Неоднородность вязкоупругих свойств миокарда. Модель и эксперимент Смолюк Алексей Тимофеевич

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Обзор литературы 13

Глава 2. Объекты и методы исследования 42

2.1. Объекты исследования 42

2.1.1. Выделение, отбор и оценка физиологического состояния папиллярных мышц 42

2.1.2. Модель морфофункциональной единицы миокарда 44

2.1.3. Методика разрешения состояния модели 46

2.2. Экспериментальный программно-аппаратный комплекс 48

2.3. Экспериментальный протокол 56

2.4. Обработка экспериментальных данных 61

2.5. Алгоритмы верификации параметров модели 67

Глава 3. Анализ статических характеристик вязкоупругости неоднородного миокарда 68

3.1. Экспериментальная модель неоднородного миокарда в пассивном состоянии 68

3.2. Математическое моделирование неоднородной мышечной системы при последовательном соединении блоков 73

3.3. Модель неоднородного функционального мышечного волокна 90

Глава 4. Анализ динамических характеристик вязкоупругих свойств неоднородного миокарда 98

4.1. Экспериментальное исследование эволюции петли вязкоупругого гистерезиса миокардиальной ткани на разных частотах 98

4.2. Математическое моделирование динамических характеристик миокарда 102

4.2.1. Анализ статических зависимостей «сила - деформация», воспроизводимых математической моделью, составленной из однородных блоков 105

4.2.2. Анализ статических зависимостей «сила - деформация», воспроизводимых математической моделью, составленной из неоднородных блоков 109

4.3. Математическая модель миокардиальной пластины, имитирующая различные патологические состояния сердечной мышцы 113

4.3.1. Математическая модель вязкоупругих характеристик постинфарктного рубца 113

4.3.2. Математическая модель вязкоупругих характеристик патологически гипертрофированного миокарда 117

4.4. Математическое моделирование эволюции петли вязкоупругого гистерезиса миокардиальной ткани на разных частотах 119

Заключение 124

Выводы 130

Список литературы 132

Приложение 145

Модель базового блока 145

Метод Эйлера 148

Коэффициент достоверности аппроксимации R 149

• Экспериментальный программно-аппаратный комплекс
• Экспериментальная модель неоднородного миокарда в пассивном состоянии
• Модель неоднородного функционального мышечного волокна
• Математическое моделирование эволюции петли вязкоупругого гистерезиса миокардиальной ткани на разных частотах

Введение к работе

Актуальность исследования.

Неоднородность структуры и функций миокарда лежит в основе одной из фундаментальных парадигм работы сердца. Показано, что различные свойства кардиомиоцитов в стенке желудочка сердца неодинаковы, причем не только в патологически измененном миокарде (Edvardsen 2002), но и в здоровом сердце (Antzelevitch 2001). До настоящего времени нет полного понимания физиологической и патофизиологической значимости неоднородности сердечной мышцы. В натурном эксперименте на целом сердце вклад неоднородности в формирование сократительной функции миокарда определить сложно по нескольким причинам. Во-первых, не представляется возможным оценить механическую активность отдельного сегмента стенки полости сердца, поскольку каждый из них располагается в окружении группы других и подвержен их влиянию. Во-вторых, нельзя произвольно управлять структурой неоднородности деформаций в пределах одного сегмента.

Для решения этой проблемы используют различные экспериментальные и численные методы (Tyberg 1969, Pinto 1977, Protsenko 2005, Katsnelson 2014). Среди множества известных моделей (Fung 1993, Holzapfel 1996, Usyk 2000, Wang 2009, Gurev 2011), воспроизводящих вязкоупругие свойства материала, отсутствует модель, в которой учтена взаимосвязь между структурой и функцией неоднородного миокарда (в едином морфофункциональном комплексе во всем физиологическом диапазоне деформаций без вариации коэффициентов характеристик). Так же, мало изучено влияние различных типов локальной неоднородности вязкоупругих характеристик сегментов стенки желудочка на глобальный механический отклик целого органа. При этом связь между свойствами миокарда как материала и его активными характеристиками носит фундаментальный характер и лежит в основе механизмов регуляции сократимости.

Поэтому актуальной задачей становится оценка в норме и при патологии влияния неоднородности локальных вязкоупругих и геометрических характеристик сегментов стенки на глобальные механические свойства миокардиальной ткани и ее отклик в ответ на деформацию. На данный момент такая оценка возможна только при разработке и анализе экспериментальных и математических моделей, имитирующих неоднородность структурно-функциональных свойств сердечный ткани.

Цель работы - Разработать новый класс экспериментальных и математических моделей, имитирующих неоднородность механических свойств миокарда, и определить вклад локальной неоднородности геометрических и механических свойств изолированного препарата миокарда в его результирующий вязкоупругий отклик.

Задачи:

1. Разработать простейшую математическую модель неоднородной вязкоупругой системы, состоящую из двух блоков, каждый из которых имитирует морфофункциональную единицу миокарда.

2. Провести биомеханические эксперименты с изолированными препаратами миокарда и с последовательным мышечным дуплетом для проверки адекватности разработанной математической модели.

3. В численных экспериментах на модели воспроизвести вязкоупругие свойства неоднородного мышечного волокна конечной длины.

4. Разработать базовую модель, учитывающую поперечные связи между морфофункциональными единицами миокарда (блоками) для воспроизведения пространственной структуры ткани миокарда.

5. Провести численные эксперименты на базовой модели для определения вклада локальной геометрической и механической неоднородности различных типов в результирующий вязкоупругий отклик образца миокарда.

Научная новизна.

6. Впервые разработана простейшая математическая модель вязкоупругих свойств геометрически и реологически неоднородной мышечной системы и проверена на адекватность по собственным, экспериментально полученным, данным о статических и динамических характеристиках изолированных препаратов миокарда желудочка крысы.

7. Впервые на модели воспроизведен эффект ремоделирования при адаптации миокарда к изменению нагрузки за счет взаимной компенсации вязкоупругих и геометрических параметров.

8. Впервые экспериментально установлены эффекты, являющиеся следствием неоднородности вязкоупругих свойств миокарда:

во-первых, при включении препаратов в дуплет происходит адаптивная подстройка их геометрических параметров, которая проявляется в расширении диапазона деформация элементов дуплета по сравнению с диапазоном в изолированном состоянии;

во-вторых, показано, что механические свойства отдельных составляющих неоднородного последовательного дуплета не изменяются.

4. В экспериментальном исследовании динамических характеристик изолированного
препарата миокарда крысы установлено:

влияние концентрации ионов кальция на вязкоупругие свойства миокарда;

относительное постоянство величины работы, совершаемой мышцей в ходе цикла «растяжение-сжатие» в физиологическом диапазоне деформаций.

5. Разработана базовая модель мышечной пластины миокарда, в которой реализован принцип подобия структуры, присущий биологическим тканям. Модель учитывает поперечные связи между морфофункциональными единицами миокарда (блоками) для имитации пространственной структуры и вязкоупругих свойств ткани миокарда как элемента гибридной системы для проведения биомеханических испытаний. В численных экспериментах на базовой модели впервые воспроизведены процессы ремоделирования миокарда при патологических состояниях (постинфарктный рубец и гипертрофия).

6. Впервые в численных экспериментах установлен вклад дисперсии характеристик вязкоупругости и геометрических параметров блоков в глобальный отклик системы, который проявляется:

во-первых, в неаддитивном совмещении индивидуальных статических и динамических характеристик блоков модели в изоляции в глобальную характеристику неоднородной системы;

во-вторых, в расширении рабочего диапазона деформаций элементов неоднородной системы по сравнению их изолированным состоянием и системой, составленной из однородных элементов.

Научно-практическая значимость.

В работе предложен новый подход к анализу эффектов неоднородности вязкоупругих
свойств биологических тканей. Разработан целый класс экспериментальных и математических
моделей, позволяющих исследовать влияние неоднородности различных типов на

результирующий отклик рассматриваемых систем в простейшей реализации. В математической модели применены методы оптимизации, которые могут быть использованы другими исследователями при создании масштабных структур различных биологических тканей. Результаты, полученные в работе на препаратах миокарда, необходимо учитывать при создании моделей целого сердца и искусственных тканей. Теоретическая значимость работы представлена эффектами, обнаруженными впервые при исследовании неоднородных вязкоупругих свойств миокарда, что следует учитывать при разработке методических и учебных материалов, в частности, по биомеханике сердечной мышцы.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. В миокардиальной ткани неоднородность по геометрическим характеристикам может быть компенсирована неоднородностью по механическим характеристикам и наоборот.

2. При объединении неоднородных препаратов миокарда в экспериментальной модели последовательного мышечного дуплета происходит адаптивная подстройка длин каждого из элементов дуплета, расширяющая диапазон испытываемых деформаций, по сравнению с их поведением в изолированном состоянии.

3. В физиологическом диапазоне частот цикла «растяжение-сжатие» наблюдается линейная зависимость энергии, рассеиваемой в единицу времени, от частоты повторения циклов.

4. Удаление ионов кальция из мышцы и из раствора, в который она погружена, приводит к снижению вязкости и жесткости препаратов миокардиальной ткани.

5. Для определения влияния неоднородности локальных механических и геометрических характеристик на глобальные вязкоупругие свойства ткани сердца необходимо использовать математические модели, в которых раздельно описан вклад основных структурных компонентов миокарда, определяющих его жесткость и вязкость.

Апробация работы.

Основные положения и результаты доложены на конференциях:

6. Международный Симпозиум «Биологическая подвижность: фундаментальная и прикладная наука» (Пущино, 2012).

7. IX Всероссийская школа-семинар "Математическое моделирование и биомеханика в современном университете" (Дивноморское, 2014).

8. XI Всероссийская конференция «Биомеханика-2014» (Пермь, 2014).

9. 21st Congress of the European Society of Biomechanics (Prague, 2015).

10. XI Всероссийского съезда по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Казань, 2015)

11. Российская конференция с международным участием «Экспериментальная и Компьютерная Биомедицина» (Екатеринбург, 2016).

12. XI Международный симпозиум «Биологическая подвижность» (Пущино, 2016).

Личное участие автора в получении результатов.

Автор участвовал в разработке методики и протокола экспериментов и анализе данных совместно с научным руководителем д.б.н. Ю.Л. Проценко. Автором разработаны 3D математические модели неоднородного мышечного волокна и миокардиальной пластины. Автором разработан метод оптимального расчета состояния математических моделей, а также программные модули для обработки результатов численных экспериментов на модели. В получении ряда результатов, их анализе и интерпретации помимо автора участвовали Л.Т. Смолюк, А.А. Балакин, Р.В. Лисин.

Публикации.

По теме диссертации опубликовано девять работ в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК.

Объм и структура работы. Диссертация изложена на 149 страницах машинописного текста и состоит из введения, четырех глав, заключения, выводов, списка цитируемых источников, включающего 182 источника, а также приложения. Работа содержит 44 рисунков и 14 таблиц.

Экспериментальный программно-аппаратный комплекс

Биомеханические испытания изолированных препаратов миокарда проведены на уникальном программно-аппаратном комплексе, разработанном в лаборатории биологической подвижности УрО РАН [20]. На рис. 2.3 представлена схема комплекса.

Описание узлов установки

Линейный сервомотор сконструирован на основе электродинамического громкоговорителя 25ГДН-1 и включает в себя: подвижную электрическую катушку, систему постоянных магнитов, фотосветодиодный датчик перемещения, шток и устройство управления. Устройство управления состоит из усилителей и интегро-дифференциаторов входного сигнала и сигнала обратной связи, сумматора и усилителя мощности и обеспечивает глубокую обратную связь с датчика перемещения на катушку. Его характеристики представлены в таблице 2.1.

Блок измерения силы со штоком массой около 1 грамма размещен на столике с микроподачей. Датчик силы изготовлен с использованием чувствительного элемента С-03 на базе кремниевого тензосопротивления, напыленного на лейкосапфировую подложку. Ток питания измерительного моста стабилизирован. Характеристики блока измерения силы приведены в таблице 2.2.

Стимулятор генерирует электрические раздражающие импульсы прямоугольной формы с управляемой амплитудой от 0 до 20 В, длительностью от 0.4 до 20 мс и периодом от 0.5 до 6 с. Сердечные мышцы стимулируют через неполяризующиеся угольные электроды большой площади, расположенные вдоль препарата, чтобы обеспечить одновременное возбуждение всех клеток и избежать тем самым временной задержки при распространении импульса по препарату. В экспериментах амплитуда раздражающего сигнала в 1.3 раза превышала пороговую, длительность составляла 5 мс.

Система жизнеобеспечения: мышцу, выделенную из сердца крысы, помещали в ванночку, которую перфузировали раствором через перистальтический насос (MasterfLex L/S, USA), который позволяет регулировать скорость протока аэрируемых растворов через ванночку.

Плата ввода/вывода с сигнальным процессором. В качестве платы ввода/вывода аналоговых и цифровых сигналов программноэкспериментального комплекса, выбран модуль L-Card L-502, в котором обработка данных и формирование управляющих сигналов происходят в режиме «реального времени» внутри самой платы (www.lcard.ru) [20].

Особенностью этой платы является наличие в ней собственного сигнального процессора Blackfin и встроенной оперативной памяти, что позволяет принимать и обрабатывать данные с аналого-цифрового преобразователя (АЦП) и управлять линейными сервомоторами через цифровые каналы (ЦАП) без участия ОС.

Основные характеристики модуля L-502: сигнальный процессор Blackfin с тактовой частотой 530 МГц, RAM 32 МБ, вход JTAG (позволяет задействовать готовые функции обработки сигнала и управления внутри модуля L-502). Кроме того, имеется возможность создания, собственных пользовательских функций. При этом максимальная потребляемая мощность от слота PCI Express составляет менее 7.6 Вт. Выбор временного дискрета обработки сигнала управления. Процессы электромеханического сопряжения в мышцах протекают за довольно короткие промежутки времени. Например, длительность потенциала действия папиллярной мышцы левого желудочка крысы составляет около 150 мсек, а длительность сердечного сокращения укладывается в диапазон 300-400 мсек. Следовательно, время обработки и формирование командного сигнала за один такт должно соответствовать скорости текущих процессов.

Любой АЦП обладает ненулевым временем преобразования сигнала из аналогового в цифровой (это зависит как от программной, так и от аппаратной среды). В модуле L-502 устойчивое время преобразования АЦП составляет не более 4 мксек на канал.

Для реализации непрерывного управления длинами двух сердечных мышц во время их механического взаимодействия необходимо задавать обмен величинами смещения длины входе развития силы. Для этого необходимо принимать и обрабатывать, сигналы «длина» и «сила» каждого из препаратов. При этом время, затраченное только на опрос четырех каналов с преобразованием аналоговых сигналов с датчиков экспериментальной установки в цифровые данные, составляет не менее 20 мксек. Более того, необходимо учитывать время, которое тратится на обработку входных сигналов (аналоговых и цифровых), внешних входных команд (что описано ниже), формирование выходных управляющих сигналов (в нашем случае для двух цифро-аналоговых преобразователей - ЦАП). Таким образом, результирующее время, необходимое для устойчивой работы программно - аппаратного комплекса, в режиме сокращений мышц, подобном аналоговому взаимодействию, составляет около 50 мксек. Сопоставляя скорость работы модуля и длительности регистрируемых процессов, был выбран временной дискрет, равный 100 мксек, для устойчивого приема и управления сигналами, к тому же этот временной дискрет позволил добавить в опрос не менее четырех аналоговых каналов.

Принцип работы программно-аппаратного комплекса. Программное обеспечение экспериментального комплекса состоит из двух программ, разработанных в лаборатории биологической подвижности ИИФ УрО РАН: программная прошивка и пользовательское приложение. Первая загружается в модуль и работает в режиме «реального времени». Вторая содержит графический интерфейс и предоставляет возможность управлять работой прошивки с помощью передачи в нее команд в виде массивов данных и работает как обычная программа под управлением Windows (в нашей работе) или Unix. На рис. 2.4 представлен общий графический интерфейс пользовательского приложения. На рис.2.5 представлена блок-схема взаимодействия программы графического интерфейса с программой платы ввода/вывода в течение одного такта управления (получение, обработка информации и передача командного сигнала за 100 мксек).

Пользовательское приложение с помощью команд управления данными устанавливает связь с программой платы ввода/вывода через выделенный буфер памяти. Программа модуля проверяет передачу команды в модуль. При положительном результате передачи команды обрабатываются соответствующими алгоритмами, описанными в прошивке модуля. Далее программа платы ввода/вывода забирает данные с АЦП и цифровых портов из специально выделенных для этих данных буферов (размер буфера для данных АЦП задается автоматически драйвером модуля либо определяется пользователем). Данные, полученные с АЦП, обрабатываются платой, после чего формируются управляющие сигналы для сервомоторов длины. Далее обработанные данные перемещаются в буфер, доступный для программы графического интерфейса (размер буфера задается автоматически драйвером модуля либо определяется пользователем). После этого управляющие сигналы для сервомоторов длины отправляются в ЦАП. Пользовательское приложение проверяет доступность буфера обработанных данных с АЦП: если буфер доступен, данные отображаются на экране монитора. После этого такт управления заканчивается.

При этом данные сохраняются в незашифрованном структурированном (двоичном) виде в постоянной памяти ПК для их последующей обработки. Все алгоритмы обработки экспериментальных данных разработаны в нашей лаборатории (описаны ниже). При этом существует возможность создания любых других пользовательских алгоритмов.

Пользовательское приложение экспериментального комплекса было реализовано с помощью Microsoft Visual C++, Borland C++ Builder, Borland Delphi, LabView и др. Прошивка модуля может быть собрана как в среде VisualDSP, так и с помощью свободно распространяемого компилятора GCC (с использованием GNU Toolchain для BlackFin). Именно программа платы ввода/вывода содержит специально разработанные алгоритмы управления сервомоторами длины.

Системные требования для работы с экспериментальной установкой определяются минимальными требованиями используемой операционной системы и выполняемыми задачами. Например, если ПК работает под управлением MS Windows, то системные требования доступны на официальном сайте MS Windows (windows.microsoft.com).

Экспериментальная модель неоднородного миокарда в пассивном состоянии

На основе описанной выше методики была разработана экспериментальная модель, имитирующая последовательное соединение двух неоднородных сегментов миокарда стенки желудочка. С ее помощью стало возможным определить влияние взаимной неоднородности вязкоупругих характеристик составляющих дуплета на результирующий отклик всей системы. Полученные результаты легли в основу проверки адекватности разработанной математической модели. Это позволило расширить представления о вязкоупругих свойствах реальной мышечной ткани в условиях простейшей неоднородной системы.

Была проведена серия из 12 экспериментов с последовательным мышечным дуплетом в соответствии с описанной методикой. На рис. 3.1 A представлен репрезентативный пример, отражающий экспериментальную зависимость «сила - деформация» двух мышц в изоляции. Отчетливо видно, что до объединения в последовательный дуплет механические отклики каждой мышцы в изоляции значительно отличаются.

После объединения мышц в последовательный дуплет, согласно описанной методике, были построены зависимости «сила - деформация» для дуплета в целом и для каждой из мышц, функционирующих в составе дуплета. На рис. 3.1 B представлен репрезентативный пример такой зависимости для дуплета и его составляющих. Отметим, что соответствующий отклик дуплета занимает промежуточное состояние в сравнении с откликом его составляющих во всем диапазоне рассмотренных деформаций. Причем, следует отметить, что величина отклика дуплета не является в чистом виде средней величиной откликов двух мышц в изоляции. Следовательно, в каждом сечении кривых «сила - деформация» имеет место линейное преобразование, отображающее изолированные кривые в кривую целого дуплета. А при рассмотрении всего диапазона деформаций, вероятно, можно выделить некое матричное преобразование координат изолированных кривых в координаты кривой дуплета.

Далее было проведен сравнительный анализ механического отклика мышц в изоляции и после их включения в последовательный дуплет во всем диапазоне рассматриваемых деформаций. Репрезентативные кривые зависимостей «сила - деформация» представлены на рис. 3.2. По этим данным видно, что кривые «сила - деформация» для мышц в изоляции почти полностью накладываются на аналогичные кривые для мышц в составе дуплета. Тщательная проверка не выявила закономерности в смещении кривых - отклонения вызваны погрешностью метода. Таким образом, был подтвержден тот факт, что неоднородность по механическим и геометрическим характеристикам всей системы в целом не оказывает влияния на локальные реологические свойства сегментов, т.е. локальные механические свойства биологического материала являются инвариантными в рассмотренных условиях. Тем не менее, геометрически препараты, рассматриваемые в изолированном состоянии и после объединения в последовательный дуплет ведут себя по-разному - происходит адаптивное перераспределение длин в соответствии с принципом равенства сил (уравнение 2.2). Так, на рис. 3.2 видно, что более жесткий («красный») препарат испытал большую деформацию, нежели более мягкий («синий»). Этот неожиданный факт объясняется особенностями протокола испытаний, при котором максимальная величина деформации дуплета складывается из максимальных деформаций мышц в изоляции, не принимая в расчет их механические различия (рис 3.1 A показывает, что кривые «сила - деформация» существенно расходятся уже при малых величинах деформации).

В итоге, при деформациях до определенной величины превалирует вклад более жесткой мышцы («красная»), а после, за счет резкого изменения крутизны деформационной характеристики, возрастает вклад более мягкой («синей») мышцы, и она начинает растягивать первую.

Данный эффект не нарушает принципов теории упругости. Для доказательства этого проведем анализ полученных данных. Известно, что препараты в изоляции подвергались растяжению до одинаковой величины относительной деформации. Однако, после объединения их в последовательный дуплет, более жесткая («красная») мышца испытала меньшую деформацию по сравнению с изолированным состоянием, а более мягкая («синяя») - большую деформацию. Наглядно эти данные представлены на рис. 3.3.

Таким образом, впервые были установлены эффекты, являющиеся следствием неоднородности вязкоупругих свойств разных сегментов ткани миокарда. Во-первых, показано, что механические свойства отдельных составляющих неоднородного последовательного дуплета не зависят от их включения в дуплет. Во-вторых, при включении препаратов в дуплет происходит адаптивная подстройка длины каждого из них. А именно при прочих равных условиях, для более мягкой составляющей дуплета расширяется диапазон испытываемых деформаций по сравнению с изолированным состоянием. Тем не менее, в реальных условиях диапазон может быть расширен и за счет более жесткой составляющей, что было показано на рис. 3.2. Как итог, при объединении неоднородных препаратов миокарда в дуплет мы получили систему с новыми характеристиками вязкоупругости каждого из элементов дуплета, отклик которой не является средним от откликов составляющих дуплета в изоляции, но имеет место некое преобразование одних координат в другие.

Очевидно, что экспериментальная модель не позволяет количественно оценить влияние различных типов неоднородности на глобальный механический отклик. Поэтому для более глубокого понимания обнаруженных феноменов необходимо привлечь аппарат математического моделирования.

Модель неоднородного функционального мышечного волокна

В предыдущем разделе нами были описаны новые данные, полученные при исследовании влияния неоднородности локальных геометрических и механических характеристик структурных блоков модели неоднородного миокардиального волокна на механический отклик простейшей неоднородной системы, составленной из пары трехмерных структурных блоков. Этот подход был развит для описания распределенной неоднородной системы, состоящей из произвольного числа последовательно соединенных блоков, как модели вязкоупругих свойств функционального волокна миокарда.

В общем виде система уравнений (3.1) неразрешима аналитически, а численное решение достаточно сильно зависит от выбора начального приближения значений элементов. При увеличении числа блоков на каждую единицу в систему (3.1) добавляется 4 нелинейных дифференциальных уравнения. Уже для модели из трех блоков практически невозможно разрешить систему уравнений без точного подбора начального приближения, что делает данный подход малопригодным для описания систем из большого числа структурных блоков. Поэтому для решения динамической задачи был разработан алгоритм линеаризации уравнений модели, использующий следующую разностную схему где x(t) неизвестное значение переменной x в момент времени, равный t; x(t-At) - известное значение переменной х в момент времени, равный (t - At) , где At - временной шаг дискретизации разностной схемы; Ax приращение переменной х, которое необходимо отыскать. x (t) - неизвестное значение производной функции x(t) в момент времени, равный t. При таком подходе динамическое состояние модели, состоящей из N- последовательно соединенных блоков, при различных значениях времени t описывается следующей системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ):

Согласно теореме Кронекера-Капелли и критерию совместности системы линейных алгебраических уравнений решение данной системы на каждом этапе итеративного процесса существует и является единственным. Данный подход имеет существенное преимущество перед численным решением нелинеаризованной системы уравнений, в которой точность выбора начального условия определяет вероятность сходимости метода к тому или иному (близкому к первому) решению, что в значительной степени усложняет алгоритм поиска верного решения.

С целью проверки адекватности разработанного алгоритма линеаризации уравнений была рассмотрена система, описывающая неоднородную модель, составленную из двух блоков. Показано, что решения, полученные по оригинальным (описанным в разделе 3.2) и линеаризованным уравнениям, совпадают. Достоверность аппроксимации составила R = 0. 9999. На рис. 3.13 представлен отклик модели из двух неоднородных блоков в ответ на ступенчатую деформацию для обоих вариантов решения системы. Таким образом, предложенный алгоритм решения системы уравнений для модели из произвольного числа блоков является адекватным поставленной задаче.

При этом поиск квазистационарных состояний модели, составленной из произвольного числа блоков с заданной геометрией, происходит по следующему алгоритму:

1. Решаем задачу одного структурного блока при его произвольной деформации.

2. Условно делим систему из N блоков на пары (например, система из 5 последовательно соединенных блоков можно разделить на 3 части: 2, 2 и 1 блок, соответственно).

3. Решаем задачу поиска квазистационарного состояния модели из двух блоков (описана выше). Повторяем деление оставшихся блоков на пары, пока система не будет сведена к модели из двух блоков, определение состояния которой проводится по аналогичной схеме

Для изучения особенностей неоднородности вязкоупругих характеристик в протяженном мышечном волокне рассмотрена система из 5 последовательно соединенных блоков (рис. 3.14). На первом этапе было исследовано влияние геометрической неоднородности одного из блоков системы (помечен стрелкой на рис. 3.14) на результирующий отклик при деформации всего волокна.

Затем эта неоднородность была компенсирована изменением локальных механических параметров блоков системы (таблица 3.3, голубым выделены параметры, которые были изменены). В результате механический отклик неоднородной системы практически полностью совпал с откликом системы до введения неоднородности (рис. 3.15). Достоверность аппроксимации составила R = 0.9997.

При анализе данных, полученных на разработанной модели, установлено, что локальная геометрическая неоднородность оказывает существенное влияние на глобальные характеристики вязкоупругости всей системы.

Кроме того, геометрическую или механическую локальную неоднородность в модели можно компенсировать введением неоднородности по механическим или геометрическим параметрам структурных блоков модели соответственно, как это было показано в модели дуплета. После компенсации механический отклик всей модели практически не отличается по сравнению с откликом модели до введения неоднородности (достоверность аппроксимации составляет более 99.9%). Этот факт подтверждает состоятельность разработанного алгоритма.

Известно, что в стенке сердца миокардиальные волокна состоят из цепочек пластин, образованных кардиомиоцитами, соединенных последовательно через щелевые контакты (gap junction) или нексусы и параллельно через боковые контакты - десмосомы (desmosomes). В свою очередь волокна, соединенные параллельно, объединяются в пучки, образующие сегменты стенки желудочка. Поэтому дальнейшее развитие представленного подхода предполагает разработку пространственной модели, учитывающей не только продольные, но и поперечные деформации. Это позволит исследовать влияние локальных дефектов различных биологических тканей на результирующие механические характеристики лоскута ткани.

Математическое моделирование эволюции петли вязкоупругого гистерезиса миокардиальной ткани на разных частотах

Наконец, на последнем этапе была проведена верификация модели миокардиальной пластины по экспериментальным данным гистерезиса (см. раздел 4.1). Следует подчеркнуть, что выбор объекта исследования в виде тонкой изолированной папиллярной мышцы обусловлен ее структурой. Гистоморфология мышцы представлена набором из 5 - 6 миокардиальных пластин, которые, в свою очередь, образованы совокупностью нескольких десятков кардиомиоцитов, окруженных соединительнотканной оболочкой [96]. Нами получены данные об эволюции петли вязкоупругого гистерезиса изолированной папиллярной мышцы крыс в зависимости от частоты пилообразной продольной деформации с постоянной амплитудой. Кроме того, были определены наборы параметров модели, воспроизводящих вязкоупругое поведение реального образца в контрольном состоянии, в «бескальциевом» состоянии и в децеллюляризированном состоянии (см. раздел 4.1). Отметим, что совокупность этих данных получена нами впервые.

На рис 4.13 представлены результаты сопоставления кривых гистерезиса, полученные в ходе натурного и численного экспериментов для контрольного препарата на частотах 0.1, 1, 3, 10 Гц. Для качественного анализа полученных данных была выбрана модель, составленная из однородных блоков (см. раздел 4.2.1).

Следует отметить, что при поиске параметров, необходимых для воспроизведения экспериментальных кривых, не ставилась задача получить набор неизменяемых величин параметров. Очевидно, что свойства биологического материала сохраняются при любом деформационном воздействии в выбранном диапазоне частот и амплитуд. Поскольку модель не в полной мере воспроизводит процессы, происходящие в папиллярной мышце, то для каждой из частот пилообразной деформации выполнялся поиск своего набора постоянных значений параметров жесткости и вязкости, позволяющих адекватно описать экспериментальные данные. Тем не менее, было соблюдено условие, чтобы разброс значений соответствующих параметров из каждого набора не превышал ±10%. В таблице 4.8 представлены значения коэффициентов жесткости и вязкости для одного из блоков модели. Согласно данным численного моделирования поставленное условие было выполнено для всех коэффициентов жесткости каждого из блоков. Однако разброс значений параметров вязкости составил 30%. Подобное поведение можно обосновать тем, что параметр вязкости по отношению к реальному миокарду не является инвариантом и зависит, например, от скорости перетекания жидкости через пористую среду. Таким образом, результаты численного моделирования показали, что разработанная модель адекватно воспроизводит феномен вязкоупругого гистерезиса для контрольного препарата.

В численных экспериментах так же использовалась модель, составленная из однородных блоков (см. раздел 4.2.1). На рис. 4.14 представлены результаты сопоставления кривых гистерезиса для случая пилообразной деформации с частотой 5 Гц (характерная частота сердцебиений крысы). При поиске параметров, необходимых для адекватного воспроизведения экспериментальных кривых, никаких ограничений не устанавливалось. В таблице 4.9 представлены значения коэффициентов жесткости и вязкости для одного из блоков модели. Согласно полученным данным прослеживается четкая динамика уменьшения всех параметров жесткости и вязкости блоков модели сначала в бескальциевом состоянии и, затем, в децеллюляризированном состоянии. Причем добиться хорошего совпадения в последнем случае удается только благодаря значительному (более 50%) снижению значений коэффициентов жесткости и вязкости, что согласуется с данными, полученными в разделе 4.1 о малом вкладе соединительно - тканного каркаса в развитие вязкоупругого отклика при отсутствии кардиомиоцитов. В модели это воспроизводится тем, что включение соединительных упругих элементов, имитирующих вклад коллагенового каркаса, происходит лишь при деформациях значительно больших, чем рассматриваемые согласно экспериментальному протоколу.

В результате, для всех трех групп препаратов было получено хорошее совпадение (значение коэффициента достоверности аппроксимации R составило более 0.97), что в совокупности с данными, полученными в предыдущих разделах, говорит о пригодности модели для качественного и количественного описания статических и динамических вязкоупругих характеристик миокарда в нормальном и патологическом состояниях.