Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Анализ состояния вопроса и основные задачи автоматизированного анализа и моделирования техногенных и экологических рисков 12
1.1 Техногенные, риски 12
1.2 Методы анализа и моделирования техногенных и экологических рисков 18
1.3 Проблемы применения методов прогнозирования в условиях риска 24
1.4 Системный анализ в задачах проектирования математического и информационного обеспечения 26
1.4.1 Системы бинарного типа с отношением эквивалентности и их свойства 27
1.4.2 Состояния П-системы и их классификация 28
1.4.3 Информационные показатели синтеза 77-систем 30
Глава 2. Математические модели и методы оценки прогнозирования природных и техногенных рисков 32
2.1 Математические модели техногенных рисков 32
2.1.1 Математическая модель интегрированного риска 32
2.1.2 Математическая модель социального ущерба 37
2.2 Методика расчета потенциального риска токсического поражения 39
2.2.1 Выбор параметров регрессионной модели 39
2.2.2 Последовательность построения регрессионной модели 40
2.3 Анализ распределений функций, характеризующих рисковые ситуации 47
2.4 Расчет функции распределения случайной величины, характеризующей рисковые ситуации 52
Глава 3. Математические модели количественной оценки рисков 57
3.1 Обоснование подхода к решению задачи 57
3.2 Модель на основе процессов Кокса 59
3.3 Методы анализа риска на базе масштабных смесях нормальных законов 61
3.3.1 Распределение вероятностей масштабных смесях нормальных законов 61
3.3.2 Островершинность масштабных смесей нормальных законов 62
3.3.3 Масштабные нормальные смеси как сверточные симметризации вероятностных распределений 63
3.3.4 Масштабные нормальные смеси как рандомизационные симметризации вероятностных распределений 70
3.4 Анализ случайных рисков с помощью центральных и промежуточных порядковых статистик 74
3.4.1 Асимптотическое распределение выборочных квантилей, построенных по выборке случайного объема 74
3.4.2 Предельные теоремы для промежуточных порядковых статистик, построенных по выборкам случайного объема 77
Глава 4. Математические модели и методы прогноза экологических рисков на базе информационных характеристик систем 81
4.1 Синтез 77-систем 81
4.2 Метод оценки степени однородности и изотропности распределения элементов 4 4.3. Статистический метод количественной оценки интенсивности негативного события на примере провала 96
4.4 Применение полученных результатов при прогнозировании техногенной миграции Цезия-137 103
4.5 Прогнозирование риска аварий или экологических интервенций в окружающую среду на автозаправочной станции 105
Заключение 111
Литература
- Проблемы применения методов прогнозирования в условиях риска
- Методика расчета потенциального риска токсического поражения
- Распределение вероятностей масштабных смесях нормальных законов
- Статистический метод количественной оценки интенсивности негативного события на примере провала
Введение к работе
Актуальность темы
Автоматизация проектирования - неотъемлемая составляющая современного научно-технического прогресса. Она значительно снижает длительность и стоимость создания математического, программного и информационного обеспечения (ИО) систем различного назначения при одновременном повышении его качественного уровня.
Работы В.М. Курейчика, И.П. Норенкова оказали существенное влияние на развитие САПР и послужили базой для создания новых подходов в совершенствовании систем автоматизированного проектирования (АП).
Одной из областей применения САПР является разработка автоматизированных систем, осуществляющих сбор и обработку данных, связанных с прогнозированием техногенных и экологических рисков. Это связано с увеличением количества техногенных и экологических катастроф, например, участились торнадо в США, наводнения в Латинской Америке, ураганные ветры в Западной Европе и т.д. и т.п.
Как известно, сооружение и функционирование энергонасыщенных и химически опасных промышленных объектов всегда сопряжено с риском разрушительного высвобождения собственного энергозапаса или неконтролируемого выброса химически опасных веществ, что может привести к потерям материальных ценностей, гибели людей и окружающей природной среды. Достаточно назвать аварии на АЭС Три-Майл-Айленд (США), в Чернобыле (Украина), в Хамме (Германия), на химических предприятиях в Фликсборо (Великобритания). Ссвезо (Италия). Мехико (Мексика). Бхопале (Индия) и Базеле (Швейцария), на взрывопожароопасных объектах в Тулузе (Франция), в Энсхеде (Нидерланды), крупные транспортно-промышленные катастрофы в Арзамасе. Свердловске, под Уфой (Россия).
Практически все области Российской федерации подвержены природным и техногенным катастрофам. В России в 2007 году зарегистрировано 850 крупных катастроф. Экономический ущерб превысил $30 млрд. Общая сумма страховых выплат со стороны страховых компаний составила $7,5 млрд. По данным МЧС России 30% материальных потерь приносят наводнения, 21% -обвалы, оползни и лавины, 14%-ураганы и смерчи, 3% - сели.
По оценкам Российской академии наук, с каждым годом число жертв катастроф в стране возрастает примерно на 10%. По расчетам специалистов, на территории России размещено свыше 4,5 тыс. потенциально опасных объектов, в том числе около 800 радиационно-опасных и 1500 химически и биологически опасных сооружений и производств, которые относятся к объектам повышенного риска. К тому же в России имеется 20% сейсмоопасных территорий и более 50% территорий, относящихся к зоне вечной мерзлоты. В среднем по России ежедневно отмечаются две серьезные аварии на трубопроводах, раз в неделю - на транспорте, ежемесячно - в промышленности.
В течение последних лет в России во всех видах аварий и катастроф ежегодно гибнет более 50 тыс. человек и еще 250 тыс. получают ранения. В нефтеперерабатывающей промышленности ежегодно происходит около 60 катастроф, уносящих жизни 100-150 человек и наносящих ущерб до 3-х миллиардов рублей.
При этом ущерб от возможных аварий может быть выше финансовых возможностей предприятия и носит случайный характер. Именно в этих условиях возникает необходимость количественной оценки, анализа и управления техногенными рисками аварий на потенциально опасных объектах техносферы.
В связи с этим на протяжении последних лет в нашей стране и за рубежом активно ведутся исследования природных, техногенных и экологических опасностей. Основными направлениями этих исследований являются прогнозирование опасностей и оценка их риска, а также
8 синергетические эффекты природных опасностей в окружающей среде, оценка уязвимости и ущерба от природных и техногенных опасностей, теория и практика оценки природных, техногенных и экологических рисков. Но данные исследования можно проводить только лишь при наличии специализированных систем. Отсюда следует, что задача разработки математического обеспечения (МО) и ИО для систем, осуществляющих сбор и обработку данных, связанных с прогнозированием природных, техногенных и экологических рисков, является актуальной, поскольку любые знания о наступления природной или техногенной катастрофы имеют огромное экономическое, социальное, экологическое и научное значение.
Большой вклад в решение этой задачи внесли такие отечественные и зарубежные ученые, как А.П.Альгин, И.Т.Балабанов, У.Бек, Н.Луман, М.Лапуста, А.Мур, С.М.Мягков, а также В.Ю.Воробьев, В.В.Болотин,, В.И.Осипов, А.Л.Рогозин, В.А. Коляревский, В.И., Ларионов, С.П.Сущев, Л.А.Миэринь, А.Е.Шейдеггер, М.П.Шерман, С.Окамото и другие.
Цель диссертационной работы заключается в разработке МО для САПР систем прогнозирования природных, техногенных и экологических рисков. ,
Задачи диссертационного исследования
Для достижения заданной цели необходимо решить следующие задачи:
разработать математические модели (ММ) рисков природных, техногенных и экологических опасностей;
на базе созданных ММ разработать методы оценки рисков природных, техногенных и экологических опасностей;
разработать метод оценки степени однородности и изотропности распределения элементов;
разработать статистический метод количественной оценки интенсивности негативного события
9 Методы исследования
Для решения поставленных задач использованы теория и методы: автоматизированного проектирования, системного анализа, построения САПР, организации баз данных (БД), систем бинарного типа с отношением эквивалентности, линейной алгебры, принятия решений, математического моделирования. Научная новизна исследований обусловлена:
Разработкой ММ и методов прогнозирования техногенных и экологических рисков на основе теории систем бинарного типа с отношением эквивалентности.
Разработкой статистических методов оценки параметров построенных моделей.
Разработкой МО прогнозирования техногенных и экологических опасностей на основе предложенных моделей и методов.
Новыми методическими положениями для разработки МО САПР систем-прогнозирования техногенных и экологических рисков.
Основные положения, выносимые на защиту 1. Математические модели техногенных рисков. 2.Методы оценки рисков природных, техногенных и экологических опасностей.
Математическое обеспечение САПР систем прогнозирования природных, техногенных и экологических рисков.
Автоматизированная методика оценки степени однородности и изотропности распределения элементов в пространстве по полутоновым изображениям, как характеристики степени риска экологической катастрофы (интервенции), т.е. вероятности ее возникновения.
Практическая ценность результатов определяется тем, что разработанные ММ и методы прогнозирования техногенных и экологических рисков
10 позволяют оценивать вероятность экологических и техногенных опасностей для людей и окружающей среды со стороны таких потенциально опасных объектов, как: атомные станции, нефтепроводы, промышленные предприятия, автозаправочных станций (АЗС) и другие объекты. Кроме того, полученные результаты применимы при обработке результатов аэрофотосъемки и космических снимков поверхности Земли для мониторинга состояния лесной зоны, водных территорий, загрязненности почв и др.
Достоверность основных положений диссертационной работы подтверждается результатами проведенных исследований и компьютерным моделированием. Результаты работоспособности разработанной в диссертационной работе системы подтверждаются актом о внедрении в Санкт-Петербургском филиале Учреждения российской Академии наук института земного магнетизма, ионосферы и распространения радиоволн имени Н.В. Пушкова (Россия, Санкт-Петербург) Апробация работы
Основные положения диссертационной работы докладывались, обсуждались и получили одобрение научной общественности на
Международной научно - практической конференции по современным проблемам прикладной информатики (Санкт-Петербург, 2006);
XII1 Всероссийской научно - методической конференции «Телематика'2006» (Санкт-Петербург, 2006);
XIX Международной конференции по мягким вычислениям и измерениям (Санкт-Петербург,2006);
в Институте Геоэкологии РАН, Москва;
во ВНИИ Метрологии им. Д.И. Менделеева, Санкт-Петербург;
в Институте государственной противопожарной службы МЧС России, Санкт-Петербург;
в Центре исследования экстремальных ситуаций, Москва.
Публикации. Результаты работы, полученные в диссертации, нашли отражение в 8 научных работах по теме диссертации, в том числе опубликованных в сборниках, входящих в Перечень, рекомендованный ВАК РФ для защиты кандидатских диссертаций.
Проблемы применения методов прогнозирования в условиях риска
Многочисленны примеры ситуаций, связанных с социальными, технологическими, экономическими, политическими, экологическими и другими рисками. Именно в таких ситуациях обычно и необходимо прогнозирование. Известны различные виды критериев, используемых в теории принятия решений в условиях неопределенности (риска). Из-за противоречивости решений, получаемых по различным критериям, очевидна необходимость применения оценок экспертов.
В конкретных задачах прогнозирования необходимо провести классификацию рисков, поставить задачу оценивания конкретного риска, провести структуризацию риска, в частности, построить деревья причин (в другой терминологии, деревья отказов) и деревья последствий (деревья событий). Центральной задачей является построение групповых и обобщенных показателей, например, показателей конкурентоспособности и качества. Риски необходимо учитывать при прогнозировании экономических последствий принимаемых решений, поведения потребителей и конкурентного окружения, внешнеэкономических условий и макроэкономического развития России, экологического состояния окружающей среды, безопасности технологий, экологической опасности промышленных и иных объектов. Метод сценариев незаменим применительно к анализу технических, экономических и социальных последствий аварий.
Имеется некоторая специфика применения методов прогнозирования в ситуациях, связанных с риском. Велика роль функции потерь и методов ее оценивания, в том числе в экономических терминах. В конкретных областях используют вероятностный анализ безопасности (для атомной энергетики) и другие специальные методы.
Из сказанного выше вытекает, что разнообразные формальные методы оценки рисков и управления ими во многих случаях (реально во всех нетривиальных ситуациях) не могут дать однозначных рекомендаций. В конце процесса принятия решения - всегда человек, менеджер, на котором лежит ответственность за принятое решение. Поэтому процедуры экспертного оценивания естественно применять на всех этапах анализа рисков рассматриваемого организацией проекта. При этом нецелесообразно полностью отказываться от использования формально-экономических методов, например, основанных на вычислении чистых текущих потерь и других характеристик. Использование соответствующих программных продуктов полезно для принятия обоснованных решений. Однако на основные вопросы типа: достаточно ли высоки доходы, чтобы оправдать риск, или: что лучше - быстро, но мало, или долго, но много - ответить могут только менеджеры с помощью экспертов. Поэтому система поддержки принятия решений в организации должна сочетать формально-экономические и экспертные процедуры.
Разработка системы поддержки принятия решений, нацеленной на оценивание рисков и управление ими - не простое дело. Укажем несколько проблем, связанных с подобной работой. Совершенно ясно, что система должна быть насыщена конкретными численными данными об экономическом состоянии региона, страны, возможно и мира в целом. Добыть такие данные нелегко, в частности, потому, что сводки Российского статистического агентства (ранее - Госкомстата РФ) искажены (подробнее о состоянии теории и практики статистики в России см. главу 1 в [2] и статью [4]). Так, при составлении балансовых соотношений для макроэкономических показателей по данным [5] выяснилось, что государство должно иметь дополнительный источник доходов в несколько сотен миллиардов долларов, а доходы бизнеса имеют излишек в 30 миллиардов долларов. Другими словами, популярное учебное пособие [5] содержит данные, не согласующиеся друг с другом.
Пусть рассматривается некоторая группа объектов (товары, события, состояния экологически т.д.). Объекты образуют конечное множество элементов X,Y,Z,...,W. Допустим, что X,Y,Z,...,W — это однородные элементы, каждый из которых имеет свой жизненный цикл (ЖЦ), зависящий от состояния рынка, качества товаров, маркетинговой деятельности фирмы и других причин. Для успешного функционирования системы и ее оптимального управления первостепенное значение имеет знание законов распределения случайных величин - ЖЦ каждого товара, поскольку эта информация напрямую связана с принятием решений по изменению деятельности управления системой. Нахождение этих законов представляет собой чрезвычайно сложную экономико-математическую задачу, которую, по-видимому, решить не представляется возможным в силу многообразия начальных условий. Однако не меньший интерес представляет знание закона распределения другой случайной величины, так называемой «первой смерти» товара T{min(X,Y,Z,...,W)}. Под «первой смертью» понимается завершение ЖЦ («смерть») одного из товаров однородной группы, первое среди ЖЦ остальных товаров. Знание закона распределения T{min(X,Y,Z,...,W)} позволит осуществлять продуманную и своевременную политику, поскольку завершение ЖЦ («смерть») одного из элементов рассматриваемой группы означает принятие решения о переходе к новой группе, либо, по крайней мере, к изменению весов оставшихся элементов. Рассмотрим формализованные методы анализа системы управления системой, основанные на теории информации, позволяющие найти закон распределения момента «первой смерти» элемента (не важно какого именно), первый для всей группы.
Методика расчета потенциального риска токсического поражения
В выражении (2.2) потенциальный, риск R(E) обоснован и представлен интегральной формулой полной вероятности, которая включает следующие основные элементы: плотность распределения частоты аварийных выбросов J[M), координатный закон поражения человека Р{Г1М) и вероятности случайных независимых событий Рк, совместное выполнение которых предопределяет поражение человека в рассматриваемой зоне риска. В качестве вероятностей Рк рассматриваются наиболее значимые независимые случайные события: Р(д?, v) -вероятность реализации ветра данного направления; P(w) - вероятность реализации рассматриваемых метеоусловий; P(s) - вероятность реализации в течении года рассматриваемого класса устойчивости атмосферы (инверсия, изотермия, конвекция).
Основным показателем токсической опасности химического объекта в пораженном состоянии, при прочих равных условиях, является масса аварийного выброса ядовитого вещества. Следовательно, необходимо знать характер распределения массы неконтролируемого выброса по частотам реализации аварии, то есть плотность распределения частот аварийных выбросов ДМ).
Функция f{M) определяется методами регрессионного анализа. Процедура построения регрессионной модели состоит из следующих, в достаточной степени самостоятельных этапов.
На первом этапе выявляется последовательность исходных, инициирующих аварию, случайных событий и разрабатывается все множество возможных на данном химически опасном объекте сценариев возникновения и развития аварии и для каждого из них рассчитывается масса неконтролируемого выброса. Ее величина определяется параметрами выбранной модели, например, истечения двухфазной жидкости из /-го аварийного блока. В качестве одной из таких моделей рассмотрим формулу [16], описывающую зависимость массового расхода жидкой фазы #вбр от физических условий содержания опасного вещества в аварийном блоке и параметров аварийного истечения: , V (2.3) ист М= \qe6pdt о
Из выражения (2.3) можно видеть, что масса аварийного выброса М=/{сІ,Н,Рж,їИСТ) является функцией следующих случайных параметров: диаметра аварийного отверстия d; высоты столба жидкости над уровнем отверстия Н; давления в аварийном блоке Рж; времени истечения опасной жидкости /ист. Указанные величины рассматриваются в качестве основных параметров сценариев развития аварии.
По результатам расчета определяется множество неконтролируемых выбросов опасного вещества и формируется матрица масс Му. При этом, в зависимости от количества учитываемых параметров сценария развития аварии, могут использоваться в расчетах одномерные (вектор), двухмерные (рис 2.1), трехмерные (рис. 2.2) и многомерные матрицы масс.
Остановимся более подробно на двухмерной модели сценария развития аварии на химически опасном объекте, выбрав, для примера, в качестве варьируемых параметров в выражении (2.3) диаметр аварийного отверстия d и высоту расположения отверстия h при фиксируемом значении остальных величин. Высоты отверстия h, высота столба жидкости над уровнем отверстия Я, и высота жидкости в резервуаре Hv связаны соотношением Н = Нр - h. В этом случае масса аварийного выброса будет определяться функциональной зависимостью M=j[d, Н) при tHCT = const и Рж = const. Вид указанной матрицы масс представлен на рис 2.1.
На втором этапе построения регрессионной модели рассчитываются относительные частоты реализации сценариев аварий.
Для оценки соответствующей ij-му сценарию относительной частоты (вероятности) аварийного выброса Л(Му) данная гипотеза рассматривается как сложное событие, состоящее в совместном выполнении элементарных событий. Эти элементарные события, как было показано выше, описываются относительной частотой аварий на объекте А,Л и вероятностями P(di) и P(/z,) соответствующих параметров сценария d и h.
При наличии на объекте нескольких технологических блоков, различающихся спецификой сценариев возникновения и развития аварии, величина А,Л распределяется между блоками на основе дерева событий.
Так как параметры сценариев являются случайными величинами, то они характеризуются соответствующими вероятностными распределениями. Исходя из данных о ретроспективной информации по отказам оборудования на конкретном химически опасном объекте, в качестве стандартных распределений вероятностей условного диаметра аварийного отверстия d и высоты аварийного отверстия h, использовались соответственно распределение Вейбулла и показательное распределение, рис. 2.3.
Распределение вероятностей масштабных смесях нормальных законов
Рассмотрим распределения вероятностей специального вида -масштабных смесях нормальных законов. Такие распределения имеют вид: где Y - неотрицательная случайная величина, і Ф(х)= \ф{и)с1и, ф{х)- і ехр f х V 2У ,xeR. Им соответствуют плотности вида: л ЕМт )ЧтА7, Y KYJ іу УУ) В частности, если Y — дискретная случайная величина, принимающая положительные значенияyuyi-,..., то: Щ \ = Р(Г = уку! и 1 = х\ „/т, J х\ „1 ,(х\ P(Y = yt) J х\ -Ф Ук к=\ У к -! Ук Несложно убедиться, что если X и Y — независимые случайные величины, причем X имеет стандартное нормальное распределение, а случайная величина Y неотрицательна, то: \sk ; Еф(±уР{Х.Г х).
В данной работе были рассмотрены масштабные смеси нормальных законов только с нулевым средним. На то есть несколько причин. Во-первых, условия сходимости к масштабным смесям распределений с ненулевым средним можно получить с помощью простого переобозначения. Во-вторых, такие распределения имеют широкое применение в физике, метрологии и финансовой математике. В-третьих, класс масштабных смесей нормальных законов с нулевым средним весьма богат и содержит, в частности, распределения Лапласа (двойное показательное), Коши, Стьюдента, симметричные строго устойчивые законы (см., например, [23], теорема 3.3.1)), а также, многие симметризованные распределения, в частности, симметризованное гамма-распределение.
Понятие островершинности распределения можно определять по-разному. К примеру, в прикладных исследованиях в качестве численной характеристики островершинности часто рассматривается коэффициент эксцесса se(Z), который для случайной величины Z с EZ со определяется как: as(Z)= Е fZ-EZ JDZ
Если И (Х х)=Ф(х), то se(X) = 3. Плотности с более острыми вершинами (и, соответственно, более тяжелыми хвостами), чем у нормальной плотности, имеют аз 3, а для плотностей с менее острой вершиной аз 3. Отсюда понятно, что смеси с конечными четвертыми моментами всегда являются более островершинными и, следовательно, имеют более тяжелые хвосты, нежели нормальный закон, если в качестве характеристики островершинности рассматривается коэффициент эксцесса.
Таким образом, если Х- стандартная нормальная случайная величина, а U — неотрицательная случайная величина с EU" со, независимая от X, то аз (X - л/и) 3 и аз (х Vt7) =3, тогда и только тогда, если U неслучайна.
Понятие «распределения с тяжелыми хвостами», естественно, тесно связанное с понятием островершинности, также можно определить по-разному. В работе [24] предложено вместо «абсолютной» тяжести хвостов распределений вероятности рассматривать «относительную», сравнивая вероятности больших уклонений. Следуя этому подходу и используя неравенство Иенсена, легко получить неравенства, напрямую связывающие хвосты масштабных смесей нормальных законов с хвостами самого нормального распределения.
Пусть, как и ранее, X — стандартная нормальная случайная величина, а U — неотрицательная случайная величина, независимая от X. Плотность случай ной величины Z =(х-л1и\ (всегда существующую, симметричную и одновер шинную) обозначим pz(x). Легко видеть, что для х 0. Известно, что для х 0 справедливо неравенство P(Z x) \- P (JuxP: (0)). Кроме того, если случайная величина U удовлетворяет условию нормировки ЕЛт = 1, то выполняется неравенство Р(2 х) 1-Ф(х). Отсюда вытекает, что если то для любого х 0, Wx-Vt/p ) (1 15: ), то есть масштабные смеси нормальных законов всегда имеют более тяжелые хвосты, нежели само нормальное распределение.
Статистический метод количественной оценки интенсивности негативного события на примере провала
Размеры ущерба, или стоимостного риска, в каждом конкретном случае зависят, с одной стороны, от интенсивности негативного события (объем и скорость перемещения масс, пород, снега, воды, объем выброса, разлива, зоны поражения и т.д.), а с другой от уязвимости поражаемого объекта. Под уязвимостью поражаемого объекта понимается степень возможных потерь объекта или его отдельных элементов (люди, здания, дороги, угодья, флора, фауна и т.д.), обусловленных действием на него поражающих факторов определенной интенсивности.
Количественная оценка устойчивости территорий в отношении провалов, как известно, проводится по целому ряду показателей [39]. Однако основным среди них является интенсивность провалообразования -среднегодовое количество карстовых провалов, отнесенное к единице площади.
Точность его определения играет первостепенную роль в оценке надежности территории для строительства, т.е. в оценке вероятности того, что в течение определенного заданного времени эта территория не будет поражена карстовыми провалами диаметрами, превышающими фиксированную величину. Этот показатель представляет собой, как всякая средняя, случайную величину, и должен быть охарактеризован через свой закон распределения. Оценка этого закона может быть проведена на основании регистрации периодичности провалов, т.е. промежутков времени, через которые на площади 1 квадратный километр появляется один провал. Для решения этой задачи строится гистограмма распределения этих интервалов, которая затем аппроксимируется подходящим аналитическим законом, параметры которого определяются, например, методом максимального правдоподобия. При этом средняя периодичность провалов вычисляется как математическое ожидание длины интервалов, а среднегодовое количество карстовых провалов - как обратная ей величина. Однако этот простой алгоритм нуждается в серьезном теоретическом обосновании, поскольку гистограмма будет использована корректно, если допустить, что интервалы между провалами являются статистически независимыми и представляют собой реализации одинаково распределенных случайных величин.
Рассмотрим статистический метод оценки степени достоверности этого допущения на основе имеющихся эмпирических данных. Эта задача может быть переформулирована как задача оценки взаимосвязи временных потоков провалов (как событий на временной оси) от двух расчетных участков. Потребуем выполнения следующего условия — в распоряжении исследователя имеются синхронные записи потоков провалов каждого отдельно взятого участка и двух вместе. Пусть это условие выполнено.
Обозначим через Х\ первый поток провалов, а через Х2 - второй. Предположим, что Х\ и Х2 - потоки восстановления, т. е. выполнены следующие допущения: 1) случайные величины х\, х2, ... (интервалы между провалами) независимы; 2) функции распределения величин х2, х3, ... одинаковы, т. е. P(xk t)=F(t) для к = 2, 3, 4, ... Заметим, что функция распределения F\(t)=P(x\ і) не обязана быть равной функциям распределения остальных интервалов, т. е. F\(t) Ф F{f). Функцию F(t) называют функцией распределения потока восстановления. Для нахождения функции распределения первого интервала стационарного ординарного потока восстановления используем следующее утверждение.
Утверждение 4.1. Пусть X - стационарный и ординарный поток восстановления. Пусть F{f) - функция распределения потока, a F\{t) — функция распределения первого интервала, т. е. F\{t)=P(x\ t). Пусть ju - среднее время между событиями потока восстановления. Тогда: F,{t) = -){\-F{e))d. № о
Будем называть два потока X и Y независимыми, если независимы случайные величины х\,х2, хз ..., у\, у2, Уз Здесь X\jc2, з длины интервалов потока X, у\, у2, Уз-- - длины интервалов потока Y. Далее, пусть X и Y - два потока. Снесем моменты появления событий потоков X и Y на одну ось, как показано на рис. 4.1. Поток Z, соответствующий полученной последовательности провалов, будем называть объединением (наложением), или суперпозицией потоков Xи Y. Справедливо утверждение 4.2.
Утверждение 4.2. Пусть X и Y - независимые стационарные ординарные потоки восстановления. Пусть F\m и F\ - функции распределения первого интервала времени для потоков X и Y соответственно, a FxFy — функция распределения объединения потоков X и Y. Тогда: (Fx0Fy)(/)= F,т + Fx{) - FxwFxiY). Пусть Z — объединение потоков Х\ и Х2. Обозначим через Fz функцию распределения потока Z. Допустим, что потоки Х\ и Х2 независимы. Тогда, как следует из утверждения 4.2, можно найти функцию распределения объединенного потока при условии независимости, т. е. Fx Fx , зная деления Fx и Fx потоков Х\ и Х2. Обозначим через FXi Fx полученную таким образом функцию. Понятно, что если функция Fz равна Fx Ф Fx , то гипотезу о независимости потоков Х\ и Х2 не следует отвергать. Следовательно, алгоритм оценки взаимной независимости потоков сводится к проверке следующей основной гипотезы Н.
