Бифуркации и хаотические колебания в преобразователях электрической энергии с широтно-импульсной модуляцией систем автоматизации технологических процессов Емельянова, Елена Юрьевна

Содержание к диссертации

Введение

ГЛАВА 1. Принципы построения и особенности динамики преобразователей электрической энергии с широтно-импульсной модуляцией систем автоматизации технологических процессов и проблема качественного проектирования 12

1.1. Принципы построения полупроводниковых преобразователей электрической энергии с широтно-импульсной модуляцией систем автоматизации технологических процессов 12

1.2. Детерминированные и хаотическце колебания в системах автоматического управления с широтно-импульсной модуляцией. Проблема качественного проектирования 18

Основные результаты и выводы 25

ГЛАВА 2. Математические модели систем управления с широтно импульсной модуляцией и методы их численного анализа 28

2.1. Математические модели замкнутых систем преобразования энергии с широтно-импульсной модуляцией (ШИМ). Точечные отображения сдвига, порождаемые кусочно-сшитыми моделями систем управления с ШИМ 28

2.2. Уравнения для расчета периодических движений. Алгоритмы поиска периодических решений —34

2.3. Исследование локальной устойчивости периодических движений 37

2.4. Анализ бифуркаций периодических движений в системах управления с широтно-импульсной модуляцией 40

Основные результаты и выводы з

ГЛАВА 3. С-бифуркации и хаотические колебания в динамике преобразователя напряжения с широтно-импульсной модуляцией второго рода 52

3.1. Схема замещения и математическая модель преобразователя напряжения с широтно-импульсной модуляцией второго рода 52

3.2. Анализ двупараметрической диаграммы динамических режимов трехмерной кусочно-линейной модели преобразователя с широтно-импульсной модуляцией второго рода 58

3.3. С-бифуркации и хаотизация колебаний в трехмерной модели преобразователя с широтно-импульсной модуляцией второго рода 70

Основные результаты и выводы 102

ГЛАВА 4. Динамические свойства преобразователя напряжения с широтно-импульсной модуляцией первого рода 103

4.1. Математическая модель стабилизированного преобразователя напряжения с широтно-импульсной модуляцией первого рода 103

4.2. Особенности усложнения колебаний в динамике преобразователя с широтно-импульсной модуляцией первого рода 104

Основные результаты и выводы 131

ГЛАВА 5. Экспериментальное исследование динамических режимов в системе автоматического регулирования с широтно-импульсной модуляцией второго рода 134

5.1. Экспериментальные данные динамических характеристик преобразователя с ШИМ-2 134

5.2. Описание экспериментального стенда 138

5.3. Методика проведения экспериментов 141

5.4. Анализ экспериментальных данных 143

Основные результаты и выводы 146

Заключение 147

Список использованных источников

• Детерминированные и хаотическце колебания в системах автоматического управления с широтно-импульсной модуляцией. Проблема качественного проектирования
• Уравнения для расчета периодических движений. Алгоритмы поиска периодических решений
• Анализ двупараметрической диаграммы динамических режимов трехмерной кусочно-линейной модели преобразователя с широтно-импульсной модуляцией второго рода
• Особенности усложнения колебаний в динамике преобразователя с широтно-импульсной модуляцией первого рода

Введение к работе

Актуальность работы. В системах управления технологическими процессами, установками и оборудованием производственных механизмов, в системах электропитания технологических и вычислительных комплексов преобразование параметров электрической энергии, поступающей от источника в нагрузку, осуществляется посредством полупроводниковых преобразователей посредством разных видов модуляции, преимущественно, широтно-импульсной модуляцией (ШИМ) [Глазенко Т.А. и др., 1996], [Кобзев А.В. и др.,1990], [Розанов Ю.К., 1987].

Для получения требуемой точности воспроизведения энергетическим каналом преобразователя заданной формы управляющего сигнала, низкого уровня пульсаций выходного напряжения (тока), повышения быстродействия применяют широкий набор корректирующих звеньев в цепи обратной связи, осуществляющих непрерывную или дискретную коррекцию сигнала ошибки [Чегти П., 1990], или многоконтурные системы, работающие по принципу слежения за «полной» информацией о параметрах электрической энергии в нагрузке и питающей сети [Баушев B.C. и др., 1997], [Белов Г.А., 1990].

Однако на практике выбор конкретных типов корректирующих устройств и их параметров, а также вида ШИМ, параметров силовых фильтров преобразователя с целью обеспечения требуемых динамических характеристик наталкиваются на серьезные сложности. Это связано с тем, что в таких системах наряду рабочим режимом колебаний возможны более сложные режимы функционирования, включая периодические движения на пониженных частотах, кратных частоте модуляции, или хаотические колебания. Вследствие чего воздействие внешнего шума, даже сколь угодно малого, или вариации параметров, определяемые условиями эксплуатации и режимами работы нагрузки, могут приводить к внезапному переходу отводного динамического состояния к другому с различными динамическими характеристиками. Следствием последних является не только резкое возрастание амплитуды переменной составляющей выходного напряжения, уменьшение точности регулирования на несколько порядков, ухудшение электромагнитной совместимости преобразователя с питающей сетью и нагрузкой, но и внезапные отказы технологического оборудования.

В системах управления с ШИМ переход от режимов периодических колебаний к хаотическим при изменении параметров может происходить по типичным сценариям [Анищенко B.C., 1990, 1999], [Ланда П.С.,1996], например, через каскад бифуркаций удвоения периода, либо через жесткое возникновение множества различных локально устойчивых периодических движений, каждое из которых с изменением параметров может претерпевать конечную или бесконечную последовательность бифуркаций удвоения периода, завершающихся переходом к хаосу [Баушев B.C., Жусубали-

ев Ж.Т., 1992,1996]. В то же время в преобразовательных устройствах с ШИМ смена характера динамики имеет некоторые особенности, связанные со специфическими для таких систем бифуркациями, которые принципиально не реализуются в гладких динамических системах.

Стабилизированные преобразователи электрической энергии относятся к классу нелинейных импульсных автоматических систем. Такие системы обычно описываются кусочно-сшитыми дифференциальными уравнениями. Как известно, в кусочно-сшитых динамических системах возможны специфические нарушения условий существования периодического движения, связанные с изменением числа участков фазовых траекторий, in которых сшивается траектория этого движения. Подобные нарушения топологической структуры фазового пространства получили название С-бифуркаций периодических решений [Фейгин М.И., 1970,1978,1994], [NusseH.E &Yorke J.A.,1992,1995]. Если в случае гладких динамических систем для определения границ области локальной устойчивости периодического решения имеются строгие критерии [Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И. и др., 1987], [Guckenheimer J.&Homes P., 1990], основанные на методах теории бифуркаций, то для кусочно-сшитых систем общих методов, позволяющих решать указанную задачу, не существует. Границы области существования устойчивого периодического движения и переходы от одних типов движений к другим при изменении параметров не всегда определяются через критерии локальной устойчивости. Это существенно усложняет задачу построения области устойчивости периодических движений при проектировании преобразовательных устройств.

Несмотря на интенсивное развитие теории нелинейной динамики и хаоса, особенности поведения кусочно-сшитых динамических систем при С-бифуркациях остаются мало изученными. Между тем, динамические системы указанного класса находят много приложений в различных задачах механики, радиофизики и электроники, теории колебаний и управления, например, при исследовании динамики осцилляторов с сухим трением, релейных и импульсных систем автоматического управления самых различных классов и назначения, радиотехнических и электронных схем с кусочно-гладкими характеристиками или ключевыми элементами.

Поэтому разработка методов анализа С-бифуркаций, исследование
сложной динамики конкретного класса стабилизированных
преобразователей электрической энергии, способствующих

проектированию преобразовательных устройств систем автоматизации технологических процессов с требуемыми динамическими свойствами, являются актуальными задачами.

Цель работы: разработка методов анализа С-бифуркаций и исследование механизмов хаотизации колебаний в стабилизированных преобразователях электрической энергии с ШИМ. Развитие подходов к исследова-

нию и проектированию преобразовательных устройств систем автоматизации технологических процессов, базирующихся на обобщении результатов анализа динамики преобразователей с различными видами модуляции (ШИМ-1, ШИМ-2) и обеспечивающих обоснованный выбор рода модуляции и параметров корректирующих звеньев, улучшающих динамические характеристики и расширяющих область устойчивости в целом рабочего режима колебаний.

В соответствии с этим в диссертационной работе решаются следующие задачп:

1. разработка методов идентификации различных типов периодических движений и методов анализа С-бифуркаций в системах с ШИМ;

2. исследование закономерностей смены динамических режимов и сценариев хаотизации колебаний, связанных с С-бифуркациями, в конкретном классе стабилизированных преобразователей электрической энергии систем автоматизации технологических процессов при различных способах широтно-импульсной модуляции (1-го и 2-го рода);

3. исследование влияния рода ШИМ и параметров корректирующих звеньев в цепи обратной связи на динамические характеристики преобразователя и область устойчивости в целом режима колебаний на частоте модуляции.

Методы исследования базируются на математическом аппарате теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории локальной устойчивости, теории нелинейных колебаний и бифуркаций динамических систем, матричной алгебре и вычислительной математике. Численная реализация математических моделей выполнялась на ЭВМ с помощью разработанного пакета прикладных программ. Натурные эксперименты проводились на экспериментальном стенде.

Научная новизна.

4. Разработана методика анализа С-бифуркаций, основанная на алгоритмах поиска периодических решений и исследования их локальной устойчивости, описании траектории периодического движения с помощью символической характеристики и свойствах системы трансцендентных уравнений для расчета периодических решений, полученной в аналитической форме. Это позволило различать типы периодических движений и прогнозировать возможный характер усложнения динамики при изменении параметров.

5. Найдены приемы выявления основных типов С-бифуркаций: простого изменения типа решения, мягкого возникновения движений с кратным периодом, слияния и последующего исчезновения двух циклов различных типов, позволяющие точно определять границы области существования и устойчивости периодического движения конкретного типа.

6. Исследованы особенности бифуркационных переходов и сценарии хаотизации колебаний, связанные с С-бифуркациями, в преобразова-

телях электрической энергии с широтно-импульсной модуляцией 1-го и 2-го рода. Впервые показано, что в системах управления с ШИМ-2 при С-бифуркациях возможно не только удвоение, но и утроение, учетверение, упятерение периода колебаний, возникновение множества движений с кратным периодом, а также мягкие переходы от одних устойчивых движений к другим с кратно соотносящимися периодами.

4. Выявлены новые случаи поведения кусочно-сшитых моделей систем управления с ШИМ-1 при С-бифуркациях, связанные с возникновением резонансных циклов, являющихся следствием синхронизации квазипериодических колебаний. Детально изучена структура бифуркационных границ и внутреннее устройство областей существования резонансных циклов, установлены закономерности их появления.

5. Установлено, что род модуляции и параметры корректирующих звеньев влияют не только на показатели качества регулирования, но и определяют размеры области устойчивости рабочего режима по параметрам и характер усложнения колебаний при изменении параметров.

Указанные результаты выносятся на защиту.

Практическая ценность и внедрение результатов. Разработанные подходы к исследованию бифуркаций и хаотических колебаний кусочно-сшитых моделей систем преобразования электрической энергии с ШИМ и результаты, полученные при исследовании динамики конкретных систем, позволяют:

1. походить к формированию и реализации математических моделей систем автоматического регулирования с ШИМ с единых теоретических позиций;

2. определять области существования и устойчивости периодических режимов в пространстве параметров системы, прогнозировать характер усложнения колебаний при изменении параметров в зависимости от рода широтно-импульсной модуляции;

3. направленно походить к выбору рода модуляции и параметров корректирующих звеньев и силовых фильтров, способствующих повышению показателей качества регулирования и надежности функционирования.

Результаты диссертационной работы внедрены на предприятии ОАО «Счётмаш» (г.Курск) и использованы при проектировании импульсных источников вторичного электропитания радиоэлектронной аппаратуры, а также в курсе лекций по дисциплине «Математические основы теории динамических систем», читаемых автором в Курском государственном техническом университете.

Работа выполнена в соответствии с планами госбюджетных НИР Курского государственного технического университета на 1992-1997 гг. по теме 1.4.92 № гос. регистрации 01.9.70003503; гранта по фундаментальным исследованиям в области автоматики и телемеханики, вычислительной

"7

техники, информатики, кибернетики, метрологии, связи (конкурсный центр грантов при Санкт-Петербургском государственном электротехническом университете им. В.И.Ленина (Ульянова)) №1.1.98, 1998-2000 г., в которых автор участвовал как исполнитель.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на: XXV Международной молодёжной научной конференции «Гагаринские чтения» (Москва, 1999 г.), 7-й Международной студенческой Олимпиаде по автоматическому управлению (С.-Петербург, 1999 г.) (доклад отмечен дипломом второй степени за практическую значимость), 4-й Международной конференции «Распознавание^» (Курск, 1999 г.), XXVI Международной молодёжной научной конференции «Гагаринские чтения» (Москва, 2000 г.), Ш Международной научно-технической конференции «Медико-экологические информационные технологии» (Курск, 2000 г.), 8-й Международной студенческой Олимпиаде по автоматическому управлению (С.-Петербург, 2000 г.), а также на научно-технических семинарах кафедры «Вычислительной техники» в течение 1997-2000 гг.

Публикации. Основные результаты диссертации отражены в 8 печатных работах.

Объем и структура диссертации. Работа включает введение, 5 глав, заключение, библиографический список из 106 наименований и 3 приложения. Объем диссертации 165 страниц, включая 58 рисунков и 4 таблицы.

Детерминированные и хаотическце колебания в системах автоматического управления с широтно-импульсной модуляцией. Проблема качественного проектирования

Существующие подходы к проектированию импульсных систем автоматического управления разрабатывались в период, когда хаотические колебания в детерминированных системах рассматривались как исключение. Вследствие этого достижение оптимальных качественных показателей связывалось с обязательным обеспечением периодического режима.

Исследование простейших периодических режимов в системах автоматического управления с различными видами ШИМ проводится в работах [34,36,39-41,46-50]. Получены условия существования и абсолютной устойчивости режимов на основной частоте модуляции.

Многочисленные публикации, посвященные анализу колебаний в нелинейных системах автоматического управления, показывают, что наряду с простейшими периодическими колебаниями в импульсных системах широко распространены режимы субгармонических, квазипериодических и недетерминированных, в том числе хаотических, колебаний [6,10,19,51-60]. Исследованию динамического хаоса в импульсных системах автоматического регулирования и управления посвящено множество работ.

Прежде всего необходимо отметить статью [53], в которой авторы обращают внимание на проблему динамического хаоса в электротехнических системах и приводят достаточное число примеров объектов электроэнергетики с хаотическим поведением.

В [54] экспериментально и с помощью математического моделирования обнаружены хаотические режимы работы электропривода постоянного тока с ши-ротно-импульсным регулированием, питающегося от аккумуляторной батареи. Здесь же исследовалась динамика двумерной модели преобразователя напряжения с ШИМ второго рода (ШИМ-2). В качестве управляющего параметра был выбран коэффициент усиления цепи обратной связи, который для данной задачи можно представить коэффициентом угла наклона пилообразного сигнала. Показано, что при изменении угла наклона пилообразного сигнала в системе происходит каскад из трех бифуркаций удвоения периода, завершающийся возникновением хаотического движения. Наличие бифуркации удвоения периода подтверждено результатами натурного эксперимента [61].

В работе [5] исследовалась динамика стабилизированного преобразователя напряжения с ШИМ-2, в котором использован комбинированный вид «токового» управления для реализации принципа управления по полной информации о состоянии системы. Варьировался коэффициент усиления цепи обратной связи. Установлен диапазон этого параметра, при котором режим колебаний на частоте модуляции устойчив. Выявлено, что потеря устойчивости этим режимом сопровождается возникновением устойчивого движения с удвоенным периодом. Проведены исследования динамики преобразователя в окрестности бифуркационного значения параметра.

Работа [62] проиллюстрировала, как увеличение степени детализации математической модели приводит к качественным изменениям динамики. Объектом исследований в [62] является электропривод постоянного тока с широтно 20

импульсным регулированием (ШИМ-2). Показано, что увеличение порядка мат-модели за счёт учёта влияния входного LC-фильтра приводит к значительным качественным изменениям в характере разбиения пространства параметров на области различных динамических режимов. Обнаружены области, соответствующие хаотическим и квазипериодическим движениям; в области квазипериодичности имеются области периодической динамики, соответствующие областям существования устойчивых резонансных циклов. Анализируются закономерности бифуркационных переходов внутри областей существования резонансных циклов.

Серия публикаций [6,10,52,55,56] посвящена динамике двумерной модели стабилизированного преобразователя напряжения с ШИМ-2. Исследование динамики было сведено к анализу свойств точечного отображения. В работах [6,10] варьировался коэффициент усиления цепи обратной связи. Систематизированная информация об устойчивых периодических движениях и бифуркационных связях между ними была представлена в виде диаграммы, названной авторами картиной ветвления [6,10]. Выявлены области значений этого параметра, при которых имеет место неединственность устойчивых периодических движений. Дальнейшие исследования [52,55,56] показали, что области неединственности движений занимают довольно обширные множества в пространстве параметров. В [6] доказано, что в этих областях под воздействием случайных внешних возмущений возможны внезапные неконтролируемые переходы от движения одного типа к движению другого типа, или хаотическая динамика, либо катастрофические переходы от детерминированной к хаотической, и обратно. Области притяжения устойчивых периодических движений в этом случае имеют чрезвычайно сложную и тонкую структуру, степень сложности которой увеличивается с ростом периода движений [55,56].

Поэтому особую актуальность приобретает задача обеспечения устойчивости в целом рабочего режима колебаний. Сегодня во всем мире ищутся системы управления, малочувствительные к изменению своих параметров, грубые (роба-стные) в силу своей структуры [63]. Попытка создания системы регулирования с ШИМ, устойчивой к появлению колебаний на пониженных частотах, кратных частоте модуляции («субгармонических колебаний») проводилась в отношении тяговых электроприводов постоянного тока авторским коллективом МЭИ [42,64-66]. Устойчивость системы управления к автоколебаниям на пониженных частотах связывалась авторами [42,64] с внесением задержки сигнала обратной связи между его выборкой и сравнением с пилообразным напряжением в модуляторе. С этой точки зрения в работе [42] оценивалась эффективность широтно-импульсных модуляторов 1-го, 2-го, 3-го рода и ШИМ, выполненного по принципу двойного интегрирования [67] для разных режимов работы электропривода. Согласно проведённым исследованиям, оптимальным является применение двусторонней ШИМ-1 и одной из разновидностей ШИМ-3. В [67] для борьбы с субгармоническими колебаниями предложе-. но использовать модификацию широтно-импульсного модулятора, реализующего метод так называемой синхронной фильтрации. Эффективность работы такой системы оценивалась в статье [65]. Показано, что данная система фильтрации достаточно эффективна для борьбы с субгармоническими колебаниями кратности 2 и 3, и малоэффективна для кратности выше 3.

На обобщении результатов работ [6,10] В.С.Баушевым в [68] сформулирована суть проблемы качественного проектирования, и указано направление её решения. Основным критерием качества проектирования является стабильность функционирования системы при возможных вариациях параметров системы и воздействиях извне. В [68] введены понятия нормальных и аномальных структур систем управления (см. также [55,69]). Показано, что в нормальных структурах, в отличие от аномальных, невозможна катастрофическая смена динамики. Проектирование качественных объектов связывается с построением нормальных структур [68,69]. Создание таких структур невозможно без понимания причин, вызывающих катастрофическую смену динамики.

Уравнения для расчета периодических движений. Алгоритмы поиска периодических решений

Пусть П - множество параметров динамической системы, образующее q-мерное евклидово пространство {p1,p2 — Pq)- Фиксированному набору значений параметров соответствует точка в П (РЕ ТІ). При этом каждой точке Р пространства параметров соответствует определённая структура фазового пространства (фазовый портрет). Изменение параметров или деформация системы изображается в виде некоторой траектории в пространстве параметров, которую, следуя терминологии [93], будем называть траекторией деформации. Обычно полагают, что деформация системы происходит квазистатически - настолько медленно, что при исследовании уравнений движения параметры всякий раз считают постоянными величинами [12].

Совокупность точек Р є П, в которых структура фазового пространства динамической системы остается топологически эквивалентной, образуют непересекающиеся области в пространстве параметров. Границы между этими областями составлены из бифуркационных значений параметров Р (Р є П), при которых происходит изменение топологической структуры фазового пространства.

Если построены все бифуркационные границы, и для каждой из выделенных таким образом областей изучена структура фазового пространства, то можно говорить о полном качественном исследовании системы [12,90]. Такое исследование для большинства систем оказывается задачей невыполнимой. Обычно ограничиваются решением частной задачи - построением в пространстве параметров областей отдельных периодических движений [12,90].

Пусть Xc(t,P) - периодическое движение (m-цикл) динамической системы, существующее в точке Р (РєП). Соответствующее этому решению характеристическое уравнение (2.25) в общем виде может быть представлено как

Периодическое движение локально устойчиво, если все корни (2.34) расположены внутри единичного круга, т.е. выполняются строгие неравенства p(. І, i = l,n. Типичным бифуркационным ситуациям, связанным с потерей устойчивости m-цикла, соответствуют случаи, когда абсолютное значение одного из корней (2.34) становится равным единице [16,17,82]: р = 1 или р = -1, или модуль пары комплексно-сопряжённых корней вида р = е± ф, 0 ф % равен 1. Подстановкой в (2.34) бифуркационных значений р получаем уравнения соответствующих бифуркационных поверхностей, на которых лежат бифуркационные значения параметров Р [80]: 5С(%/ ; = і + Р;+... + Рй_;+рл=0; (2.35) хГ-і,Р; = Г-1/+Р/-іГ/+...-рй_/+рй=»; (2.36) %(e±l\P) = еіщ + Р ЇЙ-;;Ф +... + Рй_ /ф + рй = 0. (2.37) Обозначим поверхности, описываемые уравнениями (2.35)-(2.37), соответственно через N+, N_ и N . Несколько слов о структуре пространства параметров в окрестности бифуркационных границ N+, N_, N . Предположим, траектория деформации пересекает трансверсально поверхность N+. Тогда по одну сторону от бифуркационной поверхности N+ существуют два га-цикла: устойчивый и неустойчивый, причём траектории обоих движений характеризуются одинаковым порядком сшивания их из отдельных участков. В точке бифуркации Р происходит слияние этих m-циклов. По другую сторону от бифуркационной поверхности N+ рассматриваемых движений не существует. Здесь мы не будем касаться особого случая описанной бифуркации, когда периодическое движение симметрично [12,23]. Если траектория деформации пересекает трансверсально поверхность N_, то потеря устойчивости га-циклом сопровождается либо возникновением устойчивого движения с удвоенным периодом, либо слиянием га-цикла с неустойчивым 2т-циклом. При этом m-цикл продолжает существовать, но становится неустойчивым [12]. Пересечению траекторией деформации с поверхностью УУф в общем случае соответствует аналогичная бифуркационная картина, но сливающееся с т-циклом неустойчивое или возникающее устойчивое движения квазипериодично. Фазовые траектории этого движения расположены на некоторой тороидальной поверхности [12].

Уравнения (2.35)-(2.37) оказываются достаточными для построения границ областей существования устойчивых периодических движений в гладких динамических системах. Однако в кусочно-сшитых системах границы областей существования не всегда определяются через критерии потери локальной устойчивости. Как было сказано ранее, периодическое движение определенного типа кусочно-сшитой динамической системы характеризуется вполне определенным порядком прохождения изображающей точкой через области кусочной гладкости. При изменении параметров эта последовательность может нарушаться. Такие специфические нарушения условий существования периодического движения связаны с изменением числа участков фазовых траекторий, из которых сшивается траектория этого движения, и названы С-бифуркациями [12].

Известно четыре типа С-бифуркаций [12-15]: простое изменение типа решения, слияние и последующее исчезновение двух движений разного типа, возникновение движения с удвоенным периодом и возникновение движения с кратным периодом.

Анализ двупараметрической диаграммы динамических режимов трехмерной кусочно-линейной модели преобразователя с широтно-импульсной модуляцией второго рода

Сигнал обратной связи снимается с делителя напряжения Rl - R2. Измерительно-преобразующее и усилительно-корректирующие устройства реализованы в едином узле на базе операционного усилителя DA2 и цепей коррекции. Широт-но-импульсный модулятор образуют: генератор импульсов ГИ, источник пилообразного напряжения UQSCJ компаратор DA1 и триггер DD1.

Трансформатор TV2 и транзистор VT2 осуществляют усиление маломощных сигналов с выхода модулятора до уровня, необходимого для управления силовым ключом VT1, и создают гальваническую развязку между силовыми и управляющими цепями преобразователя.

В диссертационной работе производилось моделирование не всего преобразователя, а процессов на его выходном фильтре. При составлении схемы замещения (рис.3.2) были сделаны следующие общепринятые допущения [2,6,10]: предполагается, что входное согласующее устройство обеспечивает такое сглаживание пульсаций, что напряжение на первичной обмотке трансформатора TV1 полагаем постоянным (Е0); транзисторы и диоды - идеальные ключи; трансформаторы, резисторы и реактивные элементы идеальные; пренебрегаем тепловыми потерями мощности в активных элементах. Коэффициенты передаточных звеньев (рис.3.2) выражаются через значения элементов структурной схемы следующим образом: $ = R1/(R1+R2), а = R3 / R5, х = R4 /(R3 +R4), x = C4 (R3 +R4). В качестве корректирующего звена применяется пропорционально-интегрирующее (ПИ) звено с параметрами: %(0 % 1) - коэффициент передачи (при %=\ ПИ звено вырождается в пропорциональное), и т - постоянная времени. При выбранных значениях параметров режим прерывистых токов отсутствует. Поэтому математическая модель преобразователя запишется в виде кусочно 55 линейной системы (2.2), где X = (Xj,x2,x3)T;Xl - ток через индуктивность, х2 выходное напряжение, х3 - сигнал на выходе ПИ звена коррекции, KF=[l + signet,X))]/2; Ці,X) = x3-Uosc(t). В соответствии с принципами формирования управляющих импульсов, ко торые изложены в п.3.1 [6,10], получен алгоритм для нахождения момента окончания импульсного выходного сигнала модулятора: (k-l)a, ((k-l)atXk_1) 0; к = Jtl, \((k-l)a,Xk_}) 0, Цка,Xk) 0; (3л} ka, \(t,X) 0, (k-l)a t ka, Xk=X(ka); t\ - корень уравнения Цік,Х(ік)) = 0, единственный при выбранных значениях параметров. Параметры математической модели: Е0 -104 В; R- 10,6 Ом; L = 0 1 Гн-С = 1 Г Ф\ RH=100OM; Ure/=5B; $ = 0,1; т = 4а; а = 10 4 сек; 0 х 1; a 0;Uosc(t) = U0(t/a-E1(t/a));U0=10B. При выбранных значениях параметров собственные числа матрицы А-Xt,i = 1,2,3 вещественны и отрицательны: X1=(tr(A)-sJ(tr(A))2-4-det(A))/2; Х2 = ifr(A) + 4(tr(A))2 -4-det(A))/2; Х3=-1/т. С помощью невырожденного линейного преобразования r wi w2 2 J X, = E0/L XJ —Х2 X2+R/L Xj+R/L — w, - — X. X, w, E0/LC 1 \ i X (3.2) ;?=л \ \ p = -(y-X1+q-X2)/X3; Х2 -Х3 x3=y yv1+q-w2+p-w3+a-Uref У Xj — X / \ А,:, л ii = -apv X , г) = aPv X, 1 1 V Л2/ систему (2.2) приведем к виду [6]: ; v = о LC(X 2 — X j) (It l- = Xr(wi-KFa)), i = l,2,3,0 wi l (3.3) h (t,wl,w2w3) = y-w1+q-w2 + pw3 +a-Uref -U0(t/a-Et(t/a)). Для переменных wi, w2, w3 отображение (2.12) принимает вид: wik=ex a-(wi(k_1)-l) + eha(1 );wik=wi(ka) ; і = 7,2,5; к = 1,2,.... (3.4) t Относительная длительность импульсов zk = — -к + 1 вычисляется, исходя из алгоритма (3.1): О, а (3.5) Ф W 0; -+ p(zk) = 0, р(0) 0,ц (1) 0; 1, p(z) 0,0 z L ,aX,z ,aXiz, ,aX2z , z) = yea (w1(k_1)-l) + q-ea (w2(k_1)-l) + p-ea (w3(k_1) -1) + + y + q + p + a-Uref-U0-z; Отображение (3.4) и алгоритм (3.5) определяют отображение сдвига в пространстве переменных (whw2,w3). От переменных (whw2,w$) легко перейти к переменным (хі,х2ухз) с помощью замены (3.2).

Формулы для поиска периодических движений с периодом Т=та, т=1,2,... (m-циклов) в новых переменных приобретают вид: + r-Xr(alk-l) + q-A2-(cr2k-l) + p-A3-(c73k-l). 3.2. Анализ двупараметрической диаграммы динамических режимов трехмерной кусочно-линейной модели преобразователя с широтно-импульсной модуляцией второго рода

Выполнение высоких требований к статическим и динамическим характеристикам преобразователей электрической энергии возложено на систему регулирования (на информационный канал). Повышение точности стабилизации регулируемого параметра достигается, как правило, за счет повышения коэффициента усиления цепи обратной связи (в обозначениях рис.3.2 - за счет увеличения параметра а). Что, в свою очередь, приводит к возникновению в системе регулирования более сложных режимов колебаний: субгармонических, квазипериодических и недетерминированных [6,10,55,56].

Структура и параметры корректирующих звеньев в цепи обратной связи оказывают существенное влияние не только на качественные показатели системы, но и на размер области устойчивости рабочего режима колебаний в пространстве параметров.

В исследованиях в качестве варьируемых выберем параметры, оказывающие сильное влияние как на качественные показатели, так и на величину области устойчивости рабочего режима колебаний: коэффициент передачи ПИ звена % и коэффициент усиления ошибки рассогласования а. Остальные параметры полагаются фиксированными.

Рассмотрим разбиение плоскости параметров П = {(а,%) : 1 а 250; 0 % Ї] на области различных динамических режимов (рис.3.3). Пределы изменения параметров а и % выбраны таким образом, чтобы в П включалась зона области устойчивости режима колебаний на частоте модуляции, которую можно было бы выбрать в качестве рабочей [95,96].

Каждому фиксированному набору значений а,% будет соответствовать точка в этой плоскости Р = (а,%) єИ. Изменению параметров соответствует движение этой точки вдоль некоторой кривой в П, которую, следуя терминоло 59 гии [93], будем называть траекторией деформации. Далее будем полагать, что деформация системы происходит квазистатически - настолько медленно, что при исследовании уравнения движения параметры всякий раз считают постоянными величинами.

На рис.3.3. через Yljm (т, j = 1,2,3,...) обозначены односвязные множества параметров, такие, что для всех точек Р elljm существует локально устойчивое периодическое движение (m-цикл), непрерывное по параметрам в П . Причём, если при фиксированном Р одновременно существует несколько различных движений, точка Р принадлежит нескольким TlJm. Индексу используется для различения множеств с одинаковым т. Индексу отсутствует, если область UJm, где существует устойчивый m-цикл, единственна.

Апериодические движения (в том числе квазипериодические и хаотические) наблюдаются в областях YlJch, у = 1,2,3. Области YIjch не являются сплошными, в них существует большое число узких окон с периодической динамикой. Такие окна на рис.3.3 не показаны ввиду малости их размеров по параметрам. Естественно, на рис.3.3. показаны только области относительно крупного размера, в действительности диаграмма динамических режимов является гораздо сложнее приведенной на рисунке.

Введем обозначение: совокупность областей Ii[, в которых определены устойчивые движения, связанные между собой посредством «мягких» бифуркационных переходов, обозначим Пт = (Jn{ . Для множества Пт m-цикл является k/meN минимальным, то есть вПи нет -циклов с к т. Как правило, области Ii[ с Пга имеют сходное строение бифуркационных границ, в п.3.3 это будет подтверждено результатами численных экспериментов.

Особенности усложнения колебаний в динамике преобразователя с широтно-импульсной модуляцией первого рода

Значение параметра % = 1 соответствует вырождению пропорционально-интегрирующего звена коррекции в пропорциональное. Бифуркационная диаграмма, построенная в работе [6] при % = 1 и вариации параметра а, показала, что усложнение движений при пересечении множества областей И1 ifі = 0,1,2,... происходит в результате бесконечной серии бифуркаций удвоения периода, завершающейся установлением апериодического движения. Как будет показано ниже, при х 1 имеет место иной сценарий перехода к хаотическим колебаниям. Рассмотрим строение бифуркационных границ областей П ,, 1=0,1,2,.... Область П слева ограничена бифуркационной кривой Г31 (рис.3.5), в точках которой жестко возникает пара 3-циклов разного типа. Траектория устойчивого движения сшивается из 4 участков в соответствии с символической характеристикой S3 =(/, , ), траектория неустойчивого - из 6 участков в соответствии с S" = ( , , ). На рис.3.11 приведена эволюция циклических точек (а) и мультипликаторов (б) 3-циклов, построенная в сечении Q.31 = {(а,%) :а31 а 68,3; % = 0,8} плоскости параметров П. На рис.3.12 показана проекция фазовых траекторий 3-циклов на плоскость (xj Для различных значений а, иллюстрирующая процесс сближения и слияния 3-циклов. На рис.3.11 и 3.12 характеристики устойчивого движения отмечены сплошной линией, а неустойчивого - штриховой. Из рис.3.12 видно, что траектория устойчивого 3-цикла сшивается из четырех участков интегральных кривых, а неустойчивого 3-цикла - из шести участков.

Проекции фазовых траекторий устойчивого и неустойчивого 3-циклов на плоскость (х},х) при а) а=68, б) а=64, в) а=а5;. Как видно из рис.3.11, при переходе в область значений a a5i (а31 « 63,176627) 3-циклы сливаются и исчезают вследствие нарушения условий их существования:q 5fz/,оц; -0) 0 (рис.3.11,в), то есть в результате С-бифуркации. Легко видеть, что в момент слияния maxpsk(a31) /, а Р"(азі +0) 1 (рис.3.11,6). Далее, в точке а61 « 68,030695 устойчивый 3 цикл теряет устойчивость в результате бифуркации удвоения периода, и возникает устойчивый 6-цикл, существующий непрерывно по параметрам в области П (см. рис.3.3). Таким образом, правая граница П - кривая Г61 (рис.3.5) образована совокупностью точек бифуркации удвоения периода 3-цикла.

Правая граница области П - кривая Т121 - имеет более сложное строение: участок, расположенный между узлами Р121 - Рп2, соответствует бифуркации удвоения периода 6-цикла, которая сопровождается возникновением устойчивого 12-цикла. Другой участок Г121 между узлами Р122 -Р32 отвечает С-бифуркации, при этом устойчивый 6-цикл изменяет тип и переходит в седловой 6-цикл, сшитый из 11 отрезков траекторий. На бифуркационной диаграмме этот переход отмечен мягким возникновением от 6-цикла семейства устойчивых и неустойчивых циклов с периодом, кратным шести. Например, на бифуркационной диаграмме, построенной в сечении Q6 = {(а,і): 56 а 74; і = 0,9} плоскости параметров (рис.3.13, а,б) от 6-цикла мягко возникает устойчивый 18-цикл. На рис.3.13,6 показан увеличенный фрагмент диаграммы, выделенный на рис.3.\3 ,а прямоугольником.

В [14] отмечалось подобное явление в динамике кусочно-сшитых моделей механических систем, когда изменение типа периодического движения в результате С-бифуркации сопровождается рождением целого семейства неустойчивых циклов различного периода, траектории которых образуют «хаотический аттрактор» [97] в фазовом пространстве.

Структура правых границ областей П 2,, і = 2,3,... аналогична П . . Бифуркационная диаграмма в сечении ад(а,х)--56 а 74;Х=0,9}. Из проведенного анализа границ ясно, что бесконечная последовательность бифуркаций удвоения периода возможна только в сечении % = 1 плоскости П, а при %ФІ имеет место неполный каскад бифуркаций удвоения периода. Нетрудно т показать, что в этом случае число бифуркаций удвоения периода N = log2 —, т = 3 -2к, к=1,2,..., где т - период устойчивого цикла. Известно, что периодические движения динамических систем подчиняются принципу непрерывности по параметрам [90,98]. Поскольку при 1 = 1 имеет место бесконечный каскад бифуркаций, в результате которого возникает множество устойчивых 3 2к-циклов, А=1Д..., а при % Ф 1 - неполный каскад, возникает вопрос о характере возникновения (исчезновения) этих движений, некоторые из которых могут быть неустойчивы, в области % 1. Неполный каскад бифуркаций удвоения завершается С-бифуркацией, при которой у устойчивого m-цикла изменяется тип, и он теряет устойчивость. Результаты численных экспериментов показали, что при этой С-бифуркации мягко возникает искомое множество 3-2к-циклов. Кривая Tch3, образующая левую границу области хаотичности U3ch (рис.3.3), обладает нетипичными свойствами. В точках кривой Tch3 в результате С-бифуркации сливаются и исчезают два неустойчивых 3-цикла разного типа, а также множество неустойчивых движений с периодом, кратным трем. Для примера на рис.3.\А,а-г показан процесс слияния 6-цикла с парой 3-циклов на границе Гсй5: на рис.3.14,й приведена эволюция отдельных циклических точек 3- и 6 циклов; на рис.3.14,6-г - мультипликаторы каждого из движений. Траектория 3-цикла, характеристики которого на рис.3.14 обозначены индексом {А), сшивается из 4 участков, этот цикл имеет тот же тип и символическую характеристику, что и устойчивый 3-цикл в области П (рис.3.3). Характеристики второго неустойчивого 3-цикла отмечены на рис.3.14 индексом (В), его траектория сшивается из 6 участков. Чертой сверху отмечены характеристики неустойчивого 6-цикла.