Содержание к диссертации
Введение
1 Модели автоорегрессии 7
1.1 Общая модель 7
1.2 Комбинированные процессы автоорегрессии -скользящего среднего 16
2 Адаптивные модели прогнозирования 26
2.1 Временные ряды и стохастические процессы 26
2.2 Экспоненциальное сглаживание 28
2.3 Аппроксимация полиномиальных трендов с помощью многократного сглаживания 38
2.4 Адаптивные комбинированные модели 51
3. Разработка модели прогнозирования повышенной адаптируемости для принятия управленческих решений 58
3.1. Классификация адаптивных комбинированных моделей 59
3.2. Адаптивное управление механизмами самонастраиваемости моделей прогнозирования 74
3.3 Разработка обобщенного критерия оценивания адекватности моделей прогнозирования 79
3.4 Рассмотрение свойств различных адаптивных комбинированных моделей относительно введенных критериев 93
3.5. Применимость различных модификаций АКМ к прогнозированию различных процессов 111
4. Исследование реального процесса 116
4.1 Результаты и анализ прогнозирования процесса изменения параметров состояния судового механизма 116
4.2 Интерфейс и описание принципа работы программного модуля 142
Заключение 149
Литература 151
приложение 159
- Комбинированные процессы автоорегрессии -скользящего среднего
- Аппроксимация полиномиальных трендов с помощью многократного сглаживания
- Адаптивное управление механизмами самонастраиваемости моделей прогнозирования
- Результаты и анализ прогнозирования процесса изменения параметров состояния судового механизма
Комбинированные процессы автоорегрессии -скользящего среднего
В предположении, что случайные возмущения являются гаусовским белым шумом, то есть e N(0,a\) можно рассматривать доверительный интервал для прогнозного значения ряда стандартным образом.
ТЕХНОЛОГИЯ ПОСТРОЕНИЯ МОДЕЛЕЙ АРИСС. Описанные выше теоретические схемы строились в предположении, что временной ряд имеет бесконечную предысторию, тогда как реально исследователю доступен ограниченный объем наблюдений. Модель приходится подбирать экспериментально, подгоняя ее к имеющимся в распоряжении данным. Поэтому с позиций теоретического применения теории анализа временных рядов определяющее значение имеют вопросы корректной спецификации модели АРИСС(р, d, q) (ее идентификации) и последующего оценивания ее параметров. На этапе идентификации наблюденные данные используются для определения подходящего класса моделей и делаются предварительные оценки ее параметров, то есть строится пробная модель. Затем пробная модель подгоняется к данным более тщательно; при этом первичные оценки, полученные на этапе идентификации выступают в качестве начальных значений в итеративных алгоритмах оценивания параметров. И наконец, на третьем этапе полученная модель подвергается диагностической проверке для выявления возможной неадекватности модели и выработки подходящих изменений в ней. Рассмотрим перечисленные этапы подробнее. ИДЕНТИФИКАЦИЯ МОДЕЛИ. Цель идентификации - получить некоторое представление о величинах р, d, q и о параметрах модели. Идентификация модели распадается на две стадии: 1. Определение порядка разности d исходного ряда у,. 2. Идентификация модели АРСС для ряда разностей Vdyt. Основной инструмент, используемый на обеих стадиях -автокорреляционная и частная автокорреляционная функции. В теоретической части мы видели, что у стационарных моделей автокоррелящии гк спадают с ростом к весьма быстро (по корреляционному закону). Если же автокорреляционная функция затухает медленно и почти линейно, то это свидетельствует о нестационарности процесса, однако, возможно, его первая разность стационарно. Построив коррелограмму для ряда разностей, вновь повторяют анализ и так далее. Считается, что порядок разности d, обеспечивающий стационарность, достигнут тогда, когда автокорреляционная функция процесса и, = Vdyt падает довольно быстро, і На практике du2 и достаточно просмотреть порядка 15-20 первых значений автокорреляции исходного ряда, его первые и вторые разности. После того как будет получен стационарный ряд разностей, порядка d, изучают общий вид автокорреляционной и частной автокорреляционной функций этих разностей. Опираясь на теоретические свойства этих функций можно выбрать значения р и q для АР и СС операторов. Далее при выбранных р и q строятся начальные оценки параметров авторегрессии а = {ах,а2,...,ар) и скользящего среднего b=(bx,b2,...,bq). Для авторегрессионных процессов используются уравнения Юла-Уокера, где теоретические автокорреляции заменены на их выборочные оценки. Для процессов скользящего среднего порядка q только, первые q автокорреляций отличны от нуля и могут быть выражены через параметры b{,b2,...,bq. Заменяя г, их выборочными оценками г и решая получающиеся уравнения относительно ЬпЬ2,...,Ьч, получим оценку Ь. Эти предварительные оценки можно использовать как начальные значения для получения на следующих шагах более эффективных оценок. Для смешанных процессов АРСС процедура оценивания усложняется . Так для рассмотренного в п. процесса АРСС(1,1) параметры а, и bx , точнее их оценки, получаются из с заменой rt и г2 их выборочными оценками. В общем случае вычисление начальных оценок процесса APCC(p,q) представляет многостадийную процедуру и здесь не рассматривается. Отметим только, что для практики особый интерес имеют АР и СС процессы 1 -го и 2-го порядков и простейший смешанный процесс АРСС(1,1). В заключение заметим, что оценки автокорреляций, на основе которых строятся процедуры идентификации могут иметь большие дисперсии (особенно в условиях недостаточного объема выборки - несколько десятков наблюдений) и быть сильно коррелированны. Поэтому говорить о строгом соответствии теоретической и эмпирической автокорреляционных функций не приходится. Это приводит к затруднениям при выборе р, d, q, поэтому для дальнейшего исследования могут быть выбраны несколько моделей. НЕДОСТАТКИ АВТОРЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ. Несмотря на то, что авторегрессионные модели довольно широко применяются при прогнозировании разнообразных процессов, они имеют существенные недостатоки, которые ограничивают их применение. АРСС модели во многих ситуациях имеют трудности с решением задач устойчивости, выбора порядков авторегрессии и скользящего среднего, приводит к дополнительным сложностям и методическим ошибкам. Другим недостатком является то, что процесс прогнозирования требует больших вычислительных ресурсов. Если при выполнении прогнозирования требуется оценить прогнозное значение с помощью нескольких прогнозных моделей и вычислительные (или временные) ресурсы ограничены, что встречается при решении большинства задач прогнозирования и управления, использование авторегрессионных моделей довольно ограничено. В данной главе произведена оценка сложности применения моделей авторегрессии для прогнозирования индивидуальных временных рядов с исследованием автокорреляционных свойств процесса; показано преимущество смешанных комбинированных моделей авторегресиии и скользящего среднего для достижения большей гибкости и экономичности описания при подборе моделей к наблюдаемым временным рядам.
Аппроксимация полиномиальных трендов с помощью многократного сглаживания
Общие принципы построения адаптивных комбинированных моделей впервые были предложены Лукашиным [56]. В состав (базовый набор) адаптивных комбинированных моделей (АКМ) входит несколько более простых адаптивных моделей. В комбинированных моделях селективного типа на каждом шаге организован автоматический выбор по заданному критерию наилучшей модели из числа входящих в базовый набор. Таким образом, адаптация происходит на двух уровнях: по структуре или типу модели и по параметрам. В комбинированной гибридной модели прогноз формируется как взвешенная сумма прогнозов, полученных по альтернативным моделям. Веса при этом имеют адаптивный характер. Вполне естественно предположить, что реальный процесс время от времени претерпевает коренные изменения. Изменяются уровень и динамические свойства ряда. Причем на одних участках сохраняется приблизительно постоянный уровень, на других ряд растет с определенной скоростью или характеризуется появлением ускорения. Поэтому всякая попытка подобрать какую-либо одну прогнозную модель для всего ряда приводит к некоей усредненной модели с чрезмерными дисперсиями оцениваемых параметров и ошибками прогнозирования. Когда изменение структуры происходит резким скачком, исследователю довольно просто отсечь устаревшие данные и строить модель только на свежей информации. Однако гораздо чаще изменения коренных свойств ряда происходят не сразу, а непрерывно. Причем ряд меняет тенденцию, делает зигзаги и бывает трудно, а при одновременном исследовании многих рядов даже невозможно быстро анализировать такую динамику и заменять одну модель другой. Существуют две процедуры адаптации структуры модели, которые могут і выполняться на ЭВМ. Одна из них основывается на принципе непрерывной селекции. НЕПРЕРЫВНАЯ СЕЛЕКЦИЯ. Предположим, что рассматриваемый процесс генерируется моделью с постоянным уровнем, моделью с линейным ростом, квадратической моделью поочередно, Учитывая это, построим адаптивную комбинированную модель, которая включает в свой базовый набор три модели: экспоненциальной средней» линейного роста и квадратическую. Вычисления будущих значений ряда осуществляются по каждой из них в отдельности, но в качестве прогноза выбирается расчетная величина, полученная по модели наилучшим образом отражающей на данном временном интервале реальный процесс. Наилучшая модель избирается в соответствии с заданным критерием селекции. Наилучшей, естественно, считать ту модель, которая дала минимальную абсолютную ошибку прогноза текущего члена ряда при заданном периоде упреждения г. На рис. 2.2 изображена реакция на ступенчатое изменение АКМ, построенной по принципу селекции (выбора) той модели, которая имеет на текущий момент наименьшую ошибку прогноза. До ступенчатого скачка и через г-1 единиц времени после его появления все три модели, входящие в базовый набор предикторов, дают одинаковые т-прогнозы. Это приводит к затруднению при выборе прогнозирующей модели. В такой ситуации для большей определенности можно взять модель линейного роста в качестве компромисса между моделью скользящей средней и квадратической моделью. В момент /= 3 становится ясно, что квадратическая модель дает результаты, более близкие к реальным точкам. АКМ переключается на нее. В дальнейшем из-за заметного превышения этой моделью уровня ступенчатого скачка АКМ переключается на модель линейного роста и модель экспоненциальной средней, но переключение это происходит не сразу, а с лагом т = 3. Такая задержка ухудшает общий результат. Ясно, что наиболее эффективно в данном случае критерий селекции должен работать при малых т. В рассмотренном примере АКМ испытывалась на входном потоке данных, содержащем детерминированный ступенчатый скачок. Если тот же эксперимент провести в более жизненных условиях, при наличии помех, то столь простой критерий селекции будет не всегда удовлетворителен, так как из за случайной составляющей лучший результат будет то у одной, то у другой модели. Таким образом, нельзя в общем случае исходить только из последней ошибки прогнозирования. Необходимо учитывать некоторую их совокупность. Имеется довольно много вариантов построения критерия селекции. Рассмотрим два из них. , Критерий К. Переключение на данную модель осуществлять тогда, когда К ее последних прогнозов являются наилучшими в сравнении с прогнозами по другим моделям, входящим в базовый набор АКМ.
Адаптивное управление механизмами самонастраиваемости моделей прогнозирования
ПОНАЯТИЕ АДЕКВАТНОСТИ МОДЕЛИ. Невозможно выбрать или создать какой-либо определенный критерий, который однозначно определял бы степень адекватности модели процессу, потому что довольно сложно формализовать понятие «адекватность». При определении адекватности необходимо определить, что является случайным отклонением, реакция на которое нежелательна, а что является изменением характера процесса, реагировать на которое необходимо по возможности быстрее. Ясно, что такое определение будет зависеть от особенностей поведения конкретного процесса и особенностей наблюдения за этим процессом. Для каждого отдельного наблюдения за процессом такие параметры должны определяться самостоятельно. Приведем несколько примеров, которые покажут особенности отделения случайных отклонений от изменения характера процесса. Дан один и тот же процесс , только с различной дискретизацией.
В данном процессе присутствует резкое отклонение. Предположим, что данное отклонение в условиях конкретного исследования считается случайным, и не должно учитываться в дальнейшем прогнозировании. Встает вопрос о том, на каком шаге прогнозирования после резкого изменения значений показателя исследуемого процесса переключаться на другой уровень прогнозируемых значений. В каждом конкретном случае ответ на этот вопрос должен давать исследователь применительно к конкретному исследованию. Невозможно подобрать определенное фиксированное количество значений показателя исследуемого процесса, существенно отличающихся от среднего уровня процесса после которых рекомендовалось бы осуществлять переход на другой уровень прогнозирования. Например, в первом исследовании (рис.3.6), можно сказать, что переходить на новый уровень прогнозов целесообразно, только когда два и более значений показателя исследуемого процесса будут сильно отличаться от предыдущих значений. Во втором исследовании переход к новому уровню прогнозирования показателя исследуемого процесса целесообразно только когда 5 и более значений будут существенно отличаться от среднего уровня исследуемого процесса.
ПЕРЕЧИСЛЕНИЕ КРИТЕРИЕВ ДЛЯ ОЦЕНКИ АДЕКВАТНОСТИ МОДЕЛЕЙ. Обычно, для оценки степени адекватности модели процессу используется сумма квадратов отклонений прогнозируемых значений от реальных значений исследуемого процесса. Однако этот критерий является довольно общим и не дает представления о таких важных характеристиках модели прогнозирования как скорость ее адаптации к новому уровню процесса и степени сглаживания.
Приведем пример прогнозирования одного процесса двумя моделями. Процесс имеет 2 резких изменения уровня. Значение суммарного квадрата ошибок равно в данном случае равно 200.5.
Последние две модели не сильно отличаются друг от друга, если их сравнивать по критерию суммарного квадрата ошибок, однако визуально видно,что последняя модель .-.гораздо лучше сглаживает исследуемый процесс в периодах когда не происходит резкого изменения уровня процесса. Первая модель (скользящая средняя с а=Ю.2) лучше, чем вторая сглаживает процесс, но ее время реакции на изменение уровня процесса гораздо больше. Таким образом, мы можем сформулировать общие требования, которые мы можем предъявить к моделям прогнозирования.
При прогнозировании значений временных рядов необходимо одновременно выполнять несколько противоречивых требований. С одной стороны, метод прогнозирования должен хорошо «сглаживать» процесс, для того чтобы он не реагировал на большие случайные отклонения, которые не отражают тренд и могут оказать при этом неоправданно высокое воздействие на дальнейшие прогнозируемые значения. С другой стороны, при изменении характера процесса (например, при резком изменении уровня вариации), метод или модель прогнозирования должны адаптироваться к этому изменению за небольшое количество шагов. Таким образом - основная задача исследователя динамического ряда как можно быстрее определить - имеет ли он дело в конкретном случае со случайными отклонениями, либо же с изменением характера процесса. Нельзя подобрать универсального критерия для всех динамических рядов, по которому осуществлялось бы такое разделение. Поэтому, применительно к каждому отдельному процессу должны, если это возможно, применяться свои собственные критерии.
Необходимо ввести для нашего случая численный обобщенный показатель, который бы позволял оценивать модели, исходя из наших критериев (которые были перечислены выше). Во-первых, такой показатель должен оценивать степень сглаживания моделью данных исследуемого процесса (он должен оценивать это с учетом того, что мы считаем случайными отклонениями в данном конкретном случае). Во-вторых, необходимо, чтобы оценивалась скорость адаптации к новому уровню процесса. Это должно быть сделано с учетом того, что мы считаем переходом к новому уровню, применительно к данному конкретному процессу. 7То есть, в общем случае, чем меньше шагов потребуется для достижения нового уровня, тем скорость выше адаптации. Для наглядного измерения скорости адаптации используют ступенчатое изменение. Рассмотрим процесс, в котором происходит один переход процесса на новый уровень (ступенчатое изменение):
Результаты и анализ прогнозирования процесса изменения параметров состояния судового механизма
При оценке степени адекватности моделей процессу будем учитывать такие факторы, как степень сглаживания модели процесса и скорость адаптации к изменениям в характере развития процесса. Проведем оценку перечисленных выше методов по 5-ти параметрам. После выполнения прогнозирования по каждому параметру будем составлять таблицы, в которых будет произведена оценка того, насколько хорошо та или иная модель удовлетворяет нашим критериям оценки. Каждой модели поставим в соответствие два места, которые она занимает в рядах, ранжированных по степени сглаживания и скорости адаптации соответственно. Когда результаты прогнозирования, продемонстрированные различными моделями, оказываются приблизительно равными, место в ранжированном ряду делится между этими моделями.
Так как определение момента изменения характера развития контролируемого процесса носит достаточно субъективный характер (довольно часто определение момента изменения поведения процесса носит апостериорный характер), для оценки методов будем применять имеющиеся у нас данные о том, в какие моменты происходят глобальные изменения характера развития процесса (то есть, в нашем случае, когда меняются условия эксплуатации судового технического объекта). Именно из-за этого довольно сложно объективно оценить степень сглаживания.
Таким образом, оценка того, насколько хорошо конкретная модель удовлетворяет установленным нами критериям носит в большей степени субъективный характер. Решения о степени адекватности модели исследуемому процессу должны приниматься исследователем после изучения результатов прогнозирования и сопоставлении их с имеющимися данными о воздействии внешних факторов на процесс за весь период прогнозирования. В данном реальном случае изменения условий эксплуатации происходят через каждые 12 шагов измерения (лишь в начале внешние условия изменяются через 10 шагов) и оказывают различное воздействие на все контролируемые параметры судового технического объекта. Поэтому, при оценке степени адекватности прогнозных моделей будем принимать во внимание раздельно результаты прогнозирования в местах изменения внешних условий (если данные изменения оказывают заметное влияние на процесс) и результаты прогнозирования на участках с одинаковым внешним воздействием на исследуемый процесс. При оценке скорости адаптации будем принимать во внимание, насколько быстро прогнозная модель достигает среднего уровня развития процесса. Иногда модель слишком сильно реагирует на изменение характера развития процесса. В этом случае прогнозные значения как бы «перехлестывают» гипотетический средний уровень процесса. Такое «нервное» поведение прогнозной модели (когда модель слишком сильно реагирует на возмущения в данных) не является признаком быстрой адаптации к новому уровню развития процесса. Данный факт необходимо учитывать при оценке различных моделей Итак, рассматривая данные, полученные в результате контроля первого параметра, мы можем видеть, что процесс явно меняет характер своего развития дважды: после 48 и после 57 шагов (изменения воздействия внешних факторов на 45-м шаге измерения проявляются позже). Изменения на 9, 21 и 33 шаге измерения первого параметра не оказали значительного влияния на контролируемый процесс. Поэтому оценивать адекватность моделей будем оценивать исходя из того, что исходный процесс дважды претерпевает значительные изменения характера своего развития. Рассмотрим и сравним, каким образом реагируют различные прогнозные модели на изменение характера развития процесса. Модели «АКМ 2» и «АКМ 3» дают приблизительно одинаковые результаты - они довольно резко реагируют на изменение характера развития процесса, но затем степень сглаживания больших колебаний процесса средняя. «АКМ 1» лучше сглаживает процесс до и после изменения характера развития. Реакция на Ф изменение не такая резкая, как у предыдущих двух моделей, но модель выходит на средний уровень развития процесса за приемлемое число шагов. Модель Хольта-Винтерса с коэффициентами oii=0.8 и аг=0.2 проявляет I, слишком большую инертность при прогнозировании до и после глобального изменения характера развития. Модель Хольта-Винтерса с коэффициентами ai=0.2 и аг=0.8 чрезвычайно резко реагирует даже на небольшие изменения в развитии процесса. Разработанная вспомогательная модель дает примерно одинаковые результаты, по сравнению с «АКМ 1», но «АКМ 1» быстрее адаптируется к среднему новому уровню при сравнимых скоростях. Составим таблицу, в которой обозначим, насколько выбранные методы прогнозирования удовлетворяют нашим условиям оценки степени адекватности моделей процессу (степени сглаживания и скоростью адаптации). Принципы построения данной таблицы описаны выше.
Похожие диссертации на Управление механизмами адаптации алгоритмов прогнозирования изменения стохастических процессов
