Введение к работе
Актуальность темы. Для практической медицины вопросы защиты организма от вирусных и бактериальных инфекций и исследование реакций иммунной системы на инфицирование являются актуальными в настоящее время и останутся актуальными в будущем.
Создание математических моделей иммунного ответа является одним из путей исследования закономерностей иммунной реакции организма.
Проблемам разработки применения математических методов в медицине посвящено большое количество исследований отечественных и зарубежных авторов. Значительный вклад в решение этих проблем внесли Bell G., Mohler R. с коллегами, Bruni С. с коллегами. Марчук Г.И., Петров Р.В., Погожев И.Б., Белых Л.Н.,Зуев СМ., Асаченков А.Л.
Построенные модели, как правило, нелинейны и найти их решения в конечном виде невозможно. Вычислительные эксперименты позволяют получить решения для любого конкретного набора параметров, но не дают доказательств общих свойств этих решений.
Поэтому исследование математических свойств решений соответствующих моделей необходимо и актуально.
Моделированием биологических систем занимались многие исследователи. В первой половине двадцатого века в этой области определяющими стали работы Вито Вольтерра и заметный вклад внесли работы Н.А. Колмогорова, а также работы В.А. Костицына.
Однако, к настоящему времени в исследованиях биологических и медицинских моделей оставались не решенными ряд проблем, связанных с математическими свойствами решений и задачами нахождения параметров моделей по экспериментальным данным.
В настоящей диссертации проводится исследование этих проблем для двух моделей - для интегро-дифференциальной модели В.А.Костицына и нелинейной системы уравнений дифференциальных уравнений с запаздыванием, предложенной Г.И. Марчуком.
Цель работы. Целью настоящей работы является изучение математических свойств решений моделей Костицына и Марчука, а также разработка методов решения обратных задач для этих моделей.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следую-
щие задачи:
-
Исследовать поведение решений пнтегро-дифференциаль ного уравнения Костицына в среднем и получить метод восстановления ядра по экспериментальным данным.
-
Показать, что модель Г.И.Марчука сводится к модели Костицына в начальном периоде заболевания и с помощью этого факта выявить новые свойства решений системы уравнений Марчука.
-
Иследовать возможности определения параметров модели Г.И. Марчука по данным наблюдений.
Методы исследования. В работе используются методы математического анализа, теории дифференциальных уравнений и, отчасти, методы теории функций комплексного перменного.
Научная новизна работы состоит в следующем:
-доказано, что модель Г.И.Марчука,описывающая начальный период заболевания, эквивалентна модели В.А.Костицына;
-доказана единственность решения обратной задачи для модели Г.И.Марчука;
-получены оценки в среднем для решений модели Костицына и, как следствие, аналогичные оценки для модели Марчука;
-получены новые условия стабилизации и исследованы квазиста-цпонарные решения модели Г.И.Марчука.
Практическая ценность работы заключается в следующем:
-в использовании результатов исследований при работе со студентами в СНО для выполнения научно-учебных работ;
-в использовании полученных материалов в учебном процессе на кафедре математики университета ДВГУПС;
-в возможности применения результатов работы при проведении различных медицинских исследований.
Апробация работы. Основные научные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: семинаре лаборатории математического моделирования экологических систем ИАПУ ДВНЦ АН СССР (Владивосток,1977), семинаре лаборатории микробиологии ХабКНИИ ДВНЦ АН СССР (Хабаровск, 1980),семинаре ВЦ ДВНЦ (1981 ). Дальневосточной математической школе-семинаре (Хабаровск,1981), научной конференции Хабаровского политехнического института (1985 ), научно-прак-
тнческих конференциях Дальневосточного государственного университета путей сообщения (Хабаровск,1987, 1995 и 1997), семинаре ИПМ ДВО РАН (Владивосток,1993),семинаре лаборатории математического моделирования ИАПУ ДВО РАН (Владивосток,1994).
Публикации результатов работы. По теме диссертации опубликовано 7 печатных работ, которые отражают ее основное содержание.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения, изложенных на 79 страницах,списка литературы, включающего 65 наименованпй,трех рисунков и двух таблиц.