Содержание к диссертации
Введение
1. Методы учета корреляции центра масс при упругих и неупругих рассеяниях 15
1.1. Основные соотношения эйкональной теории ядро-ядерного рассеяния 15
1.2. Учет корреляции центра масс при расчетах се чений упругого и квазиупругого здрон-ядерного и ядро-ядерного рассеяния 23
1.3. Учет корреляций центра масс при учете реля тивистских эффектов 28
1.4. Учет корреляции центра масс при расчетах импульсных спектров 36
2. Методы вычисления сечений различных процессов ядро-ядерного рассеяния 43
2.1. Сечение реакции А + В^А+Б 43
2.2. Сечение реакции А+В-»А + Х 60
2.3. Сечение реакции А*В~*Х 71
3. Описание некоторых конкретных процессов 80
3.1. Упругое ЗГр - рассеяние в кварковой модели в формализме Глаубера 80
3.2. Оценки примеси шестикварковой конфигурации в дейтроне 83
3.3. Интерпретация данных об упругом dd и с*с< - рассеянии 95
Заключение 101
- Учет корреляции центра масс при расчетах се чений упругого и квазиупругого здрон-ядерного и ядро-ядерного рассеяния
- Учет корреляции центра масс при расчетах импульсных спектров
- Сечение реакции А+В-»А + Х
- Оценки примеси шестикварковой конфигурации в дейтроне
Введение к работе
Дифракционная теория многократного рассеяния частиц высоких энергий атомными ядрами развитая одновременно и независимо в работах А.Г.Ситенко'1' и Р.Дж.Глаубера' ' получила убедительное подтверждение в целой серии экспериментов и в настоящее время является наиболее популярной схемой, которая успешно применяется для анализа экспериментальных данных о сечениях адрон-ядерного рассеяния' '. С другой стороны, в последнее время возрос интерес к теоретическому изучению взаимодействий ядер с ядрами при средних и высоких энергиях, в связи осуществлением значительного числа экспериментальных исследований' ' ядро-ядерных соударений.
Вполне естественно, что при теоретической интерпретации экспериментальных данных о сечениях ядро-ядерного рассеяния также применяется эйкональный подход Глаубера-Ситенко. Основы теории ядро-ядерного рассеяния в эйкональном приближении были заложены работами В.Франко'^1', О.Кофоеда-Хансена' 2', Форма-нека' 5', Чижа и Максимона'2 ' и др. Аппарат теории ядро-ядерного взаимодействия намного сложнее теории адрон-ядерного рассеяния. Поэтому при вычислении сечений даже простейших процессов ядро-ядерных столкновений для ядер с реалистическими распределениями ядерного вещества приходится сталкиваться с большими математическими трудностями, из-за которых анализировались, в основном, процессы взаимодействий легких ядер.
Приближение гауссовского распределения нуклонов в сталкивающихся ядрах, справедливое в применении к легким ядрам, позволяет вычислить в явном виде каждый член ряда теории многократного рассеяния и найти амплитуду упругого рассеяния. Это
же можно сделать и в приближении жесткого налетающего ядра, рассмотренного в работах' Л
Однако, как показывает сравнение расчетов с экспериментальными данными, этот подход может претендовать лишь на качественное описание характеристик ядро-ядерного рассеяния.
Работа/26/, где удалось получить компактный ряд для фазовой функции упругого ядро-ядерного рассеяния в виде двойной суммы сверток различных степеней функций толщины сталкивающихся ядер с массовыми числами А и В, является важным шагом в построении теории ядро-ядерных взаимодействий. Хотя этот результат позволяет работать с реалистическими плотностями при вычислении полных сечений взаимодействия и сечений упругого рассеяния средних и тяжелых ядер, знакопеременный характер членов ряда и его слабая сходимость значительно усложняют его практическое использование. Эти трудности были устранены в работе' ', в которой получено явное выражение для суммы ряда фазовой функции. Метод получения фазовой функции, предложенный в' ', и знание явной функциональной зависимости фазы (амплитуды) упругого ядро-ядерного рассеяния в оптической пределе (Д; g -» со ) от функции толщины Тд , Г6 сталкивающихся ядер позволяет вычислить поправки любого порядка А > D » связанные с конечностями массовых чисел реально взаимодействующих ядер, и тем самым описывать упругое рассеяние любых ядер за исключением самых легких.
Далее в этом подходе, в приближении конечного числа неупругих соударений удается связать амплитуды возбуждения одного или обоих ядер с функциональными производными по 1д , Із от амплитуды упругого рассеяния этих же ядер, и с так называ-
емыми переходными плотностями. Сечения квазиупругого ядра другим ядром, реакции возбуждения одного из ядер или обоих одновременно, стриппинговые реакции, процессы упругой и квазиупру гой и перезарядки, наконец, поправки, обусловленные корреляциями в распределении нуклонов в ядре, и многие другие также связаны с фазовым функционалом упругого рассеяния простыми соотношениями и могут быть рассчитаны, если известен этот функционал.
Таким образом, общий метод теоретического анализа процессов ядро-ядерного рассеяния в эйкональном оптическом приближен ний в настоящее время достаточно хорошо разработан, чего нельзя сказать о теории взаимодействия легких ядер или легких ядер тяжелыми ядрами.
При описании взаимодействия легких ядер очевидно, что приближение оптического предела и приближение нулевого радиуса NN -взаимодействия неприменимо. Из-за существенных математических трудностей, возникающих при попытке получить компактное представление для амплитуды рассеяния легких ядер, подобное тому, что было получено ранее в теории адрон-ядерного рассеяния, расчеты этих амплитуд долгое время проводились путем вычисления каждого члена ряда многократного рассеяния в приближении гауссовой параметризации плотностей распределения нуклонов с учетом амплитуд перерассеяния низшей кратности/28"50'.
Основные трудности, встречающиеся при вычислении амплитуд упругого и квазиупругого рассеяния легких ядер, помимо учета корреляций центра масс, следующие: во-первых, большое число членов ряда теории многократного рассеяния (для упругого рассеяния всего 2. -1 ); во-вторых, сложность приведения по-
- б -
добных среди членов этого ряда, то есть вычисление комбинаторных коэффициентов.
Кроме того, при рассмотрении процессов с участием легких ядер из всех реально существующих корреляционных эффектов, наиболее существенные обусловлены так называемыми корреляциями центра масс ядра, связанными с ограничениями вида
Z*f/A = 0 ; ТЪ/а^О , (в.і)
1=1 i=1 '
налагаемые на координаты нуклонов ядер А и Ь .
Техника расчета характеристик процессов адрон-ядерных и ядро-ядерных взаимодействий в рамках теории многократного рассеяния заметно упрощается, если предположить полностью некоррелированные распределения нуклонов в ядрах.
Известно также, что в оболочечной модели ядра с осцилля-торными волновыми функциями для вычисления некоторых сечений адрон-ядерных и ядро-ядерных взаимодействий удается сформулировать сравнительно простые правила "раскоррелирования", связывающие величины сечений, рассчитанных с учетом и без учета корреляции центра масс.
Например, в случае упругого адрон-ядерного рассеяния получается следующая связь коррелированных и некоррелированных сечений'5'
єкор.
(ifU-Mul
K(i)= Є Св.2)
Здесь А - число нуклонов ядра, а оС - его осцилляторный параметр.
Учет же корреляции центра масс в расчетах сечений в процессах, отличных от упругого рассеяния, еще недостаточно разработан. Поэтому цель настоящей диссертации - развитие эйко-нальной теории взаимодействий легких ядер высокой энергии с легкими и средними, а именно:
Во-первых, получение правила учета корреляции центра масс при вычислении сечений процессов рассеяния частицы и ядра ядром, просуммированных по всевозможным возбуждениям мишени с помощью условия полноты, и импульсных спектров рассеиваемой частицы.
Во-вторых, получение компактного математического выражения для амплитуды упругого и квазиупругого рассеяния легких ядер, учитывающего все члены теории многократного рассеяния, используя найденные правила "раскоррелирования".
В-третьих, решить задачу о приведении подобных членов ряда теории многократного рассеяния в процессах упругого и квазиупругого рассеяния составных систем.
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и приложения.
В первом параграфе главы I представлены общие выражения для амплитуды упругого, адрон-ядерного и ядро-ядерного рассеяний. А также даны выражения для квазиупругих и неупругих сечений. Их вычисление значительно упрощается, если предположить полностью некоррелированное распределение нуклонов в ядрах. Среди различных возможных корреляций ядерных нуклонов наиболее существенными являются корреляции центра масс. Их учет в зада-
че вычисления амплитуды упругого рассеяния уже рассматривался раньше.
Во втором же параграфе главы I произведен учет корреляции центра масс при расчете сечений квазиупругого рассеяния. Кратко результаты рассмотрения сводятся к следующему: корреляции центра масс не влияют на сумму сечений упругого и квазиупруго-го рассеяний.
Надо отметить, что этот вывод справедлив при выборе волновых функций в виде (I.2.I). Однако, он остается в силе при выборе более реалистических волновых функций (см. 1.3).
Нетривиальной является задача учета корреляций центра масс в том случае, когда волновые функции систем заданы основным состоянием 4-мерного гармонического осциллятора. Она была рассмотрена и решена в 1.3.
В ІЛ дано сравнительно простое решение задачи об учете
корреляций центра масс при расчетах импульсных спектров рассеи
ваемых частиц. Показано, что учет корреляции центра масс сво
дит к домножению на фактор К(<\) = бХр^ /АоС) характе
ристической функции процесса, вычисленной с полностью некорре
лированным распределением. Все это позволяет значительно упрос
тить вычисление сечений и амплитуд квазиупругих и упругих рас
сеяний.
Вторая глава настоящей диссертации посвящена вопросам теоретического описания взаимодействий легких ядер с ядрами.
В первом параграфе подробно исследуется амплитуда упругого рассеяния. Амплитуда упругого рассеяния ядер ядрами, как уже говорилось, дается суммой 2. - 1 членов, представляющих взаимодействия различных кратностей. Среди этих членов доволь-
но много подобных, поэтому реально амплитуда определяется меньшим числом существенно отличных членов. Например, при Д= g-=. 3> таких членов всего 25. Поэтому приведение подобных в ряде для амплитуды рассеяния позволяет значительно упростить анализ структуры амплитуды рассеяния.
Кроме того, вычисление существенно отличных членов ряда теории многократного рассеяния сопряжено с определенными математическими трудностями, которые значительно легче преодолеть, если предположить, что волновые функции ядер есть функции основного состояния гармонического осциллятора.
В этом приближении общий член глауберовского ряда имеет вид:
NJexpf XTQX-8HTX-e*c +i<|G}
(В.З)
где м~ ( KWQ) - симметричная матрица, Н/ И-мерный вектор, X, П - мерный вектор, о. С - скаляры. Выражение (В.З) легко интегрируется
Отметим, что структура матриц W и Q определяется конкретным процессом рассеяния.
Метод вычисления амплитуды упругого рассеяния, использующий указанные соотношения, был разработан в работах' 'Л В работе Чижа и Максимона был также предложен аналогичный метод расчета амплитуд упругого рассеяния легких ядер тяжелыми и
легкими, но из-за громоздкости и сложности метод не нашел широкого распространения.
Б последнее время появились работы'5 * ', в которых для определения структуры матриц Ы и W использовалась теория графов, что существенно облегчает процедуру вычисления выражений типа (В.4).
Надо сказать, что применение теории графов, позволяет решить многие комбинаторные задачи, возникающие в теории ядро-ядерных взаимодействий. Однако полный перебор графов, например в случае упругого рассеяния легких ядер, остается и в этом подходе.
Для упрощения решения этой задачи в I.I введено понятие общей диаграммы рассеяния (общего графа), которое значительно облегчает задачу перечисления графов. Диаграмма рассеяния (граф), представляющая общий член ряда теории многократного рассеяния, строится следующим образом: каждому нуклону ядра А соответствует вертикальная линия, нуклонам ядра В - горизонтальная, а взаимодействие L~ нуклона ядра В с j -нуклоном ядра А представляется точкой, лежащей на пересечении соответствующих линий. Все эти графы можно рассматривать как некоторые подграфы общего графа.
ГИ П2 П3
Рис. I
Для случая В - 2 и произвольного А общая диаграмма (граф) имеет вид:
- II -
Все диаграммы, описывающие процессы упругого ядро-ядерного рассеяния в этом случае получаются при различных комбинациях трех чисел Пі , ГІ2 и Пз . Между матрицей Qj W и п и общей диаграммой существует простая однозначная связь, которая представлена в 2.1. Таким образом, введение понятия общей диаграммы автоматически решает задачу приведения подобных членов глауберовского ряда.
Далее разработан метод вычисления матриц С* и Vv . При больших а . Б детерминанты матриц Q и \У есть детерминанты очень большого порядка и их вычисление сопряжено с большими трудностями. Чтобы избавиться от этих трудностей, разработана процедура вычисления, которая исходит из блочной структуры матриц Q и W , благодаря которой эти матрицы представлены в виде произведения двух квазитреугольных матриц.
В результате вместо вычисления детерминантов матриц порядка А + В иД + В + 1 нужно вычислить только детерминанты
матриц порядка ПНИ {А,В] и min{A,B3 + 1 .
Таким образом, в параграфе 2.1 получено математически компактное выражение для амплитуды упругого рассеяния легких ядер ядрами. Приведены примеры вычисления амплитуды упругого рассеяния для случая D = 2,3 и при произвольном А . В параграфе 2.2 рассмотрено вычисление сечений реакции вида А + В^А^Х При вычислениях таких сечений традиционным является использование условия полноты системы волновых функций, описывающих состояние X . В этом приближении общий член глауберовского ряда дается выражением типа (В.З), где матрицы Q и W имеют такую же связь с общей диаграммой, как и в случае упругого рассеяния. Поэтому приведение подобных членов ряда также просто решается. Далее, используя теорему о парциальном интегриро-
вании многомерных гауссовых функций, получено математически компактное выражение для членов глауберовского ряда.
Приведены выражения для сечений реакции А+В""*А + Х при 8 = 2,3 и произвольном А .
В 2.3 рассмотрено вычисление сечений реакций вида А + В -*X Для этих реакций общий вид члена глауберовского ряда имеет вид:
м(ехр[-хтох-2бнтл- 82c}dnxd2B 0.5)
Связь между матрицами и общей диаграммой немного отличается от предыдущей потому, что в выражении (В.5) фигурирует, кроме профиля функций оЦ , Jffj , также их произведение (Но )ij . Тем не менее, и в этом случае решена проблема приведения подобных членов ряда и дано компактное выражение для сечения процесса.
В третьей главе рассмотрены применения разработанных в предыдущих главах алгоритмов для вцчисления ряда процессов рассеяния.
Успешное использование глауберовского подхода в описании основных характеристик взаимодействий адронов и ядер с ядрами при высоких энергиях породило естественные попытки применить его при анализе соударений адронов с адронами, которые рассматриваются как состоящие из двух или трех пространственно разделенных "одетых" валентных кварков. С этой точки зрения в 3.1 рассмотрено упругое STp -рассеяние.
В рамках релятивистского обобщения модели Глаубера с помощью предложенных методов в 2.1 анализировались данные об упругом 1Тр -рассеянии при импульсе \<$ = 200 ГэВ/с в ин-
- ІЗ -
тервале передач импульса 0,02<-і < 2,375 (ГэВ/с) . Определены параметры волновых функций пиона и протона в модели релятивистского гармонического осциллятора.
В 2.2 рассмотрено упругое рассеяние протонов дейтронами. В рамках модели составных кварков рассчитано с помощью предложенных методов сечение упругого pd -рассеяния с учетом примеси шестикваркового состояния. Из сравнения с экспериментальными данными при \[ъ = 63 ГэВ и при значениях переданного импульса --fc ^ I (ГэВ/с) для величины примеси шестикваркового состояния получена оценка р < 5%. Показано, что наличие экспериментальных данных о сечении pd рассеяния при значениях -І > 2 (ГэВ/с) позволит наложить на величину параметра более строгие ограничения, а также сделать некоторые заключения о размерах шестикваркового мешка.
В 2.3 рассмотрены процессы упругого рассеяния дейтронов дейтронами и 0( -частицы ОС -частицами. В этом же параграфе показано, что выбранная нами параметризация амплитуды упругого нуклон-нуклонного рассеяния (хорошо описывающая данные по упругим DO взаимодействиям в широких диапазонах передач импульса) дает возможность получить лучшее согласие с экспериментом, чем другие параметризации. Хотя корректные данные по квазиупругим рассеяниям легких ядер отсутствуют, знания квази-упругих сечений необходимы для обработки существующих и планируемых экспериментов. С этой целью в 4 рассчитаны сечения реакций dd->dxy о(о(->с*Х и dd-»X , oUrt->X
(Под сечением,например Od"*dX , понимается сечение расщепления одного из дейтонов без образования новых частиц )с использованием аппарата, разработанного в предыдущих главах.
В приложении даны формулы для вычислений амплитуды рассеяния протонов на шестикварковом мешке в релятивистском случае. В заключении изложены основные результаты диссертации.
Учет корреляции центра масс при расчетах се чений упругого и квазиупругого здрон-ядерного и ядро-ядерного рассеяния
При расчетах сечений адрон-ядерного и ядро-ядерного рассеяний в рамках теории Глаубера-Ситенко удается получить относительно простые выражения для этих величин, предполагая полностью некоррелированное распределение нуклонов в ядрах. Математически это допущение выражается соотношением факторизации. где Ъ) їг; »; ГА ) волновая функция основного состояния ядра, а д(Х ) - одночастичная плотность. Динамические корреляции и корреляции, обусловленные тождественностью нуклонов, обычно учитываются феноменологически добавлением к правой части соотношения (2.І.І) слагаемых вида Вид парных v Hij 2./ j тройных x -u i/ и т.д. корреляционных функций фиксируется в рамках определенных модельных представлений о структуре ядра 5 . Обычно роль упомянутых корреляционных эффектов незначительна, и включение их в схему расчета сечений процессов адрон-ядерного и ядро-ядерного рассеяния осуществляется методами теории возмущения. При этом существенно используется факторизуемость квадрата модуля волновой функции ядра по координатам большинства (А-2) или (А-3) составляющих его нуклонов. Совершенно иная ситуация возникает при попытке ввести так называемые корреляции центра масс, являющиеся следствием трансляционной инвариантности квадрата модуля волновой функции ядра, приводящей к зависимости последнего лишь от относительных координат нуклонов ядра. Простейший и общепринятый рецепт учета этих корреляций 3 состоит в умножении правой части (I.2.I) на фактор N(?rr /A) , где N - нормировочный множитель, определяемый из условия нормировки (для гауссового случая) Теперь рассмотрим для простоты выражение для амплитуды упруго го П А рассеяния. Если в этом выражении корреляцию центра масс учитывать с помощью О -функций нормированных условием (1.2.4), то: _ Сделаем в (1.2.5) сдвиг переменных интегрирования Получим 5 gR Я 1г Проводя в (1.2.6) интегрирование по Jb і получаем \Q e" =K( Wi (1.,7) Аналогично в случае упругого ядро-ядерного рассеяния Таким образом, учет корреляций центра масс в общем случае добавляет операцию трехкратного (шестикратного) интегрирования в процедуру вычисления характеристик адрон-ядерного (ядро-ядерного) рассеяния. Однако в ряде случаев это интегрирование удается выполнить в явном виде, и учет влияния корреляций центра масс сводится к неким простым рецептам. Это возможно при использовании либо гауссовой параметризации для одночастичных плотностей, либо оболочечной модели ядра с осцилляторными волновыми функциями.
Включение эффектов корреляций центра масс в расчет амплитуд и сечений неупругого адрон-ядерного и ядро-ядерного рассеяний (сопровождающегося возбуждением или развала ядра-мише- ни) не сводится к подобным простым рецептам даже в простейших моделях ядра типа упомянутых выше, однако, оказывается, что влияние корреляций центра масс на сумму сечений всевозможных возбуждений ядра, вычисляемое с помощью условия полноты системы волновых функций конечного состояния ядра-мишени, с помощью которых учет влияния корреляций центра масс на амплитуду упругого адрон-ядерного рассеяния удается свести к умножению на фактор К( ) і приводит к следующему результату: корреляции центра масс не сказываются на величине суммарного сечения. Покажем это на примере гауссовой параметризации одночастич-ных плотностей Сечение, просуммированное по всевозможным конечным состояниям ядра в НА взаимодействиях, можно записать в следующем ви Подставляя в (2.1.9) величины І іp[ i) 2.)- ) A/l Б БИДе (2.1.3) и делая замены переменных интегрирования то есть в этом случае множитель с? в соотноше- нии (1.2.9) не меняется при одновременной замене Аналогичные результаты можно получить и для ядро-ядерного рассеяния. Сходство экспериментальных данных упругого адрон-нуклонно-го рассеяния при высоких энергиях с данным по упругому адрон-ядерному и ядро-ядерному рассеяниям, а именно наличие дифракционных минимумов и максимумов, считается возможным проявлением составной кварковой структуры адронов. Однако непосредственное перенесение аппарата нерелятивистской теории ядро-ядерного рассеяния на случай адрон-адронного рассеяния успеха не имело. Прогресс был достигнут только в работах - » и/, в которых указано на важность учета релятивистских эффектов в адронном рассеянии. Учет релятивистских эффектов в работах 5» проводился следующим образом: волновые функции сталкивающихся адронов считались зависящими не от трехмерных, а от четырехмерных относительных координат В{ составляющих кварков, и, кроме того, от четырехмерного импульса адрона rjv\ , являясь при этом инвариантными относительно преобразований Лоренца.В конкретных расчетах в качестве волновых функций сталкивающихся адронов использовались так называемые функции Юкавы где U.jvi = К / ГЛ , с условием нормировки Расчет характеристик адрон-адронного рассеяния с такими волновыми функциями-довольно сложная задача. Однако, она может быть значительно упрощена, если свести ее к стандартной задаче расчета, с учетом корреляций центра масс с помощью О -функций.
Учет корреляции центра масс при расчетах импульсных спектров
В предыдущих параграфах были сформулированы правила учета корреляций центра масс в расчетах сечений упругого и квазиупругого рассеяний. Рассмотрим проблему учета корреляций центра масс при расчетах импульсных спектров рассеиваемой системы А і в реакции А +- Аг-» А\+ X . Начнем с адрон-ядерного рассеяния. Двойное дифференциальное сечение реакции п+А- П + Х , где система X не содержит новых частиц за исключением нуклонов ядра А » дается выражением где t0) Ь и ? jK значения энергий частицы и мишени соответственно до и после рассеяния, а амплитуда перехода j\JL определяется как Как и раньше, в качестве волновых функций основного состояния ядра возьмем функции гауссовского типа. Несколько слов относительно выбора функций возбужденных состояний ядра. Согласно основным принципам квантовой механики они должны быть ортогональны волновой функции основного состояния и вместе с ней составлять полную систему, удовлетво- ряющую условию полноты. В качестве такой системы можно взять полную систему волновых функций гармонического осциллятора. При этом тір. описывают возбужденные состояния многонуклон-ных систем, которые не реализуются в природе, поскольку возбуждение, например легких ядер, сводится в основном к их развалу. Поэтому, если относительные импульсы фрагментов велики по сравнению с характерными внутриядерными импульсами, то их движение с хорошей точностью можно считать свободным и в соответствии с этим выбрать волновые функции конечных состояний в виде плоских волн: Такая система функций, хоть и является полной, но не удовлетворяет требованию ортогональности к основному состоянию. Однако выполнение этого условия важно лишь при вычислении амплитуд перехода Ті$ ( 0 в импульсном приближении при малых значениях переданного импульса для обеспечения правильного их поведения при V - О . Для значений же \Уї К р характерный ферми-импульс нуклонов ядра, при которых как известно и проявляется сложная структура импульсных спектров, в первом приближении можно пренебречь эффектами, связанными с нарушением условия ортогональности. Итак, будем считать, что волновые функции т и Т зависят лишь от относительных координат нуклонов, в качестве которых возьмем систему координат Якоби ,(1 4 А ) удовлетворяющую условию (1.3.2).
В соответствии со сделанными выше замечаниями волновые функции выбираем в виде с условием нормировки где {KJ - совокупность относительных импульсов, сопряженных координатам Якоби. Тогда условие полноты выглядит следующим образом: Для простоты будем предполагать нерелятивистскую связь между энергией и импульсом нуклонов отдачи. Тогда где ГАу - масс нуклона, (\ - полный импульс, переданный ядру. Используя для J - функции в (1.4.1) интегральное представление есть характеристическая функция, вычисленная с некоррелированным распределением нуклонов. Замечая, что при 7=0 Л -О] величина Ф(0/Я ) пропорциональна [SS. Jт -сечению рассеяния частицы на ядре, просуммированному по всевозможным конечным состояниям ядра-мишени с помощью условия полноты, из (1.4.13) получаем один из результатов предыдущих параграфов, учет корреляций центра масс не влияет на величину суммы сечений упругого и квазиупругого рассеяния. Таким образом, формулы (3.4.13), (3.4.14) содержат решение проблемы учета корреляций центра масс при расчетах спектров лидирующих частиц на легких ядерных мишенях. Очевидна проблема учета корреляций центра масс при вычислении характеристических функций процессов А+ Аг_ Ai+X, если плотность распределений нуклонов в обоих ядрах аппроксимировать гауссовскими функциями и использовать правила раскор-релирования (1.2.7) и (1.4.13), из которых последнее не зависит от природы рассеиваемого объекта. Как известно, эйкональное приближение в задаче рассеяния частиц или ядер сложными системами - теория многократного рассеяния (ТМР), развитая в работах/1"6/, послужила основой для расчета широкого класса процессов адрон-ядерного и ядро-ядерного взаимодействия, которая успешно объясняет экспериментальные данные при промежуточных и высоких энергиях. Формальное применение схемы ТМР к ядро-ядерному рассеянию не представляет принципиальной сложности и было осуществлено рядом авторов/ /. Основная возникающая на этом пути трудность, долгое время не позволявшая продвинуться вперед, связана с суммированием ряда ТМР.
Одним из методов оценки суммы ряда ТМР является переход к оптическому переделу по атомным номерам сталкивающихся ядер. По аналогии с адрон-ядерным рассеянием можно ожидать, что при этом будет заметное упрощение. Действительно, результат работ позволил не только корректно учесть эффекты затенений и перерассеяний в упругом ядро-ядерном рассеянии, но и трактовать неупругие реакции, в частности, реакции возбуждения и стриппинга, перезарядки и квазиупругого рассеяния и многие другие. Вычисление же сечений реакции легких ядер до сих пор представляется сложной задачей, поскольку даже при гауссовском распределении плотности вещества в сталкивающихся ядрах вычисление каждого члена ряда ТМР и их суммирование представляет большую математическую трудность. В этом плане, впервые Чижом и Максимоном, был предложен хороший расчетный аппарат , но из громоздкости и сложности формул этот метод не нашел широкого распространения. Целью настоящей главы разработать метод вычисления глаубе-ровских амплитуд для случая гауссовского распределения плотности вещества в ядрах.
Сечение реакции А+В-»А + Х
Применим метод, изложенный в предыдущем параграфе, для описания реакций A+g A+X , где А и В составные системы, содержащие соответственно АИР конституенты. Система X не содержит новых частиц, помимо конституентов системы Р . Согласно принципам эйконального приближения, полное сечение реакции А+ с А+ X дается выражением: определения структуры величин (- / Ьт удобно использовать понятие диаграммы рассеяния, которое ранее было введено при рассмотрении упругого рассеяния. Диаграмма рассеяния, представляющая общий член ряда (2.3.4) строится следующим образом: каждому конституенту системы В соответствует горизонтальная линия, конституентам системы А - вертикальные, а взаимодействие і - конституента системы А с j - конституентом системы В представляется точкой, лежащей на пересечении соответствующих линий. Сопоставим каждой линии системы А (В) соответствующую функцию плотности а точке Поскольку в нашем случае в выражении для сечения фигурируют Ху ; Ум и (о о )[\ j сопоставим на диаграмме рассеяния #LJ темную точку, )[ц светлую точку, а (УУ )[\ точку вида ( О) . Диаграммы рассеяния тесно связаны с матрицами 0?; W и скаляром С . Матрица Q обладает следующей блочной структурой: Между матрицей 0( и диаграммой рассеяния существует однозначная связь: светлой и темной точке диаграммы, находящейся на L -той горизонтальной и j -той вертикальной линии, соответствует элемент lj= -Л точке (О) элемент Пустым узлам диаграммы соответствуют элементы матрицы, равные нулю. Структура диагональных матриц Т и D также зависит от конкретного вида диаграмм рассеяния. Элемент матрицы \f Х\\ равен "t + Пі Л где "Ч есть число всех темных и светлых точек плюс удвоенного число полусветлых точек, находящихся на I -той горизонтальной линии диаграммы. Точно таким же образом элемент матрицы D имеет вид: где 1{ число всех темных и светлых точек, удвоенное число полусветлых точек, находящихся на с -той вертикальной линии диаграммы.
Выражение (3.3.5) легко интегрируется можно вычислить, используя алгоритм, предложенный в первом параграфе этой главы 09X.W определяется следующим образом: Для вычисления его удобно пользоваться следующим методом: где 1 единичная матрица, а О - нулевая матрица. Для нахождения неизвестных блоков Т и Т имеем систему матричных уравнений где Т ; D матрицы, обратные матрицам Т и D Они диагональные, а их элементы обратны соответствующим элементам матриц Т и D Таким образом, детерминант матрицы W равен Теперь рассмотрим применение вышеописанного алгоритма в некоторых частных случаях I. Пусть В = 2. , а А - произвольно. В этом случае общий вид диаграмм представляется рис. 7, а элементы матрицы W определяются как В экспериментальных исследованиях упругого адрон-нуклон-ного рассеяния при высоких энергиях был обнаружен ряд интересных особенностей в поведении дифференциальных сечений. Наиболее примечательная из них состоит в наличии глубокого ми-нимума в области переданного импульса I,3 "t 1,5 (ГэВ/с) при энергиях ISR в сечении рр - рассеяния и при - "Ь =3,9 (ГэВ/с)2, РЛфС# = 200 ТэЪ/съ сечении лр- рассеяния. Сходство этих данных с данными по упругому адрон-ядерно-му и ядро-ядерному рассеянию считается возможным проявлением составной кварковой структуры адронов и стимулировало работы многих авторов/50"57/. Как говорилось в 1.5, непосредственное перенесение аппарата ядро-ядерного рассеяния на случай ад-рон-адронного рассеяния успеха не имело. Авторами работ/35, / в рамках модели многократного рассеяния было дано удовлетворительное описание данных о сечении высокоэнергетического рр -рассеяния вплоть до значений квад-рата переданного импульса 9,5 (ГэВ/с) . При этом в качестве кварковых волновых функций адронов использовались волновые функции вида (I.3.1) В настоящем параграфе тот же формализм используется для описания упругого ЗТр -рассеяния с целью определения параметров релятивистских волновых функций пиона и протона. Выражение (І.ЗЛО) в указанном подходе имеет вид: где CJ - передача импульса, С(ліз. осцилляторные параметры волновых функций адронов, ftlii4 и Ml, некие параметры модели, равные по порядку величин массам адронов, 4 г ла составляющих кварков в адронах. Для амплитуды кварк кваркового рассеяния использование гауссовой параметризации позволяет использовать метод вычисления глауберовских амплитуд упругого рассеяния, предложенный во второй главе ( 2.1).
Электромагнитные формфакторы в модели релятивистского гармонического осциллятора даются выражением вида: и имеют "правильную" асимптотику, определяемую правилами кваркового счета Л При этом средний квадрат расстояния между кварками адрона дается соотношением Отметим, что величина (3.1.4) меньше величины Г #YY\ которую обычно принято отождествлять со средним квадратом радиуса системы. Подобное "уменьшение" собственных размеров системы К ґ / в сравнении с ТгУ?т на величину порядка обратного квадрата ее массы возникает во всех релятивистских моделях Л Анализ данных об упругом ТТр -рассеянии в интервале пере дач импульса 0,02 -"t 2,375 (ГэВ/с) с использовани ем выражения ( 3.1.I ) привел к следующему набору параметров: Для параметров наклона электромагнитных формфакторов про тона и пиона получаются значения Х У ет = 0,35 Фм , 2/ етр = 0,71 Фщ что находится в согласии с имеющимися экспериментальными данными для этих величин. Что же касается собственных размеров адронов, то они в соответствии с (3.1.4) оказываются заметно меньшими, нежели СГ У хУ\ значение Сґ2Ур полученное нами, практически совпадает со значением Т }р = 0,41 Фм этой же величины, полученными с помощью дисперсионных правил сумм для сечений дипольного по- глощения фотонов протонами в работе 59/. Обращает на себя внимание малость собственных размеров пиона.
Оценки примеси шестикварковой конфигурации в дейтроне
Как видно из рисунка, выбранные нами волновая функция (3.2.1) и профиль-функции (3.2.3) позволяют удовлетворительно описать экспериментальные данные в области 0 Н: 1,3 (ГэВ/с) , Это позволяет оценить сечение упругого pd рассеяния при передачах- I (ГэВ/с) , где и может проявиться примесь шести-кварковой конфигурации в волновой функции дейтрона. Надежда на возможное проявление примеси шестикваркового мешка в упругом p i -рассеянии связана с тем обстоятельством, что согласно существующим представлениям его радиус составляет величину порядка радиуса нуклона, то есть существенно меньше размеров дейтрона. Как следствие этого, амплитуда рассеяния протона на дейтроне и шестикварковом мешке будет иметь различную зависимость от переданного импульса. Указанное различие и должно проявиться в дифференциальном сечении р d -рассеяния при достаточно больших значениях переданного импульса. По этой причине данные работы будут нами рассмотрены в области --fc I Рассмотрим процесс упругого DQ -рассеяния в рамках кварковой модели с учетом наличия в дейтроне примеси шестикваркового мешка. Амплитуда такого процесса имеет вид: совокупности радиусов-векторов кварков в сталкивающихся сис темах в проекции на плоскость прицельного параметра. Волновая функция дейтрона с примесью шестикваркового мешка нормирована условием п Выше уже говорилось, что размер шестикваркового мешка порядка радиуса нуклона. С другой стороны, наличие кора в нуклон-нук-лонном потенциале препятствует сближению протона и нейтрона в дейтроне на малые расстояния. На этом основании интеграл перекрытия в (3.2.5) можно считать малой величиной по сравнению с первыми двумя членами и пренебречь им . В этом приближении нормировочные коэффициенты О и ъ связаны соотношением Р-1—& . Функция профиля ГС Ї Здїі) имеет следующую структуру есть функции профиля, соответствующие рассеянию протона на кварках протона и нейтрона.
Введем обозначение Б выражении (3.2.7) первые два члена описывают рассеяния кварков налетающего протоні либо на кварках протона, либо на кварках нейтрона, а третий член как на кварках протона, так и на кварках нейтрона. В области передач импульса—-fc I (ГэВ/с) , первые два члена, соответствующие в обычном глауберовском формализме (не учитывающем кварковой структуры) однократному рассеянию пренебрежимо малы по сравнению с третьим. Отбрасывая их и подставляя (3.2.7) в (3.2.1), получим В этом выражении мы пренебрежем третьим членом по сравнению с двумя первыми по тем же соображениям, что и в условии нормировки интегралом перекрытия. Таким образом, мы получаем амплитуду в виде суммы амплитуд рассеяния протона на дейтроне и шестикварковом мешке. Рассмотрим более подробно первый член в выражении (3.2.8), отвечающий pd - рассеянию: Здесь суммирование по 4- означает суммирование по полной системе промежуточных состояний, в которые могут переходить три кварка рассеиваемого протона между перерассеяниями на кварках протона и нейтрона. При этом учет в сумме по - состояний, отличных от основного состояния протона, соответствует учету неупругой экранировки. Учитывая, что последняя мала в рассматриваемой нами области передач импульса и пренебрегая ею, получим: Представим волновую функцию дейтрона в виде произведения волновых функций протона и нейтрона, зависящих от относительных координат кварков, на волновую функцию относительного движения протона и нейтрона: где Sp (pj whj /nj _ относительные координаты кварков в протоне и нейтроне, о - относительная координата протона и нейтрона в дейтроне. Подставляя (3.2.II) в (3.2.10) и вводя обозначения Подставляя в (3.2.13) известное соотношение где - формфактор, - среднеквадратичный радиус дейтрона, а _ Для расчета амплитуд 4f (n) » входящих в (3.2.14), и амплитуды рассеяния протона на шестикварковом мешке 77 Ц(Я) в качестве волновых функций трех и шестикварковых систем бра- лись волновые функции релятивистского гармонического осциллятора . Отметим, что в рамках аналогичного подхода удалось успешно описать упругое р« -рассеяние в широком интервале энергий и передач импульса . Выражение для jp cjC U приведено в приложении. Рис. II Обсудим результаты численных расчетов.
Прежде всего отметим, что выражение (3.4.13) описывает в пределах ошибок сечение ро -рассеяния в области -х -I (ГэВ/с) . Далее, как и следовало ожидать, сечение рассеяния протона на шестикварко-вом мешке убывает с ростом -х существенно медленнее, чем сечение p i -рассеяния, что видно из рис. 10, где изображено отношение RW« г(;і!)бчАЦ)р4 при трех значениях параметра (X , определяющего размеры мешка. В интервале передач импульса 1 » » сечение р 1 -рассеяния пренебрежимо мало по сравнению с сечением рСЦ) рассеяния. На рис. II изображена величина при % = 0,05 и трех значениях параметра . Видно, что в пределах двух экспериментальных ошибок результаты расчетов согласуются с экспериментальными данными, однако в области передач —t 1,8 (ГэВ/с) кривые, отвечающие различным радиусам мешка, существенно расходятся. На рис. 12 приведены результаты расчета той же величины при значении с = р и трех значениях параметра ъ Видно, что значение -р - 0,025 согласуется с экспериментом в пределах ошибок, значения "р = 0,05 - в пределах двух ошибок, тогда как значение =0,07 выходит за пределы двух ошибок. Для более строгих заключений относительно размеров шести-кваркового мешка и величины параметра у необходимо измерять сечение pd -рассеяния при значениях -"Ъ , существенно больших. На рис. 9 и 10 светлыми точками изображены результаты расчета величины ( Г")Р даваемой выражением (ЗЛ.І5). В этих точках отложены 50 и 100 процентные ошибки.
