Содержание к диссертации
Введение
Глава І. Обзор и анализ основных методов машинного модели рования больших эквивалентных электрических схем 17
1.1. Большие электрические схемы и основные задачи их машинного моделирования 17
1.2. Обзор и анализ основных методов машинного моделирования, использующих разреженность матриц цепей , 21
1.3. Обзор и анализ диакоптических методов 28
1.4- Обзор и анализ методов макромоделирования эквивалентных электрических схем 32
1 5. Постановка задачи 46
Глава 2. Разработка численных методов и алгоритмов макромоделирования линейных схем, определения по макромодели частотных свойств схемы 49
2.1.. Теоретические аспекты построения макромодели 50
2.2. Организация вычислений макромодели 60
2.3- Вычисление по макромодели частотных характеристик схемы их функций чувствительности - 72
2.4. Определение по макромодели устойчивости, собственных частот схемы и их параметрической чувствительности 78
2.5, Определение по макромодели нулей и полюсов системных функций 39
2.6- Выводы по главе 92
Глава 3. Разработка методов вычисления по макромодели динами ческих характеристик линейной схемы 94
3-1. Анализ использования макромодели для вычисления динамических характеристик 95
3-2. Численно-аналитический метод определения динамических характеристик на основе полиномиальной аппроксимации входных сигналов 99
3.3 Численно-аналитический метод определения динамических характеристик на основе представления входных
сигналов рядами Фурье 110
3-4- Выводы по главе 116
Глава 4. Разработка методов снижения трудоемкости процесса макромоделирования и вычисления по макромодели выходных характеристик схемы 117
4-1 - Снижение размерности макромодели за счет расширения координатного базиса 118
4-2- Снижение трудоемкости вычислений за счет настройки макромодели на диапазон расчетавыходных характеристик схемы 131
4.3. Повышение экономичности макромодели за счет снижения ее точности 137
4.4. Построение макромодели с учетом разреженности и струюуры матрицы модели.-,, 140
4.5. Выводы по главе 148
Глава 5. Разработка системы моделирования, макромоделирования, анализа и оптимизации линейных эквивалентных электрических схем в рамках диалоговой оболочки 150
5.1. Архитектура и основные принципы создания системы І 50
5.2. Лингвистическое обеспечение и средства лингвистического обеспечения 160
53, Основные проблемно-ориентированные подсистемы 174
5.4. Выводы по главе І 77
Общие выводы по диссертации 178
Список используемой литературы
- Большие электрические схемы и основные задачи их машинного моделирования
- Вычисление по макромодели частотных характеристик схемы их функций чувствительности
- Численно-аналитический метод определения динамических характеристик на основе полиномиальной аппроксимации входных сигналов
- Снижение размерности макромодели за счет расширения координатного базиса
Введение к работе
Актуальность избранной темы. Практика проектировани современной радио- и микроэлектронной аппаратуры (РЭА, МЭА), особенно бортовой* сталкивается с обусловленными рядом факторов серьезными трудностями, основными из которых являются:
повышение требований к показателям функционирования и надежности при ужесточении условий эксплуатации;
уменьшение массы и габаритов аппаратуры при увеличении количества и повышении сложности решаемых ею задач;
постоянное сокращение сроков морального старения» сопровождающееся непрерывным уменьшением времени циклов " проектирование - изготовление - испытания " при росте их стоимости и трудоемкости.
Тенденция развития бортовой РЭА такова, что каждые 10 - 15 лет количество выполняемых ею функций возрастает в 2 - 3 раза [1,2], а количество содержащихся в ней электрорадиоэлементов (ЭРЭ) еще в конце 70-х годов достигало значений 104 — 106. Сроки проектирования и морального старения аппаратуры были примерно равны еще в середине 80-х
годов [3], с тех пор положение не улучшилось.
Проектирование аппаратуры 5-6 поколений в настоящее время возможно только с использованием средств САПР. Это подтверждается динамикой развития САПР в США и странах Западной Европы. По оценкам различных источников [4] на начало 80-х годов более 500 ведущих фирм Запада активно использовали САПР- Капиталовложения в технические и программные средства САПР в США росли в эти годы на 60-70% ежегодно, на 30-40% в Японии, на 20-30% в странах Западной Европы, Продажа продукта САПР на рынках США за 1980 год выросла на 88% и составила в
1981 году 800 миллионов долларов- В 1986 году эта цифра составила 6 миллиардов долларов- Сумма продукта САПР на рынках стран Западной Европы составила в 1981 году около 300 миллионов долларов, в 1990 году -около 3 миллиардов долларов. Согласно [5] в США в 1981 году действовало лишь 1620 САПР в области электротехники и электроники. В 1990 году ожидался рост их количества до 15000, а в 1995 году - до 45000.
Принимая во внимание сказанное выше и тот факт, что этап моделирования, анализа и оптимизации по прежнему занимает едва ли не ведущее место в процессе автоматизированного проектиаования, можно сделать вывод о необходимости резкого снижения трудоемкости и длительности этого этапа. В полной мере это относится к анализу и оптимизации эквивалентных электрических схем, в том числе линейных и линеаризованных, моделирующих протекание в аппаратуре разнородных физических процессов. Эквивалентные схемы формируются в результате замены в электрических и электронных принципиальных схемах активных элементов и интегральных микросхем (ИМС) соответствующими схемами замещения, либо строятся на основе искусственных аналогий (электротепловой, электромеханической, электроакустической и т.д.). Количество уравнений в моделях таких схем может изменяться от десятков до десятков тысяч-Проблеме формирования эквивалентных электрических схем посвящены многочисленные исследования, из которых отметим лишь [6,7,8,9,10,11 ].
Снижение трудоемкости процесса анализа схем базируется на использовании [12,13,14,15]:
структуры и разреженности матриц цепей;
декомпозиционного подхода к моделированию и анализу (диакоп-тики);
макромоделирования.
В первой главе данной работы для мотивированной постановки задачи, проведен обзор и анализ методов, реализующих указаные выше подходы- Наряду с достоинствами первых двух подходов, отмечаются и их серьезные недостатки, основным из которых является их сильная зависимость от особенностей объекта моделирования (степени разреженности матриц, их симметричности и положительной определенности, возможности разбиения схемы на слабо связанные между собой подсхемы и тд-), которых в общем случае может и не быть.
Целью макромоделирования является резкое снижение размерности решаемой задачи за счет перехода (редукции) от модели из N уравнений к макромодели (модели из m « N уравнений), отражающей только соотношения "вход - выход". Макромодель может использоваться либо как элемент модели более высокого иерархического уровня, либо для оптимизации схемы (если в макромодель включены явным образом ее варьируемые параметры). В любом случае при m « N может быть достигнуто огромное сокращение как вычислительных затрат, так и памяти ЭВМ.
Несмотря на огромный эффект, который может быть получен от их применения, методы макромоделирования не развиты в достаточной для практики автоматизированного проектирования, мере. Это справедливо не только для нелинейных, но и для линейных и линеаризованных эквивалентных схем. Указанные методы слабо формализованы, обладают достаточно низкой точностью и не позволяют в комплексе решать задачи построения макромоделей, пригодных как для иерархического проектирования, так и для оптимизации схем путем вычисления по макромоделям частотных и динамических характеристик, запаса устойчивости, собственных резонансных частот, нулей и полюсов системных функций, функций чувствительности (ФЧ) перечисленных резульватов анализа к вариациям внутренних параметров схемы- Сказанное подтверждает цитата из учебника
по автоматизации схемотехнического проектирования В.Н, Ильина [16J: "Автоматизация процесса редукции представляется затруднительной, однако ее осуществление могло бы стать одной из эффективных процедур создания наиболее точных макромоделей для САПР".
Таким образом, тема диссертационной работы, посвященной разработке и исследованию методов построения и анализа макромоделей линей-ных эквивалентных электрических схем, является актуальной.
Цель и задачи работы , Целью работы является создание и исследование базирующихся на макромоделировании математических и программных средств, обеспечивающих резкое сокращение сроков и повышение качества автоматизированного проектирования объектов, описываемых эквивалентными электрическими схемами.
Достижение указанной цели предполагает решение следующих задач.
Разработка эффективных численных методов и алгоритмов построения макромоделей линейных эквивалентных электрических схем. По макромо-дели без потери точности должны проводиться такие же расчеты, что и по модели, но с увеличенной на 1 -3 порядка скоростью (если количество вклю ченных в макромодель варьируемых параметров схемы мало по сравнению с количеством уравнений модели).
Разработка численных методов определения по макромодели частотных характеристик схемы и их ФЧ.
Разработка численных методов определения по макромодели динамических характеристик схемы.
Разработка численных методов определения по макромодели корней детерминантного уравнения матрицы цепи и ее алгебраических дополнений, трактуемых как собственные частоты схемы, нули и полюсы систем-
ных функций, информация об устойчивости и инерционных свойствах схемы, разработка методов вычисления соответствующих ФЧ.
Разработка и исследование программных средств, реализующих указанные выше численные методы и алгоритмы-Методы исследования. При выполнении работы в качестве математического аппарата использовалась теория матриц (теория пучков и спектральных задач), теория систем обьшновенных дифференциальных уравнений, теория цепей, теория чувствительности, методы декомпозиции, современные методы прикладной и вычислительной математики-
Научные результаты- К основным научным результатам, полученным лично автором, включенным в диссертацию и представляемым к защите,
ОТНОСЯТСЯ.
К Численные методы построения макромоделей линейной эквивалентной электрической схемы, позволяющие включать в состав макромодели варьируемые параметры схемы и основанный на обращении в аналитическом виде полиномиальных матриц как первой, так и второй степени.
2- Численные методы определения по макромодели динамических характеристик схемы, вычисляемых в виде одного или нескольких аналитических выражении при представлении входных сигналов полиномами или рядами Фурье ,
3. Предназначенный для макромоделирования координатный базис
модели, позволяющий строить макромодели, сочетающие экономичность с
большим (исходя из размерности макромодели) количеством варьируемых
параметров схемы.
4, Численный метод определения по макромодели частотных харак
теристик схемы» основанный на предварительном сокращении количества
уравнений макромодели в 2 - 3 раза (для последующего уменьшения трудоемкости анализа не менее чем на порядок) путем преобразования бук-венно-числовых матриц операциями Жордана - Гаусса (буквы - варьируемые параметры схемы).
5, Численные методы вычисления по макромодели собственных значений матрицы модели, их вторых и смешанных частных производных по варьируемым параметрам схемы, соответствующих первых частных производных собственных векторов.
Практическая значимость. Практическая значимость результатов работы в автоматизированном проектировании проявляется в следующих аспектах:
в облегчении реализации блочно-иерархического процесса проектирования, поскольку макромодель может рассматриваться как элемент модели более высокого иерархического уровня;
в построении эффективной и экономичной элементной и конструктивной базы проектирования путем формализованного преобразования стандартных моделей большой размерности в макромодели;
- в резком сокращении трудоемкости процессов многовариантного анализа и оптимизации линейных эквивалентных электрических схем на основе многократного вычисления в процессе оптимизации выходных характеристик по макромодели (размерности тп), а не по модели (размерности N » т). Время построения макромодели при N = 200 примерно равно времени однократного анализа модели, после чего трудоемкость каждого шага оптимизации в зависимости от величины m/ N сокращается на і - 3 порядка. Это приводит как к повышению качества проектирования (за счет оценки большого количества вариантов), так и к сокращению его сроков.
Если матрицы моделей близки к плотным ( напр., за счет повышения точности моделирования, учета большого количесва паразитных связей и т.д.), применение разработанных методов особенно эффективно, поскольку они не зависят от структуры и разреженности матриц цепей-
Разработанные методы могут использоваться для макромоделирования нелинейных эквивалентных схем, если количество нелинейных элементов в них невелико. В этом случае нелинейные элементы (как и варьируемые параметры) включаются в макромодель явным образом.
Практическая полезность работы проявляется, главным образом, в практике создания САПР путем использования пакетов прикладных программ (ППП), реализующих разработанные численные методы, а также в использовании созданной на их основе диалоговой системы моделирования, макромоделирования, анализа и оптимизации эквивалентных электрических схем. ППП может быть использован и при создании автоматизированных систем обработки данных, реализующих процесс поисковой оптимизации на основе многократного решения систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, решения спектральных задач на пучках маїриц, вычисления квазистатических характеристик при вариациях небольшого количества коэффициентов матриц моделей.
Реализация результатов работы. Результаты диссертационной работы внедрены и нашли практическое применение в МНИТИ (Московском научно-исследовательском телевизионном институте), ИГЭУ (Ивановском государственном энергетическом университете), ГНИИМИСС (Государственном научно-исследовательском институте моделирования и интеллектуализации сложных систем, г, Сант-Петербург), с которыми были заключены соответствующие договора на разработку методов макромоделирования эквивалентных схем- Работа проводилась в рамках межву-
зовской научно-технической программы "Перспективные информационные технологии" по подпрограммам "Информатика" и "Информатизация проектирования", а также в рамках проводимой в МГИЭМ госбюджетной НИР "Анализ и оптимизация эквивалентных электрических схем на основе макромоделирования". Результаты работы используются в учебном процессе МГИЭМ.
Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладьгоались и обсуждались на 14 Всесоюзных, 2-х Межгосударственных и двух Международных конференциях, в том числе на Всесоюзной конференции "Чувствительность электронных и электромеханических устройств" (Москва, І 985 г.), Всесоюзных конференциях 'Теоретические и прикладные вопросы разработки, внедрения и эксгатуавации САПР РЭА" (Одесса, 1984 г., Львов, 1986 г.), Всесоюзных конференциях 'Теория и практика построения интеллектуальных интегрированных САПР РЭА и БИС" (Симферополь, 1987 г., Звенигород, 1989 г.), школе-семинаре по ОИС (Тела-ви, 1988 г.), Всесоюзной конференции "Математическое моделирование и САПР радиоэлектронных систем на ОИС (Суздаль, 1989 г., Москва, 1991), 4-й Всесоюзной школе-семинаре 'Теория и математическое моделирование объемных интегральных схем (ОИС) СВЧ и КВЧ" (Алма-Ата, 1989 г.), Всесоюзной конференции "Проблемы математического моделирования и реализация радиоэлектронных систем СВЧ на ОИС" (Москва, 1987 г.), 5-й Всесоюзной школе-семинаре "Математическое моделирование, САПР и конструкторско-технологическое проектирование ОИС СВЧ и КВЧ диапазонов" (Тула, 1990 г.), 6-й Межгосударственной школе-семинаре 'Техника, теория, математическое моделирование и САПР систем сверхбыстрой обработки информации на ОИС СВЧ и КВЧ" (Москва, 1992 г.), 4-м научно-техническом совещании ученых и специалистов с участием
представителей зарубежных стран "Датчики и преобразователи информации систем измерения, контроля и управления" (Гурзуф, 1992 г.), Всесоюзной школе-семинаре "Актуальные проблемы создания интеллектуальных САПР РЭА и БИС" (Гурзуф, 1986, 1988, 1989 г_), на Международных конференциях "New Computer Technologies in Control Systems" (Control Processes Research Center of Program Systems Institute of Russian Academy of Sciences, Pereslavl-Zalessky, Russia, July 1994, 1995), а также на отчетных конференциях в МГИЭМ (1992, 1993, 1994, 1995 г,) с демонстрацией возможностей разработанного программного обеспечения.
Публикации. Научные и практические результаты диссертационной работы отражены в более чем 50 опубликованных работах.
Структура диссертации- Диссертация состоит из введения, пятиглав, заключения, списка литературы,
В первой главе выделяются класс рассматриваемых в диссертации объектов в виде больших линейных эквивалентных электрических схем и основные задачи их машинного моделирования, проводится обзор и анализ основных методов повышения эффективности методов машинного моделирования (аппарата решения систем линейных алгебраических уравнений с разреженными матрицами, декомпозиционных методов моделирования и анализа, методов макромоделирования). На основе проведенного анализа формулируется постановка задачи диссертационной работы.
Во второй главе приводятся алгоритмы и численные методы формализованного построения макромоделей линейных эквивалентных электрических схем, рассматриваются численные методы определения по макромодели частотных характеристик и корней детерминантных уравнений матрицы схемы и ее алгебраических дополнений- Корни трактуются как
собственные частоты схемы, нули и полюсы системных функций, информация об устойчивости и инерционных свойствах схемы. Рассмотрены методы вычисления по макромоделн первых, вторых и смешанных частных производных указанных выше результатов анализа- Все численные методы снабжены оценками их трудоемкости и рабочего поля.
В третьей главе рассмотрены возможности использования макромодели для вычисления динамических характеристик схемы. Предлагаются два численно-аналитических метода определения по макромодели динамических характеристик в виде одного или нескольких аналитических выражений в зависимости от вида представления входных сигналов. Приводится оценка трудоемкости предлагаемых методов.
В четвертой главе рассматриваются методы, направленные как на снижение трудоемкости процесса построения макромоделей (за счет учета структуры и разреженности матриц цепей и декомпозиционного подхода к формированию модели), так и на снижение трудоемкости вычисления выходных характеристик схемы по макромодели (за счет использования специального координатного базиса и обращения в аналитической форме полиномиальной матрицы второй степени, настройки макромодели на частотный диапазон или снижения ее точности). Приводятся оценки трудоемкости предлагаемых методов.
В пятой главе рассматривается программная реализация предлагаемых численных методов в виде диалоговой системы моделирования, макромоделирования, анализа и оптимизации эквивалентных электрических схем. Описывается архитектура системы и ее компоненты общего назначения (сингаксически-ориентируемый языковый процессор, диалоговый процессор, типовой диалоговый монитор, система языков и сценариев диалога), а также проблемно-ориентированные подсистемы-
Диссертация подготовлена на основе работ» выполненных автором с 1983 года по настоящее время на кафедрах "Радиотехнические устройства и системы", "Системы автоматизации проектирования'\ "Информационные технологии в автоматизированных системах" МГИЭМ.
Большие электрические схемы и основные задачи их машинного моделирования
Непрерывное усложнение радио- и микроэлектронной аппаратуры (РЭА, МЭА), вызываемое необходимостью увеличения и усложнения вы-полнямых ею функций, успехами в области технологии производства, сопровождается постоянным усложнением задач ее проектирования. Так, в современной МЭА количество электрорадиоэлементов (ЭРЭ) достигает значений 105 — 108 [U7], 11то делает невозможным машинное моделирование всей аппаратуры в целом с точностью до отдельного ЭРЭ из-за ограниченных возможностей современных ЭВМ.
Выходом из создавшегося положения является использование блочно-иерархического подхода к проектированию [18,19 ]5 опирающегося как на последовательное иерархическое разбиение сложных задач на подзадачи умеренной сложности, так и на иерархическую систему математических моделей [19,20,21]. Тем не менее, в силу высоких требований к точности моделей и функционально-модульного принципа проектирования, на каждом иерархическом уровне приходится иметь дело с моделями большой размерности, В полной мере это относится к эквивалентным элеетрическим схемам, моделирующим протекание в аппаратуре разнородных физических процессов.
Можно выделить два основных класса моделей, преобразуемых в аналоговые эквивалентные электрические схемы,
К первому классу относятся так называемые модели с сосредоточенными параметрами в виде электрических и электронных принципиальных схем. Они превращаются в эквивалентные схемы после замены в них транзисторов, диодов, интегральных микросхем (ИМС) соответствующими схемами замещения [6,7,22,23]. Количество узлов в таких схемах достигает значений 10 — 104- В этом случае потоковые и потенциальные переменные (фазовые переменные) эквивалентной схемы имеют смысл токов и напряжений.
Ко второму классу относятся модели с распределенными параметрами в виде систем дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического, параболического либо эллиптического типов [9,Ю,П]. Аппроксимация уравнений с использованием методов конечных разностей или конечных элементов [9,24,25] приводит к замене модели с распределенными параметрами моделью с сосредоточенными параметрами в виде больших систем алгебраических либо обыкновенных дифференциальных уравнений (СОДУ)- Такие же системы уравнений могут быть сформированы по эквивалентным схемам, построенным на основе искуственных аналогий [9,10,11, 20,26], например, электротепловой, электромеханической, электроакустической и т- д. Количество узлов в таких схемах достигает значений Ї02 — 105, а фазовые переменные эквивалентной схемы в зависимости от вида моделируемого физического процесса имеют смысл температур, относительных перемещений, разности концентраций примесей в полупроводниках и т.п В практике машинного моделирования схем и конструкций РЭА и МЭА наряду с нелинейными широко используются линейные и линеари зованные эквивалентные электрические схемы- Целью их моделирования и анализа на ЭВМ является определение следующих основных выходных характеристик и параметров: - динамических характеристик; - частотных (квазистатических) характеристик; - нулей и полюсов системных функций; - устойчивости и параметрического запаса устойчивости схемы; - собственных резонансных частот схемы; - параметрической чувствительности выходных характеристик и параметров к изменению варьируемых параметров схемы.
Математические формулировки задач определения перечисленных вьгше характеристик и параметров, которые будут использованы в дальнейшем изложении, запишем для случая» когда модель схемы формируется в расширенном однородном координатном базисе (РОКБ) [27,28]. Выбор РОКБ обусловлен простотой и низкой трудоемкостью формирования модели, отсутствием влияния на моделирование топологических вырождений, отсутствием ограничений на типы зависимых источников, относительно хорошей обусловленностью матриц, большой математической, алгоритмической и программной обеспеченностью данного вида моделей [12,25, 28,29].
Вычисление по макромодели частотных характеристик схемы их функций чувствительности
Достоинством метода Ланкастера является одновременное определение левых и правых собственных векторов, которые могут использоваться для вычисления частных производных собственных значений по коэффициентам матрицы. Недостаток - непригодность метода для уточнения кратных корней в отличие от метода Кублановской В.Н. Рассмотренные методы более пригодны для решения задачи не отделения, а уточнения корней характеристического уравнения на основе соответствующих начальных приближений. Эти методы также, как и метод Мюллера, могут использовать разреженность матриц (см.п.4.4). К методам третьей группы относятся итерационные методы, позволяющие приводить X - матрицы к некоторым специальным формам с помощью преобразований подобия, из которых собственные значения опреде ляются тривиальным образом из блоков не более 2-го порядка. Среди методов можно отметить LZ - и QZ - алгоритмы [152,153], АВ- и W - алгоритмы В.Н. Кублановской [154,155,156,157], непосредственно оперирующие с элементами матрицы W-\X + Wo, а также LR- алгоритм Рутисхаузена и QR - алгоритм Френсиса - Кублановской [158,159] для решения обычной проблемы собственных значений матрицы вида А — ХВ, к которой предварительно приводится матрица W\ X + И/g.
Достоинством LZ - и QZ - алгоритмов является то, что они не требуют решения СЛАУ с многими правыми частями (или обращения матриц И/і,И/о, или W X+ WQ). Недостатком QZ - алгоритма является необходимость хранения двух массивов для (п х п)- матриц W-\ и WQ . Кроме того (с учетом сведения обобщенной проблемы собственных значений к обычной), QZ - алгоритм менее экономичен по числу производимых вычислений по сравнению с QR- алгоритмом и не дает возможность использовать разреженность матриц W\ и И/о Исследование QR - , LR , LZ - и QZ - алгоритмов, проведенное В.Б. Михайловым [149] показало, что из-за большого разброса собственных значений матриц электронных схем, собственные значения определяются с относительной погрешностью Ю-5 — 10 даже при использовании 16 - ти разрядной десятичной мантиссы. Кроме того, LZ - и QZ - алгоритмы требовали 2п вещественных чисел, т. е. в два раза больше чем QR - или LR - алгоритмы при той же точности вычислений.
Принимая во внимание сказанное выше и специфику решаемой задачи, выберем для вычисления собственных значений и векторов матрицы вида W-\X+ Wo два основных метода[160,161,162,163,164]: - отделение корней на основе преобразований подобия (для случая плотных матриц, rangWi. к/7) с последующим итерационным уточнением корней и вычислением собственных векторов); - вычисление собственных значений и векторов интерполяционным методом (для случая плотной матрицы, rengW 0.5л либо для случая, когда матрица W X+ WQ разреженна и (или) имеет специальную структуру (см. главу 4)).
В первом методе для отделения корней выберем QR-алгоритм с предварительным приведением матрицы И/і + WQ К виду АХ Е, где А-вещественная (Г х / )- матрица, Г = ГЭПд\А/-\_. Алгоритм основан на разложении матрицы А в произведение треугольной и унитарной матриц с последующим преобразованием подобия As = QSRS, As = Q%ASQS = RSQS, (2.2.9) где: Q$- унитарная матрица, R$ - правая треугольная, AS) AS+1— преобразованная матрица на S- и (s + 1) - м шаге. В результате матрица А преобразуется к почти треугольному виду. Указанный процесс более эффективен, если матрица А предварительно приведена к верхней форме Хессенберга [159,165] либо к матрице Шварца [166]. В этом случае на каждом шаге требуется 4г мультипликативных операций. Для определения одного собственного значения требуется в среднем 1,7-2 итерации, так что общее число операций общей проблемы примерно составляет 8г мультипликативных операций. Практика вычисления корней детерминантного уравнения цепи выбранным методом с помощью ППП "СПЕКТР" и "Полюс - 1" [167,168], использующего процедуры balance, elmhes, hqr [157] показала, что для вычисления всех корней матрицы узловых проводимостей, имеющей 80 -100 узлов и столько же корней, требовалось 5 минут машинного времени ЕС-1033, а погрешность вычислений не превышала величины 10-8. Исследования, проведенные автором данной работы с помощью созданной им системы машинного моделирования линейных электронных схем (с вырожденными матрицами моделей), использующей аналогичные процедуры [169,170,171,172], подтвердили этот результат.
Численно-аналитический метод определения динамических характеристик на основе полиномиальной аппроксимации входных сигналов
Динамические характеристики линейной или линеаризованной схемы могут бьпъ определены по результатам ее анализа в частотной области на основе известных алгоритмов, В этом смысле разработанные в гааве 2 численные методы построения макромодели и определения по ней частотных свойств схемы могут использоваться в этих алгоритмах, сокращая общую трудоемкость процесса оптимизации схемы во временной области.
Смысл алгоритмов заключается в использовании принципа суперпозиции для определения реакции лишенной начальных запасов энергии линейной цепи на входное воздействие, представленное в виде суммы однотипных стандартных составляощих. В качестве стандартных составляющих выступают единичная функция Хевисайда 0(0 либо дельта-функция Дирака 5(f). Задача сводится к нахождению реакции схемы в виде переходной характеристики h(t) на воздействие 6(f)» либо импульсной характеристики g(t) на воздействие 6(f)- Реакция схемы определяется либо по нулям и полюсам системной функции К(р) = А(р) / В(р) [37,99,166,208] в виде о+/ад где / = V—1 , а 0 и вещественные части корней уравнения detS(p) = О меньше а »либо по вещественной части частотных характеристик [99,166] СО g(t) = / Яе[/С(со )]cos oofoToo (3.1.3) со h(t) -1J Re[K(u )]to 1sin «fete, (3. [ .4) вычисляя интегралы для фиксированных моментов времени, заменив несобственные интегралы собственными с верхней границей йу, определяемой из условия j(ReK(e ))2d/ J(ReK(a ))2da s. ще є - необходимая точность вычислений К недостаткам методов следует отнести сложность их применения в случае большого количества входных сигналов, кратных нулей и полюсов [99], произвольного входного сигнала (т. к. необходимо вычислять интеграл свертки во временной области [166]). Кроме того, замена несобственных интегралов собственными обоснована лишь для низкочастотных схем [37].
Макромодель (2.1.29) можно трактовать как результат сжатия системы из N линейных обыкновенных дифференциальных уравнений (СЛОДУ) І -го порядка в систему из тп дифференциальных уравнений (г+2)-го порядка. Это дает возможность вычислять динамические характеристики схемы по макромодели используя ДТ - метод [105,106]- При использовании неявных ДТ - алгоритмов необходимо [107,108] решать системы алгебраических уравнений размерности m k? где ш- размерность исходной системы дифференциальных уравнений, к - число учитываемых дискрет, характеризующих порядок используемого неявного метода. Кроме того, для анализа макромодели во временной области возможно применение численных методов, ориентированных на дифференциальные уравнения высших порядков [104].
В последнее время со стороны разработчиков математического обеспечения схемотехнического проектирования проявляется все больший интерес к численно-аналитическим методам вычисления динамических характеристик [149,209,210]. Объясняется это тем, что в результате численных экспериментов [211] выявились следующие основные причины, не позволяющие эффективно использовать существующие численные методы: - математические модели схем относятся к классу "сильно жестких"» коэффициент жесткости которых существенно превышает величину 106; - невозможность эффективного разделения спектра собственных колебаний на хорошо изолированные группы быстрых и медленных колебаний; - существующие методы решения жестких систем дифференциальных уравнений не приспособлены для решения систем с расслоенной жесткой компонентой спектра.
Структура аналитического решения систем дифференциальных уравнений исследовалась рядом авторов, например [52,105,127J 49,193,194,195, 198,210,213,214,215,216,217] и известны численно-аналитические методы получения таких решений, в том числе для линейных систем с вырожденными матрицами [211,218,219,220,221,222]. Трудоемкость получения численного решения по аналитическому не будет зависеть от наличия в системе быстро осциллирующих медленно затухающих составляощих в отличие от методов численного интегрирования систем дифференциальных уравнений, где наличие таких составляющих ограничивает величину шага интегрирования. Кроме того, получение решения в аналитическом виде наряду с вычислением динамических характеристик позволяет оценить устойчивость системы по первому методу А.М Ляпунова.
Снижение размерности макромодели за счет расширения координатного базиса
Обеспечение заданных частотных свойств эквивалентной электрической схемы методами параметрической оптимизации при каждом значении Qs, S= \JQi Q = [ уі,.,., qnq J ее вектора варьируемых параметров, сводится к решению задач (І.І.2) - (1 Л.4). Решение аналогичных задач с использованием макромодели (2.1.3), как указано в главе 2, заключается в выполнении следующих процессов: - вычислении частотных характеристик Dz2(pi)+Ai2[PhQ. Х2=У2, /=1,/,, (4Л.1) где р/=У й/ - значение переменной Лапласа, 1Х - количество вычисляемых значений характеристик; - вычислении корней Р/ І ilk детерминантного уравнения матрицы схемы (Ik - количество собственных значений матрицы) либо ее алгебра ических дополнений (Ik - количество нулей и полюсов системных функций) интерполяционными методами путем вычисления f(pf) = detrD22(pf)+/\22(pf1Qjl k = Tji , (4.1.2) где Pj - комплексное либо вещественное приближение к корню Р/ на к - ой итерации, // - количество итераций, требуемых для нахождения одного корня.
Основными операциями, повторяющимися в процессе (4.1 Л) / /0 раз, а в процессе (АЛ 2) - /,- ik /0 раз и определяющими трудоемкость решения задач, являются: - формирование числовой матрицы Огг(Р) + Ацір, Qj ПРИ конкрет ных р и Q. Трудоемкость этой операции при вещественном р составляет T/s 3mr+/nV+ 3m2 (4Л_3) вещественных мультипликативных операций, где fll - количество уравнений в макромодели, Г = гапдСц иэ(2ЛЛ); - LQ - разложение сформированной числовой матрицы для решения системы уравнений (4ЛЛ) либо вычисления определителя матрицы или ее собственных векторов. Трудоемкость LQ - разложения вещественной (m m) матрицы примерно равна rLQ = mV3 (4Л.4) вещественных мультипликативных операций. Рассмотрим способ сокращения размерности т макромодели, основанный на дополнительном расширении координатного базиса модели для случая, когда варьируемыми являются только пассивные элементы схемы [142,145,232].
В главе 2 формирование модели в блочном виде (2.1.1) было основано на соответствующей перенумерации узлов схемы, а координатный базис расширялся лишь для ее индуктивных элементов. В этом случае размер модели N являлся суммой узлов схемы Nu (без базового узла) и индуктивных элементов Nt, т. е. Л/= Nu + NL . Размер макромодели m для процесса (4 Л .2) определяется выражением m = Uv + Lv, (4.1.5) где U\f - количество несовпадающих между собой узлов, между которыми включены резисторы и конденсаторы с варьируемыми параметрами, L\/ -количество варьируемых индуктивных элементов. Если варьируемыми элементами схемы являлись только резисторы и конденсаторы, не имеющие ни общих узлов включения, ни связей с базовым узлом, то имели дело с наихудшим случаем и размер макромодели m определялся выражением т = 2пя (4.1.6) где Пц - количество варьируемых параметров схемы. Поскольку в практических задачах количество ветвей схемы с варьируемыми параметрами существенно меньше количества различных узлов, между которыми включены эти ветви, предлагается проводить расширение координатного базиса модели для варьируемых резисторов и конденсаторов» не связанных с базовым узлом- В этом случае размер модели N определяется выражением N = Nu + NL + Cv + RVy (4.1 Л) где Су, /?у - количества варьируемых резисторов и конденсаторов соответственно, для которых расширяется координатный базис, а размер макромодели будет равен количеству варьируемых параметров схемы, т. е. Блочная матрица модели для рассматриваемого случая будет иметь вид где Сц, G11 - (М М)- матрицы, М = N - т, СггІО) , G22\Qj, -22 ( Q) (т т) - матрицы, содержащие элементы схемы с варьируемыми параметрами типа С и L (матрица С22), R и 1/R (матрица G22), 1/С (матрица L22). Построение макромодели как и прежде сводится к обращению в аналитическом виде матрицы С1 ф + G \ \. Трудоемкость этого процесса при предлагаемом расширении базиса увеличивается в очень малой мере. Трудоемкость же формирования числовой матрицы макромодели и ее LQ - разложения в процессе (4.1.2) (по сравнению с наихудшим случаем (4.1.6)) определяется выражением (вместо величины m используется величина т/2)
