t,x),F(t,y)]^l(t)\x-y\.
Будем говорить, что функция q : [а, 6] х [0, со) —> [0, со) обладает свойством &/, если для любого 5 Є [0, сю) функция q( , 6) измерима и для любого 5 Є [0, со) найдется такая суммируемая функция ms ' [а, 6] —» —> [0, со), что при почти всех t Є [а, 6] и всех т Є [0,6] выполняется неравенство q(t,r) ^ 7n$(t).
Будем говорить, что отображение F : [а, Ь] х Шп х [0, оо) —> —* comp[Rn] обладает свойством 38, если при всех (х, 8) Є Rn х [0, со) отображение F(-,х,8) измеримо и существует такая функция q : [а, 6] х [0, со) —> [0, со), обладающая свойством ,й/, что при почти
всех t є [a, b] и всех х, у Є Ш.п и S Є [0, со) выполняется неравенство
fc[F(*, x,S),F{t,y16)]^q(t16)\x-y\.
Теорема 2.1.4. Пусть М Є comp[Kn] и пусть пара (F( , , ),(, , )) аппроксимирует отображение F{-, ). Далее, пусть отображение F{ , ) удовлетворяет условию Липшица, а отображение F( , , ) обладает свойством 3$. Тогда для любой функции г)( -,-,) Є К ([а, 6] х 1" х [0, со)) имеют место равенства
ЩЩ = П Нф](М) = f| ЯЧ(І)(М«),
гдеН(М), Hv(s)(M), НГ]^)(М6) -замыкания в пространстве Сп[а,Ь] соответствующих множеств.
В параграфе 2.2 рассмотрены вопросы устойчивости аппроксимации периодических и многоточечных краевых задач.
Аппроксимация дифференциального включения с внешними возмущениями
Пусть отображение F : [a, b] х Rn —comp[Rn] удовлетворяет условиям Каратеодори. Рассмотрим дифференциальные включения фиксированном 5 Є [0, оо) дифференциальное включение где отображение Qv : [a, b] х Rn х [0, сю) —» сошр[Мп] задано равенством (1.0.6). Отметим, что правая часть дифференциального включения (1.1.3) может быть и невыпуклозначной. Дифференциальное включение (1.1.3) будем называть аппроксимирующим дифференциальное включение (1.1.1) с внешними возмущениями. Отметим, что для каждой функции г/( , , ) Є K([a,b] х IRn х х [0, оо)) при почти всех t Є [a, b] и всех х Є Жп справедливо равенство Каждое решение х : [а, 6] —Ж" дифференциального включения (1.1.3) будем называть S-решением (приближенным решением с точностью до S или просто приближенным решением) включения (1.1.1). Обозначим через H(V), Hco(V) множества решений дифференциальных включений (1.1.1) и (1.1.2), соответственно, принадлежащих множеству V, а через Hv(s)(V) - множество всех ( -решений дифференциального включения (1.1.3) при заданном 5 0, принадлежащих множеству V. Замыкания этих множеств будем рассматривать в пространстве через V6 будем обозначать замкнутую -окрестность множества V в пространстве Сп[а, Ь]. Обозначим через S(F( )) множество всех измеримых селекторов (ветвей) отображения F : [a, Ь] — comp[Rn]. Пусть V С Сп[а, Ь]. Далее, обозначим через CK(V) С Dn[a,b] множество всех х(Є KiV) (квазирешений включения (1.1.1)), обладающих свойством: для каждого х(-) Є КІУ) существует такая последовательность ХІ(-) Є Dn[a,b], і = 1,2,..., что для любого і = 1,2,... справедливо включение Х{{ Є V и Х{( ) — х(в Сп[а, Ь] при і —» оо. замечание 1.1.1.
Отметим, что множество решений дифференциального включения (1.1.1) непусто, поскольку многозначное отображение F : [a, b] xff1-) comp[lRn] удовлетворяет условиям Каратеодори [80], Теорема 1.1.1. Пусть V с C a b] - ограниченное замкнутое множество пространства Сп[а, Ь] и пусть ф(, , ) Є P([a,b] х!"х х [0,оо)). Далее, пусть пара (F(-, ),( , , )) аппроксимирует отображение F(). Тогда для любой функции г]( -,-,) Є K([a,b] х хМпх [0, со)), для которой существует такое число є 0, что при почти всех t Є [a, 6], всех х Є (U(V)) (см. (1.1.5)) и S Є [0, оо) имеет место неравенство где (р(ф){ ) модуль непрерывности, a - степень аппроксимации отображения F(-, ), выполняется соотношение где Hv(s)(V6) - замыкание в пространстве Сп[а,Ь] множества Hi{6){V5), У5 замкнутая в пространстве Сп[а,Ь] 6-окрестность множества V. доказательство. Пусть є 0. И пусть функция г)(-,) е Є K([a,b] х IRn х [0,оо)) при почти всех t Є [а, 6], всех х Є (U(V)) и S Є [0, со) удовлетворяет неравенству (1.1.6). Вначале докажем, что Пусть х{ Є Нсо(у) и S 0. Тогда, согласно [20], [23], для х{ найдется такая последовательность абсолютно непрерывных функций Х{ : [а, Ь] — — Шп і = 1,2,..., обладающих свойствами: ХІ) — х(в Сп[а, Ь] при і- оои для любого г = 1,2,... ±;( ) є 5"(F( , т(Пусть Д - такой номер, что при всех г 1\ выполняется включение Хі(-) Є Vs и при всех г Д и і Є [a, b] справедливо соотнотттснис Xi(t) Є (U(V))E. Так как t/j( -,-,) Є Р([а, 6] х Rn х [0, со)), то найдется такой номер h, что при всех г І2 при почти всех є [а, 6] имеет место включение х(і) Є Є Б[.тг(), / (, ж (),$)]. Тогда при всех г max{7i,/2} ПРИ почти всех t Є [а, 6] справедливы оценки Таким образом, для любого і тах{Д, } имеет место включение ХІ(-) Є ( (V5). Это означает, что х(-) предельная точка множества HV(5)(V6) и поэтому х(-) Є HV (V6). Следовательно, х(Є П (5)(V"5) и вложение (1.1.8) доказано. Пусть х(Є 0 Hv(s}(Vs) и пусть последовательность положительных чисел Jf — 0. Далее, пусть ЖЄ Hv .)(V6i), і = 1, 2,... - такая последовательность, что ajj( ) аг в Сп[а,Ь] при г —» оо. Так как последовательность ХІ(-), і = 1,2,... ограничена суммируемой функцией, то х(-) абсолютно непрерывна и ±;( ) — х(слабо в Ln[a, b] при і — оо. Определим последовательность абсолютно непрерывных функций УІ : [а, 6] — Rn, г = 1,2,..., для каждого і = 1,2,..., удовлетворяющая включению УІ(-) Є 5(.Р( ,:r( ))), равенству Уі{а) = :с;(а) и при почти всех t Є [a, b] соотношению Тогда для любого г = 1,2,... при почти всех t Є [а, 6] получаем оценки Таким образом, для любого і = 1,2,... при почти всех t Є [a, b] имеет место неравенство неравенства (1.1.10) и теоремы Лебега следует, что Из этого вытекает, что последовательность уі(-) — х(-) в Сп[а, Ъ) при г —+ оо и /г( ) —» ±( ) слабо в пространстве Ln[a,b] при г —» оо. Так как для любого г = 1, 2,... уі(Є 5( ( ,#())), то согласно [37, с. 177] х(-) Є 5(coF(,ж( ))), то есть х( ) Є Ясо(У). Таким образом, вло жение (1.1.9) доказано. И, следовательно, равенство (1.1.7) справедли во. D
Устойчивости в аппроксимации периодических и многоточечных краевых задач с внешними возмущениями
Рассмотрим дифференциальное включение где отображение Fw : ( — оо,оо) хГ- comp[IRn] ы-периодично по первому аргументу и удовлетворяет условиям Каратеодори на [0, ш] х Шп. Рассмотрим дифференциальное включение Пусть V(UJ) - ограниченное замкнутое множество подпространства С%[0,ш] (Q[0,w] - {х(-) Є Сп[0:и] : х(0) = х{ш)}). Пусть 7/(-,-,-) еК([0,и] хК"х [0,оо)). Далее, пусть H(V(UJ)) (HCO(V(LO))) - множество всех решений включения (2.2.1) (включения (2.2.2)), принадлежащих множеству V(u). а Нф)(У(и )) - множество всех 5-решений включения (2.2.1) при фиксированном 6 0, принадлежащих множеству V(u ). Будем говорить, что ш-периодическая аппроксимация дифференциального включения (2.2.1) устойчива на ограниченном замкнутом множестве V{LO) С CQ[0,UJ] относительно внешних возмущений из класса К([0, и] хГх [0, со)), если для любой функции г)( -,-,-) Є K([Q,u] х х Шп х [0, со)) выполняется равенство где H(V(UJ)) и Hri (Vs(u )) - замыкания множеств H(V(to)) и HTj (V6 (ш)) в пространстве CQ[0,UJ], соответственно, Vs (ui) - замкнутая tf-окрестность множества V(u) в пространстве CQ[0,о;]. Теорема 2.2.1. Пусть V(uS) - ограниченное замкнутое множество пространства CQ[0:UJ]. Пусть пара (Fu)) UJ-периодическая аппроксимация отображения І Ц-,-). Тогда для того, чтобы для любого радиуса внешних возмущений Г}( , , ) Є К([0, со] х Шп х [0, оо)) при почти всех t Є [0,ш] и всех (х,6) Є U(V(u )) х [0, с») (см. (1.1.5)) удовлетворяющего соотношению (t,x,S) ](t,x,S), дифференциальное включение (2.2.1) было устойчиво на множестве V(u ) необходимо и достаточно, чтобы для включения (2.2.1) на множестве V(u) выполнялся принцип плотности. Доказательство непосредственно вытекает из теоремы 1.2.1 и доказательства теоремы 2.1.1. Рассмотрим дифференциальное включение (2.1.1) с краевыми условиями где с Є (а, 6), Га, Гь, Г Є сотр[Жп] - заданные множества. Дифференциальное включение (2.1.1) с краевыми условиями (2.2.4) определяет задачу, которую будем называть многоточечной краевой задачей (2.1.1), (2.2.4) (абсолютно непрерывная функция х : [а, Ь] — Шп - решение задачи (2.1.1), (2.2.4), если при почти всех t є [а,Ь] она удовлетворяет включению (2.1.1) и краевым условиям (2.2.4)). Пусть г)(-, , ) Є К ([а, Ь] х W1 х [0, сю)). Абсолютно непрерывную функцию х : [а,Ь] Шп назовем J-решением краевой задачи (2.1.1), (2.2.4), если при почти всех t Є [a,b] для х(-) справедливо включение (2.1.3) и х(удовлетворяет краевым условиям (2.2.4). Пусть Е = {х{-) Є Cn[a,b] : х(а) є Га, x{b) Є Гь, х{с) Є Г} и Hrj ){V П Е) - множество всех (5-решений задачи (2.1.1), (2.2.4), принадлежащих множеству V с Сп[а:Ь].
Будем говорить, что краевая задача (2.1.1), (2.2.4) устойчива на ограниченном замкнутом множестве V С Сп[а,Ь] относительно внешних возмущений из класса K([a,b] хШ.п х [0, ос)), если для любой функции гє К {[а, Ь] х W1 х [0, оо)) выполняется равенство где Н(У П Е) к Hv(s)(V6 П Е) - замыкания в пространстве Cn[a,b] множеств H(V П Е) и Д ДУ5 П "), соответственно. Теорема 2.2.2. Пусть V - ограниченное замкнутое множество пространства С"[а, Ь]. Пусть пара (F)) аппроксимирует отобраэюение FТогда для того, чтобы для любого радиуса внешних возмущений г)(- Є К {[а, 6] х 1" х [0, оо)) при почти всех t Є [а, b] и всех (ж, 6) є U(V П Е) х [0, сю) удовлетворяющего соотношению (t,x,S) r)(t,x,5), краевая задача (2.1.1), (2.2.4) была устойчива на множестве V П Е необходимо и достаточно, чтобы для включения (2.1.1) на множестве V П Е выполнялся принцип плотности. Доказательство непосредственно вытекает из теоремы 1.2.2 и доказательства теоремы 2.1.1 В этой главе рассматриваются методы аппроксимации дифференциальных включений зависящих от внутренних и внешних возмущений. Доказывается, что такие аппроксимации обладают подобными свойствами, что и аппроксимации дифференциальных включений с внешними возмущениями. В то же время показано, что они имеют ряд специфических особенностей неприсущих аппроксимации дифференциальных включений с внешними возмущениями. K([a,b] xl"x [0, оо)), определим функцию (г/0) : [о, Ь] хЕпх [0, оо) ([a, b] xln х [0, оо)) Тогда функция (т?о)() заданная равенством (3.0.1), принадлежит множеству K([a,b] х Шп х [0, оо)). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как функция ( , , ) є К ([a, b] х En х х [0, оо)), то при каждом х Є Rn и 8 Є [0, оо) функция (г?о)( , ж, ) измерима и для каждого U Є сотр[Мп] и 8 Є [0, оо) найдется такая функция т Д ) Є LT[a, 6], что при почти всех t Є [a, b] и всех ж Є U и г є
Аппроксимация периодических и многоточечных краевых задач с внутренними и внешними возмущениями
Рассмотрим дифференциальные включения менту отображение. К([0,и]хШпх[0,оо)), K[Q,u)xRnx[0,oo)), P[0,OJ] хГх [0, оо))) - множества функций 7] : (—оо, оо) хЖп х [0, оо) — [0, оо), w-периодических по первому аргументу и на [0, а;] обладающих свойствами функций из множеств К{[а,Ь] х1"х[0, оо)), К{[а,Ь] хГх [0, оо)), Р([а,b] xl"х [0, оо)), соответственно. Пусть V(u) С CQ [0, о;] - ограниченное, замкнутое множество, HCO(V(UJ)) - множество всех решений включения (3.2.2), принадлежащих множеству V(LO). A"([0,CJ] х Rn х [0,00)). Обозначим через НПо п )(У(и!)) множество всех (5-решений включения (3.2.1), принадлежащих множеству V{UJ) (множество сужений на [0, и ] всех w-периодических ( -решений включения (3.2.1), сужения которых принадлежат множеству V(u)). Теорема 3.2.1. Пусть V{ui) - ограниченное замкнутое множество пространства CQ[0,OJ] и пусть / (,-,) Є Р([0,си] х xRnx [0, оо)), i]o(- , для которой существует такое число є 0, что при почти всех t Є [0,w], всех х Є (U(V(tu))Y (см. (3.1.4)) и 6 & [О, оо) имеет место неравенство где H s s)(Vs(ш)) - замыкание в пространстве CQ[0,UJ\ множества Hri0{5)r]{5){V (6 ))) (а;) - замкнутая в пространстве Cg[0, о ] 6-окрестность множества V(uS). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Действительно, в доказательстве теоремы 1.2.1 показано, что при любом 8 0 выполняется включение Следовательно, все условия теоремы 3.1.1 выполнены и равенство (3.2.3) справедливо. работы [38]. Рассмотрим многоточечную краевую задачу где с Є (а, 6) и Га, Гь, Г є comp[Rn] - заданные множества. Под решением задачи (3.2.4) будем понимать абсолютно непрерывную функцию x : [a, b] — Жп, удовлетворяющую при почти всех і Є [a, b) дифференциальному включению в задаче (3.2.4) и соотношениям х(а) Є Га, х(Ь) Є Є Гь, х{с) е Г. Пусть щ{ , , ) є К ([а, Ь] х Rn х [0, оо)), г?( , , ) Є К ([a, b] х х ]Rn х [0,оо)). Будем говорить, что абсолютно непрерывная функция х : [а, Ь] —- Rn - 5-решение задачи (3.2.4), если при почти всех і Є Є [a, 6] выполняется включение (3.1.3) и соотношения ж (а) Є Га, х(Ь) є Є Гь, ж(с) Є Г. Обозначим через Н іу П і?) множество всех -решений задачи (3.2.4), принадлежащих множеству V С Сп[а,Ь] {Е = {х(-) є Є С ,6] : х(а) Є Га, ж(Ь) Є Гь, х(с) Є Г}). Далее, рассмотрим задачу И пусть Hco(VnE) - множество решений задачи (3.2.5), принадлежащих множеству V С Сп[а,Ь]. Теорема 3.2.2. Пусть V с Сп[а,Ь] - ограниченное замкнутое множество пространства Сп[а,Ь] и пусть ф(-, ,) Є P([a,b] х х Rn х [0,00)), 770(-,-,-) Є K([a,b] х Шп х [0, сю)). Далее, пусть (F( , , ),(-, , )) аппроксимирует отображение F( , ). Тогда для любой функции 7/(-,-,-) Є К([а, 6] х IRn х [0, оо)), для которой существует такое число є 0, -что при почти всех t Є [a, 6] всех х Є (/(V П Е))є (см. (3.1.4)) и S є [0, оо) имеет место неравенство где функция (г?о)( , , ) определена равенством (3.0.1), /9(-)(-, , ) - модуль непрерывности отображения F{ , ) относительно радиусов где i (б)т](б)(V6 П і?) - замыкание в пространстве Сп[а,Ь] множества HT]0 )ri(&){V5 П Е1), Уй - замкнутая в пространстве Сп[а,Ь] S-окрестностъ множества V. 1.2.2 показано, что при любом S 0 для множеств V и Е справедливо включение где V6 замкнутая -окрестность множества У в пространстве Сп[а,Ь].
Следовательно, все условия теоремы 3.1.1 выполнены и равенство (3.2.6) справедливо. D [89]. В данном параграфе рассматривается дифференциальные включения (3.1.1), (3.1.2) и (3.1.3), и предполагается, что радиус внутренних воз Теорема 3.3.1. Пусть V - ограниченное замкнутое множество со)) справедливо равенство (3.1.6). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Вначале докажем, что Hco(V) с С П Hvo(S)v(6)(vS)- ПУСТЬ () Є #co(V) и є 0, 5 0. Тогда, согласно [20] и [23] для х(-) найдется такая последовательность абсолютно непрерывных функций Х{ : [а,Ь] — Шп і = 1,2,..., обладающих свойствами: 2 (-) —» х(-) в С"1[а,Ь] при г — оо и для любого г = выполняется включение ICJ( ) Є V5 и при всех і Д и Є [а, 6] справедливо соотношение ;() Є (U(V)y. число r((7(V))e, S) 0, такое, что при почти всех t Є [а, 6] выполняется неравенство г(([/(У)), 5) 770(, #г(), ). Следовательно, найдется такой номер І2, что для любого г І2й при почти всех t Є [а, 6] справедливо включение Отсюда следует, что для любого і Д и ПРИ почти всех Є [а, Ь] справедливы соотношения Из включений (3.3.1) и (3.3.2) при всех і 12 и при почти всех t Є [a, b] вытекают соотношения Следовательно, для всех і max{/i, /2} ХІ(-) решение включения (3.1.3), а значит х(-) Є HVo(6)ri{8){Vs) Для любого 5 0 и х(-) Є П Я М(У ). Таким образом Hco(V) С f] НМ6Ы6)(У6). 6 0 6 0 Противоположное включение доказывается аналогично доказательству ЗАМЕЧАНИЕ 3.3.1. Теорема 3.3.1 показывает, что, сужая класс функций, определяющих внутренние возмущения дифференциального включения (3.1.3), можно существенно расширить класс функций, определяющих внешние возмущения дифференциального включения (3.1.3), для которых справедливы равенства (3.1.6). Пусть аппроксимирующее отображение F : [а, Ь] х Шп х [0, со) —» — comp[Rn] обладает свойством: a) для любых (х, 5) Є Шп х [О, сю) F(- ,х, 5) измеримо; К {[a, b] xt"x [0, со)). Определим отображения Ф : [a,b] хЕпх[0, со) —» — сотр[Мп], Фг/оГ/ : [а, 6] х Г х [0, со) — comp[Rn] равенствами где в (3.3.3) ext () - замыкание множества крайних точек соответствующего множества. Для каждого фиксированного S О рассмотрим диф
Аппроксимация вложением и с положительной оценкой снизу радиуса внутренних возмущений периодических и многоточечных краевых задач
Определим отображение Ф : (—оо, оо) х Rn х [0, сю) — comp[En] равенством (3.3.3) для w-периодического по первому аргументу отображения F : (—оо, оо) х 1" х [0, оо) — comp[Rn]. Пусть 770(-, ) еР{[0,ш] хШпх [0,со))иг/(-, , ) Є К ([0, со] х х Rn х [0,00)). Рассмотрим дифференциальное включение Пусть Нщ т іУ )) - множество всех решений включения (3.4.1), принадлежащих множеству У (to) С CQ[0,OJ]. Из теоремы 3.3.2 вытекает следующие утверждение о представлении cj-периодических -решений дифференциального включения (3.4.1). Теорема 3.4.1. Пусть У(ш) - замкнутое множество пространства Сп[а, Ь]. Далее, пусть пара (.Fw( , , ) ("? )) to-периодически аппроксимирует отображение Fw(-,-) вложением и Fw( , , ) удовлетворяет условиям Каратеодори. Тогда для любых функций г7о( , -О Є P([0,w] хЕ»х [0,00)) (-,-, -)Є А-([0,И х JR" х [0, со)) справедливы равенства где Hri0(6)ri(s)(y6(u)) - замыкание в пространстве Сп[а, Ь] множества Нг10Ш5)(У6 )) ется включение Пусть х( Є HCO(V(LO)). Тогда, для w-периодической функции х : (—оо, оо) — Шп при почти всех t Є [0,ш] выполняется включение и равенство Так как для функции х(-) при любом t Є [a, b] имеют место соотношения Fw{t,x{t)) С соРш(г,х{1),6) = соФи ,х{Ъ),5) [85, с. 89], то при почти всех t Є [a, b] Поэтому, в силу леммы 1.0.5, найдется последовательность суммируемых функций у І : [0,UJ] — Жп, і = 1,2,..., обладающая следующими свойствами: при почти всех t Є [0,и ] и всех і = 1,2,... выполняется для любого і = 1, 2,... имеет место равенство и Уг( ) ( ) слабо в Ln[0, о;] при і — оо. Пусть для любого г = 1, 2,... абсолютно непрерывная функция Х{ : [0, о;] — Кп задана равенством Тогда, согласно (3.4.5) и (3.4.6), для любого г = 1,2,... выполняется соотношение Х{(0) = Xi(cu) и при почти всех t Є [a, b] имеет место включение Xi(t) Є Фш(і,х(і),6). Кроме того, не уменьшая общности, можно считать, что ж;( ) — х{ в CQ[0,LO] при і — оо. Таким образом, #( ) Є Є !К(Уй(о;), ) и, следовательно, включение (3.4.3) справедливо. Пусть 7/о(-, , ) еР([а,6] хГх [0,оо)) и ту( , ) ЄІГ([а,6] х х Rn х [0, оо)). Рассмотрим задачу где отображение Фвд : [а, 6] х Еп х [0, оо) —» comp[Rn] задано равенством (3.3.4), с Є (а,6) и Га, Гь, Г є comp[Rn]. Пусть Hrio[s)ri{s)(V П ) - множество всех решений задачи (3.4.7), принадлежащих множеству V С Сп[а,Ъ], Е={х(-) еСп[а,Ь] : х{а) є Г0, я(Ь) Є Гь, ж (с) Є Г}. Из теоремы 3.3.2 вытекает следующие утверждение о представлении -решений задачи (3.4.7). Теорема 3.4.2. Пусть V - замкнутое множество пространства Сп[а,Ъ\. Далее, пусть пара (F( , , ),( , , )) аппроксимирует отображение Р( , ) вложением и F{ ) удовлетворяет условиям Каратеодори.
Тогда для любых функций щ(-, , ) Є Р([а,6] хГх [0,оо)), т/(-, , ) Є tf([a,6] х R" х [0,оо)) справедливы равенства где # ),7((5)( П і?) - замыкание в пространстве Сп[а, Ь] мпооїсества Действительно, пусть х{ ) Є Ясо(У П ). Так как для любого t Є [a, b] справедливо равенство со F(t,x(t), 6) = со Ф(, #(),), то функция ж(-) при почти всех t Є [a, b] удовлетворяет дифференциальному включению и соотношениям Далее, согласно лемме 1.0.5, для х( ) найдется такая последовательность суммируемых функций у І : [а, Ь] — Rn, г = 1,2,..., что для любого г = = 1,2,... при почти всех t Є [а, 6] справедливо включение при всех г = 1,2,... выполняется равенство и /?(") ( ) слабо в Ln[a,b] при г — оо. Таким образом, определив для любого г = 1,2,... абсолютно непрерывную функцию ХІ : [а, Ь] — Кп равенством получим, что: ;()— х{ ) в Сп[а, Ь] при і — оо, для любого г = 1, 2,... справедливы включения и при почти всех t Є [а, 6] имеет место соотношение Следовательно ж( ) є Й(1/5 П , 5) и включение ЯС0(У П)с ЩУ6 П 7, J) справедливо. В этой главе рассматривается проблема устойчивости в аппроксимации дифференциальных включений (не обладающих свойством выпуклости правой части) относительно внутренних и внешних возмущений, т. е. "небольшие" изменения (в смысле расстояния по Хаусдорфу) и самого заранее заданного множества, которому принадлежат решения дифференциального включения, и правой части дифференциального включения приводят к "небольшому" изменять множества решений. В этой главе показано, что основную роль в изучении вопроса устойчивости аппроксимации дифференциальных включений с внутренними и внешними возмущениями играет принцип плотности, сформулированный в главе 2. А именно, доказано, что необходимым и достаточным условием устойчивости аппроксимации дифференциальных включений относительно внутренних и внешних возмущений, также как и устойчивости аппроксимации дифференциальных включений относительно только внешних возмущений, является плотность множества решений дифференциального включения во множестве решений "овыпукленного" включения.