Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Для понимания' функциональных возможностей нейронов со сложной дендритной структурой, важно знание пространственно-временных соотношений распространения потенциала при различных конфигурациях входных сигналов. Подобный анализ трудно осуществить в электрофизиологическом эксперименте, а возможности аналитических моделей очень ограничены. Это вызывает большой интерес к компьютерным компарт-менткым СзонныиЭ моделям, . учитывающий структуру и электрофизиологические параметры дендритного дерева.
В последнее время в центре внимания нейрофзиологов стоят вопросы, касающиеся того, какимобразом нервная клетка декодирует и анализирует поступающие к ней различные сенсорные сигналы и функционирует в соответствии с этой информацией... Ставятся .также задачи исследования .алгоритмов лежащих в основе этих функций нервных клеток.
Многие исследователи формулируют свои рабочие гипотезы относительно функций нервных клеток CHIP в терминах количественных компьютерных моделей. Естественное требование к этим моделям состоит в том, 'чтобы они обладали способностью имитировать электрическую активность, которую можно было бы сравнить с действительной нейроной активностью, наблюдаемой в экспериментах.
В то же время, развитие компьютерной техники, средств прог-
'-V
раммного обеспечения и методов численного поделирования сложных
динанических систем - позволило создавать компьютерные
имитационные «одели НК, во все большая степени отвечающие современный нейрофизиологическим теориям.
ШЪ И ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ. Целью настоящей работы было создание компьютерной модели, учитывающей ---^морфологические к электрофизиологические особенности дендритного дерева и имитирующей биоэлектрические процессы, происходящие в реальных нервных клетках.
Моделирование переходных процессов в сложных дендритных структурах осуществляется с помощью уравнений, решение которых рассматривается в частотной области Спреобразование ФурьеЭ. В связи с этим существенное значение приобретают численные методы, приводящие к удобным и точным вычислительным алгоритмам и программам.
Учитывая это, для построения компьютерной компартментной модели были поставлены следующие конкретные задачи:
1.Построение математической модели и создание соответствующей компьютерной программы вычисляющая передаточную функцию нервной клетки с произвольной дендритной структурой (распространение тока в ветвях описывается линейным уравнением).
2.Разработка эффективного численного метода обратного преобразования Фурье (ОПФ), с помощью которого осуществляется преобразование передаточной функции нервной клетки во временную функцию. Использование этого численного.метода позволит по передаточной функции вычислить переходные процессы, происходящие в
НК с линейной мембраной.
Адекватность такой модели реальный переходным процессам может быть проверена по существующим аналитическим моделям НК и при сравнении биоэлектрических потенциалов, полученных экспериментальным путей и при имитационном ноделировании.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Впервые была создана компьютерная компарт-иентная модель НК со сложной дендритной структурой, учитывающая возбуждающие и тормозящие синаптические входы. Модель позволяет вычислить ' передаточную . функцию С частотные характеристики^ дендритной структуры произвольной конфигурации. Благодаря своей общности, модель описывает проведение тока в сложных дендритных структурах с произвольной линейной мембраной.
Разработан эффективный численный алгоритм ОПФ,
вычисляющий переходные процессы в нервных клетках по передаточной функции. Показано," что использование-этого"*метода приводит к значительному сокращению времени расчета, при сохранении точности расчетов.
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Созданная, компьютерная модель, учитывающая все структурные особенности дендритного дерева С топологию дерева, длины и диаметры всех ветвейЭ, и удельные электрофизиологические параметры, позволяет вычислить переходные процессы, происходящие в НК со сложной дендритной структурой. Модель может быть использована в нейрофизиологических лабораториях для исследований электрической активности реальных клеток.
Такая модель может быть полезным инструментом для оценок
биоэлектрических потенциалов нейронов со сложной дендритной
геометрией, когда электрофизиологические исследования затрудне
ны. . .
АППРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты работы докладывались: на совместной семинаре лаборатории Математического моделирования не-
йрбнных систем и лаборатории Центральной нервной системы в институте Физиологии ив. Л.А.. Орбели НАН Арнении С1994Э, и на кафедре Биофизики МГУ С1995Э.
ПУБЛИКАЦИИ. По теме работы опубликованы 5 научных работ.
СТРУКТУРА РАБОТЫ. Диссертация изложена на 105 страницах машинописного текста и состоит из введения,' 3 глав, выводов, списка литературы из 115. наименований, а также из 8 рисунков. - ОСНОВНОЕ С0ДЕР1АНИЕ РАБОТЫ .
Во введении обсуждается актуальность темы работы, ее цель и описывается общая структура работы.
Первая глава посвящена анализу существующих моделей, учитывающих сложные дендритные ветвления.
Рассматриваются аналитические модели, начиная с классической работы Ролла, где описывается идеализированная симметричная дендритная структура, диаметры которой удовлетворяют правилу 3/2. Показано, что в существующих аналитических моделях получение переходного процесса возможно лишь при строгих ограничениях на структуру дерева и рассматриваемый скнаптический ток.
Дэквзана необходимость разделения на зоны при иодели-
ровании сложных деревьев. Рассмотрены существующие зонные модели нейронов, в которых зона описывается как изопотенциальная область с уравнения с сосредоточенными параметрами или моделируется уравнением одномерного'кабеля Суравнение с-распределенными параметрами^.
Как показывает анализ моделей, теория одномерного кабеля и зонные модели позволяют? достаточно адекватно описать переходные процессы электрической активности дендритов: кабельная теория представляет дендриты как'непрерывные или конические структуры, в то время как зонные модели представляют их множеством соедине-ных однородных областей. Использование уравнения кабеля намного уменьшает количество зон и увеличивает точность расчетов, поскольку изопотенциальные зоны только аппроксимирует уравнение
"ч
кабеля.
Обзор литературы показывает актуальность'. создания "и применения компьютерных зонных моделей для анализа переходных процессов и функциональных особеностей НК со сложным дендритным деревом.
Во второй главе дается описание оригинальной компьютерной зонной модели, которая для произвольной дендритной структуры и сшаптических входов вычисляет передаточную функцию данного дерева. Распространение тока в ветвях дерева описывается линейным уравнением. Разработанная компьютерная модель учитывает реальные свойства дендритного дерева: электрофизиологические па-
раметры нервного волокна, точную структуру дендритного дерева, длинней диаметры всех ветвей.
Созданная иатеиатическая модель дендритной структуры основана на алгоритме tKoch.Poggio 19853 и позволяет учитывать тормозящие и возбуждающе синаптические входы, ч
В основе иодели сложного дендритного дерева лежит модель нервного волокна, описываемая теорией одномерного кабеля.
Мембрана нервного волокна описывается мембранной емкостью С , мембранным сопротивлением Е , сопротивление внутриклеточной
tn ПІ
среды представляется омическим сопротивлением Е . Электрическая схема мембраны одномерного кабеля представлена на Рис.1а.
Уравнение, описывающее изменение напряжения VCx.wD в одномерном -кабеле обычно рассматривается в частотной области:
d VCx.w) 2
-—- * ='V cw)Vcx;w3
dx*
где r(w3 есть коэффицеят распространения :
-—
г с - 3"/ " *
CI + jwc г 3
га m
В этом случае характеристика нейронной мембраны полностью определяется функцией г<*0 и не влияет на форму уравнения. Решение этого уравнения в частотной области имеет вид; V(x,w) = AexpK-XCw+iS1^ + Вехр < XCwHD^ CV Для того, чтобы модель НК учитывала синаптические входы, использовалась модель мембраны нервного волокна tEall 19643,
У 9ЭС
-м
X
(Б)
I;
;" ту
ВС
вс
Рис.1СаЗ.Эквивалентная электрическая' схема одномерного
кабеля. С - мембранная емкость, R - мембранное сопротивление.
РисКбЭ. Эквивалентная электрическая схема для мембраны нервного волокна, описываемая моделью Ролла. I - плотность мембранного
тока, с - удельная мембранная емкость; R , R . R.-независиные
ГО "I і
мембранне сопротивления на единицу площади, соединение соответственно с а.д.с. Е, Е . Е....индексы r.e.j обозначают проводимости.
соответствующие состоянию покоя, синаптическому возбуждению, синаптическому торможению. V - мембранный потенциал. ЭС-
экстраклеточная среда, ВС- внутриклеточная среда.
основанная на модели Ходяосина-Хаксли. Электрическая схема этой модели мембраны представлена на Рис.ІБ.
В соответствии с моделью мембраны Ролла, локальные изменения сопротивлений к^и R. трактуются хак локальные синаптические активности, где R пропорциональна количеству скнаптических возбуждаюдах событий за время Ді, а R/-пропорциональна количеству синаптических тормозящих событий.
Определил и J как безразмерные величины, характеризующие
синаптическое возбухение и торможение:
Е: R/R и J =R /R.
Если рассматривать промежуток времени в течение которого
и J являются константаии, и расснатривать сопротивления R , R.
e j
как распределенные параметры, уравнение изменения напряжение
согласно CHolnes 19863 имеет вид:
dV2
* -— VC1+ iTw3 -т V = -ClVivXE +Е _ОЭ
- dx J
Согласно Холмсу, это уравнение называется расширенным
уравнением кабеля. Решение этого уравнения имеет вид:
VCx,v0=ACv0coshrCx3 + BCw)stnhj где : аС*0 =С Е + J E)S CiwCl+irwDJ j Модель сложного дендритного дерева, представленная в данной работе, использует уравнения С1Э и С2Э в качестве4 базисных для моделирования зоны дендрита. Рассматривается дерево с произвольной дендритной структурой. Пусть синаптический вход находится на і-ой ветви, а выходное напряжение рассматривается на ветви j. Поскольку, рассматриваемая дендритная структура является линейной системой, то напряжение в зоне j в ответ на <5 импульс, введенный в. зону і представляет собой передаточную функцию К. Cwi между входом і и выходом j. ч ' Задача вычисления передаточной функции &*:>, осуществляется алгоритмом,, посредством четырэх правил, которые были выведены из уравнений сіз.и С2Э, и уравнений линейного че- тырехполюсника. Правилові описывает сопротивление ZCw3 ветви длиной 1с терминальным сопротивлением нагрузки ZCw). Эквивалентное сопротивление выражается соотношением: 2 cosh Crl^)+ 2 sinh СуІЗ Z = Z Z sinh СуіЗ + Z cosh СИ.Э l с Пр_авило_2 описывает эквивалентное сопротивление двух ветвей, исходящих из одной точки. Если ветви ииеют входные сопротивления Z^ и Zz> го их эквивалентная проводимость : Z'1 = z"1 + г1 і 2 Правило_3 позволяет получить напряжение в точке х, входной ветви длиной 1, если известны терминальные сопротивления на концах ветви Zqh Zv и ток ICw3, вводимый в конец ветви: Z sinh С^ІЗ + Z coshCyx) V = Z, =-^---, ICv3. x I z z, о l С Z + Z, icosh С?-4Э + С Z '+ —= 5sinh Cyl) Павило_За Сдля расширенного уравнения кабеляЭ- позволяет вычислить напряжение в точке х ветви длиной 1, с терминальными сопротивлениями Zq и 2^, когда ток I вводится в конец ветви. Если на входной ветви находятся тормозящие и возбуждающие синаптическив ^элементы, то напряжение в точке х выражается СЛеДУЮШИМ СООТНОШеНИеМ: VCx.w) =KCw,x5I + KCv.xD 2 Ckoch(yx) + sh(yx3) где: К Cx,w3 = Ck +k 3ch(yl) +Cl+kftk 3sh(rl) - P CvOo КгСх,*Э = cko+k ach^X) +CX+k к Ssh^X) + PCw3;-Ckvch(yX)+ sh(j-X) +k ]ch(rx) + tklsh(j'l )+ch(?-X)-l]sh(>oc) ГДЄ-- к z -=— ; к = 7./7. ; о Zc lie Правилд_4_позволяет получить напряжение в точке х вдоль ветви длиной X с терминальный сопротивление)! Z , если известно напряжение "V на другом конце ветви: 2 cosh СгхЭ + 2 sinh СухЭ о ' с ' 2 cosh CjdD + Z sinh С?ХЭ Знание передаточной функции К. . позволяет вычислить напряжение VCwJ в точке j в ответ на произвольный входной ток ICw3 на ветви і: V.Cw3=K .С*Э1.С*Э . І Ч v Во временной обіасти VCO=K..CO* I Ct3 і Ч V Учитывая линейность уравнения, при электротоническон проведении тока,, расчет передаточной функции между множеством входов и j-ьи выходом осуществляется следующим образон: вычисляется передаточная функция между каждш входом и выходом, и рассматривается суперпозиция этих передаточных функций: т j VCw3='5 К ..Cw3 I.Cw3 U Ч і где m-количество входов. Т - -ч М Га) Рис.2.Использование алгоритма к простому дендритному дереву, состоящему из 9 ветвей. Входная точка рассматривается на ветви 7. Выходное напряжение находится на ветвя 2. На Рис.2 СаЗ-(з) показано использование правил 1 и 2 , сводящие дерево к эквивалентноиу цилиндру, с нагрузками на концах. Рис.2 (и)- применение правила 3 или За для получения ответного напряжения на входной ветви 7. Рис.2 (к)-(и) использование правила (4) для получения напряжения на выходной ветви 2. ^горитн1_осуществляюшй_эту_модель. Ветви дерева нумеруются произвольным образом числами от 1 до п. каждая ветвь описывается вектором из пяти чисел Са,а,а,а,аЗ, где і 12 3 4 5( описывается яоиер ветви, связь с дочерними ветвями и исходная ветвь. Алгоритм вычисления передаточной функции произвольной дендритной структуры с помощью рекуррентных Ч преобразований, сводящих дендритное дерево к эквивалентной ветви, осуществляется в несколько этапов: І.Заиена всех териинальных ветвей их эквивалентными сопротивлениями, используя правило 1. 2.Рекуррентное применение правила 1 и правила 2, сводящее дерево к эквивалентноиу кабелю, на котором расположена входная точка. Такая конфигурация допускает применение правила 3. В результате преобразований строится рекуррентная трехмерная патрица, описывающая все шаги всех этапов преобразований. 3.Применение правила 3 или правила За для вычисления передаточной функции К..Сна входной ветвиЭ. 4.Рекуррентное применение правила 4 для получения передаточной функции K..Cw3 между входной ветвью і и выходной ветвью j. По описанному визе алгоритму, была написана программа DENDER, вычисляющая ^передаточную функцию произвольной дендритной линейной структуры с учетом возбуждающих и тормозящих синаптиче-.ских входов. При тестировании алгоритма и программы использовалось дендритная структура, для хоторого существует аналитическое решение. В качестве такой структуры рассматривалось эквивалентное дерево Ролла, состоящее из 63 ветвей С5 уровнейЗ. Входная точка рассматривается на 63-ей ветви, напряжение рассматривается на первой , ветви. 8 работе показано -совпадение решений аналитической и компьютерной коипартиентной нодели DENDER. Для тестирования программы также были использованы следующие два свойства передаточной функпии линейной системы. 1. Передаточная функция между i-ыи входом и J-ьи' выходом равна передаточной функции между j-ым входом и i-ын выходом: K..Cw3=K..Cv3 Ч J1 2.Пусть 1-гочка лежащая между і-ой и j-ой точкой: К. .CvO=K. CvOK, .CvO/K,,Cv/3 где индексы указывают номера входных и выходных ветвей. ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД'" ОБРАТНОГО ПЕ0БРА30ВАНИЯ ФУРЬЕ В качестве численного метода для вычисления переходных процессов в линейных системах разработан эффективный алгоритм расчета обратного преобразований Фурье, особенность» которого является задание исходных функций в логарифмической шкале частот СМелконян 19873. Алгоритмы БПФ, используемые обычно в качестве численного метода для вычислений биоэлектрических процессов по передаточным функциям приводят к значительной, избыточности данных. Задача расчета ОПФ сводится к численному решению интегралов, где в качестве исходной функции рассматриваются косинус-или синус- частотные характеристики линейной системы: n J о yCO- —- с yCO= Y CuOsinwtdw Пусть исходная функция fCx5 задана на вещественной оси х, дискретными отсчетами, представляюпиии собой логарифмическую шкалу отсчетов-. х = х с Ск=0. Ю к о Ставится задача построения интерполирующей функции вида: N і SCxD = V а фХхЭ - п = о Для рассматриваемого класса задач по расчету ОПФ используются базисные функции двух типоз. Они определены на всей вещественной оси, но отличны от нуля на некоторой конечном интервале.. . . . Базисная функция (БФ) первого типа: х хєСО.1), С-Х і .> - X ,СхЭ z хєСІ.сЗ, с -1 Базисная функция второго типа с-х Vx): Основной критерий выбора базисной. функции является вид исходной кривой. Для кривьк исходящих из начала координат, какими являются мнимые частотные' характеристики, в качестве интерпо- лирующей функции используются БФ 1-го типа. Если исходная кривая имеет отличое от нуля конечное значение, к такому типу относятся амплитудные и вещественная частотные характеристики, интерполирующей функцией целесообразно использовать БФ 2-го типа. При интерполировании частотных характеристик базисными Функцияни, описаныии выше, получены следующие рекурсивные расчетные формулы для вычисления коэффиценто'в а . Для базисной функции первого типа: f*Cn+13 a = f СгО Сп = О....Ю п с При использовании базисной функции второго типа получается расчетная формула: е* к. 1 a =f*Cn3 ~ с f Сп+1Э + с f*Cn+23 Сп=0....,Ю При интерполировании этими базисными функциями интеграл С33 от них рассчитывается аналитически. Интеграл от финитной базисной функции первого типа выражается соотношением: Интеграл от финитной функции второго типа выражается соотношением: ) coscy U J.v) . г $2 с-1 У 1 cv -sincv Из уравнения (3), с учетом базисных функций' были получены рекуррентные расчетные формулы для вычисления ОПФ: уСи) г* 2 «V rw * -, yCpj = о^ n n В соответствии с алгоритмом ОПФ, была написана программа Таким образом, вычисление переходных процессов в нейроне со осуществляется в два этапа: 1.Вычисление передаточной функции нервной клетки с произвольной дендритной геометрией по программе DEADER. 2.Вычисление переходного процесса по частотным характеристикам, используя программу IEFTS. ИМИТАЦИОННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ Компьютерная коипартментная модель DENDER была использована для исследования неоднородности дендритной и соматической мембраны клетки Пуркинье (КП) крысы. Экспериментальные исследования неоднородности мембраны КП проведены в работе CSheiton 1983]. Однако при таких исследованиях возможны погрешности. Как отмечалось выше, значительные погрешности возможны и при имитационных исследованиях с помощью модели с изопотенциальныни зонами СВавилина 19881. При имитационном исследовании КП крысы использовались детальное описание структуры дендритного дерева из работы Шелтона. Модель КП крысы составлена из 1089 компартментов, точно представляющих структуру дерева. Имитационное исследование проводилось следующим образом. Единственный синапс был расположен на одной из терминальных ветвей -ветви 76. Синаптическое воздействие рассматривалось как имитация сигнала, поступающего от параллельного волокна. Изменение напряжения рассматривалось чна соме и на той же дендритной ветви. Изменение потенциала на дендритной ветви и соме вычислялось по модели DENDER Св случае однородной и неоднородной менбраньО: 1.Вычисление К^передаточной функции КП крысы между точкой возбуждения и сомой. 2.Вычисление -передаточной фунхции К dd КП крысы на дендритной ветви, где исследуется Напряжение. На Рис.3 показаны характеристики Kds, вычисленные по модели DENDER для однородной мембраны. 20-Ю7 16-Ю7 12-107 8-fO7 4-Ю7 0 -2.4 К)7 -4.6-107 -7.2-Ш7 -9.6Ю7 -12-10* - Рис.3(a),(б) демонстрирует мнимую и действительную частотные характеристики (передаточная функция К^), вычисленные для однородной КП крысы. Частотные характеристики, расчитанные с помощью программы DENDEE, указаны в логарифмической шкапе частот. Изменение потенциала на соме и дендритной ветви ВЫЧИСЛЯеТСЯ ПО ПереДаТОЧНОЙ ФУНКЦИИ СЛеДУЮЩИМ ОбраЗОМ tKoch 1983] : VCU= KCt3 tgCtXE- VCO] Изменения напряжения на соме и дендрите в случае однородной и неоднородной иеираны показаны на Рис.4 в логарифмическом нашгабе. Как видно из Рис.4а, в случае однородной довольно быстро ек клетка становиться изопотенциальной иа затухание осуиествля-ется экспоненциально. В случае неоднородной мембраны Рис.4б, за- еп/,мь Рис.4.(а).Верхняя кривая - изменение потенциала в точке іздействия, нижняя кривая - изпенение потенциала на cone (рассоривается клетка с однородноЯ мембраной).(б) Изпенение тенциала в точке воздействия и на соне для неоднородной мемб-мы.(По оси ординат логарифм потенциала.) хание ВПСП также становится экспоненциальный, однако храняегся разность потенциалов между сомой и дендритани. Полученные данные имитационного исследования позволяют по спериментальньи данным выявить неоднородность соматической и ндритной мембраны. Предполагаемый эксперимент состоит в следующем. В условиях давленной спайковой активности, регистрируется отклик на роткое раздражение пучка параллельных волокон на соме и ндритах. Рассматривая разность потенциалов при затухании ВПСП соме и дендритах, можно легко выявить (Рис4.Б) однородность мембраны. Описанное выше имитационное исследование с помощью компьютерной компартментной модели DENDER детально описанных дендритных структур НК является принерои ее возможного использования для выявления электрофизиологических и Функциональных свойств реальных клеток. ВЫВОДЫ 1.Сформулирована математическая модель мембраны нервного волокна, учитывающая возбуждающие и тормозящие синаптическне входы, основанная на модели мембраны Ролла. При этом локальные изменения сопротивлений R и R. трактуются как синаптическая активность. В этой модели мембранная проводимость есть сумма трех проводииостей: возбуждающей, тормозящей и проводимости состояния покоя. В соответствии с этим преобразуются временная и пространственная константы,v характеризующие нервное золокно. Рассматривая проводимости как распределенные параметры, получаем расширенное уравнение кабеля. Линейность этого уравнения позволяет использовать единный подход при моделировании сложного дендритного дерева, когда в качестве уравнений зоны используется, как уравнение кабеля так и расширенное уразнение кабеля. 2.Получены уравнения, благодаря которым дендритная произвольная структура путем рекуррентных преобразований сводится к эквивалентное кабелю. Эти уравнения выведены из уравнения кабеля и уравнения расширенного кабеля, и используя' уравнения линейного четырехполюсника. , 3.Создана компьютерная модель нейрона с дендритный деревом произвольной конфигурации, учитывающая возбуждающие и тормо-зящие синаптические входы. Модель по заданной входной точке і и выходной точке j вычисляет передаточную пункцию Счастотные хара-хтеристикиЭ К. дендритного дерева. Входными параиетрани модели являются дендритная геометрия, длины и диаметры ветвей и удельные электрофизиологичёские параметры. 4.Разработан эффективный численный алгоритм ОПФ, используемый для вычисления переходных процессов в нервной клетке по заданной передаточной функции Счастотным характеристикам?. Особенностью данного алгоритма является задание частотных характеристик в логарифмической шкале. Показано, что логарифмическая шкала сокращает избыточность данных, сохраняя при этом точность расчетов по сравнению с-алгоритмами БПФ, используемыми при расчете биоэлектрических процессов. 5. При имитационном исследовании КП крысы с помощью компьютерной модели DENDER, были получены данные, благодаря которым можно выявить неоднородность сопротивления дендритной и соматической мембраны. Имитационный эксперимент был проведен на модели КП, состоящей из 1089 зон, с учетом точной структуры дендритного дерева, длин и диаметров ветвей, и реальных электрофизиологических параметров. . Поставленная задача была сведена к вычислению двух передаточных функций К^и K"dd. Результаты - имитационного исследования согласуются с литературными данными.
Vl
Є)
№
ij її lj u
О хєСО.сЗ.
[ о х^о.сэ.
а с UCx іЛ
, s х ) а с VCx w>
IEFTS, вычисляющая переходный процесс по частотный характеристи
кам.- ИНИЙ0Й..ИЛИ действительной.. . .
сложным дендритный деревом по описанной выше, модели