Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Существование и единственность решений нелинейных краевых задач электродинамики и электромагнитоупругости
1.1 О разрешимости нелинейных краевых задач электродинамики 25
1.2 Об исследовании гладкости обобщённых решений краевых задач электродинамики 32
1.3 Существование решений уравнения Максвелла для сред характеризуемых нелинейным законом Ома 37
1.4 О разрешимости краевых задач электромагнитоупругости 44
1.5 Исследование гладкости обобщённых решений нелинейных краевых задач электромагнитоупругости 50
1.6 Доказательство существования и единственности решения начально-краевой задачи электромагнитоупургости, характеризуемой нелинейным законом Гука 54
1.7 Вопросы качественного исследования нелинейных краевых задач электромагнитоупругости с памятью 58
ГЛАВА 2. Волны в однородных и неоднородных нелинейных средах
2.1 Периодические во времени плоские электромагнитные поля в полупространстве с общими материальными уравнениями. 65
2.2 Плоские волны в ферромагнитных и сегнетоэлектрических средах 71
2.3 Бегущее электромагнитное поле в полупространстве с общими материальными уравнениями 75
2.4 Отражение и преломление волны в нелинейных средах 85
2.5 Электромагнитные волны в неоднородном пространстве 91
2.6 Периодические во времени плоские электромагнитоупругие волны в полупространстве 93
2.7 Периодические во времени плоские электромагнитоупругие волны в пластине 100
Заключение 103
Список литературы
- Существование решений уравнения Максвелла для сред характеризуемых нелинейным законом Ома
- Доказательство существования и единственности решения начально-краевой задачи электромагнитоупургости, характеризуемой нелинейным законом Гука
- Плоские волны в ферромагнитных и сегнетоэлектрических средах
- Электромагнитные волны в неоднородном пространстве
Существование решений уравнения Максвелла для сред характеризуемых нелинейным законом Ома
Требуется определить электромагнитное поле в , если в начальный момент известны Е и Н. Задача сводится к нахождению векторов Е и Н, удовлетворяющих в цилиндре Q = П ]0, Т[ (х Є П , t є]0, Г[ ) системе (1.1.1)-(1.1.4), начальным условиям (1.1.7) и граничному условию (1.1.6) на5. В дальнейшем нам понадобятся следующие обозначения: L2(H) — гильбертово пространство вектор-функции со скалярным произведением (и, v) = I uvdx, iiL2(n) = y/(u,u), n з uv = у щ (X)VJ(X), и2 = и- u; i=l W-zifL) — гильбертово пространство вектор-функций со скалярным произведением k=l о W-zifL) — подпространства И СП), плотным множеством в котором являются все непрерывно дифференцируемые векторы, равные нулю в пограничных полосках: X = {Е\Е Є L2(H), divE = О, ET\S = 0), Y = {H\H Є L2(n), divH = 0, Hn\s = 0). Определение 1.1.1. X — есть подпространство L2(H), являющееся замыканием в норме L2(H) непрерывно дифференцируемых соленоидальных векторов Е, у которых ET\S = 0, где ЕТ = Е — пЕп есть тангенциальная составляющая вектора Е на S. Определение 1.1.2. Y— есть подпространство L2(H), являющееся замыканием в норме L2(H) непрерывно дифференцируемых соленоидальных векторов Н, у которых Hn\s = 0, где Нп — нормальная составляющая вектора Н на S. Определение 1.1.3. Обобщённым решением задач (1.1.1)-(1.1.7) назовем пару векторов: Е Є Lm(0,T;X) П Lp(0,T; Lpn), ЯЕІ(0,Г;Г), удовлетворяющих условиям (1.1.7) и тождествам: Т I I [—D(E)ut+J(E)u — Hrotu+Jcru]dxdt = I EQu(x, 0)dx, on n (1.1.8) T I I [B(H)vt + Erotv]dxdt = [i I H0v(x, 0)dx, on n при любых и Є X Г\ L , veY, u(x, T) = 0,v(x,T) = 0. Легко проверить, что классическое решение задач (1.1.1)-( 1.1.7) является обобщённым. Обратно, если относительно обобщенного решения известно, что оно гладкое, то с помощью интегрирования по частям система (1.1.8) очевидным образом сводится к системе (1.1.1)-( 1.1.7).
Лемма 1.1.1. Если , Д, — положительные постоянные, /(") —монотонная вектор-функция, то для решения краевой задачи (1.1.1)-(1.1.7) справедлива априорная оценка: дЯ(02+Е(0 дЯ02+Е0 где с /2 u2{x,t)dx п Доказательство. Умножим формально в rnxlor) уравнения (1.1.1) и (1.1.2) с учётом (1.1.5) на Е и Я соответственно и сложим результаты. Замечая, что I Я rot Е dx = I Ят X Ет ds + I Е rot Я dx = I Е rot Н dx, (1.1.9) п п п п Мы получим, учитывая (1.1.6)-(1.1.7), неравенство t t li\\H(t)\\2Y + \\E(t)\\2x + /іІВДНад dx дЯ02 + \\EQ\\2X + j(JCT E) dr. о 0 Предположим, что c\E\v T(E)E c\E\v, p 2, c,c = const 0, (№i) -KE2), E1 - E2) 0, VElt E2 Є Lp{ny (1±Щ Тогда из последнего неравенства в силу неравенства Юнга вытекает неравенство: /i\\H(t)\\Y + F(t)- + ct I F(T)fpf . dx дЯ02 + еЦЯоІІ + о (1.1.11) t + ij\UcrM\\ wdT. В силу обобщения неравенства Гронуолла-Беллмана [37] и условия монотонности из (1.1.11) получим оценку: MII COIIF + ll(Olli MII OIIF + llolli + " 71 ІІ/ст.(т)ІІьргт T при всех t Є [О, T]. Возвращаясь снова к (1.1.11), получаем: iuH(t) + F(t)- const, (1.1.12) сх означает различные константы. Неравенство (1.1.12) приводит к априорным оценкам: EEL(0fT-fX)nW{0fT;LPw)f Н ELm(0,T;Y), если предположить что її, є, — положительные постоянные, Я0 Є Y, E0EX,JCT. Є // (0,T;LP (Clj). (1.1.13) Теорема 1.1.1. Предположим, что/і, є — положительные постоянные и кроме того, выполнены условия (1.1.9) - (1.1.12). Тогда задача (1.1.1) - (1.1.7) имеет единственное обобщённое решение, когда: ЕЕЬт(0,Т;Х)пЬ?(0,Т;Ьр(п)), Н Е L00 (О, Т; Y), Доказательство. Будем искать Приближённое решение задач (1.1.1)-(1.1.7) в виде [26], [57]:
Чтобы определить из уравнений (1.1.14) функции Cjn(t), и dyn(t), надо задать для них начальные условия. Эти условия мы зададим таким образом, чтобы при t = О En(0) = E0n, E0n - E0 в X при n - oo, Яп(0) = Я0п, Я0п - Я0 в Г при п - оо. По условию теоремы Я0(х) Є 7 принадлежит подпространству L2(fl), а "0(х) ЕХ также принадлежит подпространству L2(H).
Умножая (1.1.14) на qn(t) и din(t) соответственно, и суммируя по і, получаем при учёте (1.1.5), (1.1.6) и (1.1.7) тождество: - Ы\Нп(Ш + e\\En(t)\\x] + j\En\pdx = -(/ст.(О п) п Из последнего тождества вытекает неравенство: t ,\\Нпт + гшті + j\\En(r)\fLPm dxdr ,\\Н0пШ + e\\Ean\\l + О t + /ll/CT(T)ll (n)dT. (1.1.15) V о в силу свойства (1.1.10) и леммы Гронуолла-Беллмана находим: №пШ\\ + \\ЕпШ2х Ы\Щп\\2у + е\\ EonWxl при всех t Є [О, Т], не зависящих от п. Возвращаясь снова к (1.1.15), получаем: 2(v — 1) Pltfn(t) + en(t)2 + — \\En\\pLP(q) const. (1.1.16) Отсюда следует, что tn = Т. Неравенство (1.1.16) означает, что при п -»оо Яп ограничена в Lm(0,T;Y), Еп ограничена в L(o,r; )nLp(o,r; n)). Известно из [38], что пространства L(0, Т;Х)Г\Ьр[0, Т; L ) и L(0, Г; 7) являются сопряжёнными к (0, Т;Х ) + LP \0,T\LP,QA и Z/ O, Г; У), соответственно, значит, из последовательностей {Яп}, {Еп} можно извлечь подпоследовательности {Нк}, {Efc} такие, что Нк Я слабо вЬоо(0,7,;Ю, Еп Е слабо в L00 (О, Г; X) П Lp (О, Т; L?, Y J(Ek) -» х слабо в LP (О, Т; LP (П)). Теперь, переходя в (1.1.14) к пределу при п = к -»оо, при фиксированному получаем: -(ГОІ H, pj) + { f + X, Pj) + Qcr, Pj) = 0, Ґ \ ґдВ(ЕЇ \ (1.1.1/J (rot E, wj) + ( + x, wj) = 0 V/. Так как система {q)j} плотна вХП шл и iwj] плотна в Y , то (1.1.17) имеет место для любых функций и Є X Г\ LPS и v Є Y
Доказательство существования и единственности решения начально-краевой задачи электромагнитоупургости, характеризуемой нелинейным законом Гука
Рассмотрена задача распространения линейно поляризованной плоской электромагнитной волны в полупространстве с общими материальными уравнениями, отражающими нелинейные ферромагнитные и сегнетоэлектрические свойства, нелинейность закона Ома. Приведены постановки краевых задач для полученных нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Их приближённые периодические по времени решения разыскиваются по методу Бубнова-Галлеркина в форме, подсказываемой решением линейной задачи. При этом усреднение осуществляется как по временной, так и по пространственной координатам. В первом приближении получены выражения для напряжённо стей электромагнитного поля и энергетических характеристик (поверхностные потери, глубина проникновения, фазовая скорость).
В настоящем параграфе исследуется распространение электромагнитных волн, зависящих от одной пространственной координаты.
Задача определения электромагнитного поля H(z,t), E(z,t) в полупространстве z о по заданной на его поверхности линейно поляризованной составляющей напряжённости магнитного поля Я(0, t) сводится к отысканию периодического по времени решения краевой задачи [38], [56]: дН dD(E) (2.1.1) dz at +т. t о, z о, дН _ _ дВ(Е) dz dt (2.1.2) Я(0, t) = H{t), H(z, t + T) = H(z, t) H{z, t) — 0, H{z, t + T) = H{z, t) z- co с общими материальными уравнениями D = D(F(T), T t), В = В{Н{т), T t), (2.1.3) /=/(E(T), r t). При решении ряда практических задач электроэнергетики наибольший интерес представляют средние за период изменения поля поверхностные потери t E(0, t)H(0, t)dt, (2.1.4) о где T — период изменения поля во времени. Ниже мы остановимся на определении электромагнитного поля поставленной выше задачи для конкретных материальных уравнений (2.1.3), то есть на отыскании периодических решений нелинейной краевой задачи (2.1.1)-(2.1.3).
В простейшем случае линейных материальных уравнений D = єЕ, В = /iH, J = оЕ , где є — диэлектрическая проницаемость, /і — магнитная проницаемость, о — электрическая проводимость, периодическое решение соответствующей линейной краевой задачи выписывается в виде: H(z, t) = у Нп ехр[—klnz] cos(/c2nz — ncdt + (рп), 71=1 (2.1.5) H(z, t) = У Hn ехр[—klnz] cos(k2nz — ncot + (pn), 71=1 где пй)ііНп kln En = Pn = (pn- arctg —. (2.1.6) 4k\ + Щ k2n 2тг Здесь со = 1 т —минимальная частота, Hn и (рп —амплитуда и фаза п — ой гармоники напряженности H(t) H(t) = V Нп cos((pn - na)t). (2.1.7) 71 = 1 Постоянные к1п и к2п, характеризующие соответственно затухание и фазовую скорость распространения плоской волны (2.1.4), определяются из уравнений к\п — Щп + n2o)2[i = 0, 2к1пк2п — па)&[1 = 0. (2.1.8) Два положительных корня этой системы имеют вид к1п,2п = Jy(Vi + 2/n2" +l) . (2.1.9) Приведённое решение линейной задачи представляет собой сумму относительно неискажающих плоских волн, распространяющихся в положительном направлении оси z . Амплитуды этих волн убывают по экспоненциальному закону. Величины обратные к1п и к2п, то есть S = = 1/к1п , v = п(л)/к2п называются соответственно глубинами проникновения п — ой гармоники электромагнитного поля в проводящее полупространство z 0 и фазовыми скоростями распространения. Из (2.1.9) следует, что чем выше временная частота, тем быстрее затухает по мере проникновения в полупространство амплитуда п —ой гармоники поля.
Средние за период поверхностные потери определяются по формуле пк2пНп If toll V"1 к2 -\- к2 О n=l iri Z71 Если на поверхности z = 0 имеется только одна гармоника, то решение линейной задачи будет содержать только одну гармонику. В приведённых формулах знак суммы в этом случае можно опустить, а п принять равным единице. В нелинейном случае любая заданная на поверхности z = О гармоника H(t) порождает все гармоники поля.
Пусть на поверхности полупространства с общими материальными задана только одна гармоника H{t) = Ht cosOi - tot) (2.1.10) Приближённое решение краевой задачи (2.1.1)-(2.1.2),(2.1.10) будем искать в виде, подсказываемом решением линейной задачи [56], [59]: H(z, t) = Ht exp[-ktz] cos{k2z - tot + (pt), E(z,t)=E1exp[—k1z]cos(k2z — tot + ip1), В таком представлении она, очевидно, удовлетворяет краевому условию (2.1.10) при любых значениях постоянных к1,к2,Е1 и ipt. Определим эти постоянные из условия, чтобы дифференциальные уравнения (2.1.1) удовлетворялись приближённо в смысле метода Бубнова-Галеркина. Так как векторы электромагнитного поля предполагаются коллинеарными, то материальные уравнения (2.1.3) можно переписать в виде D = E{\E\)E, В=Ц(\Н\)Н, J = G{\E\)E. (2.1.12) Приближённое решение нелинейной краевой задачи (2.1.1), (2.1.2), (2.1.10) - (2.1.12) будем искать в виде решения линейной задачи (2.1.11) с подлежащими определению постоянными klt k2,ip1 и Е±. Применяя метод линеаризации, получим систему уравнений относительно кг, к2,гр1 и Et
Плоские волны в ферромагнитных и сегнетоэлектрических средах
Рассмотрены вопросы распространения электромагнитных волн в неоднородных нелинейных средах. Приведены постановки краевых задач для получения систем нелинейных дифференциальных уравнений частных производных. Их приближённые периодические во времени решения разыскиваются по методу эквивалентной линеаризации.
Рассмотрим задачу отражения и преломления плоской электромагнитной волны в изотропной нелинейной среде. Расположим декартовую систему координат таким образом, чтобы среды с разными свойствами разделяла плоскость zoy (рисунок): Среда I (полупространство, z 0 ) характеризуется материальными уравнениями поля D = Dt (),/ = J1{E), В = Bt(H), а среда 2 - (полупространство z О) материальным уравнением поля D = D2{E),J=J2{E), В = В2{Н). Предположим, что в первом полупространстве задана падающая линейно поляризованная касательная составляющая напряжённости магнитного поля Я1(0, t), являющаяся периодической функцией времени и удовлетворяющая условию регулярности на бесконечности, т.е. (2.4.1) H1(0 t) = H1(t) = H1(t + T); Ях(+оо,0 = О где Т — период изменения поля во времени. (2.4.2) (2.4.3) Задача определения электромагнитного поля H(z,t) = Я!(г,0 + Яі(г,0, z 0; H z.t), z 0; [H1(z,t) + H[(z,t)l z 0; z 0; в общем случае сводится к отысканию периодических по / решений уравнений Максвелла дН dD(E) дЕ с общими материальными уравнениями (2.4.4) дВ(Н) dt D(t) = D(E(T), T t), /(t) = /((т), г t), fl(t) = Я(Я(т), T t). l j Поле (2.4.2), (2.4.3) полностью определяется скалярными функциями напряжённости электрического E(z,t) и магнитного H(z,t) полей. Материальные уравнения поля (2.4.5), в общем случае, сложны, нелинейны, более того, обладают свойствами линейной и нелинейной памяти.
Необходимо найти соотношения между амплитудами напряжённости электромагнитного поля падающей, отражённой и преломлённой волн. Для этого следует учесть, что на границе раздела, т.е в плоскости z = О, должны выполняться граничные условия непрерывности тенгенциональных составляющих суммарных электрического и магнитного полей: [H z, t) + H[(z, t)]z=0 = H2(z, t)z=_0; [E z.t) + E[(z,t)]\z=0 = ff2(z,t)z=_0. Ниже мы остановимся на определении электромагнитного поля в полупространстве z 0 и z 0 поставленной выше задачи для конкретных материальных уравнений (2.4.5), т.е. на отыскании периодических решений краевой задачи (2.4.1), (2.4.4)-(2.4.6).
2. В простейшем случае материальные уравнения (2.4.5) являются линейными: D{E) = єЕ J{E) = оЕ (2-4-7) В(Н) = (Ш где Niu) = Fu (2.4.8) ІУ2Щ Yi и Ї2 соответственно означают магнитную, электрическую проницаемость или проводимость в первом и во втором полупространствах, а щ (z, t) и и2 (z, t) — соответственно напряжённости магнитного или электрического полей в первом и во втором полупространствах.
Решение поставленной задачи (2.4.1)-(2.4.4), (2.4.6), (2.4.7) будем искать в виде Ei(z, t) = Et exp[-kuz] cos(k2iz - cjt + ipt) „ . „ , , . (2.4.9) Hfe, t) = Ht exp[-kuz] cos(k2iz - cot + p{) с наличием отраженной волны, распространяющейся в полупространстве z 0: E[{z, t) = Е[ exp[fcnz] cos(-/t21z - ot + ip[) H[(z, t) = H[ exp[/t1:Lz] cos(—k21z — a)t + (p[) где од, t и Pi — заданные частота, амплитуда и фаза, постоянные к±1, k2i, Еь Н2, Е[, Н[, фі, (р2, ф і и (р ±, (і = 1,2) подлежат определению. Постоянные klt и k2i , характеризующие соответственно затухание и фазовую скорость распространения плоской волны в соответствующим полупространстве z 0 и z 0, определяются из уравнений
Зная H1( z,t), легко найти Ht{z,t) (і = 1,2) с помощью второго уравнения Максвелла (2.4.4) и третьего материального уравнения поля (2.4.7). Для Ei (z, t) при этом справедливо представление вида: (oHiiii ( klt\ Ei (z, t) = exp [—ktiz] cos \k2iz + ері — arctg -— j lku + k2i (2.4.15) Теперь из условия сопряжения (2.4.6) на границе раздела z = 0 найдем Н2, Н[, ср2 иц) г. Для них справедливо представление вида: H2 = 2Нф1 22+ 12 (fe22 + fe12 2jM12 + ( 12 1+ 22 1jM22+2(fe11fe12+fe12fe22)M1M2 (2.4.16) ер = ер arctq (fc11fc22+fc12fc21)M1M2 , {к12+к22)И-1+\к11к12+к12к22)И-1И-2 (2.4.17) Н1 — Н1 [к22 2 + 12J 1 + ( 11 + 21) 22 2(/с11/с12 + k21k22J 1 2 {к-22 2 + 12J 1 + (л12 1 + 21) 2 + 2( 11 12 + 21 22) 1 2 (2.4.18) , _ - 2(/с11/с12 + к12к22)У-Ф2 ҐООЛ где Р1 — Р1 СІГСІд (Ь12 і 7,22 Л 2 - /7,2 і 7,21 Л 2 ( .4.1У) Соотношения (2.4.16) и (2.4.18) есть формулы Френеля. Замечание 1. Если (Г; -» 0 соотношения (2.4.16)-(2.4.19) примут вид н = 2(1221 н1 = f122 -J221 н . (2 4 20) M1 22 + 2 21 М1 22 + 2 P1 = ?2 = P1 Соотношения (2.4.21) полностью совпадают с формулой Френеля [61]. Замечание 2. Если Д1 = д2 — М, то соотношения (4.16)-(4.19) будут следующие: ы __ о rj / 22 + 12 . 2 1V(fe11 + fe12) 2 + (fe21 + fe22) 2 m2 = m - аг eta 2 5 ; "12 + 22 + к11к12+ 21 "22 П 7J /(fo11 12) + ( 21 22) . 1_ 1V(fe11+fe12)2 + (fe21+fe22)2 P1 — 1 - orctg 2(fc11fc22+fc12fc21) 1,2 ъ- -Ъ-2 Ъ-2 "12+"22 2 "1 1+к-21 3. Предположим теперь, что первое полупространство является ферромагнитным, а второе – линейным, тогда материальные уравнения (2.4.5) можно представить в виде: в(я) = (Ді(ЯіІ)Яі z 0; ІМ2 2 Z 0. (2.4.21) В отличие от линейных постановок краевая задача (2.4.1)-(2.4.4), (2.4.6), (2.4.9), (2.4.10), (2.4.21) не допускает точного решения. Приближённое решение краевой задачи (2.4.1)-(2.4.4), (2.4.6), (2.4.9), (2.4.10), (2.4.22) будем искать по методу эквивалентной линеаризации в виде (2.4.9) и (2.4.10), [62], [63]. Для к1і,к2і,Еі,Н2,Е[,Н[, фі,ф2, ф і и ср х (і = 1,2) , получаем систему нелинейных алгебраических уравнений вида: Лі - =; 2 Дальнейшее исключение ";,#; и в і из системы (2.4.22) с помощью (2.4.25) дает систему двух уравнений для определения постоянных к2і-к22і + а)2єі[Іі(\Ні\) = 0; 2кик2і - ант Щ) = 0. Из третьего и четвертого уравнений системы (2.4.22) с учётом (2.4.26) можно найти Ег,Е2 и Е[ в виде:
Электромагнитные волны в неоднородном пространстве
Итак, определение постоянных в приближённом решении (2.5.4) сводится к отысканию положительных корней кг1, к12, к21 и к22 системы (2.5.6). В общем случае для системы (2.5.6) и (2.5.7) нельзя получить точное решение. Для получения приближённых аналитических решений надо воспользоваться методом последовательных приближений. При этом в качестве нулевых значений для кг1, к12, к21 и к22 можно принять положительные корни системы (2.5.5), соответствующей линейной задаче с электромагнитными характеристиками 1,/i1,a1 в z О и г2,\і2,о2 в z О, являющимися постоянными.
Предположим, что в изотропном однородном полупространстве х 0, под действием электромагнитного поля находится полуограниченный вязкоупругий стержень, в нем распространяются волны. Требуется определить электромагнитное поле в полупространстве и движение вязкоупругого стержня, если задана напряжённость магнитного поля Я (0, t) и Я(0, t) = H{t) = H(t + Т), lim Я(х, t) = О, х (2.6.1) и(х, t + Т) = и(х, t), lim и(х, t) = О, х-»оо где Т —период изменения во времени. Определение H(x,t), E(x,t) и u(x,t) приводит к отысканию периодических по t решений следующей нелинейной краевой задачи [35]: дН _ dD(E) Іґил (2.6.2) дЕ _ дВ(Н) дх dt с общими определяющими уравнениями rx(t) = "Ох(ХЬ Е(т), т t), D(E) = D(E(T), X(T), T t), (2.6.3) ]{E)=J{E{T), T t), BQf) = В(Н(т), T t), где F(x, t) — напряжённость электрического поля, H(x,t)— напряжённость магнитного поля, D(E) — ток проводимости, ох — упругие напряжения, єх — упругие деформации, и(х, t) — перемещение. Ниже мы остановимся на определении электромагнитного поля и движении вязкоупругого стержня поставленной выше задачи конкретных определяющих уравнений (2.6.3), т.е. на отыскании периодических решений нелинейной краевой задачи (2.6.1), (2.6.2).
В простейшем случае определяющие уравнения (2.6.3) для изотропной пьезоэлектрической среды имеют вид [21]: ТХ t х Ь, х —, D(E) = єЕ, (2.6.4) J(E) = оЕ, Я (Я) = цН, где Е, ё, о, є, /і —электромагнитоупругие постоянные, Подставляя (2.6.4) в систему (2.6.2), приходим к системе интегро дифференциальных уравнений с частными производными ц. д2и д2и „дЕ _ дН дЕ (2.6.5) дх dt дЕ _ _ дН дх " dt Периодическое решение краевой задачи (2.6.1) в этом случае выписывается в виде: и(х, t) = У un exp[—klnx] cos(k2nx — ncot + фп), п=1 E(x, t) = У En exp[—klnx] cos(k2nx — nojt + ipn), 71 = 1 CO H(x, t) = У Hn exp[—klnx] cos(k2nx — nojt + (pn). n=l Здесь од = 2тт/Т — минимальная частота, Нп и срп — амплитуда и фаза п —ой гармоники напряжённости H(t) — СО H(t) = У Hncos{(pn — nojt). (2.6.6) 71 = 1 Определим постоянные к1п, к2п, Еп, ип, грп и 7рп по методу эквивалентной линеаризации [58], [64]. В результате получаем систему нелинейных алгебраических уравнений: un[E{kln - kln) + ра)2п2] + п[ (/1п, к2п) cos(i/;n - фп) + +F2(kln, к2п) sm(ipn -фп) = 0 2ипЁк1пк2п + En[F3(kln, к2п) sm(ip - фп) -F4(kln, к2п) cos(i/;n - фп) = О, Hn[kln cos(i/;n - рп) - к2п sm(ipn - рп)] = Епа, Hn[kln sin(i/ n - фп) + к2п cos(i/ n - (рп)] = Ennoj, En[—kln sm(ipn — (рп) + к2п cos(i/ n — (рп)] = Hnnoj[i, (2.6.7) En[kln cos(i/;n - рп) + к2п sm(ipn - рп)] = О, Fi\kin,k2n) = к1п, р2\ 1п 2п) = к-2п 3\ 1п 2п) = к-1п Ч(Ліп 2п) = к-2п Из пятого и шестого уравнений полученной системы (2.6.7) сразу находим (рп = грп + arctg (- ), Е = 1,2 А.ІГІ К1ПТК2П Из третьего и четвертого уравнений системы (2.6.7) с помощью (2.6.8) получаем систему алгебраических уравнений для определения к1п и к2п кщ 2п = fm 2/cln/c2n = fln, (2.6.9) где fln = —П20)2[1, f2n = п(л)/і(а + n(x)(ps ). Разрешив систему (2.6.9), находим к1п и к2п . Единственные положительные корни этих уравнений выписываются соответственно в виде: Лп+/2п±Лп (2-6.10) Зная Еп, Нп, грп, и срп из первых двух уравнений системы (2.6.7), легко можно найти ип и фп: Рп = Рп- arctg Ef2nFi(k1n,k2n) + [Efln + рп2 o2]F1(Jclnk2n) (Efln + pn2a)2)F3(klni k2n) - Ef2nF2(klni k2n) пл/ 4 C ln» 2n) + 3 C ln» 2n) / 4(Aln 2n) n = 7 =—7 sin pn - pn - arctg ————— . tJ2n [snJln \ r3{Kln,K2n)
Перейдем теперь к рассмотрению существенно нелинейных определяющих уравнений. Если проводящее полупространство является ферромагнитным, то: р ди ТХ = Ьх — Ь, Х = —, D(E) = єЕ + єєх, (2.6.11) /() = оЕ, В(Н)=іі(\Н\)Н. Подставляя (2.6.11) в систему (2.6.2), приходим к системе нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными: ц. д2и д2и „дЕ _ Ь дх 1 Р д 8 дх дн — гдЕ і /у д2и (2.6.12) дх dt dtdx = _.[ (я)я]. дх dt L v J Его решение должно удовлетворять краевому условию (2.6.1), правую часть которого мы будем рассматривать как периодическую функцию, изменяющуюся по гармоническому закону H(t) = Н0 cos((p - d)t). (2.6.13) В отличие от линейных постановок, краевая задача (2.6.1), (2.6.12), (2.6.13) не допускает точного решения. Ее периодическое во времени приближённое решение будем искать в таком же виде, как и линейном случае и(х, t) = щ ехр[—к±х] cos(k2x — cot + ф), Е(х t) = Еа ехр\—к х] cos(k?x — cot + гр) (2.6.14) Н(х, t) = Н0 ехр[—к±х] cos(k2x — cot + ер) . Приближённое решение этой системы, удовлетворяющее условию (2.6.13), разыскиваем по методу эквивалентной линеаризации в виде (2.6.14).