Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Анализ автоматизированных методов проектирования оболочек сильфонного типа, па примере медицинских эндоскопов 10
1.1. Анализ технических решений механических систем эндоскопов по патентным источникам 10
1.2. Анализ автоматизированных методов проектирования оболочек сильфонного типа 19
1.2.1. Метод конечных разностей 19
1.2.2. Метод коллокаций и метод наименьших квадратов 23
1.2.3. Методы численного интегрирования дифференциальных уравнений краевой задачи 25
1.2.4. Метод граничных элементов 29
1.2.5. Метод конечных элементов 32
1.3. Постановка задачи автоматизированного проектирования оболочек сильфонного типа 36
Глава 2. Математические модели и алгоритмы расчета оболочек сильфонного типа 39
2.1. Анализ существующих расчетных моделей упругих чувствительных элементов 39
2.1.1. Эластики Эйлера и семейство упругих кривых Е.П. Попова в теории изгиба упругих стержней 39
2.1.2. Математический маятник Кирхгофа-Лява и модель Бобылева-Жуковского 44
2.1.3. Развитие теории оболочек Кирхгофа-Лява, в моделях Тимошенко СП 53
2.2.Теоретические основы нелинейной теории тонкостенных структур. Подход Лямэ и соотношения Гаусса-Кодацци 60
2.3 Метод конечных элементов для определения перемещений элементов механической системы эндоскопов сильфонного типа 65
2.4 Определение характеристик жесткости на конечно-элементной модели эндоскопа сильфонного типа 80
2.5 Определение деформаций дистальной части эндоскопа 85
Глава 3. Методы и алгоритмы решения проблемы собственных значений при анализе динамики и определении бифуркационных критических нагрузок в задачах устойчивости оболочек сильфонного типа 88
3.1. Использование алгоритма Якоби для решения проблемы собственных значений упругих чувствительных элементов 91
3.2. Использование QR-алгоритма для решения полной проблемы собственных значений упругих чувствительных элементов 92
3.3. Использование метода Релея-Ритца для решения проблемы собственных значений упругих чувствительных элементов. Чебышевское полиномиальное ускорение 93
3.4. Использование различных итерационных методов для анализа проблемы собственных значений упругих чувствительных элементов 95
3.5. Использование метода Ланцоша для решения проблемы собственных значений упругих чувствительных элементов 97
3.6. Разработка математических моделей для нового метода частотного исследования упругих чувствительных элементов 99
3.6.1. Разработка математических моделей оболочечных упругих чувствительных элементов при кривошипном или центробежном механизмах возбуждения их колебательных контуров 99
3.6.1.1. Математическая модель расчета сильфона при кривошипно-шатун-ном механизме возбуждения колебательного контура 99
3.6.1.2. Математическая модель расчета сильфона при центробежном возбуждении колебательного контура 103
3.6.2. Матрично-топологическая модель гофрированных осесимметричных оболочек вращения 106
Глава 4. Методы и алгоритмы проектирования математического и программного обеспечения 113
4.1. Разработка критериев качества математического моделирования оболочек сильфонного типа 113
4.2. Разработка алгоритма автоматизированного проектирования математического обеспечения 120
4.3. Организация и структура программного комплекса 124
4.4. Организация и структура пакетов прикладных программ 129
Заключение 133
Список литературы
- Анализ автоматизированных методов проектирования оболочек сильфонного типа
- Эластики Эйлера и семейство упругих кривых Е.П. Попова в теории изгиба упругих стержней
- Использование QR-алгоритма для решения полной проблемы собственных значений упругих чувствительных элементов
- Разработка алгоритма автоматизированного проектирования математического обеспечения
Анализ автоматизированных методов проектирования оболочек сильфонного типа
Быстрое развитие вычислительной техники и методов численного анализа проектируемых конструкций позволило в значительной степени ослабить зависимость между уровнем сложности создаваемых конструкций и неизбежным элементом неполноты анализа на стадии проектирования. В то же время, по мере накопления опыта создания многоуровневых программных комплексов, пришло понимание того обстоятельства, что успешная промышленная эксплуатация таких комплексов может быть обеспечена только при условии их ориентации на сравнительно узкие классы конструктивных вариантов. Также стало ясно, что среди используемых численных методов решения инженерных задач ни один метод сам по себе не позволяет в общем случае обеспечить создание "идеальных" алгоритмов расчета сложных конструкций. Поэтому дальнейшую работу в этом направлении целесообразно строить с учетом возможности рационального объединения в одном алгоритме различных методов численного анализ для усиления преимуществ и компенсации слабых сторон каждого метода. Ниже приведен краткий обзор наиболее популярных численных методов решения инженерных задач и некоторых вариантов гибридных алгоритмов расчета сложных структур.
Метод конечных разностей (МКР) является одним из наиболее популярных и доступных методов расчета технических структур. В его основу положена идея замены системы дифференциальных операторов континуальной краевой задачи их разностными аналогами. Подробное преобразование позволяет перейти от процедуры решения сложных систем диффе ренциальных уравнений к решению систем алгебраических уравнений на основе подробно разработанного аппарата линейной алгебры.
Разностные аналоги производных более высоких порядков и односторонние производные для формулировки граничных условий задачи строятся по идентичной схеме [50].
Отметим возможность построения разностных аналогов повышенной точности с использованием интерполяционных формул Стирлинга, Ньютона, Тейлора и т.п. В тех случаях, когда использование прямоугольных сеток нерационально, широко используются треугольные сетки. В общем случае шаг узлов может быть как постоянным, так и переменным [33].
В настоящее время в основном развиваются два пути реализации метода конечных разностей. Первый, традиционный, сводится на первом этапе к формированию системы скалярных дифференциальных уравнений, описывающих поведение исследуемого объекта, с последующей их дискретизацией на втором этапе. Второе направление предполагает дискретизацию уравнений равновесия непосредственно в векторной форме с последующим решением системы для скалярных разностных аналогов. Отмечено, что в последнем случае имеет место более высокая скорость сходимости решений при уменьшении шага сетки за счет повышенной точности учета смещения ячеек сетки как жесткого целого.
В целом МКР показал себя эффективным средством решения широкого круга задач механики. Метод может быть эффективно использован для анализа деформирования конструкций в задачах устойчивости и динамики пластинчато-оболочечных систем. С использованием МКР разработан широкий круг алгоритмов расчета конструкций [9,33]. Эффективность метода снижается при расчете сложных многоуровневых структур, что связано с трудностью формулировки условий совместной работы элементов конструкции и высоким порядком разрешающих систем уравнений.
МКР имеет численный характер и позволяет определять значения искомых функций в узлах сетки. В то же время идея представления области сетками различной формы оказалась достаточно удобной для построения приближенных аналитических решений краевых задач. Среди сеточных методов такого типа наиболее популярным являются метод коллокаций и метод наименьших квадратов (МНК).
Эластики Эйлера и семейство упругих кривых Е.П. Попова в теории изгиба упругих стержней
Родоначальником теории упругих кривых является Д. Бернулли, который первым вывел дифференциальное уравнение поперечных колебаний призматического бруса. Интегрирование этого уравнения было выполнено Эйлером. Пользуясь вариационным исчислением, Эйлер получил дифференциальное уравнение упругой линии - эластики - для малых и значительных прогибов.
Эйлер исследовал разнообразные случаи изгиба стержней и классифицировал соответствующие упругие линии по величине угла, образуемого направлением силы и касательной к упругой линии в точке приложения нагрузки [74]. Однако он ограничивался случаем малых перемещений. Эйлер первым записал уравнение оси стержня в том самом виде, в каком оно применяется в настоящее время.
Все методы расчета стержней зависят от величины перемещений, которые они получают при работе. Если перемещения малы по сравнению с размерами, то УЧЭ рассчитывают по линейной теории изгиба стержней, в основе которой лежат дифференциальные уравнения эластик Эйлера и полученные им уравнения прогибов в алгебраической форме. Для больших перемещений используют нелинейную теорию, наиболее полно разработанную Е. П. Поповым [66].
Рассмотрим соотношение между изгибающим моментом М и кривизной оси стержня Лг при малых перемещениях. Это соотношение является основной зависимостью теории изгиба стержней и представляется уравнением [5]: Ах = (2.1) В где B=EJX - изгибная жесткость стержня; Е - модуль упругости материала; Jx - момент инерции поперечного сечения относительно нейтральной осих.
Плоская пружина малого поперечного сечения при изгибе может получать перемещения, которые могут оставаться малыми и упругими, если толщина пружины достаточно мала [65]: f є =— Ах є„ мах п у где єу - наибольшая деформация в упругом элементе; Етах - деформация, соответствующая пределу упругости материала; ft - толщина пружины; Ах - изменение кривизны оси. В этом случае расчет УЧЭ можно вести по линейной теории.
При больших перемещениях, когда направление действия сил и место их приложения существенно изменяются, используется нелинейная теория изгиба. Общий метод решения задач об упругом изгибе стержня в больших перемещениях разработан Е. П. Поповым. Дальнейшее развитие эта теория получила в работе [31], где дано численное решение на ЭВМ задачи о больших перемещениях гибких стержней постоянного сечения.
Е. П. Попов осуществил вывод уравнения упругой линии гибкого стержня основного класса. К основному классу относят системы, имеющие следующие ограничения: - стержень нагружается только по концам сосредоточенными силами и моментами; - начальная форма стержня постоянна по длине; - жесткость стержня постоянна по длине.
К основному классу можно привести стержень, каждый участок которого находится в условиях основного класса. Если, например, стержень нагружен сосредоточенными силами и моментами в промежуточных точках, а также если начальная кривизна или поперечное сечение стержня изменяются ступенчато. При решение задач изгиба стержней, сводящихся к основному классу, каждый участок рассматривают как отдельный стержень основного класса, а на границах участки связывают силовыми и геометрическими условиями.
Таким образом, основной класс, включая те случаи, которые могут быть сведены к основному классу, весьма обширен и охватывает большинство практических случаев изгиба стержней.
Решение задач изгиба стержней, не сводящихся к основному классу, дано в работе [59]. К ним относятся задачи изгиба стержней плавно изменяющейся кривизны или жесткости, или нагруженных распределенными силами. При решении этих задач стержень разбивают на множество малых участков, каждый из которых находится в условиях основного класса.
Использование QR-алгоритма для решения полной проблемы собственных значений упругих чувствительных элементов
Этот алгоритм является весьма эффективным средством решения стандартной проблемы собственных значений [68,71]. При его приложении к решению обобщённой проблемы собственных значений на первом шаге требуется выполнить её преобразование к стандартной форме (3.8). Алгоритм состоит из трёх последовательных процедур: 1) привидения матрицы [К] к трёхдиагональному виду с помощью двойного приведения к форме Хессенберга; 2) вычисления всех собственных значений с помощью QR-преобразования; 3) вычисление собственных векторов трёхдиагональной матрицы с помощью обратных итераций и перехода от них к собственным векторам исходной матрицы [К].
Основные преимущества алгоритма связаны с привидением исходной матрицы за конечное число вращений к трёхдиагональной форме, что позволяет экономично вычислить собственные значения с помощью QR-ите-рационных преобразований. Алгоритм обеспечивает также определение необходимого числа собственных векторов. Собственные числа задачи: [K]{U}=MM]{U} (3.9) являются корнями характеристического полинома: Щ) = det ([К] - [М]). (3.10)
Приведение матрицы [К] к верхней треугольной форме выполняется с помощью якобиевых матриц вращения. Преобразование собственных векторов трёхдиагональной матрицы {vj/i} в собственные векторы {ф } исходной матрицы [К] для УЧЭ произво дится по формуле: {фі} = [Рі][Р2]... [Рп-2]{ \/І } (3.12)
Рассмотрим применение метода Релея-Ритца к задаче (3.9). Согласно этому принципу: Xi = minp({U}), (3.12) где минимум определяется по возможным векторам {U}, a p{U} является отношением Релея: P({U})={U}TT[K3(U}. (3.13) MU " {U}T[M]{U} v } В зависимости от выбора вектора {U} величина p({U}) может варьироваться в диапазоне: 0 i p({U}) Xn oo. Воспользуемся далее методом Ритца, представив вектор как линейную комбинацию базисных векторов {vj/}i (і = 1,2, ...,q): {и} = 1 хЛИь (3.14) і- 1 где xj — координаты Ритца.
Аппроксимация Ритца (3.13) позволяет на основе принципа минимальности p({U}) построить вектор {U}, наилучшим образом аппроксимирующий соответственный вектор. Решение уравнения (3.17) позволяет определить q приближённых значений Pi... pq собственных чисел \... \ искомой задачи, а также собственные векторы xi: {x}?=[xjxi...xi] (і =l,2,...,q), (3.18) которые позволяют определить приближения к искомым собственным векторам по формуле: {%=&№; 0=1,2,...,0). (3.19)
Вычисленные собственные значения (3.17) всегда дают повышенные значения собственных чисел Х{ для исходной задачи (3.9)., т.е. Х1 Р1Л2 Р2; -ІК Р К- (3.20) Применение процедуры Релея-Ритца в каждом итерационном цикле достаточно трудоёмко, и представляет интерес между каждым её применением выполнение нескольких шагов метода итераций. Итерационную процедуру можно записать как: Mk+j = [G]Mk+J- , (3.23) где[0] = [АГ1.
Формулировка (3.23) позволяет применять различные формы полиномиального ускорения, в первую очередь чебышевское полиномиальное ускорение [33].
Основной целью метода итераций в подпространстве является одновременное вычисление р наименьших собственных значений и соответствующих собственных векторов для проблемы (3.9), удовлетворяющих соотношению: [К][Ф] = [М][Ф]Гл] (3.24) где Г Л J — диагональная матрица собственных значений, Г Л J = diag (Х{) (і = 1,2, ...,р); [ ]=[{U}i{Uh...{U P]. При этом собственные векторы должны удовлетворять условиям ортогональности: [Ф]т1К][Ф] = Гл_; [Ф]Т[М][Ф]=ГЕ_, (3.25)
В основу метода положено последовательное использование различных алгоритмов, в частности алгоритм Релея-Ритца, свойства последовательности Штурма.
Эффективность метода определяется тем фактором, что общее число итераций до достижения требуемой точности зависит не от близости самих итерируемых векторов к собственным, а от близости q-мерного пространства итерируемых векторов к подпространству собственных векторов.
В общем случае при условии выбора q = min {2р, р + 8} и рациональном выборе начальных векторов [\/](0) алгоритм итераций в подпространстве обеспечивает определение наибольшего собственного значения Хр с точностью до шести значащих цифр примерно за девять -десять итераций.
Разработка алгоритма автоматизированного проектирования математического обеспечения
Производится также расчет по другим критериям, перечисленным выше. Результаты расчета, характеризующие точность выбранной структуры модели и качество выбранного метода расчета, заносятся в специально отведенную для этого область базы данных на диске - каталог моделей.
Далее система автоматически или проектировщик в диалоге выбирает другой метод расчета, не изменяя структуру модели, и исследование повторяется, формируется новый набор критериев качества: квадратичный, время сходимости метода, время расчета и другие. Эта информация также заносится в базу данных. Так производится расчет синтезированной модели всеми или некоторыми на выбор методами, имеющимися в банке алгоритмов.
Далее производится очередная процедура структурного синтеза: какой-либо параметр модели (Ncp, В, добавление новых факторов) изменяется (автоматически или в диалоге) и параметрический синтез при новой структуре модели проводится заново различными методами. Эта последовательность действий повторяется с последовательным перебором значений Ncp, В и т.д. так долго, как позволяют ресурсы ЭВМ, пока все возможные комбинации не будут проанализированы, либо проектировщик принимает решение о прекращении исследований, заканчивая тем самым формирование множества альтернатив X. На жестком диске в БД к концу работы системы формируется набор логических записей, содержащих: - номер исследования по порядку; - структурные характеристики модели; - оценки параметров модели; - набор вычисленных значений критериев качества, наиболее значимым из которых является суммарный квадратичный критерий.
Проектировщик может распечатать этот набор, проанализировать и принять окончательное решение о структуре модели, наиболее близко описывающей исследуемую оболочку, о параметрах модели и методе их оценки. Эту функцию может выполнить система в автоматическом режиме. В этом случае проектировщик только задает веса критериев, формирующих функционал качества, а ПК производит анализ результатов сам. Таким образом, получены результаты моделирования оболочки сильфонного типа в виде модели.
При синтезе оболочки сильфонного типа изложенная методика многокритериальной оптимизации работает аналогично. Основным критерием качества здесь также является суммарный квадратичный критерий. Кроме него, могут использоваться объем ОП, занимаемый алгоритмом и т.п.
Результаты расчета заносятся в базу данных. По окончании работы системы проектировщик анализирует результаты расчета и принимает решение о выборе окончательной структуры МО, а именно: - структура математической модели ; - метод расчета параметров модели; - начальные значения параметров.
На заключительном этапе по результатам работы ПК синтезируется программное обеспечение из библиотеки объектных модулей, содержащей: - головная часть в общем виде (конкретные значения задаются в диалоге с оператором), включающая функции сбора и предварительной обработки информации; - методы расчета оболочек сильфонного типа. Организация и структура программного комплекса При разработке ПК основное внимание уделялось удовлетворению следующих требований: - подробное и оперативное отображение процесса проектирования на экране дисплея и печатающем устройстве; - информационная связность по данным пакетов прикладных программ, функционирующих в составе ПК; - рациональное распределение функций между ПК и проектиров щиком; - модульность при разработке программных средств; - возможность дальнейшего наращивания и модификации кмплекса. На базе математического аппарата глав 1, 2 и 3 с учетом приведенных требований, в данной работе разработана интегрированная программная система автоматизированного проектирования оболочек сильфонного типа. ПК состоит из следующих пакетов прикладных программ (ППП): - VID - ввод исходных параметров, предварительная обработка данных, ввод критериев оптимизации, организация БД на диске; - SAM - анализ и синтез ММ оболочек сильфонного типа; - SS - синтез и исследование оболочки - MMZ - моделирование положения каждого звена управляемой оболочки.
Ввод исходных данных осуществляется ППП VID в диалоговом режиме. Данный ППП позволяет определить особенности каждой ММ и с учетом этого выдать рекомендации проектировщику.
Далее используется ППП SAM, в котором содержится банк ММ, позволяющий с большей достоверностью определять математическое описание оболочек сильфонного типа. Синтез модели производится исходя из условий оптимизации. ППП работает в диалоговом либо в автомати ческом режимах. Результатом работы ППП является ММ, удовлетворяющая критериям качества и наиболее близко описывающая исследуемую оболочку. Кроме того, выдаются рекомендации для проектировщика о затратах времени и машинных ресурсов на решение задачи расчета тем или иным методом.
