Введение к работе
Актуальность проблемы
Математическое моделирование, математическая биология с самого начала возникли из практических потребностей как реальный инструмент, позволяющий обобщить и систематизировать уже накопленный исследователями-натуралистами, зачастую очень объемный фактический материал, как метод, дающий возможность увидеть в гуще фактов заключенные в них закономерности, сделать прогноз на будущее и влиять на будущие результаты посредством воздействия на существующую обстановку.
В биологии накоплен огромный объем фактов. Собирается, исследуется и хранится все многообразие зафиксированных наблюдением явлений природы. Тем не менее, при построении математических моделей иногда выясняется, что собранного материала недостаточно для моделирования. С появлением математической биологии сбор биологической информации стал носить более организованный, систематический характер, соответствующий уровню потребностей моделирования, что сближает биологию с другими науками. Именно эта цель - организация и согласование объема накапливаемых данных для их дальнейшей обработки и использования в моделировании - делает необходимым создание моделей, в которых учитываются разноплановые данные , получаемые разными специалистами в ходе крупномасштабных исследований, например, в процессе морской экспедиции.
Методы математической биологии используются одинаково эффективно, независимо от того, исследуются ли проблемы сохранения разнообразия и устойчивого сосуществования видов в сообществе живых организмов в "дикой" природе или ставится много более скромная задача увеличения численности конкретной популяции в условиях ее интенсивного вылова. В обоих случаях практический результат налицо, хотя во втором варианте его легче увидеть. В связи с этим представляется полезным изучение моделей простых сообществ, описывающих реальные искусственные (т. к. они проще) биосистемы, где все можно измерить и посчитать, и получить при этом наглядный практический результат, как, например, в случае модели искусственного пруда.
К настоящему времени библиография по математическому моделированию в биологии вообще, и в экологии в частности, насчитывает сотни тысяч томов, однако до сих пор остаются нерешенные задачи и неисследованные модели.Исследования, выполненные в представленной работе, продолжают теоретические концепции и дают развитие уже существующих методов моделирования систем, разрабатываемых, в основном, представителями Мое-
ковской ( А.Д. Базыкин, Ю.М. Свирежев и другие), Сибирской (А.А. Ляпунов, И.А. Полетаев) и Дальневосточной (А.П. Шапиро и другие) школ в математической биологии.
Цель работы
Целью диссертационной работы являются разработка, исследование и применение математических моделей конкретных водных экосистем.
В соответствии с данной целью были поставлены и решены следующие задачи:
-
Разработка основных подходов, учитывающих разнообразие и принципы взаимодействия составляющих математической модели.
-
Качественное исследование системы дифференциальных уравнений, описывающих модель типа "хищник-жертва".
-
Построение конечно-разностной схемы для численной реализаии модели океанического биоценоза.
-
Построение математической модели искусственного рыборазводного пруда, ее численная реализация и решение задачи оптимального управления.
Основные методы исследований
В разработках применены методы математического моделирования биологических систем, построение и реализация детерминированных моделей, конечно-разностные схемы для дифференциальных уравнений с частными производными, исследование моделей на устойчивость, исследование стационарных состояний, элементы качественной теории дифференциальных уравнений.
На защиту выносятся (основные результаты)
Разработка, построение, реализация и исследование трех конкретных математических моделей биологических сообществ. Основные результаты заключаются в следующем:
-
Построена устойчивая конечно-разностная аппроксимация для численной реализации модели тропических вод океана, учитывающей суточное движение планктона, активное перемешивание, фотосинтез, отмирание и размножение планктона, хищничество зоопланктона.
-
Построена многоуровневая математическая модель экосистемы искусственного рыборазводного пруда, на основе анализа численных реализаций этой модели при различных начальных плотностях посадки рыб определён
оптимальный режим загрузки пруда по критерию максимума условной стоимости рыбопродукции.
Научная новизна
Проведена разработка схемы и методов описания состояния системы и внешней среды, а также изменчивости этих характеристик с целью построения математических моделей и обоснования состава, структуры, принципов организации и функционирования построенных моделей систем.
Эта схема применена для исследования трех конкретных биологических систем. Одна из них носит условный, абстрактный характер и представляет из себя исследование в стационарном режиме классической модели "хищник-жертва". Две другие модели построены на основе реальных фактических данных. Первая базируется на материалах 44-го рейса научно-исследовательского судна "Витязь". Эта модель была создана с целью координации исследований во время рейса и, таким образом, способствовала согласованию результатов теоретического моделирования и проведенных экспериментов. Вторая модель построена на чисто практическом материале -это оптимизация сбора рыбопродукции в трудовом хозяйстве "Мельгуновский", выполнена по хозяйственному договору.
Практическая ценность работы
Решены три конкретные задачи математического моделирования биологических систем.
Проведено исследование классической модели "хищник-жертва" на существование и устойчивость стационарных состояний, позволяющее установить условия возможного сосуществования и резервы роста численности обоих видов.
Построена и реализована численно математическая модель пруда для выращивания в поликультуре ценных пород рыб. Проведена оптимизация сбора урожая рыбопродукции в зависимости от плотности посадки. Это исследование было выполнено на данных конкретного хозяйства (совхоз "Мельгуновский"), результаты имели экономический эффект, который был определен, и эти расчеты подтверждены актами приемки.
Составлена устойчивая конечно-разностная схема и проведены расчеты по ней для модели, описывающей динамику составляющих океанического биоценоза.
Апробация работы и публикации
Основные результаты работы докладывались и обсуждались на:
- Международной конференции "Математические модели и их
исследования (задачи механики сплошной среды, экологии,
технологических процессов) (Красноярск,1997)
4-ой Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам (Уфа, 1997)
Совместном заседании Ученого совета ЕНФ и кафедры прикладной математики Дальневосточного государственного технического университета (Владивосток, 1997).
- Заседании научного семинара лаборатории математического
моделирования экологических систем (Владивосток,1997).
По теме диссертации опубликовано 5 печатных работ.
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 99 наименований. Работа содержит 83 страницы основного текста и 15 рисунков.