Содержание к диссертации
Введение
1 Формулировка мультижидкостного описания ядро-ядерных столкновений 14
1.1 Историческая справка 14
1.2 Кинетика адронной материи со средними мезонными полями . 16
1.3 Релятивистская гидродинамика со средними полями и ядерное уравнение состояния 18
1.4. Двухжидкостная модель со средними мезонными полями . 22
1.5 Трехжидкостноє описание ядерных столкновений промежуточных энергий 24
1.6 Столкновителы-гое взаимодействие ядерных потоков 25
2 Численное моделирование и расчет наблюдаемых 33
2.1 Численная реализация двухжидкостной модели 33
2.2 Замораживание и преобразование квазичастиц в частицы . 37
2.3 Генератор событий 42
2.4 Легкие фрагменты 44
3 Динамика ядерных столкновений и сравнение с экспериментом 48
3.1 Равновесие в двухпотоковой системе 48
3.2 Динамика ядерных столкновений 57
3.3 Инклюзивные спектры протонов и легких фрагментов 61
3.4 Быстротиые распределения протонов и легких фрагментов . 62
3.5 Коллективные потоки ядерной материи 74
3.5.1 Нуклоны и легкие фрагменты 74
3.5.2 Пионы 84
4 Рождение мезонов в ядерных столкновениях 92
4.1 Введение 92
4.2 Пионы 93
4.3 Каоны 98
5 Двухжидкостная модель с излучением пионов для (ультра) релятивистских ядерных столкновений 107
5.1 Введение 107
5.2 Традиционная схема двухжидкостной гидродинамической модели 108
5.3 Вывод уравнений двухжидкостной гидродинамики из кинетической теории 113
5.4 Параметризация сил межпотокового трения 128
5.5 Сравнение одно- и двухжидкостного описания ядерных столкновений при энергиях Дубны 135
5.6 Динамика столкновения ультрарелятивистских ядер и характеристики образующегося адронного вещества 141
5.7 Расчет характеристик вторичных частиц при энергиях Брукхейвена и ЦЕРНа 154
Трехжидкостная модель релятивистских ядерных столкновений 163
6.1 Введение 163
6.2 3-х жидкостная гидродинамическая модель с конечным временем формирования 165
6.2.1 Основные уравнения 165
6.2.2 Взаимодействие барионных потоков и их слияние 168
6.2.3 Взаимодействие файербола с барионными потоками 171
6.2.4 Замораживание 173
6.3 Уравнение состояния высоковозбужденного адронного вещества 176
6.4 Численный алгоритм решения уравнений трехжидкостной гидродинамики 178
6.4.1 Система уравнений трехжидкостной гидродинамики в трехмерном представлении 178
6.4.2 Схема алгоритма и численные параметры 181
6.4.3 Эйлеров этап метода частиц в ячейках 184
6.4.4 Лагранжев этап метода частиц в ячейках 185
6.4.5 Взаимодействие потоков 187
6.4.6 Рождение частиц файербольной жидкости 188
6.4.7 Замораживание частиц 188
6.4.8 Переход в локальную систему и слияние жидкостей 189
6.5 Моделирование ядерных столкновений 191
6.5.1 Быстротные распределения протонов: тормозная способность, наблюдаемая в ядерных столкновениях 192
6.5.2 Распределения протонов по поперечной массе 196
6.5.3 Коллективные потоки нуклонов 198
6.5.4 Быстротные спектры пионов 201
6.5.5 Рождение редких частиц в ядерных столкновениях 204
6.6 Глобальная динамика ядерных столкновений 206
6.7 Некоторые выводы 215
Заключение 216
Литература 218
- Релятивистская гидродинамика со средними полями и ядерное уравнение состояния
- Замораживание и преобразование квазичастиц в частицы
- Сравнение одно- и двухжидкостного описания ядерных столкновений при энергиях Дубны
- Быстротные распределения протонов: тормозная способность, наблюдаемая в ядерных столкновениях
Введение к работе
Актуальность темы. С середины 70-х годов в ядерной физике открылось новое перспективное направление: изучение свойств ядерной материи в состояниях далеких от ее основного состояния. Основой для этого стало получение на ускорителях Беркли и Дубны пучков тяжелых атомных ядер с энергиями 0,4-г5ГэВ/нуклон. Затем к ним присоединился "Сатурн" в Сакле и тяжелоионный синхротрон в Дармштадте. В конце 80-х физика тяжелых ионов вышла в область ультрарелятивистских энергий: начались эксперименты с пучками тяжелых ядер при энергиях 10 — 15 ГэВ/нуклон на ускорителе AGS в Брукхейвене и при энергиях 60 и 200 ГэВ/нуклон на ускорителях PS и SPS в ЦЕРНе. В середине 2000г. начались первые эксперименты на "Релятивистском тяжелоионном коллайдере" (RHIC) в Брукхейвене. В этих экспериментах осуществлено столкновение встречных пучков ядер Аи с энергиями 100 + ЮОГэВ/нуклон, что на порядок превосходит энергии, достигаемые в ЦЕРНе. В свою очередь в ЦЕРНе готовятся эксперименты по столкновениям тяжелых ионов на ускорителе LHC. Утвержден проект создания второго ускорительного кольца в Дармштадте с целью получения пучков тяжелых ионов с энергией ~ 20 -5- ЗОГэВ/нуклон.
Все эти весьма дорогостоящие проекты говорят о незатухающем интересе к этой области ядерной физики - физике взаимодействия тяжелых ионов.
Развитие экспериментальных исследований требует их серьезного теоретического сопровождения. Сложность задачи не позволяет в настоящее время описать весь процесс взаимодействия двух тяжелых ядер на языке квантовой хромодинамики, претендующей на роль теории сильных взаимодействий. Поэтому идет разработка различных моделей, описывающих те или иные аспекты процесса и базирующихся на различных, иногда взаимно противоположных, приближениях. Только исследования в рамках каждой модели, сопоставление результатов с результатами других, с данными экспериментов позволят приблизиться к пониманию и воссозданию истинной картины процесса взаимодействия.
Целью данной диссертации является разработка реалистических моделей гидродинамического типа для описания релятивистских столкновений тяжелых ядер и применение их для исследования механизмов взаимодействия ядер и свойств ядерной материи в экстремальных условиях высоких плотностей и температур.
4 юс.национальная! I ъибДОТШ J
Общей целью исследований с пучками тяжелых атомных ядер является изучение свойств ядерных систем в экстремальных условиях, т.е. при высоких энергиях возбуждения, сильных сжатиях, интенсивных коллективных движениях ядерного (а точнее, адронного или кварк-глюонного) вещества. При высоких энергиях столкновения в процессе взаимодействия ядер участвует огромное число степеней свободы. В этих условиях представляется естественным статистическое описание характеристик образующегося ядерного вещества в терминах функций распределения частиц F(x,p) в пространстве координат (х) и импульсов (р). В случае термодинамического равновесия (локального или глобального) можно еще упростить описание и характеризовать систему плотностями частиц разного сорта, температурой и скоростями потоков. При этом основным предметом исследования становится уравнение состояния высоковозбужденной адронной материи, которое в равновесии полностью характеризует свойства вещества. Особый интерес представляет изучение возможных фазовых переходов в адронной материи, в частности таких как: сосуществование жидкой и газообразной фаз ядерного вещества при температурах < 20 МэВ и плотностях нуклонов, меньших равновесной ядерной плотности щ (H.Schulz et al, 1982-1983), и деконфайнмент кварков (образование кварк-глюонной плазмы - КПП) при температурах около 200 МэВ и/или высоких плотностях частиц (Э.В.Шуряк, 1978; G.E.Brown et al, 1993).
Интересующие значения температур и плотностей адронного вещества укладываются примерно в один порядок величины. Однако, чтобы их получить в процессе столкновения ядер, требуется очень широкий набор энергий пучков - от десятков МэВ до сотен ГэВ на нуклон в системе центра масс (с.ц.м.). Таким образом, сам предмет исследования требует наличия большого числа ускорителей на различные энергии.
Так как существует только один способ сжатия и разогрева ядерного вещества в лабораторных условиях - столкновения тяжелых ядер, вопрос о свойствах образующегося высоковозбужденного вещества тесно связан с вопросом о механизмах ядерных столкновений при различных энергиях. Один из важнейших аспектов этого вопроса - степень статистического равновесия, которая достигается в процессе столкновения ядер. К сожалению априори ответить на этот вопрос пока что невозможно, поскольку процесс установления равновесия управляется, в частности, неизвестными сечениями взаимодействия частиц в среде. Поэтому поиски ответа на этот вопрос базируются на анализе экспериментальных данных в рамках моделей с различной степенью равновесности.
Все модели, используемые для описания ядерных столкновений высоких энергий можно разбить на два класса: микроскопические, которые в том или ином виде оперируют с частицами, составляющими ядерную материю, и макроскопические, в которых вещество характеризуется термодинамическими характеристиками и уравнением состояния. Наиболее полное, с наименьшим числом приближений описание среди различных макроскопических моделей дают модели основанные на гидродинамическом подходе.
Впервые гидродинамический подход для описания множественного рождения частиц в адронных столкновениях был применен Ландау в 1953 г. Идея состояла в том, что при высоких энергиях столкновения в малом лоренц-сжатом объеме адроиа рождается большое число сильновзаимодействующих вторичных частиц, которые бессмысленно рассматривать индивидуально. Разумно представить такую систему как единую адронную жидкость, которая эволюционирует в соответствии с уравнениями гидродинамики. Такой подход оказался очень плодотворным и позволил объяснить многие наблюдаемые закономерности множественного рождения частиц в адрон-адронных и адрои-ядерных взаимодействиях при высоких энергиях. Дальнейшее развитие гидродинамической теории процессов столкновений адронов с адронами и ядрами было выполнено в работах С.3.Беленького и Л.Д.Ландау (1955г.), Г.А.Милехина (1958г.), Э.В.Шуряка (1972г.), И.Л.Розенталя (1975г.) и некоторых других исследователей.
Первые эксперименты по столкновениям тяжелых ядер дали новый импульс развитию гидродинамического описания ядерных процессов. Сначала в рамках простых моделей (G.F.Chaplinc et al, 1973; C.Y.Wong, T.A.Welton, 1974; H.G.Baumgardt et al, 1975; M.I.Sobel et al, 1975) изучались процессы ударного сжатия ядерной материи. Затем были разработаны трехмерные гидродинамические модели в Лос-Аламосе (A.A.Amsden et al, 1975), во Франкфурте на Майне (Н.Stacker et al, 1979) и в Москве (А.С.Рошаль, В.Н.Русских, 1981), позволившие выполнять реалистическое моделирование ядерных столкновений.
Необходимым условием применимости гидродинамического описания является малость длины свободного пробега нуклонов в ядерном веществе
по сравнению с характерным размером системы L:
Здесь и плотность числа бариоиов в сопутствующей системе, a (Tf/fi - полное сечение нуклон-нуклонного взаимодействия. При энергиях нуклона > 3 ГэВ
<7mv — 40 мбн и очень слабо зависит от начальной энергии. Таким образом при нормальной ядерной плотности 0,15 Фм-3 получаем оценку Ajv — 1,7 Фм и условие (1) неплохо выполняется для достаточно тяжелых ядер, если взять в качестве L диаметр ядра 2гцА1/3 (го = 1,2 Фм). Известно однако, что при релятивистских энергиях дифференциальное сечение NN -взаимодействия становится сильно вытянутым вперед-назад и вместо А# правильнее использовать длину термализации начального импульса:
Аг = (пат)'1,
cry = / йа(1 — cos б)
- транспортное сечение взаимодействия частиц. Последнее падает с энерги
ей вследствие асимметрии сечений и Аг становится сравнимой с размерами
системы. Эти соображения привели к идее двухжидкостпого (АА Amsden
et al, 1978; R.B.Clare, D.Strottman 198G) и трехжидкостиого (L.P.Cscrnai et
al, 1982) описаний ядерных столкновений. Все эти подходы базировались на
феноменологической параметризации столкновительного взаимодействия по
токов. Попьпка микроскопического обоснования силы трения потоков была
предпринята Ю.Б. Ивановым, И.Н. Мишустиным и Л.М. Сатаровым в 1983 г.
при разработке модели частичной прозрачности. Наконец, последовательный
кинетический вывод уравнений двухжидкостной гидродинамики из реляти
вистского уравнения Больцмана был сделан в работах [2-8]. В этих же рабо
тах было показано, что при энергиях столкновения, больших 10 ГэВ/нуклон
взаимодействие ядерных потоков определяется, главным образом, неупруги
ми взаимодействиями нуклонов с рождением пионов. Было введено понятие
третей, пионной, жидкости, правда ее эволюция в этих работах не рассматри
валась и взаимодействие с барионными потоками не учитывалось. Последнее
стало основой последующих работ Л.М. Сатарова и И.Н. Мишустина сов
местно с сотрудниками университета Франкфурта на Майне в 1993-1995гг.
Двухжидкостная модель с излучением пионов оказалась весьма реалистиче
ским и эффективным методом изучения ультрарелятивистских столкновений
тяжелых ядер.
В работе Ю.Б.Иванова с соавторами в 2002г. двухжидкостпая модель [2-8] использовалась с уравнениями состояния, которые явно включают в себя фазовый переход адронной материи в состояние КГП. Наконец в работах [19,20] в эту двухжидкостную модель введено явное рассмотрение третьей жидкости
- файербола - которая формируется из частиц, рождающихся в результате
взаимодействия двух стакивающихся потоков. При этом допускается конечное время формирования рождающихся адронов, в течение которого они не взаимодействуют с другими частицами системы, и учитывается взаимодействие файербола с барионными потоками.
Все перечисленные версии мультижидкостного описания ядерных столкновений имели один общий недостаток: они не содержали в себе правильного одножидкостного предела, который должен иметь место в случае достижения равновесия в двухпотоковой системе. Для обеспечения этого использовалась искусственная интерполяционная процедура между одно- и двухжид-костным режимами взаимодействия. Этот недостаток был преодолен в работах [9,10,14,18], где были разработана сначала двух- а затем трехжидкостная модели со средними мезонными полями для описания ядерных столкновений с энергиями порядка 1 ГэВ/нуклон. В этих работах было показано, что предложенное мультижидкостное описание может рассматриваться как приближенное решение кинетического уравнения типа Ландау-Власова. Дальнейшее развитие двухжидкостной модели со средними полями было сделано в работе [15], где, во-первых, дано ее трехмерное обобщение, во-вторых, развита методика расчета спектров наблюдаемых частиц по заданным функциям распределения квазичастиц, в-третьих, разработан генератор событий для моделирования отдельных событий по результатам гидродинамических расчетов и решен еще ряд методических вопросов.
Таким образом в диссертации представлен цикл работ, в которых открыты два новых направления в теории ядерных столкновении высоких энергий.
Во-первых, это мультижидкостная релятивистская гидродинамика со средними мезонными полями, являющаяся хорошим приближением микроскопического кинетического описания ядерных столкновений.
Во-вторых, это трехжидкостная гидродинамика (улыра)релятивистских ядерных столкновений, последовательно учитывающая конечность времени формирования адронов третьей жидкости и ее взаимодействие с первичными барионными потоками.
На защиту выносятся следующие основные положения и новые результаты:
1. На основе кинетической теории разработаны двух- и трехжидкостная модели со средними мезонными полями, результаты расчетов по которым можно рассматривать, как приближенное решение кинетических
уравнений.
2. Методика расчета экспериментально наблюдаемых характеристик ядер
ных столкновений. В том числе:
-оригинальная модель испарения нуклонов для расчета спектра наблюдаемых нуклонов по спектрам квазинуклонов из гидродинамического расчета;
-генератор событий по результатам гидродинамического моделирования; -модель коалесценции для расчета спектров легких фрагментов.
3. Изучено влияния уравнения состояния и тормозной способности ядер
ной материи на динамику столкновения ядер с энергиями порядка
1 ГэВ/нуклон и экспериментально наблюдаемые характеристики. Только уравнение состояния с К а 200 МэВ и эффективной массой нуклона Mft а 0,85Мрі в равновесном состоянии согласуется с данными эксперимента.
Предложена новая методика анализа спектров частиц по поперечному импульсу, позволяющая экспериментально изучать как уравнение состояния, так и тормозную способность ядерной материи.
Предсказан эффект инверсии коллективного поперечного потока пионов в ядерных столкновениях и его корреляции с потоком "горячих" нуклонов.
Результаты исследования рождения К* в столкновениях ядер с энергиями порядка 1 ГэВ/нуклон, подтверждающие вывод о том, что только мягкое уравнение состояния с К Сі 200 МэВ и эффективной массой нуклона Mli 2± 0,85М# в равновесном состоянии согласуется с данными эксперимента.
Двухжидкостная модель с излучением пионов и трехжидкостная модель, учитывающая конечное время формирования адронов, рождающихся в столкновениях первичных барионых потоков и образующих третью жидкость (файербол), и взаимодействие файербола с барионными потоками.
На основе анализа экспериментальных данных определена тормозная способность ядерной материи при энергиях столкновения 1-Ю ГэВ/нуклон. Она в 3 - 4 раза превосходит оценки, сделанные на основе пустотных нуклон-нуклонных сечений. Определена область энергии столкновений, в которой наиболее вероятно проявление фазового перехода барионной материи в состояние КГП.
9. Численные алгоритмы мультижидкостной гидродинамики.
Научная новизна диссертации определяется тем, что в ней:
Для промежуточных энергий порядка 1 ГэВ/нуклон разработаны оригинальные двух- и трехжидкостная гидродинамические модели с самосогласованными средними мезонными ПОЛЯМИ.
На основе этих моделей изучена зависимость динамики взаимодействия ядер от параметров средних полей (ядерного уравнения состояния) и тормозной способности ядерной материи.
Адрохимический подход для описания рождения мезонов в ядерных столкновениях включен в мультижидкостное динамическое описание процесса взаимодействия.
Проведено комплексное изучение чувствительности различных экспериментально наблюдаемых характеристик к уравнению состояния и тормозной способности ядерной материи.
Для ультрарелятивистских энергий, 10 - 100 ГэВ/нуклон, разработаны двухжидкостная модель с излучением пионов и трехжидкостная модель, в которой последовательно учтено конечное время формирования адро-нов рождающейся третьей жидкости и ее взаймодествие со сталкивающимися барионными потоками.
Предсказано значительное, 3-х 4-хкратное, усиление тормозной способности ядерной материи по сравнению с оценками, полученными на основе пустотных нуклон-нуклонных сечений. Исследована возможность создания условий для кварк-глюонного фазового перехода в процессе столкновения тяжелых ядер.
Практическая ценность диссертации.
Разработанная серия гидродинамических моделей представляет собой самостоятельное направление в теории ядро-ядерных столкновений и в совокупности с другими теоретическими подходами дает возможность изучения природы процесса взаимодействия тяжелых ядер в очень широком диапазоне энергий.
Трехмерные компьютерные реализации одно- и двухжидкостной моделей позволяют выполнять реалистические расчеты многих наблюдаемых
в эксперименте характеристик. Это дает возможность как анализа экспериментальных данных, так и прогнозирования экспериментов. В частности в начале 1995 г. было выполнено исследование по определению "оптимальной" энергии проектируемого ускорителя в Дармштадте с целью получения максимальных сжатий и возбуждений барионной материи.
При разработке алгоритмов и программ было составлено свыше 100 подпрограмм для решения стандартных задач вычислительной математики, часть из которых была установлена на компьютерах ИВК РНЦ "Курчатовский институт" в виде библиотеки стандартных подпрограмм и доступна всем пользователям ИВК.
Все коды трехмерной реализации трехжидкостной модели размещены в открытом доступе на Интернет-сайте
Апробация работы
Результаты диссертации докладывались на семинарах ИАЭ им. И.В. Курчатова, ОИЯИ (Дубна), Центра тяжелоионных исследований (Дармштадт), Университета Франкфурта на Майне (ФРГ), Университета в Гиссене (ФРГ), а также на ХУШ Международном симпозиуме "Динамика многочастичных систем" (Ташкент, 1987 г.), на ГХ Международном семинаре по проблемам физики высоких энергий (Дубна, 1988 г.), на Всесоюзном совещании "Адро-ны" (Ужгород, 1988 г.; Сухуми, 1989 г.), на 27-ой ежегодной весенней школе по ядерной физике (Холыгхау, ГДР, 1989 г.), на Международных совещаниях "Свойства ядер и ядерные возбуждения" (Хиршег, Австрия 1990, 1991, 1993 гг.), на Международном совещании по ядерной динамике (Марчиано-Марино, Италия, 1990 г.), на Международном совещании по ядерным столкновениям (Берген, Норвегия, 1993 г.), на международном рабочем совещании по физике высоких энергий ДИФРАКЦИЯ-95 (Новый Свет, Крым, 1995 г.), на XII международной конференции по избранным проблемам современной физики, посвященной 95-й годовщине рождения Д.И.Блохинцева (Дубна, июнь 2003 г.), на международном рабочем совещании "Рождение и потоки ба-рионов в адронных и ядерных столкновениях" (Тренто, Италия, май 2004 г.).
Публикации
Вошедшие в диссертацию результаты опубликованы в 29 работах. Достаточно полно результаты диссертации представлены в работах [1-20].
Объем работы
Диссертация состоит из введения, шести глав и заключения, содержит 217 страниц текста с 82 рисунками и 3 таблицами и библиографический список литературы из 306 наименований. Полный объем диссертации - 246 страниц.
Релятивистская гидродинамика со средними полями и ядерное уравнение состояния
Еще один как математически, так и физически разумный шаг в сторону построения модели, более адекватной исходному кинетическому описанию, состоит во введении еще одной жидкости, рождающейся в результате взаимодействия двух исходных потоков. С математической точки зрения функция распределения параметризуется суммой трех распределений Ферми для барионов: где F a\x,p) по-прежнему определяется выражением (32), но к двум исходным потокам снаряда (р) и мишени () добавлена третья, "остановившаяся" (s) жидкость. Очевидно, что с помощью такой параметризации можно точнее аппроксимировать более широкий класс функций.
Физическими аргументами в пользу такой трехжидкостной параметризации являются следующие. Как уже отмечалось, при высоких энергиях нук-лон-нуклонные сечения имеют ярко выраженную асимметрию вперед-назад. Следовательно в столкновениях ядер высоких энергий нуклоны рассеиваются преимущественно на малые углы (в их с.ц.м.) что позволяет рассматривать нуклоны двух сталкивающихся ядер как два взаимодействующих потока. Это реализовано в двухжидкостном описании процесса взаимодействия ядер. Но, несмотря на сильную асимметрию сечений, часть нуклонов испытывает рассеяние на большие углы (9ст 90), формируя третью ("остановившуюся", или "файербол" в терминах работ [33,34]) жидкость. Более того по мере торможения исходных потоков относительная энергия нуклонов уменьшается и сечения становятся все более изотропными, что приводит к более частому рассеянию на большие углы.
Исходные кинетические уравнения (2) и (14) могут быть переписаны в виде связанной системы уравнений для отдельных компонент функции распределения где U-a обозначает операторы левых частей уравнений (2) и (14), а интегралы столкновений для частиц а-потока можно символически записать в виде Здесь С аа описывает столкновения частиц внутри одного (а) потока, а два последних члена - столкновения частиц а-потока с частицами других потоков, аа отмечает частицу а из а-потока. Величины I определяются выражениями (5) и (6), но через парциальные функции распределения F aa\ F и F , и парциальные сечения (ро сР&ьр+с-у- аа+хId5p). Вычисление моментов Jd4pL F aa и J d4pp L F aai дает необходимое число линейно независимых уравнений для параметров трех компонент , а = р, s, і функций распределения: где p Ba and jj}, - полные барионные скалярная плотность и ток се-жид-кости, соответственно: Правые части уравнений (43) и (44) описывают столкновительное взаимодействие жидкостей и будут представлены в явном виде в следующем параграфе. Гидродинамические уравнения (43) и (44) опять замыкаются уравнениями для полей (10) и (11). В дальнейшем трехжидкостную модель будем обозначать как RMF-3FM. Рассмотрим взаимодействие частиц /3-потока с частицами потока у. Во-первых, необходимо сформулировать способ разбиения дифференциального сечения (ро d3 f i3+f"-/--i-f+x/d?p) на сумму парциальных сечений (ро d3af.p+f uf_ fa+x/d3p). В двухжидкостном приближении такое разбиение очевидно: т.е. вторичные частицы, рассеявшиеся в переднюю полусферу (в с.ц.м.), приписываются потоку снаряда, а частицы в задней полусфере - потоку мишени. Здесь / ,/",/ отмечают N или Д. Такой способ разбиения сечений s Включение других бариоыов выполняется аналогично. был использован во всех предыдущих версиях двухжидкостного описания [28,32,35-41,133] и иллюстрируется на Рис.2а. Основным предположением трехжидкостного приближения является разбиение сечений взаимодействия барионов р- и -потоков на изотропную часть, которая отвечает за формирование "остановившейся" жидкости cm p2dpdQcm p2dpdQcm p2dpdQ которая в свою очередь разбивается на (f p + f"t — fp + X) и (fp + ft —У ft+X) части согласно двухжидкостному приближению (46). Такое разбиение сечения иллюстрируется на Рис.2Ь. Основой этого разбиения является следующее простое рассуждения. Если сечение действительно изотропно, распределение вторичных частиц в импульсном пространстве также изотропно. В этом случае очевидно, что вторичные частицы естественнее рассматривать как одну "остановившуюся" жидкость, нежели искусственно разбивать ее на два взаимодействующих потока. Именно к этому приводит выбранный способ разбиения сечений (47) и (48).
Необходим также способ обработки столкновителы-юго взаимодействия s-жидкости ср- и і-потоками. Если следовать рецепту (47) и (48), необходимо вводить следующие жидкости, что приведет к их бесконечному размножению и восстановлению кинетического предела. Поэтому для сохранения трехжидкостного приближения взаимодействие s-жидкости с р- и -потоками описывается согласно двухжидкостному приближению (46). Это иллюстрируется на Рис.2с.
Замораживание и преобразование квазичастиц в частицы
На следующем этапе моделируется обмен энергией и импульсом между жидкостями вследствие их среднеполевого взаимодействия. Основную проблему этого этапа представляют временные производные в правых частях уравнений (74) и (75), которые вычисляются итерациями. Начальные значения производных оцениваются по предварительным значениям соответствующих величин, полученных на первых трех этапах, и их значениям в момент времени t. Завершения этого этапа дает поля плотностей барионного заряда, энергии и импульса на сетке в момент времени t + At.
Заключительным этапом временного шага является переход из лабораторной" системы в локальную систему покоя жидкости для каждой ячейки сетки. Этот переход необходим для вычисления скоростей, температур, давлений, сгиш полей. Для осуществления перехода необходимо решить систему трансцендентных уравнений: дополненную полевыми уравнениями (76), (77). Здесь введены обозначения. Эта система уравнений представляет основную трудность всего алгоритма. С предыдущих этапов временного шага известны величины N№,E№ И М ). Необходимо разрешить приведенную систему уравнений относительно бариоигюй плотности п а в локальной системе покоя а-жидкости, скорости v(a\ температуры Т и т-поля.
В одножидкостном режиме (когда в ячейке присутствует только одна жид Здесь под лабораторной подразумевается система, которая задается координатной сеткой, а не система покоя ядра мишени. Уравнения (80) - (82) сводятся к уравнениям где опущен индекс а. Уравнения (83) - (85) могут быть далее сведены к одному трансцендентному уравнению относительно барионной плотности п в локальной системе:
Предполагается, что давление Р представлено в виде функции п и (є+Д п2), что может быть сделано с помощью уравнения (76). Кроме того, уравнения (83) - (85) дают еще одно соотношение позволяющее представить Р как функцию только одного аргумента п. После этого уравнение (86) решается итерациями с начальным приближением: n{0) = N(l-M2/E2) 2.
В двухжидкостном режиме имеются две таких подсистемы уравнений, связанных между собой через а- и ш - поля, которые, в свою очередь, зависят от плотностей обеих жидкостей. Эти две подсистемы уравнений становятся независимыми, если известны поля. В этом случае уравнения (80) - (82) можно свести к уравнениям: В действительности уравнения (88) и (89) представляют собой одно трансцендентное уравнение, если известна функция Р а = Р а\п \ё \а). Итак весь алгоритм решения системы (80),(81) и (82) в двухжидкостном режиме следующий. Предполагая полное равновесие жидкостей в ячейке, решается система (83) - (85), где N = N + N, Е - Е&) + ?( ) иЙ = Й+М, и вычисляются начальные приближения для а- и w-полей. Подставляя эти начальные значения полей в уравнения (88) и (89), решаем их относительно ила\ Это дает возможность вычислить ё а\ (89), скорости и, следовательно, новые приближения для а- и ш-полей. Эти итерации повторяются до тех пор пока два последовательных приближения для полей не становятся достаточно близкими друг к другу. Как правило, примерно пять итераций дают приемлемую сходимость. Этот этап завершает временной шаг. В заключение приведем некоторые параметры численной схемы. При моделировании столкновений Au -f Аи с энергией 1 ГэВ/нуклон использовались: пространственный шаг сетки в направлении пучка Az — 0, 73 Фм, в поперечной плоскости Да; — Ау = 0,91 Фм и временной шаг в системе равных скоростей At = 0, 26 Фм/с. Полное число тестовых частиц иа ядро равно примерно 10000. Моделирование столкновения для одного прицельного параметра занимает примерно 30 минут времени на компьютере IBM-3090. Одножидкостная версия при тех же условиях требует 10 - 15 минут.
Эволюция каждой тестовой частицы прослеживается до тех пор, пока на стадии расширения системы она не попадает в область с плотностью числа барионов ниже некоторой плотности замораживания7. Гидродинамический расчет заканчивается, когда все тестовые частицы заморожены. Результатом расчета является ансамбль тестовых частиц (г = 1, 2, .„). Каждая тестовая частица характеризуется полным барионным зарядом Q(i)} гидродинамической 4-скоростью и(г), температурой Т(г), химическими потенциалами барионов р(г) и пионов /А) (г), средними мезонными а (і) и ш (і) полями. Эти величины позволяют получить одночастичные функции распределения согласно выражениям (32) и (33) и вычислить плотности п (г) и р(а\г) различных частиц (a = N, А или 7г) для каждой тестовой частицы в момент
Именно в системе равных скоростей выполняется все моделирование. Ш расчетах плотность замораживания равна примерно 0, 5%. ее замораживания. Для получения спектров наблюдаемых частиц следовало бы, вообще говоря, проследить дальнейшую, довольно долгую, эволюцию системы, в результате которой горячие области "участников" расширились бы до состояния невзаимодействующих частиц, а сравнительно холодные области "наблюдателей" сняли избыток энергии испарением частиц и сформировали остаточные фрагменты. Для описания этой поздней стадии эволюции предлагается простая адиабатическая модель процесса распада и испарения. Предполагается, что первыми покидают систему квазичастицы наибольшей энергии. Они преобразуются в свободные частицы и уносят из системы некоторую долю энергии, импульса и барионного заряда. Поля в оставшейся системе ослабляются, спектр квазичастиц подстраивается под эти новые поля и система опять излучает частицы наибольшей энергии. Этот процесс продолжается либо до полного распада элемента жидкости, либо энергия всех оставшихся частиц становится недостаточной для преодоления потенциального барьера, создаваемого полями, и они формируют остаточные холодные фрагменты.
Сравнение одно- и двухжидкостного описания ядерных столкновений при энергиях Дубны
Параметры парциальных распределений Ферми определялись из решения уравнений мультижид-костной гидродинамики для однородной ядерной материи, которая в начальный момент описывалась двумя фермиевскими распределениями с нулевой температурой. Как видно на Рис.3, скорость релаксации импульсных распределений заметно различается в расчетах с различными наборами параметров. Результаты двух- и трехжидкостных расчетов в общих чертах согласуются с результатами кинетического моделирования [99,100]. В частности, они воспроизводят различие в скоростях релаксации для различных наборов параметров. Если глобальные черты процесса установления равновесия неплохо воспроизводятся в обеих гидродинамических моделях, то детали кинетической функции распределения воспроизводятся менее удовлетворительно и несколько лучше в трехжидкостной модели.
Для сопоставления времен и скоростей релаксации в двухпотоковой системе вычислялись второй и четвертый моменты барионной функции распределения: где i,j — x или z, ось z направлена вдоль пучка. Нулевой и нечетные моменты тривиальны в такой постановке задачи. Сравнение результатов кинетических расчетов с предсказаниями двух- и трехжидкостной моделей представлены на Рис.4 и 5.
Вторые моменты в обеих гидродинамических моделях практически точно воспроизводят кинетические результаты в случае только упругих столкновений (VI и V3 на Рис.4). Сильное отклонение вторых моментов в двухжидкостной модели как от результатов трехжидкостной модели, так и кинетических, которые опять практически совпадают, в случае включения неупругого канала взаимодействия (V2 и V4 на Рис.4) связано с очень резкой энергетической зависимостью сечений реакции NN —г NA вблизи ее порога. Причиной такой резкой зависимости является нулевая ширина А-изобары, использованная при расчетах сечений в среде [100]. В двухжидкостных расчетах происходит резкий переход к режиму чисто упругих столкновений при переходе относительной энергии потоков через порог рождения Д-изобары. В трехжидкостной модели торможение р- и і-потоков происходит медленнее за счет перехода энергии в s-жидкость, и их относительная энергия дольше находится в области иеупругости. Это сглаживает переход в режим чисто упругих столкновений и значительно улучшает согласие с кинетическими результатами. Ожидается улучшение двухжидкостных результатов в случае учета ширины Д-изобары .
Четвертые моменты опять хорошо воспроизводятся в обеих гидродинамических моделях в случае только упругих столкновений (VI и V3 на Рис.5) и наблюдается заметное ухудшение двухжидкостного описания при включении
"Отсутствие кинетических расчетов, которые выполнял М. Schonhofen, с конечной шириной Д-изобары не позволило проверить это утверждение. моментов барионной функции распределения в двухпотоко-вой системе. неупругости (V2 и V4 на Рис.5) по причине, отмеченной выше.
На Рис.6 показана эволюция плотностей Д- изобар в расчетах с включением неупругих каналов (V2 и V4). Обе гидродинамические модели, предполагающие химическое равновесие, качественно воспроизводят поведение плотности изобар, полученное в кинетических расчетах, заметно недооценивая ее абсолютную величину. Можно ожидать, что учет распада изобар и включение пионов в кинетических расчетах (в представленных здесь результатах эти процессы не учитывались [99,100]) приведет к уменьшению плотности изобар, что улучшит согласие с гидродинамическими расчетами. Таким образом представленные результаты не отвергают справедливости предположения химического равновесия в каждом потоке. По причине, отмеченной выше, трехжидкостная модель опять лучше согласуется с кинетическими расчетами как по временному поведению плотности изобар, так и по ее абсолютной величине. 100], двух- и трехжидкостной моделей для наборов параметров V2 и V4 (см. текст).
Представленные здесь результаты численных тестов позволяют рассматривать двух- и трехжидкостную модели как весьма дешевый, с точки зрения затрат компьютерного времени, способ приближенного решения кинетических уравнений.
Обе модели хорошо воспроизводят результаты соответствующих кинетических расчетов процесса термализации двух встречных потоков ядерной материи.
Малые затраты компьютерного времени позволяют изучать с помощью мультижидкостного описания более тонкие эффекты ядро-ядерных столкновений. В частности в работе [145] предложено стохастическое обобщение мультижидкостного описания столкновений тяжелых ядер промежуточных энергий.
Одно- и двухжидкостная модели со средними мезонными полями дают возможность анализа динамики ядро-ядерных столкновений в зависимости как от уравнения состояния (параметров средних полей), так и тормозной способности ядерной материи. Одножидкостная модель является предельным случаем двухжидкостного описания при очень больших сечениях взаимодействия нуклонов.
Здесь такой анализ выполняется па примере центрального столкновения Ли + Аи при энергии 1 ГэВ/нуклон. Эта реакция интенсивно изучалась во время выполнения настоящей работы на ускорителе SIS в Дармштадте. На Рис.7 и 8 представлена временная эволюция о поля, нулевой компоненты полного барионного тока п = п Щ -\ п щ и различных пространственных компонент полного тензора энергии импульса
Быстротные распределения протонов: тормозная способность, наблюдаемая в ядерных столкновениях
Инклюзивные спектры нуклонов и легких фрагментов интенсивно изучались на начальном этапе исследований столкновений тяжелых ионов высоких энергий (см. напр. обзоры [27,28,40,41]). Их анализ в рамках большого числа моделей показал их очень слабую чувствительность как к динамике процесса, так и к уравнению состояния ядерной материи. Тем не менее они отражают глобальные характеристики столкновения ядер (законы сохранения, геометрию системы) и должны быть первым пробником любой модели.
Сравнение модельных результатов с экспериментальными инклюзивными спектрами [155,156] представлено на Рис.10 и Рис.11.
Для тяжелой системы, La -f La, спектры протонов и легких фрагментов хорошо воспроизводятся двухжидкостной моделью. Для более легкой системы, Ar + КС1, представлены результаты как одно-, так и двухжидкостной моделей с одними и теми же параметрами средних полей (EOS-4 в таблице 1). Ни одна из этих моделей не дают полного согласия с данными. Оказалось, что улучшения согласия с данными в рамках двухжидкостной модели можно добиться увеличением тормозной способности (по сравнению с тем, что дает параметризация пустотных нуклон-нуклонных сечений [157]). Результат расчета с утроенным коэффициентом "трения" D (35) дает лучшее воспроизведение данных (кривые RMF-2FM (3D) на Рис.11). Этот факт можно интерпретировать как отличие сечений в среде от пустотных. Другое, более естественное, объяснение состоит в проявлении многонуклонных столкновений [158-161], которые могут существенно увеличить тормозную способность вещества. Для более тяжелой системы, подобной La+La, недостаток тормозной способности в двухжидкостной модели практически не проявляется в инклюзивных спектрах.
Моделирование с различными уравнениями состояния (т.е. различными параметрами средних полей показало очень слабую чувствительность инклюзивных протонных спектров к вариации уравнения состояния в широких пределах. Инклюзивные спектры нуклонов, дейтонов, тритонов и а-частиц в столкновениях La(0,8 ГэВ/нуклон)4-La. Кривые - расчет в рамках двухжидкостной модели, данные получены на ускорителе Вевалак [155].
Анализ инклюзивных спектров протонов и легких фрагментов, пример которых приведен на Рис.10, Рис.11, в рамках большого числа различных моделей показал их очень слабую чувствительность к динамике столкновения ядер и уравнению состояния ядерной материи. Уникальная детекторная система "Пластиковый шар" позволила регистрировать отдельные события в 47г-геометрии. В этом параграфе будет представлен анализ быстротных распределений, полученных на этой установке, с разбиением событий по множественности на пять интервалов MUL1-MUL5 (точное определение можно
Инклюзивные спектры протонов в Аг(0,8 ГэВ/нуклон) І КС1 столкновениях. Представлены результаты расчетов в рамках двух- (RMF-2FM) и одножидкостной (RMF-1FM) моделей. Показан также результат расчета в двухжидкостной модели с утроенным коэффициентом трения (RMF-2FM(3D)). Экспериментальные данные из работы [156]. найдти в работах экспериментальной колаборации, например, [162]). Эти интервалы покрывают всю область прицельных параметров от наиболее периферических (MUL1) до наиболее центральных (MUL5). Сравнение с этими данными требует использования моделей, описанных выше, в полном объеме, включая генератор событий (параграф 2.3), механизм коалесценции (параграф 2.4), а также фильтрующую программу , моделирующую аксептенс детектирующей системы.
Начнем с качественного сравнения данных с результатами расчетов .Использовалась полная версия программы SIMDATCLASTER, любезно предоставленная A.M. Poskanzer.прицельных параметрах без использования генератора событий и фильтрующей программы. На Рис.12 (левая колонка) представлено сравнение рассчитанных быстротных распределений барионного заряда, (для Са + Са) в почти центральных столкновениях с данными, соответствующими интервалу множественностей MUL5 [163]. Здесь N(p,d,t75 Не или Не) обозначают число соответствующих частиц. Результаты расчетов на этом рисунке перенормированы на полные наблюдаемые множественности, т.к. из-за аксептенса детектора даже в центральных столкновениях регистрируются не все частицы. Из этого сравнения можно заключить, что данные определенно свидетельствуют в пользу двухжидкостной модели. Однако такой вывод преждевременен, поскольку, как будет показано ниже, экспериментальные критерии отбора и фильтрации событий практически полиостью уничтожают различие в предсказаниях одно- и двухжидкостной моделей. Так на Рис.12 (правая колонка) представлены результаты расчетов с полным экспреиментальным критерием отбора событий по множественности после фильтрации [162], но без учета фильтрации в быстротных распределениях. Результаты расчетов опять перенормированыы на наблюдаемую множественность. Видно, что уже отбор событий существенно уменьшает различие между моделями. Отбор событий и фильтрация в полном объеме приводит практически к одинаковой степени воспроизведения результатов одно- и двухжидкостной моделями (Рис.13-Рис.17). Более того для наиболее легкой системы [Са(0,4 ГэВ/нуклоы) + Са] и наибольшей энергии [Ne(2,l ГэВ/нуклон) + Au] одножидкостиая модель выглядит даже предпочтительнее, что противоречит ожиданиям (двухпотоковый режим должен сильнее проявляться с ростом энергии и уменьшением размера ядер). Расчеты с различными параметризациями средних полей показали практически полную независимость представленных результатов от уравнения состояния.
Основной проблемой воспроизведения экспериментальных быстротных распределений является недостаточная асимметрия модельных результатов для промежуточных прицельных параметров (MUL2 и MUL3 на Рис. 13-Рис.16). До фильтрации модельные спектры симметричны относительно быстроты центра масс (см. Рис.18), как это и должно быть в столкновениях одинаковых ядер. Наблюдаемая асимметрия является следствием аксептенса детектора.