Содержание к диссертации
Введение
1 Исследование колебательных решений дифференциально- разностного уравнения второго порядка в одном критическом случае 24 td
1.1 Постановка задачи 25 td
1.2 Анализ устойчивости нулевого решения 25 td
1.3 Построение нормальной формы уравнения на центральном многообразии 29 td
1.4 Анализ нормальной формы уравнения 34 td
1.5 Выводы 37 td
2 Анализ бифуркаций периодических решений уравнения Мэкки Гласса 39 td
2.1 Постановка задачи 39 td
2.2 Анализ устойчивости нулевого решения уравнения 41 td
2.3 Построение нормальной формы 44 td
2.4 Анализ нормальной формы 50 td
2.5 Алгоритм построения периодических решений уравнения 61 td
2.6 Численное исследование нормальной формы 65 td
2.7 Выводы 69 td
3 Анализ особенностей поведения периодических решений уравнения
3.1 Математическая постановка задачи, анализ состояний равновесия 73 td
3.2 Бифуркационный анализ потери устойчивости состояния равновесия x (,c), lim o x (, c) = 0,0 c 2 76 td
3.2.1 Математическая постановка задачи, анализ устойчивости состояния равновесия x (,c) 76 td
3.3 Бифуркационный анализ потери устойчивости состояния равновесия x (, 0) = 0 в случае c = 0 80 td
3.3.1 Анализ устойчивости состояния равновесия x (, c) = 0 80 td
3.2 Построение нормальной формы 81 td
3.3.3 Анализ нормальной формы 82 td
3.3.4 Результаты численного анализа нормальной формы 86 td
3.4 Бифуркационный анализ поведения решений уравнения Икеды при рождении парных состояний равновесия x (, c) и x+(, c) 87 td
3.4.1 Анализ устойчивости состояний равновесия x (,c) и x+(, c) 87 td
3.4.2 Построение нормальной формы 98 td
3.4.3 Анализ нормальной формы 98 td
3.4.4 Результаты численного исследования периодических решений нормальной формы 102 td
3.5 Выводы 102 td
Заключение 106 td
Литература
- Построение нормальной формы уравнения на центральном многообразии
- Анализ устойчивости нулевого решения уравнения
- Математическая постановка задачи, анализ устойчивости состояния равновесия x (,c)
- Бифуркационный анализ поведения решений уравнения Икеды при рождении парных состояний равновесия x (, c) и x+(, c)
Введение к работе
Актуальность темы. Диссертация посвящена исследованию установившихся колебательных решений некоторых дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом являются математическими моделями многих физических систем, приборов и механизмов, в которых присутствуют запаздывающие обратные связи. Регулярные и хаотические колебания могут оказывать как положительное, так и негативное воздействие на исследуемые системы и механизмы. Изучение колебательных процессов в силу своей прикладной значимости представляет собой весьма актуальную задачу.
В диссертации изучаются три нелинейных дифференциальных уравнения с запаздыванием, возникающие в прикладных задачах. В первой части диссертации рассмотрено нелинейное дифференциально- разностное уравнение второго порядка, содержащее запаздывающие слагаемые от искомой функции и ее производной. Частным случаем это уравнения является известное уравнение Минорского, полученное им при рассмотрении задачи вертикальной стабилизации судов. Аналогичное уравнение исследовали Г.С. Горелик и Э. Пинни. Анализ колебаний, бифурцирующих из нулевого состояния равновесия в случае бифуркации Андронова- Хопфа, в уравнении Минорского был проведен Ю.С. Колесовым. Уравнения такого типа возникают при моделировании работы электронных устройств с запаздывающей обратной связью. В диссертационной работе проведен детальный анализ возможных вариантов потери устойчивости нулевого решения указанного уравнения и возникающих при этом возможных критических случаев. Изучаются бифурцирующие из нулевого состояния равновесия колебательные решения в одном критическом случае внутреннего резонанса 1:3. Необходимо отметить, что указанный критический случай в уравнениях такого типа ранее не изучался.
Вторая часть диссертации посвящена исследованию двух сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений. Рассмотрены известные уравнения Мэкки - Гласса и Икеды. Первое из них является математической моделью процесса образования нейтрофилов (белых кровяных телец). Уравнение Мэкки - Гласса исследовалось в ряде работ, где на основе численного интегрирования было отмечено существование различных периодических решений, а также сложной, в том числе хаотической, динамики. Уравнение Икеды описывает динамику пассивного оптического резонатора. Уравнения такого типа демонстрируют сложную динамику, в том числе в них можно наблюдать мультистабильность, хаотическую турбулентность, образование диссипатив-ных структур. После записи в безразмерных переменных, эти уравнения переходят к широкому классу дифференциальных уравнений первого порядка с запаздыванием, содержащих малый параметр при старшей производной и нелинейную обратную связь, которая определена физикой процессов. Общие
свойства поведения решений таких уравнений и их связь с решениями одномерных отображений изучались в монографии А.Н. Шарковского, Ю.Л. Майстренко, Е.Ю. Романенко. Некоторые подходы к построению асимптотики решений указанного типа сингулярно возмущенных уравнений были предложены в работах С.А. Кащенко, И.С. Кащенко. В диссертации изучаются бифуркации автоколебательных решений из состояний равновесия двух указанных уравнений с помощью метода равномерной нормализации, предложенного в работах Е.П. Кубышкина. Этот метод позволяет свести задачу нахождения периодических решений исходного уравнения к анализу счетной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащей уравнения для "быстрых" и "медленных" переменных, и доказать строгие теоремы о существовании периодических решений.
Изучению уравнений Мэкки - Гласса и Иксды посвящено большое число исследований. Однако в большинстве работ анализ проводился на основании численного интегрирования. В диссертационной работе результаты получены с помощью качественной теории дифференциальных уравнений, что позволило получить строгие теоремы об условиях бифуркаций периодических решений и построить асимптотические формулы периодических решений.
Целью настоящей работы является исследование колебательных решений трех дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, бифурцирующих из состояний равновесия при изменении параметров уравнения.
В первой главе предполагалось проанализировать бифурцирующис автоколебательные решения дифференциально - разностного уравнения второго порядка, содержащего запаздывающие слагаемые от неизвестной функции, в критическом случае резонанса 1:3.
Во второй и третьей главах предполагалось провести анализ периодических решений уравнения Мэкки - Гласса и уравнения Икеды с помощью метода равномерной нормализации в зависимости от параметров уравнения.
Методы исследования. Основными методами исследования являются метод интегральных(инвариантных) многообразий, метод нормальных форм дифференциальных уравнений, метод равномерной нормализации сингулярно возмущенных нелинейных дифференциальных уравнений с запаздыванием, теория нелинейных операторных уравнений и теория бифуркаций.
Научная новизна. Все основные результаты данной работы являются новыми. Научная новизна проявляется в следующем:
дованы бифуркации периодических решений. Показана возможность перехода периодических решений через бифуркацию удвоения периода к хаосу.
Глава 2. Изучены периодические решения уравнения Мэкки - Гласса методом равномерной нормализации. Построена нормальная форма уравнения и получены строгие теоремы об условиях бифуркации периодических решений. Приведена асимптотическая формула периодических решений и алгоритм нахождения периодических решений уравнения Мэкки - Гласса, бифур-цирующих из состояния равновесия при изменении параметра. С помощью этого алгоритма построены периодические решения уравнения. В результате численного моделирования показана возможность перехода к хаотическим колебаниям и хаотической мультистабильности.
Глава 3. Проведен анализ состояний равновесия уравнения Икеды в зависимости от параметров. С использованием метода равномерной нормализации изучены бифуркации периодических решений. Показана возможность явлений мультистабильности и хаотической мультистабильности.
Теоретическая ценность и практическая значимость. Диссертация носит в основном теоретический характер. Методы, применяемые в диссертационной работе, могут быть использованы при решении аналогичных задач. Во второй главе приведен алгоритм, позволяющий построить периодические решения других дифференциальных уравнений первого порядка содержащих малый параметр при старшей производной.
На защиту диссертации выносятся следующие основные положения и результаты:
-
Для дифференциального уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом, содержащего нелинейные запаздывающие слагаемые от искомой функции и ее производной, построена картина D - разбиений пространства параметров квазиполинома линейной части уравнения. Исследованы возможные критические случаи потери устойчивости нулевого решения. Проведен анализ бифуркаций автоколебательных решений в критическом случае внутреннего резонанса 1:3. Показана возможность существования сложных, в том числе хаотических, колебательных решений.
-
Изучены периодические решения уравнения Мэкки - Гласса, бифурци-рующие из единственного положительного состояния равновесия. Получены строгие теоремы об условиях бифуркации периодических решений, построены асимптотические формулы периодических решений. Численным моделированием показано, что при увеличении бифуркационного параметра эти решения становятся хаотическими.
-
Изучена динамика состояний равновесия уравнения Икеды в зависимости от параметров уравнения и исследована их устойчивость. Построены асимптотические формулы периодических решений. Изучены бифуркации периодических решений из различных состояний равновесия.
-
Показана возможность существования одновременно большого числа устойчивых периодических решений, т.е. явления мультистабильности, для уравнений Мэкки - Гласса и Икеды.
-
Показано, что в уравнениях Мэкки - Гласса и Икеды может наблюдаться хаотическая мультистабильность, т.е. существование одновременно большого числа хаотических колебательных решений.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на Международных молодежных научно-практических конференциях "Путь в науку", Ярославль, 2012, 2013, 2014, 2015; Международной студенческой конференции «Science and Progress», Санкт-Петербург, 2013; Международной конференции "Нелинейная динамика и ее приложения", посвященной 150- летию со дня рождения Поля Пенлеве, Ярославль, 2013; Международной конференция «Нелинейные явления в задачах современной математики и физики», посвященной 210-летию Демидовского университета, Ярославль, 2013; Международной конференции «Нелинейные методы в физике и механике» посвященной 90-летию со дня рождения Мартина Круска-ла, Ярославль, 2015; International Workshop: Waves, Solitons and Turbulence in Optical Systems, Берлин, 2015; V-ой Международной конференции "Проблемы математической и теоретической физики и математическое моделирование", Москва, 2016.
Частично результаты диссертационной работы получены в процессе выполнения работ по госзаданию № 1.5722.2017/БЧ.
Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [1-13]. Из совместных работ [5,6,12,13] в диссертацию вошли результаты, полученные лично диссертантом. Работы [5,6,12,13] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Мино-брнауки РФ.
Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитируемой литературы. Работа изложена на 112 страницах машинописного текста, содержит 27 рисунков. Библиографический раздел включает 50 наименований.
Построение нормальной формы уравнения на центральном многообразии
Теорема позволяет определять периодические решения уравнения (10) для различных значений параметров. Ниже приведены некоторые результаты численных экспериментов. При ф = 1.51, ( = 0.1 было найдено пять устойчивых периодических решений. При увеличении параметра ф до 1.55 к уже найденным периодическим решениям добавляются еще два. Изучался вопрос возможности перехода периодических решений в хаотические колебания при фиксированном ф и увеличении значения параметра (, а также вопрос возможности сосуществования нескольких хаотических аттракторов для одинаковых значений параметров.
В третьей главе рассматривается известное уравнение Икеды х = ц sin(x(t — т) — с) — х, (42) описывающее динамику пассивного оптического резонатора. Здесь переменная x{t) определяет сдвиг фазы электрического поля в нелинейной среде кольцевого резонатора, г - время распространения света в кольцевом резонаторе, 0 с 2ж -постоянный фазовый сдвиг, /і 0 - безразмерный коэффициент, характеризующий интенсивность лазерного излучения. Перейдем в уравнении (42) к безразмерному времени t = t/r (штрих в дальнейшем опустим). Положив Є\ = г-1 С 1, имеем уравнение в безразмерных переменных Єі±{ї) + x(t) = fism(x(t — 1) — с). (43) Состояния равновесия x (c,/i) уравнения (43) определяются корнями уравнения х = ц sin(x — с) (44) в зависимости от с и /і. Устойчивость х (с,/і) определяется расположением корней характеристического уравнения Р(Л; Єї) = Єї А + 1 — /xcos(x (/x, с) — с) ехр(—А) = 0. (45)
При 1/л cos(: (//, с) — с)\ 1 все корни уравнения (45) лежат в левой открытой комплексной полуплоскости. Состояние равновесия х (с,/і) асимптоически устойчиво. При //cos(x (//,c) — с) 1 уравнение (45) имеет корни, принадлежащие правой открытой комплексной полуплоскости, т.е. состояние равновесия ж (с, /і) неустойчиво. Пограничным является случай //cos(: (//, с) — с)\ = 1. Это равенство определяет в плоскости с, \i множество точек бифуркации периодических решений из состояния равновесия ж (с, ц). Уравнение (44) имеет единственное решение вида ж (//,с), lim o # (/- , с) = 0 при О С 27Г. При ЭТОМ —7Г : (//, с) О, ЄСЛИ 0 С 7Г, : (//, 7Г) = 0, 0 : (//, с) 7Г, если 7г с 27г. При с = 0 уравнение (44) имеет решение х (/і,с) = 0, а также при /х 1 два решения ±х (/і, с),ж (/х, с) ОДіт і ж (/х, с) = 0.
Кроме того, при каждом с существует последователвность значений 0 \i\ic) / 2(с) при которвгх в уравнении (44) появляются кратные корни х (/j,k(c), с) = xf(fj,k(c),c), /ifc(c) cos(xf(fj,k(c), с) — ) = 1, которым при ц /ifc(c) отвечают парные (устойчивое и неустойчивое) состояния равновесия x (fi,c) и x (fi,c) уравнения (43). При далвнейшем увеличении параметра ц состояние равновесия x (fi,c) теряет устойчивоств при некотором (і и при этом (і COS(X (IJ, , с) — ) = — 1.
В параграфе 3.2 показано, что бифуркационнвш анализ потери устойчивости состояния равновесия X (/J,,C), lim o # (/- , с) = 0, 0 с 27г проводится аналогично уравнению (10).
В параграфе 3.3. проводится бифуркационный анализ потери устойчивости состояния равновесия х (/і,0) = 0 в случае с = 0. Потеря устойчивости состоянием равновесия х (/і,0) = 0 происходит в точке // = 1. Пуств ц = 1 + є2, 2І 1-Уравнение (43) в окрестности х (/і,0) =0 примет вид єіУ(і) + y(i) - (1 + e2)y(t - 1) + /(y(i - 1); є) = 0, (46) где f(y) = (1 + Є2)/6г/3 + о(у3) аналитическая функция. Характеристическое уравнение линейной части уравнения (46) имеет вид Р(А; Єї) = Єї А + 1 - (1 + є2) ехр(-А) = 0, \ = 1 + іа. (47) Теорема 4. Существует Єо 0, mo при є Єо (є = (єі,Єг), є = {є\ + єі)1 2) все множество корней уравнения (47) определяется формулой (14), в которой к = 0,2,4,.... Отметим, что Ао(є)(Ао(0) = 0) - вещественнвій коренв уравнения (47). Обозначим через 12 - пространство комплекснвіх последователвностей вида z = (z0,z2,Z-2,Z4,Z-4,---),zo Є R,zk Є С,к = 2,4,... оо. Через l\ обозначим подпространство 12 комплексных последовательностей z = (z0,Z2,Z_2,Z4,Z_4,...) ДЛЯ КОТОРЫХ = Y,h=o\ k(e)\2\Zk\2 ООП \\Y T=-ooZk k() ek(s;e)\\c оо. В рассматриваемом случае нормальной формой уравнения (46) будет система вида (23) в пространстве 12 с областью определения правой части s1(ro), гладко зависящая от є, в которой П = {(к\,к2,кз),кі,к2,кз = О, ±2, ±4,..., к\ к2 fo,h + к2 + h = п}, dklk2k3(s;e)(s;e) = (єг - (1 + є2)(Є-Хк к є) - Є-х є))/(Хкік2кз(є) - А є)))"1 (1 +єг + \k(e))fklk2k3(e). /fcifc2fc3(e) = -Ркгк2къ{1 + є2)екі(-1;є)ек2(-1;є)екз(-1;є)/6, en(s;e) = eAfc()/(! + Єї + Afc(e)), Pfcifc2fc3 = 1, если кг = к2 = к3; ркік2кз = 3, если кг = к2 ф к3, либо кг = к3 ф к2і либо к2 = кз ф к\\ ркік2кз = 6, если к\ ф к2 ф кз- Схема ее построения аналогична схеме построения системы уравнений (23) Введем в области {(єі,є2),Єі О, \є\ є0} переменные ( 0 и 7г/2 -0 7г/2 согласно (27).
Введем взамен переменных zk (к = О, ±2,...) одну "быструю" переменную и счетное число "медленных" переменных вида р = (ро,р2,...) и 9 = (92,94:,...). Усредним полученную систему уравнений по "быстрой" переменной, рассмотрим "главную" часть полученной системы (при ( — 0) и получим систему, аналогичную (28)-(29) Pn = 7 k(ip)Pk + Rk(p, Є), к = 0,2,... (48) 9п = вк(р,9), к = 2,4,..., (49) где 7fc(V0 = sin2 iftsigmf) — тг2к2 cos2 ф/2. Теорема 5. Пусть при некотором ф система уравнений (48)-(49) имеет экспоненциально устойчивое или неустойчивое состояние равновесия (р (ф), 9 {ф)) є EQ. В последнем случае т характеристических показателей (с учетом кратностей) линеаризованной на (p (if)), 9 {ф)) системы уравнений положительны. Тогда существует такое (о 0, что при 0 ( (о уравнение (46) с учетом выражений (27) имеет периодическое решение того же характера устойчивости. При этом размерность неустойчивого многообразия периодического решения равна т. Для периодического решения справедлива следующая формула оо 2fc-2 у (т;ф,() = ШФ) + 2 p5fcWcos(fcr+X; W) + (С3), (50) fc=i j=i ї = 2іг-(со8ф + (2со8ф2 + 0((3). (51)
В заключительной части параграфа для некоторых значений параметров ф и ( проведен сравнительный анализ периодических решений, полученных согласно (50) и непосредственного численного интегрирования уравнения (43). Показана возможность бифуркации одновременно нескольких периодических решений, которые при дальнейшем увеличении параметра ( переходят в хаотические колебания.
В параграфе 3.4 анализируются бифуркации периодических решений уравнения (43) при рождении парных состояний равновесия x (fi,c) и xf(fi,c). Для определенности рассмотрим случай с = 7г/3,// 2.4, ж 2.2. Уравнение (43) в окрестности рассматриваемых состояний равновесия примет вид ly(t) + y{t) - (1 + e2)y{t - 1) + f(y(t - 1)), (52) где f(y) = l/2x y2 + 1/6(1 + є2)у3 + o(y4) Корни характеристического уравнения линейной части уравнения (52) определя ются формулой (14), в которой к = 0, 2, 4, Система дифференциальных уравнений (53) (fcifc2)eQ2 в которой П = {(ki, к2) : kj = 0, ±2, ±4,..., к = к\ + fo}, называется нормальной формой уравнения (52). Функции dk1k2(s]) имеют следующий вид dklk2{s-e) = {ег - (1 + e2)(e-AW) - e-A"()/(-Afclfc2(e) + А є)))" + Єї + е\к{є)) (-\)р, Р=1,2, (54) Afcifc2(e) = fci( ) + Afc2(e). Структура системы уравнений (53) позволяет ввести взамен Zk (к = О, ±2,...) одну "быструю" переменную и счетное число "медленных" переменных вида р и 9. Усредняя затем полученную систему уравнений по "быстрой" переменной, получим систему уравнений, "главная" часть которой (при ( — 0) будет иметь вид (48)-(49)
Анализ устойчивости нулевого решения уравнения
Как известно, "грубым", т.е. экспоненциально устойчивым (неустойчивым) состояниям равновесия системы уравнений (23)-(25) при малых є в системе уравнений (16)-(17) и соответственно в краевой задаче (9)-(10) соответствует периодическое решение периода близкого к 2ж/ш\, того же характера устойчивости. "Грубым" периодическим решениям системы уравнений при малых є в системе уравнений (16)-(17) и краевой задаче (9)-(10) соответствуют двумерные инвариантные торы.
Изучим характер фазовых перестроек системы (23) - (25). Считая а\ О, а2 О, зафиксируем значения параметров f2, /3 = 0.2, д2 = 0.3 согласно (22) и возьмем в качестве бифуркационного параметра параметр д3. Было отмечено существование следующего бифуркационного сценария: 1. При jf3 Ко, Ко 0.2 существует устойчивый цикл. 2. На промежутке ко дз к\, к\ 0.3 происходит каскад бифуркаций удвоения периода устойчивого цикла. 3. Каскад бифуркаций удвоения периода приводит к появлению хаотического аттрактора при д яз к\. 4. Полученный хаотический аттрактор существует для значений параметра дз из промежутка к0 д3 к2, к2 «0.9.
Проекция устойчивого цикла на плоскость (pi; р2); б) проекция цикла удвоенного периода на плоскость (pi; р2), возникающего после первой бифуркации удвоенного периода; в) проекция цикла периода 4 на плоскость (рі; р2), возникающего после второй бифуркации удвоенного периода
На рис. 1.3 а) представлен устойчивый цикл, который существует при д% ко-При увеличении бифуркационного параметра происходят две бифуркации удвоения периода. Циклы удвоенного периода и периода 4 представлены на рис. 1.3 б) - в).
На рис. 1.4 а) - в) приведены проекции аттрактора динамической системы (23)-(25) на плоскость рі,р2. На рис. 1.4 а) значение бифуркационного параметра дз выбрано вблизи момента рождения хаотического аттрактора и поэтому траектории системы долгое время остаются в окрестности потерявшего устойчивость цикла. Для этого случая старший ляпуновский показатель близок к 0. На рис. 1.4 б) колебания уже более не упорядочены, а на рис. 1.4 в) можно наблюдать развитой хаос. При дальнейшем увеличении бифуркационного параметра дз хаотический аттрактор переходит в цикл, который затем стягивается в состояние равновесия.
Для изучения характера хаотических колебаний было проведено численное исследование старшего ляпуновского показателя в зависимости от параметра дз на основании метода динамической перенормировки для нахождения максимального ляпуновского показателя хаотического аттрактора [41]. Результаты этого исследования приведены на рис. 1.4 г) в виде графика. Вычисления выполнены с шагом 1/100 по параметру. Видно, что в моменты происхождения каскада удвоения периода и исчезновения хаотического аттрактора старшие ляпуновские показатели равны 0, а в зоне хаотических колебаний они положительны. Максимальное значение достигают при значении бифуркационного параметра дз 0.42. В этом случае можно наблюдать развитой хаос, значения лупуновских показателей для которого равны Ai 0.68, Аг 0, Аз -2.58, сіL 2.63. Проекция данного аттрактора приведена на рис. 1.4 г).
В данной главе исследованы колебательные решений одного нелинейного дифференциально - разностного уравнения второго порядка, содержащего запаздывание от неизвестной функции и от ее производной. Проведен анализ линейной части уравнения с помощью метода D-разбиений, построены картины D-разбиений и выделен критический случай внутреннего резонанса 1:3. Построена нормальная форма исходного уравнения для данного случая. Показана возможность существование сложных, в том числе хаотических, колебательных решений и найдены значения параметров при которых реализуется бифуркационный сценарий, приводящий к рождению хаотического аттрактора в случае резонанса 1:3. Для хаотического аттрактора посчитаны значения ляпуновских показателей и ляпуновской размерности.
Математическая постановка задачи, анализ устойчивости состояния равновесия x (,c)
Подставив теперь (96) в (91)- (92) с учетом ограниченности оператора дифференцирования wT(s, г) в пространстве С1оо(П) сведем задачу нахождения периодического решения краевой задачи (91)-(92) на основании (88) к разрешимости операторного уравнения w = Ф(д(8,т,р(га;ф,(),в(га;ф,(),А4(га;ф,();ф,() + (4А4(га;ф,()гат(8,т); q(s, т,р{ги- -ф, С), 9{Щ Ф,0, w( l,т;ф,();Ф,0 (97) в пространстве С1оо(П). Осталось применить к уравнению (97) теорему о неявной функции [50]. Правая часть (97) позволяет это сделать. В результате имеем решение Решение (78) будет асимптотически орбитально устойчиво, если все собственные значения оператора (68) лежат в левой комплексной полуплоскости, и неустойчиво, если m корней с учетом кратностей принадлежат правой комплексной полуплоскости. В последнем случае периодическое решение (78) имеет т— мерное неустойчивое инвариантное многообразие. 2.5 Алгоритм построения периодических решений уравнения
Теорема 11 позволяет построить алгоритм нахождения периодических решений краевой задачи (30)-(31)(уравнения (6)), бифурцирующих из нулевого состояния равновесия при изменении параметра е.
Приравняем в равенствах (102)-(103) слева и справа коэффициенты при одинаковых степенях (, учтя при этом представления к(ф,() = C27fc( 0)C))crfc( 0)C) = 7тп(-( сояф + (2 cos2 ф) + (3(rl(ip,Oi гДе Tfc(V )C) определены в (62) (т1(ф,() гладкие по ф, ( функции, равномерно ограниченные по п. При первой степени ( равенства будут выполнены в силу выбора ек(в;ф, () и представления (101) при произвольных р,в. Приравняв в (102)-(103) коэффициенты при (2, получим краевую задачу для определения щ(-) U2TTV = U2s, (104) и2(0,т;-)+и2(-1,т;-) = д2(т;р ,в ;ф,О, (Ю5) в которой функционал д2(т; р ,0 ; ф, (), 2ж- периодичен по г и содержит лишь четные гармоники, зависит от р , в как от параметров. Краевая задача согласно п. 2.4 в этом случае имеет единственное периодическое решение ul(s,r; р ,9 ,ф,(), определяемое формулами (81)- (82).
Приравняем теперь в (102)-(103) коэффициенты при (3. В результате получим краевую задачу g3(s,T,p ,9 -/tp,() + ЩТІЇ = u3s, (106) щ(0,т;-)+щ(-1,т;-) = д3(т,р ,Є ;ф,О, (Ю7) для определения ut,(s, т; р ,9 ,ф,(). В ней функционалы дз(-), дз(-) 27г- периодические по г и содержат лишь нечетные гармоники. В этом случае краевая задача (106)-(107) разрешена при выполнении условий (87), которые в рассматриваемом случае запишутся в виде (дз(т,р\в ;ф,0- J е-гк д3(з,т,р\в ;ф,0(І8)е- Чт = = ак(р ,Є ; ф, С) + г(р ккА2 + Ьк(р ,в ; ф, ()) = 0, к = 1, 3,... (108) С учетом структуры функции (100) и вида (101), имеем равенства взамен (108) ак(Р ,в ;ф,0 = І ЛФ;ОРІ + МР ,0 ;Ф,О = о (юэ) Ък(р , в ; ф, 0/РІ - Ьк.2(р ,в ; ф, Q/PU - 2bl{p ,e - ф, Q/p\ = 5 к(ф, ()+ + вк(р ,Є ;ф,С) = 0, (ПО) правые части которых определены в (71)- (72), и уравнение р 1А2 + Ь1(р ,Є ;ф,О = 0, (111) соответственно для определения р ,в ,А2. Таким образом, на основании (109)- (ПО) для определения р к(ф, (), 0к(ф, () имеем систему операторных уравнений (73)- (74). Найдя ее решение из уравнения (108) А2 = А2(ф,() определяется однозначно.
Это позволяет однозначно определить функцию ul(s,T;if),() = «з(з, Т, р ( , (), д (ф, 0, (Ф, С); Ф, С), а также функцию u (s, т; ф, () = u2(s, т, р (ф, (),в (ф, (); ф, ().
Приравняв коэффициенты при (4, получим краевую задачу, аналогичную (104)-(105). Решение этой задачи определяется однозначно. В результате получим функ-цию щ(з,т,р1,в ;ф, С). Приравняем теперь в (102)- (103) коэффициенты при (5. В результате получим краевую задачу для определения щ(-) g5(s, т, р 2, в2,А4; ф, С) + и5ттт = u5s, (112) и5(0,т;-)+и5(-1,т;-) = q5(r, р 2,в 2, Д4; ф, () (113) аналогичную (106)- (107). Условия разрешимости краевой задачи (112)- (113), аналогичные (108), дадут равенства аі5\р 2,9 ;ф,О + г(р кпА4 + ЬІ5\р ,Є ;ф,О) = 0,к=1,3,..., (114) линейно зависящие от р2,02.
Приравняем в (114) нулю вещественные и мнимые части. Уравнения для мнимых частей преобразуем в соответствии с равенством (ПО). В результате получим для определения р2, в2 бесконечную линейную неоднородную систему алгебраических уравнений с матрицей вида (67), построенной по уравнениям (109)- (ПО) и вычисленной в точке р (ф, С), в (ф, (). Эта система может быть записана в виде операторного уравнения для пространстве Е В(ф,(К = /2 МО, «2 = (ЛЛ), (US) где оператор В(ф,() определен в (75), а (ф,() Є Е. В условиях теоремы 11 уравнение (115) имеет единственное решение У2(ф,() Є EQ. ИЗ (114) в дополнение к (115) имеем уравнение р\ + b\ (Pi,&i , ,() = 0, из которого находим A4(V ,C)- Это позволяет однозначно определить периодическое решение u 5(s, г; ф, С) = u 5(s, г, р (ф, 0, (Ф, ОЛКФ, С); Ф, О, а также ut(s, г; ф, С) = u 5(s, т, р 2(ф, (),9 (ф, С); ф, )
В дальнейшем, приравнивая в (102)-(103) слева и справа коэффициенты при четных Степенях (, будем ПОЛучаТЬ ДЛЯ Определения фуНКЦИЙ U2k(s, Г] P2(fc-1) 2(fc-l) 2fc; ф,()і гДе P2(fc-i) 2(fc-i) 2fc фигурируют как параметры, краевые задачи вида (104)-(105), периодическое решение которых находится однозначно. Приравнивая в (102)-(103) коэффициенты при нечетных степенях (, будем получать для определения функций tt2fc+i(s,r;p2(fc_i)) 2(fc-i) 2к ,Ф,С) краевые задачи вида (112)-(113), условия разрешимости которых дадут уравнения вида (114)-(115). Решая эти уравнения находи P2(fc-l)( 0 = P2(fc-l) 2(fc-l)( 0 = Є 2{к-іу А2к(Ф 0 = &2к И ИСКОМЫе фуНКЦИИ U2k )M2fc+i(s) ri Фі О- Таким образом функции, фигурирующие в (98), одно значно определаются. Добавив функцию ul(s, т;ф, () = U\(s, т; р (ф,() + С2р ФХ) + ...,в (ф,() + (29 (ф, С) + ...; ф, С), будем иметь ряд оо и (з,т;ф,0 = (3 ,т;ф,(). (116) 3 =1 Теорема 12. В условиях теоремы 11, существует такое (0 0, при котором ряд (116) сходится равномерно относительно 0 ( (о и (s, т) Є П и совместно с (101) определяет периодическое решение краевой задачи (30)-(31), устойчивость которого определяется условиями теоремы 11.
Теорема 12 Доказывается аналогично теореме 11. Основное отличие заключается в том, что в качестве основного функционального пространства следует взять пространство равномерно сходящихся последовательностей функций вида (116) с нормой, аналогичной С.
Для получения периодического решения непосредственно уравнения (6) достаточно в (116) положить s = 0. В качестве первого приближения периодического решения следует взять приближение, определяемое решением р (ф),в (ф) системы уравнений
Бифуркационный анализ поведения решений уравнения Икеды при рождении парных состояний равновесия x (, c) и x+(, c)
Для определения корней уравнения (14) достаточно рассмотреть последовательность уравнений Л + In (1 + єгХ) = In (1 + є2) + ink, к = 2,4,... (17) Каждое из этих уравнений имеет единственное решение, определяемое формулой Afc(e) = ink + In (1 + є2) + Xі (ink + In (1 + є2); єг), (18) где функция Xі (w; є і) определена в п. 2. Доказательство этого почти дословно повторяет доказательство разрешимости уравнения (2.13). Множество корней уравнения (14) можно записать в виде Afc(e) = 7к(є) + і(ігк + ак(є)) = ітгк + \п(1 +є2)-1п(1 +Єі(тк + 1п(1 + є2))) + 0(\є\2), 1к{є) = In (1 + є2) - In ((1 + єг In (1 + є2))2 + є21тг2к2)/2 + 0(є2), ак(є) = - arccos ((1 + єг In (1 + є2))/((1 + Єї Ь (1 + е2))2 + е\ж2к2)1/2) + 0(є2), (19) где равенства выполняются равномерно относительно к = 0, ±2, ±4,... и \-к(є) = Хк(є),Х0(є) = 7о(є) Вопрос устойчивости решений уравнения (13) сводится к анализу функций 7fc(e)? являющихся аналитическими в точке є = 0 и имеющих радиус сходимости соответствующих рядов гк = 0{к 1). При этом имеем 1к{е) = є2- е\(тік)2/2 - єгє2 - є22/2 + о(є3), к = О, 2, 4,..., (20) т.е. при малых є и выполнении неравенства е2 1Ык)2/2 к-й корень характеристического уравнения (14) имеет положительную вещественную часть. 3.3.2 Построение нормальной формы Построение нормальной формы уравнения (12) проводится по схеме, изложенной в главе 2. Обозначим через 12 пространство комплексных последовательностей вида z = {ZQ,Z2,Z-2,ZA,Z-A,...) ДЛЯ КОТОРЫХ z2i = YskLo \Xk(e)\2\zk\2 ООИ \\YlT=-oo Zk k(e) ek(s;e)\\c oo. В дальнейшем s(r0) = {z Є l2, \\z\\h r0}, s\r0) = {z Є l\, \\г\\гі Го} Система дифференциальных уравнений Zk = Afc(e)Zfc + 2_ dk1k2k3()zk1Zk2Zk3 (21) (fci,fc2,fc3)en3 в пространстве 12 с областью определения правой части (го), гладко зависящей от є, в которой П3к = {(h,k2,k3) : h,k2,k3 = 0, ±2, ±4,..., к\ к2 к3,кг + к2 + к3 = к}, dklk2k3(s;e)(s;e) = (є, - (1 +e2)(e-Afcifc2fc3(-) _ е-х )/(\к1к2кМ Afc(e)))"1 (1 +єі + \к(є))1кік2к3(є) /fcifc2fc3( ) = -Pfcifc2fc3(l + є2)екі(-1;є)ек2(-1;є)екз(-1;є)/6, ek(s;e) = eAfc(e)/(l + єг + Afc(e)), Pfcxfcafcg = 1, если ki = k2 = k3; ркік2кз = 3, если h = k2 ф k3, либо h = k3 ф к2, либо к2 = к3 ф к\, ркік2кз = 6, если к\ ф к2 ф к3, называется нормальной формой уравнения (12). Построение системы уравнений (21) проводится аналогично п.2.
Перейдем в системе уравнений (21) к полярным координатам в плоскостях (zk, z_k), к = 2,4,..., положив zk = ркегТк (Рк 0, —оо тк оо) и обозначим для единообразия ZQ = ро- В результате получим систему уравнений Рк = 1к(є)рк + Rk{p, г; є), к = О, 2, 4,..., (22) ffc = пк + afc (є) +Тк(р, г; є), к = 2,4,..., (23) в которой 7fc(e) и o-fc(e) определены в (19), р = (ро,Р2,Р4,- ), Рк ,Y,T=ok2Pk оо, г = (т2, Г4,...), функционалы Як(-),Тк(-) гладко зависят от входящих переменных и параметров, 27г-периодические по TJ. Структура системы (22)-(23) позволяет ввести одну "быструю" переменную и счетное число "медленных" переменных. Как это сделать покажем сначала на примере "усеченной" системы. Рассмотрим нормальную форму (21), в которой положим Zk = 0, к = ±6, ±8,... В результате имеем систему уравнений Zo = Xo{)Zo+dooo{)Z0+d-2o2{e)Z-2ZoZ2-\-d-404{)Z-4ZoZ4-\-d-2-24{6)Z_2Z4-\-d-422{6)Z-4Z2, (24) Z2 = A2(e)z2 + І_222(є) -2 2 + 0!-424(Ф-4 4 + І-204(Ф-2 4 + 4о2(Фо 2, (25) ZA = 4( ) 4 + "-444( ) -4 4 " -224( ) -2 2 4 + "004( ) 0 4 + "022() 0 2- (26) Уравнения для Z-2) -4 получаются сопряжением (25)-(26) с учетом равенств Хк(є) = \-k(e),Zk(e) = z-кіє). Обозначив d (є) = а (є)+гЬ (є), А (є) = d (e),/5 (e) = argd (e), перейдем к переменным ро,р2,Р4,т і,Т2- В результате получим систему уравнений Р0 = (70(e)+a_202(e)P2 + a-404(e)P4)P0 + a000p3 + -2-24(e)(cOs(-2r2 + r4+/3_2-24(e))+ + cos(2r2 - т4 - /3_2-24(є)))plp4, (27) Р2 = (72(є)+«-222(є)Р2 + «-424(є)Р4)Р2+а002РоР2+ 4-204(є) COs(-2r2+T4+/3_204(e))poP2P4, (28) р4 = (74(e)+a_224(e)P2 + a-444(e)pDP4 + ao04PoP4 + 022(e)cOs(2r2-r4+/5o22(e))PoP2 (29) f2 = 27Г + СГ2(є) + 6-222{Є)РІ + а_424(є)Р4 + &002Ро + -204(є) Sm(-2r2 + Т4 + /3_204(є))роР4, (ЗО) Т4 = 4тГ + 74(є) + Ь_224(Є)Р2 + 6-444(Є)Р4 + &004Р2 + А022(є) Sm(2r2 - Г4 + Д)22(є))РоРІ/Р4 (31) Перейдем в (27)-(31) к переменным ро, р2, р4,92 = —2г2 + т4 и г = гг. В резулвтате получим систему уравнений РО = (70(e)+«-202(e)P2+«-404(e)P4)P0+a000P0+ -2-24(e)(cOs(-6,2+/3_2-24(e))+COs(6,2)) Р2Р4, (32) Р2 = (72(e)+«-222(e)P2 + «-424(e)P4)P2 + «002PoP2 + -204(e)cOs(6,2+/3_204(e))PoP2P4, (33) Р4 = (74(Є) + а_224(є)Р2 + Я_444(є)Р4)Р4 + «004РоР4 + А022(є) COs(-02 + Аш(є))роР2 (34) #2 = 2(є)-2(Ь-222(є)Р2+«-424(є)Р4+ 002Ро+ -204(є) 8Іп(6,2+/3_204(є))жр4)+Ь-224(є)Р2 + +ь -444(є)р4 + &оо4Ро + Лш(є) sin(-02 + Аш(є))роР27р4, (35) "медленных" переменных, где 52(є) = —2(72(є) + 04(є), и уравнение "быстрой" переменной f = 27г + сг2(є) + 6-222(є)рІ + а_424(є)Р4 + оог Ро + А_2Ы(є) cos(02 + (3_204(є))р0р4. (36) Заметим, что правая часть (32)-(35) не зависит от т.
Пусть теперь в (21) все Zk(t) ф 0. Ввести переменные Q\. можно не единственным способом, однако они все связаны между собой линейными соотношениями. В качестве одного из возможных способов введение 9k может быть предложен следующий. В качестве "быстрой" переменной берем Т2 и рассматриваем "усеченные" конечномерные системы последовательно полагая в (21) Zk = 0,k = ±6, ±8,..., затем к = ±8, ±10,... и т.д. Первый случай рассмотрен выше. Во втором случае к системе (32)-(35) добавляются два новых уравнения для переменных ZQ И Z_6- При этом в правой части уравнения для р0 появляются резонансные мономы z_6z4Z2 и z6z_4Z-2, в правой части уравнения для Z2 появляются резонансные мономы Z6Z-2Z-2, Z- Z Z Z_±ZQZ. В качестве НОВОЙ "медленной" переменной 04 берем Выражение Те — Т4 — т2.
Остальные зависимости от т2, т±, TQ ЯВЛЯЮТСЯ линейной комбинацией 02,64- В результате имеем две дополнительные "медленные" переменные рв,&4- Система уравнений для ро,р2, Р4, Рб, 02, #4 будет иметь вид, аналогичный (32)-(35), правая часть которой также не будет зависеть от т. В правой части уравнения (36) для г появятся новые слагаемые, зависящие от р%,0 . При рассмотрении следующей "усеченной" системы в правой части уравнения для р0 появятся резонансные мономы zsz2Z6, z$Z-2Z-e, Z-sZ z и z_4 -4-2;87 а ПРИ переходе к полярным координатам слагаемые, зависящие от выражений т$ — TQ — Т2 = 06- Имеем две новые "медленные" переменные ps,06- В общем случае на очередном шаге добавляются две новые "медленные" переменные Рко,0ко-2 = Тк0 — Тк0-2 — т2.