Введение к работе
В Диссертации предложено развитие кинематического метода описания автоволн в возбудимых активных средах, ранее предложенного другими авторами [1, 2].
Актуальность темы диссертации. Автоволны возникают в самых различных средах физического, химического и биологического происхождения. Их примерами могут служить концентрационные волны в реакции Белоусова-Жаботинского , волны химической сигнализации в катаниях некоторых микроорганизмов, волны в межзвездном газе, приводящие к образованию спиральных галактик . Важный пример активных сред представляют многие биологические ткани. Автоволновую природу имеют распространение нервного импульса и возбуждения в сердечной мышце, перистальтические волны в кишечнике . Автоволны, таким образом, играют важную роль в функционировании живых систем. Изучение их свойств является ключом к пониманию многих явлений в нервной системе, работе мышц, морфогенезе, динамике экосистем и других вопросов биофизики. Нарушение режимов распространения автоволн ведет к серьезным нарушениям жизнедеятельности. Так в сердечной мышце возникновение спиральных волн приводит к некоторым опасным для жизни аритмиям. Управляя возникшей волной при помощи внешних воздействий, можно ликвидировать такую аритмию. Этими соображениями определяется важность исследования автоволновых процессов.
Математически активные среды чаще всего описываются уравнениями типа реакция-диффузия с нелинейным реакционным членом. Непосредственное решение таких уравнений — сложная математическая задача. До сих пор неизвестно точных решений в виде спиральных волн. Все результаты получены только приближенно, главным образом численно. Случаи, когда аналитические решения могут быть найдены асимптотическими методами, представляют особую ценность, отвечая на вопросы, которые трудно выяснить при помощи только численного моделирования.
Одним из таких асимптотических методов является кинематический подход [1, 2],
применимый для сред с малой рефрактерностью, т.е. когда время релаксации средь к стационарному состоянию после прохождения волны возбуждения много меньші промежутка времени между прохождением последующих волн. В этом случае можні ограничиться рассмотрением движения только волнового фронта, т.е. линии на плос кости или поверхности в трехмерном пространстве, нормальная скорость котороп оказывается зависящей только от локальной кривизны фронта. В результате размер ность соответствующей математической задачи снижается на единицу. При исследо вании движения волнового фронта с обрывом, необходимо описать движение зтогі обрыва и поставить граничные условия на нем. В ранее опубликованных работах, дл: этого использовались феноменологические уравнения.
Это обуславливает необходимость более аккуратного обоснования кинематическо го подхода. В данной работе необходимые уравнения получены методами теории воз мущений непосредственно из уравнения реакция-диффузия, описывающего даннуї возбудимую среду. Так полученные уравнения оказались обобщением ранее использс вавшихся феноменологических уравнений и потребовали дополнительного исследова пия их свойств.
Цели работы. Целью работы являлось обоснование и дальнейшее развитие кищ матического подхода [1, 2], решение в его рамках стационарных (на плоскости и пространстве) и нестационарных (на плоскости) задач.
Научная новизна. Все полученные результаты являются новыми. В работе впер вые дано обоснование кинематического подхода к исследованиям автоволн в возб} димых средах методами теории возмущений на основе уравнений реакция-диффузш При этом полученные уравнения оказались более общими по сравнению с класс* ческими. Проведено исследование вновь полученных уравнений. Важную роль в ис следовании играет полученное автором аналитическое решение основного дифф< ренциального уравнения кинематики автоволн. Основные аналитические результаті получили подтверждение в проведенных автором численных экспериментах.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на конференциях "Nonlinear phenomena in biology", June 23 28, 1998, Институт Биофизики Клетки, Пушино.
Публикации. Результаты диссертации изложены в б работах, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 149 страницах, включающих 25 рисунков, 4 таблицы и список литературы из 81 наименований.