Анализ и оптимизация стационарных состояний в динамике структурированной по размеру популяции с асимметричной конкуренцией Нассар Амер Фадель

Об отсутствии стационарных решений 16

Рисунки 1.1 и 1.2 иллюстрируют поведение графиков левой и правой частей уравнения (1.9) при выбранных параметрах модели и значениях параметра /3 равном и большем единицы, соответственно. На этих рисунках нижний график - это график левой части уравнения (1.9), а верхний график или графики - это график или графики правой части этого уравнения при заданном или заданных значениях /3, соответственно.

Таким образом, при (3 1 стационарные решения в изучаемой модели (1.1) - (1.3) могут и отсутствовать. Ниже мы показываем, что при О /3 1 нетривиальные стационарные решения в этой модели есть всегда, если выполнены некоторые дополнительные вполне естественные условия на коэффициенты модели.

Всюду ниже, если не оговорено противное, в том числе в формулировках наших основных результатов, мы будем предполагать непрерывность всех коэффициентов модели, за исключением управления, а также вы полнение следующих вполне естественных предположений на эти коэффициенты: (A) При каждом / Є [О, L] коэффициенты прироста д и рождаемости г являются невозрастающими функциями от уровня конкуренции Е1, при этом коэффициент прироста всюду положителен, а рождаемости всюду неотрицателен и положителен хотя бы на некотором интервале размеров на отрезке [О, L] при любом уровне конкуренции. (B) При любом размере / Є [О, L] коэффициент смертности /І — положительная неубывающая по Е функция. (C) При любых /і, /2,0 1\ І2 L отношение 9{hr) g(hr) есть невозрастающая функция от Е.

Ограничения, накладываемые условиями (А)-(С) действительно вполне естественны. Первые два из них характеризуют неулучшение показателей развития популяции при росте конкуренции, а последнее - не меньшее влияние конкуренции на рост индивидуумов малых размеров, чем на рост больших, что вполне характерно для значительного числа популяций.

Покажем, что при наложенных ограничениях (А)-(С) в изучаемой модели могут наблюдаться нетривиальные стационарные решения. Для этого построим следующий пример.

Пример 1. По сделанным предположениям допустимое управление и стационарно и зависит только от /, а промышленное возобновление р постоянно. Учитывая, что показатель смертности /І также зависит от /, при построении примера мы включим управление и в этот показатель, то есть сумма /і+м станет нашим новым показателем /І, который мы обозна чим через т. При этом, конечно, непрерывность показателя смертности может нарушиться, но это не окажет существенного влияния на наши рассуждения. Положительность же этого коэффициента сохраниться.

Далее, учитывая, что нулевое решение нам неинтересно, а функции т и д всюду положительны, получаем, что для стационарного решения в силу первого уравнения последней системы компонента z ненулевого неотрицательного решения есть положительная убывающая функция на отрезке [0, L]. Следовательно, функцию Е от переменной / Є [0, L] можно рассматривать как функцию от переменной z на отрезке [z(L), z(0)]. Для последней функции в силу уравнений системы (1.11) имеем поскольку для выбранной иерархической конкуренции E(L) = 0. Подставляя последнее выражение для z(l) во второе уравнение системы (1.11), получим следующее дифференциальное уравнения на функцию конкуренции

Понятно, что в силу /З Є (0,1) справа вблизи нуля правая часть больше левой, а при достаточно больших z(L) уже левая часть больше правой. Следовательно, существует единственная точка пересечения графиков этих функций при некотором z(L) 0. Эта точка и доставляет по формуле (1.13) единственное нетривиальное стационарное решение изучаемой модели при выбранных её параметрах.

Рисунок 1.3 иллюстрирует существование этого нетривиального решения. На нём прямая линия изображает график левой части, а оставшиеся графики - это графики правой части при различных значениях параметра /3. Ясно видна единственная точка пересечения каждого из этих графиков с прямой. Эта точка и доставляет искомое нетривиальное стационарное состояние в модели.

В более общем случае, когда в уравнении (1.14) показатель репродук-тивности г - непрерывная невозрастающая по Е функция, положительная на некотором интервале размеров, рассуждения аналогичны. Точнее, при достаточно малых z(L) конкуренция Е также мала, поэтому правая часть этого уравнения имеет оценку снизу Cz(L)13 + р, поэтому уравнение не может быть выполненным при достаточно малых z(L). С другой стороны, правая же часть соотношения (1.14) имеет такую же оценку сверху при всех z(L) 0, которая получается из этой части подстановкой Е = 0, поскольку показатель репродуктивности г - неотрицательная невозрастающая по Е функция.

Следовательно, хотя бы одно нетривиальное стационарное решение в нашей модели при 0 /3 1 есть и при более общих показателях репродуктивности, поскольку в силу этих оценок графики левой и правой частей соотношения (1.14) обязательно имеют пересечение над положительной полуосью значений z(L) (см. Рис. 1.3).

До определенной степени аналогичные рассуждения будут проведены ниже в конце следующего параграфа и при доказательстве существования нетривиального стационарного решения и в общем случае, когда коэффициенты модели не имеют специальный "согласованный"вид как в рассмотренном примере, а лишь удовлетворяют условиям (A)-(С) и условию Липшица по Е (для единственности решения задачи Коши).

Существование и продолжаемость решений

В силу леммы 4 значения функционала (2.1) равномерно ограничены на множестве стационарных решений для всех допустимых пар из управления и и промышленного восстановления р. Следовательно, существует точная верхняя грань К значений этого функционала на множестве таких пар и соответствующих им стационарных решениях.

Возьмём последовательность допустимых пар {{uk-,Pk)}T и последовательность соответствующих им стационарных решений {(xk(l) = /, F LN , Ek(l)), І Є [0, Ll}?, для которых значение этого функционала стремится к этой грани при к — оо.

Множество допустимых значений промышленного восстановления лежит в отрезке [О, Р]. Следовательно, из последовательности {рк}Т по теореме Больцано-Вейерштрасса [3], [28] можно выбрать сходящуюся подпоследовательность. Не ограничивая общности считаем, что сходится сама последовательность pk и обозначим соответствующий предел через Poo, то есть

Теперь, рассматривая щ как линейные функционалы на L2[0,L], а именно, для / Є L2[0,L] имеем где справа стоит скалярное произведение в L2[0, L], выберем из них слабо сходящуюся подпоследовательность. В силу теоремы Банаха о равномерной ограниченности их поточечный предел определяет ограниченный функционал Uoo в L2[0,L], который в силу вида общего функционала в L2 (см. [4]) задаётся некоторой функцией Uoo L 2[0, L] такой, что lim (f,Uk) = (/, MQO) /г—7 оо для любой / из Ь2[0 - ] Но для выпуклого в L2[0,L] множества его слабое замыкание совпадает с обычным, поэтому функция Uoo принадлежит и обычному замыканию множества допустимых управлений, и, таким образом, будет зажата между ограничениями U\ и U2. Следовательно, Uoo - допустимое управление.

Далее, в силу леммы 5 решения последовательности {(zk{l), Ek{I))), 0 / L}kX)=1 равномерно ограничены и равностепенно непрерывны на отрезке [0,L]. Следовательно, в силу теоремы Арцела-Асколи [13] из последовательности этих решений можно выбрать равномерно сходящуюся подпоследовательность. И снова, не нарушения общности, будем считать, что сама эта последовательность равномерно сходится на этом отрезке. В частности, предельная пара ( ос -оо) и её компоненты удовлетворяют условию Липшица (с теми же константами). Но функция д непрерывна и в силу своего невозрастания по Е отделена от нуля на изучаемых решениях величиной

Следовательно, последовательность пар {(xk = Zk/g{-,Ek),Ek)} =1 также равномерно сходится на отрезке [0,L]. Обозначим через Жоо соответствующую предельную функцию.

Отсюда и второго уравнения системы (1.18) получаем, что последовательность производных для Ek также равномерно сходится. Следовательно, предельная функция Е дифференцируема и её производная удовлетворяет этому уравнению с z = ж005г(., EQQ).

Такой простой предельный переход в первом уравнении системы (1.18) невозможен, поскольку его правая часть сходится слабо из-за слабой сходимости допустимых управлений. Эту трудность можно обойти, переписав это уравнений в интегральный форме, взяв интеграл по отрезку [О,/] С [0,L]. Получим равенство а также равномерной сходимости подпоследовательностей Xk-, Zk, Ek последовательность левых частей равенства (2.7) и последовательность первых слагаемых в его правой части равномерно сходятся на отрезке [0,L] при к — Следовательно, равномерно сходится на этом отрезке и последовательность {г } , г&(0 := / Uk(s)xk(s)ds, І Є [0,L] о вторых слагаемых из правой части (2.7) к некоторой функции г со. В частности, для предельной функции Гоо имеем что влечёт её абсолютную непрерывность. Эта функция почти всюду дифференцируема и в точках своей дифференцируемости её производная удовлетворяет неравенству ибо этому неравенству удовлетворяю члены последовательности кі кіР) = f Uk{s)xk{s)ds в точках своей дифференцируемости. о Следовательно, определяя управление Моо как в точках дифференцируемости Гоо и любым другим значением из отрезка [U1(l), U2(l)] в каждой из остальных точек отрезка [0, L], мы получим допустимое управление.

Это допустимое управление почти всюду должно совпадать со слабым пределом u, поскольку интегралы от произведения каждого из них с положительной непрерывной функцией x одинаковы по любому отрезку [0, l] [0, L].

Но в силу выбора исходных последовательностей и сходящихся подпоследовательностей на слабом пределе значение функционала качества равно точной верхней грани его значений на изучаемых стационарных решениях по всем допустимым парам из управления и промышленного восстановления. Следовательно, это верно и для управления u.

Таким образом, пара u, p допустима, функции x и E по построению доставляют стационарное решение нашей задачи для этой пары, а соответствующее значение функционала качества равно точной верхней грани его значений на стационарных решениях.

Свойства функционала и стационарных решений

Здесь даны доказательства лемм 6 и 7 (в обратной последовательности). Сначала мы сформулируем ещё одну лемму, которой воспользуемся для доказательства леммы 7. Лемма 8. В условиях теоремы 3 при положительном приращении А начального условия ZQ претендента на стационарное решение разности компонент ZA — z и Ед — Е соответствующих этим условиям решений являются неотрицательными невозрастающими функциями на отрезке [О, L]. Эта лемма доказана ниже, в конце этого параграфа. Рассмотрим теперь левую часть уравнения (3.1) как функцию / переменной ZQ : J [Zo) = — p (дО, 4 (zo)) и дадим положительное приращение А начальному условию ZQ. Для соответствующего приращения функции / имеем %о + A ZQ J{ZQ + А) — J\ZQ) =. т . «дО, 0( о + А)) д(0,ф(го)) zo + A zo А — = g(0,(j)(zo)) g(0,(j)(zo)) g(0,(f)(zo)) ! поскольку по доказанному в первой главе работы функция ф является возрастающей на неотрицательной полуоси, а в силу сделанных предположений функция д - невозрастающая по второму аргументу при любом заданном / Є [0,L]. Следовательно, А J{ZQ + А) — J\ZQ) ., g(0, P\ZQ)) и, таким образом, график функции / пересекает прямую, проходящую через точку своего графика и начало координат, снизу вверх (вообще говоря, нестрого, поскольку нестрого последнее неравенство).

Таким образом, левая часть уравнения (3.1) является радиально выпуклой функцией переменной ZQ. В правой части уравнения в подинтегральном уравнении участвуют решения системы (1.18). Обозначим, как и в лемме 8 через (ZA{1), ЕА{1)), и (z(l),E(l)), /є[0, L], решения этой системы, соответствующие начальным данным (zo + A, j){zo + А)) и (zo,4 (zo)), соответственно, Zo 0, А 0, с кривой Е = (f)(z) начальных данных решений - претендентов на неотрицательные стационарные решения. В силу леммы 8 для разности компонент решений имеем

Следовательно, для приращения правой части уравнения (3.1) на поло жительной полуоси по ZQ при приращении А 0 аргумента имеем поскольку в силу последнего условия теоремы 3 функция r/д13 является невозрастающей функцией своего второго аргумента при любом значении первого аргумента из отрезка [О, L]. Далее, в силу неравенства (3.2) и условия /З Є (0,1) для правой части последнего неравенства справедлива оценка (где переменная Z играет здесь роль координаты на оси начальных данных первой компоненты решений), поскольку в силу только что полученной оценки приращение правой части уравнения (3.1) меньше, чем приращение ординаты вдоль этой прямой при приращении А абсциссы.

Если множество точек совпадения значений изучаемых функций на Рис. 3.3. Пересечение вогнутой и выпуклой функций положительной полуоси пусто, то утверждение леммы справедливо. Если нет, то допустим противное, что имеется по крайней мере две различные точки такого совпадения, и возьмём из них точку с меньшей абсциссой. Обозначим соответствующую точку графика через P.

По определению радиальной выпуклости и радиальной строгой вогнутости правее этой точки график радиально выпуклой функции расположен не ниже прямой, проходящей через начало координат и точку P, а график радиально строго вогнутой функции расположен строго под этой прямой. Следовательно, правее точки P совпадения значений изучаемых функций нет, и второй точки пересечения графиков быть не может.

Получили противоречие. Следовательно, наше допущение неверно, и существует не более одной точки совпадения значений изучаемых функций на положительной полуоси. Следовательно, справедливо утверждение леммы 6. 3.2.3. Доказательство леммы 8 Понятно, что обе разности z-z и E-E неотрицательны на [0, L]. Для обеих этих разностей доказательство утверждения леммы 8 аналогичны, поэтому мы проведём рассуждения лишь для первой из них. Для неё на [0, L] имеем уравнение dl(z(l) - z(l)) = -M(l, E(l))z(l) + M(l, E(l))z(l).

В силу неотрицательности разности E -E и первой компоненты решений на [0, L], положительности функции M и её неубывания по E для правой части этого уравнения имеем оценку -M(l, E(l))z(l) + M(l, E(l))z(l) -M(l, E(l)[z(l) - z(l)]. Следовательно, в силу положительности функции M и неотрицательности разности z(l) - z(l) на [0, L] правая часть последнего неравенства неположительна. Следовательно, производная этой разности на [0, L] неположительна. Следовательно, разность z(l)-z(l) является неотрицательной невоз-растающей функцией на [0, L]. Лемма 8 доказана.

Радиально выпуклые и вогнутые функции

В силу описанных свойств функции / при заданных значениях ZL 0 и а 0 при ZL — а 0 знаменатель в последней дроби на промежутке "размеров" —оо I L возрастает от —оо до 1. Следовательно, есть единственная точка на этом промежутке, где он обращается в ноль. Изучаемое решение не продолжается влево через эту точку. Покажем, что при заданном а 0 и достаточно больших ZL эта точка попадает на отрезок [0, Див этом случае решение не продолжается до левой границы слоя D. Действительно, эта точка является корнем уравнения Следовательно, при достаточно больших ZL этот корень лежит на отрезке [0, L], а решение с соответствующими данными на правой границе слоя D не продолжается до его левой границы.

Теперь воспользуемся леммами 1 и 2 для доказательства теоремы 1 о существовании нетривиального стационарного решения.

Искомое стационарное решение х вместе с соответствующей функцией Е должно удовлетворять системе из двух уравнений правые части в области неотрицательных решений (а именно такие решения мы и изучаем) являются неположительными невозрастающими функциями по z и Е1, поскольку обе функции ти 1/д - неотрицательные неубывающие функции переменной Е при любом / Є [0, L], а z входит в обе эти части линейно.

Следовательно, справедливо следующее утверждение. Лемма 3. В условиях теоремы 1 для двух решений (zi,Ei) и (z2i Е2) системы (1.36) с начальными данными (zi(L), E\{L) = 0) и (z2(L), E2(L) = 0), где 0 Z\{L) Z2(L), справедливы неравенства 0 Z\{L) z\{l) Z2(l), E\{1) Е2ІІ) (1.37) на промежутке 0 / L всюду, где оба эти решения определены. Из этой леммы, теоремы об интегрировании неравенств [13], [28] и теоремы о непрерывной зависимости решения задачи Коши от начальных данных [12] непосредственно вытекает Рис. 1.6. Продолжаемость влево решений с z(L) Є [0, оо), E(L) = О

Следствие 1.3.1. В условиях теоремы 1 существует наибольшая положительная величина А (возможно, бесконечность) такая, что все решения системы (1.36) c начальными данными z(L) Є [О, A), E(L) = О продолжаются на весь отрезок [0,L]. При этом значения этих решений при I = 0 лежат на графике некоторой непрерывной определённой при z(0) 0 неубывающей функции ф от z(0), то есть Е(0) = ф(г(0)), (1.38) c нулевым значением в нуле; функция ф возрастает на [0, оо), если функция х положительна на некотором интервале размеров в [О, L].

Поясним утверждение следствия. Функция ф определена всюду при z(0) 0, поскольку в силу первых неравенств в (1.37) для решений с начальными данными z(L) = ZL 0 и E(L) = 0 значение z(0) первой компоненты решения не меньше начального значения ZL, поскольку для таких решений правые части уравнений системы (1.36) неположительны. Следовательно, значения z(0) для таких решений принимают все неотрицательные значения в случае, если А = оо. Но это также верно и в случае, если А конечно, когда не все изучаемые решения продолжаются до левой границы слоя D, а, значит, непродолжаемые решения уходят на бесконечность. Действительно, в этом случае уход на бесконечность изучаемых решений при продолжении влево обязательно сопровождается уходом на бесконечность первой компоненты решения, поскольку

Далее, функция ф непрерывна на неотрицательной полуоси в силу теоремы о непрерывной зависимости решения задачи Коши от начальных данных [12].

Наконец, в силу вторых неравенств в (1.37) функция ф является неубывающей функцией на полуоси z(0) 0, а при положительности функции х на некотором интервале в [0,L], эта функция становиться возрастающей в силу теоремы об интегрировании неравенств [12], [28]. Возвращаясь теперь к исходным координатам ж, Е1, для первой координаты изучаемых решений (с E(L) = 0) на правом конце промежутка [0, L] имеем z(L) x(L) =, g(L, 0) что доставляет растяжение координаты z(L) с коэффициентом l/g(L, 0), а на левом конце этого промежутка на графике функции ф (то есть в концах изучаемых решений, которые удается продолжить влево на весь промежуток) получаем соотношение

В силу неубывания функции ф на неотрицательной полуоси и невозрастания функции д по второму аргументу, последнее соотношение на этой полуоси также доставляет растяжение координаты, но с, вообще говоря, переменным неубывающим непрерывным коэффициентом.

Следовательно, график функции ф в исходных переменных ж, Е также есть график некоторой непрерывной неубывающей функция Ф, т.е. Е(0) = Ф(ж(0)), (1.40) при этом значение функции Ф в нуле нулевое как и у функции 0, и функция Ф возрастает на неотрицательной полуоси, если функция х положительна на некотором интервале размеров в [0, L]. Кроме того, имеем Ф(ж(0)) Сх(0) в силу (1.35) и, как и выше для предела z(0) при z(L) — А—, имеет место аналогичный предел для ж(0):

Теперь для завершения доказательства теоремы существования нетривиального стационарного решения достаточно показать, что среди решений исходной системы с начальными данными на графике функции Ф (см. рисунок 1.7), есть решение (ж, Е1), которое удовлетворяет условию воспроизводства индивидуумов наименьшего размера для стационарного решения, т.е. для которого справедливо соотношение