Моделирование нелинейных конформационных возмущений в ДНК Рясик Артем Андреевич

Содержание к диссертации

Введение

1 Обзор литературы 9

1.1 Введение 9

1.2 Атомистические модели 10

1.3 Мезоскопические модели

1.3.1 Радиальные модели 11

1.3.2 Угловые модели 15

1.3.3 Модели с несколькими степенями свободы 22

1.3.4 Стохастические модели 27

1.4 Неточности при моделировании угловых колебаний азотистых оснований 30

2 Однородная модель Инглендера 32

2.1 Механическая аналогия – модель Скотта 32

2.2 Модель Инглендера 33

2.3 Общие свойства модельного уравнения 34

2.4 Решения модельного уравнения в виде кинка и антикинка 35

2.5 Аналитические и численные расчёты динамических характеристик кинков 38

2.6 Фазовый портрет кинков и антикинков 41

2.7 Выводы по главе 41

3 Модель синус-Гордона с диссипацией 44

3.1 Уравнение синус-Гордона с учётом диссипации 44

3.2 Решение задачи методом МакЛафлина-Скотта 45

3.3 Проверка результатов полученных методом МакЛафлина-Скотта 47

3.4 Выводы по главе 47

4 Расчёт динамических характеристик конформационных возмущений в неоднородных цепочеках ДНК 51

4.1 Неоднородная модель на основе уравнения синус-Гордона 51

4.2 Описание метода усреднения коэффициентов модельного уравнения 53

4.3 Результаты расчёта динамических характеристик конформационного возмущения

4.3.1 Иcкуccтвенные поcледовательноcти 54

4.3.2 Pеальные поcледовательноcти 57

4.4 Выводы по главе 60

5 Новая модель угловых колебаний азотистых оснований ДНК 61

5.1 Модель с явным учётом неоднородности цепочки 61

5.2 Решениe модифицированного уравнения синус-Гордона 64

5.3 Динамика конформационных возмущений в цепочке из двух однородных участков, разделённых границей 68

5.4 Динамика конформационных возмущений в цепочке из трёх однородных участков, разделённых границей 72

5.5 Модифицированная модель с диссипацией 75

5.6 Динамика конформационных возмущений в последовательности плазмиды pTTQ18 75

5.7 Выводы по главе 87

6 Модель со случайной силой 88

6.1 Описание модели со случайной силой 88

6.2 Расчёт траекторий движения конформационных возмущений в искусственной последовательности 89

6.3 Расчёт вероятности перехода открытого состояния между областями последовательности 94

6.4 Выводы по главе 96

Выводы 100

Заключение 102

Список рисунков 103

Список таблиц 109

Литература

• Радиальные модели
• Аналитические и численные расчёты динамических характеристик кинков
• Решение задачи методом МакЛафлина-Скотта
• Результаты расчёта динамических характеристик конформационного возмущения

Введение к работе

Актуальность темы. Методы математического моделирования играют важную роль в исследованиях структурных, динамических и функциональных свойств молекулы ДНК. Они позволяют значительно продвинуться в понимании динамических механизмов функционирования ДНК без проведения сложных и дорогостоящих экспериментов. Методы математического моделирования, применяемые для изучения внутренней подвижности ДНК, можно разделить на два класса: методы молекулярной динамики и мезоскопические (крупнозернистые, coarse-grained) модели. Модели первого класса являются очень подробными, позволяющими промоделировать движение каждого атома в отдельности. Однако главным недостатком метода является то, что при возрастании размера системы, а также рассматриваемого временного масштаба возрастают и требования к вычислительным мощностям. Следовательно для того, чтобы рассматривать динамику цепочки ДНК длиной в несколько тысяч пар оснований на временах в десятки наносекунд необходимы мощности суперкомпьютера. Второй класс моделей менее подробен, но тем не менее он позволяет учесть основные особенности конформационной динамики, рассматривая движения сахаров, фосфатов, азотистых оснований и взаимодействий между ними.

Также стоит отметить, что кроме сложностей, с которыми сталкиваются исследователи при моделировании динамики макромолекул, есть сложности в установлении связи между динамикой ДНК и её функциями. Так в ходе жизнедеятельности с молекулой ДНК могут происходить ряд различных событий, таких как ДНК-белковое взаимодействие, действие тепловых флуктуаций и ионизирующего излучения. Эти события ведут к изменению конформацию ДНК: образованию шпилек и крестов, переходу между формами ДНК, плавлению молекулы и образованию открытых состояний. Открытые состояния ДНК возникают при разрыве водородных связей внутри нескольких соседних пар азотистых оснований. Термин «открытые состояния» имеет множество синонимов в зависимости от контекста, в котором он используется, так наиболее известные синонимы это: «нелинейные конформационные возмущения», «области локального расплетания ДНК», «пузырьки денатурации» от англ. «bubbles». В настоящей работе мы будем использовать термин «конформационные возмущения».

Изменения конформации ДНК, связанные с образованием конформаци-онных возмущений, которые называют также нелинейными конформационными возмущениями, происходят на достаточно больших временах – от наносекунд и выше, а также на больших пространственных масштабах – от нескольких десятков пар оснований. Таким образом для изучения конформационных возмущений наиболее предпочтительным представляется выбор мезоскопической моде-

ли конформационной динамики. С её помощью можно моделировать движение конформационных возмущений в длинных цепочках ДНК и на больших временах и получить, таким образом, новый инструмент для поиска связи динамики и функции ДНК.

Чаще всего исследователи моделируют конформационные возмущения рассматривая подвижность азотистых оснований. Существует два наиболее обширных класса мезоскопических моделей: радиальные и угловые. Радиальные модели рассматривают поперечные колебания азотистых оснований. Такой класс моделей чаще всего используются для моделирования процесса плавления ДНК. Самой известной радиальной моделью является модель Пейрара-Бишопа []. Эта модель получила широкое распространение в научной среде и была неоднократно модифицирована для моделирования внутренней подвижности ДНК при различных внешних условиях.

Угловые модели рассматривают угловые колебания азотистых оснований в плоскости, перпендикулярной главной оси молекулы ДНК. Этот класс моделей часто используется для моделирования процессов ДНК-белкового взаимодействия. Одной из первых моделей данного класса является модель Ингленде-ра [], которая была разработана для интерпретации экспериментальных данных по водородно-дейтериевому обмену в ДНК. Эта модель получила интерес научного сообщества, и на её основе было создано большое количество других моделей, например для учёта колебаний азотистых оснований в двух цепочках [] или моделирования движения одновременно азотистых оснований и сахаров []. Наибольший интерес при исследовании ДНК-белковый взаимодействий имеют угловые модели, поскольку именно угловые колебания азотистых оснований вносят наибольший вклад в образование конформационных возмущений, связанных с этими процессами.

Угловые модели развивались на протяжении более чем тридцати лет, и за это время произошёл переход от аналитических методов решения модельных уравнений к численным. Это позволило находить различные режимы движения конформационных возмущений, учесть неоднородность модели, рассматривать внутреннюю динамику азотистых оснований в каждой из двух цепочек одновременно и учитывать другие различные внутримолекулярные взаимодействия. Однако, наши исследования показали, что модель, которую использовали многие исследователи не достаточно корректно описывает зависимость параметров модели от последовательности оснований. Поэтому появилась необходимость создания новой, более корректной модели. И затем на основе этой модели исследовать динамику конформационных возмущений ДНК.

Целью данной работы является построение новой модели и изучение на ее основе динамики конформационных возмущений ДНК, которые форми-4

руются в ДНК при ДНК-белковом взаимодействии и под действием тепловых флуктуаций.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Разработать новую модель динамики ДНК, позволяющую более точно и корректно рассматривать динамику конформационных возмущений в однородных и неоднородных последовательностях ДНК, а также учесть влияние диссипации и тепловых флуктуаций на их движение вдоль цепочки.

2. Изучить с помощью этой модели особенности динамики конформационных возмущений в однородных последовательностях ДНК, рассчитать динамические характеристики конформационных возмущений, построить траектории движения и фазовые портреты.

3. Исследовать движение конфомационных возмущений в неоднородных последовательностях ДНК. Разработать методы численного решения модельного уравнения в неоднородном случае, а также методы расчёта профилей динамических характеристик конфомационных возмущений.

4. Применить разработанный подход для расчёта траекторий конформацион-ных возмущений в последовательности плазмиды pTTQ18.

Научная новизна:

5. Получено новое модельное уравнение, которое позволяет рассматривать динамику конформационных возмущений в однородных и неоднородных последовательностях ДНК с учётом диссипации и случайных тепловых флук-туаций.

6. Разработаны алгоритмы численного решения этого модельного уравнения.

7. Разработаны и реализованы алгоритмы для расчёта динамических характеристик конформационных возмущений ДНК, таких как: энергия активации, масса, размер, длина пути и время жизни конформационного возмущения в системе с диссипацией, рассчитана вероятность перехода конформацион-ного возмущения через границу между однородными областями под действием случайной силы.

Практическая значимость. Данная работа посвящена моделированию динамики конформационных возмущений в цепочке ДНК и имеет характер фундаментального исследования. Разработанное модельное уравнение на основе нелинейного уравнения синус-Гордона рассматривает колебательные степени свободы азотистых оснований. Эта модель позволяет рассматривать внутреннюю подвижность ДНК, а именно движение конформационных возмущений

ДНК вдоль главной оси молекулы. Помимо этого, она может быть использована для симуляции динамики системы маятников, имеющих общую ось подвеса. Разработанные алгоритмы численного решения модельного уравнения позволяют строить траектории движения конформационных возмущений в любых последовательностях ДНК, также в работе предлагаются методы для расчёта динамических характеристик конформационных возмущений ДНК.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на 14 научных конференциях:

8. 19-я Международная конференция “Математика. Компьютер. Образование” (Дубна, 3 – 8 февраля 2012)

9. Международная междисциплинарная научная конференция с элементами научной школы для молодежи «Восьмые Курдюмовские чтения: синергетика в естественных науках», (Тверь, 18-22 апреля 2012)

10. International Conference, dedicated to the 100th anniversary of Alexander Davydov: “Problems of theoretical physics”, (Киев, 8-11 октября, 2012)

11. Международная конференция молодых ученых «Экспериментальная и теоретическая биофизика» (Пущино 22-24 октября 2012)

12. 20-я Международная конференция “Математика. Компьютер. Образование” (Пущино, 28 января – 2 февраля 2013)

13. 17-ая Международная Пущинская школа-конференция молодых ученых “Биология – наука XXI века” (Пущино, 21-26 апреля 2013)

14. Международная научно-методическая конференция «Современные проблемы биофизики сложных систем. Информационно-образовательные процессы». (Воронеж, 24-27 июня 2013)

15. Международная конференция молодых ученых «Экспериментальная и теоретическая биофизика» (Пущино, 21-23 октября, 2013)

16. 21-я Международная конференция “Математика. Компьютер. Образование” (Дубна, 3 – 8 февраля 2014)

10. 18-ая Международная Пущинская школа-конференция молодых ученых “Биология – наука XXI века” (Пущино, 21-25 апреля 2014)

11. 9-th International Conference on Bioinformatics of Genome Regulation and Structure/Systems Biology (Новосибирск, 23 - 28 июня 2014)

12. Международная конференция молодых ученых «Экспериментальная и теоретическая биофизика» (Пущино, 27-29 октября, 2014)

13. 22-я Международная конференция “Математика. Компьютер. Образование” (Пущино, 26-31 января 2015)

14. Albany 2015: Conversation 19 (Albany, 9-13 June, 2015)

Личный вклад. Автор принимал активное участие в разработке модели, алгоритмов численного решения и их реализации, в обсуждении полученных результатов и подготовке публикаций.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 23 печатных изданиях, 5 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК, 5 в сборниках статей, 13 в тезисах докладов конференций. По результатам работы было получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, выводов и заключения. Полный объём диссертации составляет 121 страницу текста с 53 рисунками и 5 таблицами. Список литературы содержит 130 наименований.

Радиальные модели

Следующим серьёзным шагом при моделировании внутренней динамики ДНК был явный учёт того факта, что нативная цепочка ДНК является неоднородной. Поэтому многие авторы стали рассматривать искусственные последовательности ДНК: с точечными неоднородностями, состоящими из участков однородных областей, последовательности, состоящие из повторов какого-либо ДНК-текста. Кроме этого были предприняты попытки рассматривать реальные последовательности ДНК, со строгим учётом порядка расположения оснований в цепочке.

В работе Салерно [67] была предложена идея о том, что кинки дискретного уравнения синус-Гордона двигаются в определенных областях ДНК, а именно в промоторах. Он рассматривал динамику нелинейных волн в промоторной последовательности А1 бактериофага Т7 с использованием уравнений движения: +1 — 2ві + 9і-1) \isin(9i — фі), (1.15) at 2 где ві и фі - углы отклонений, которые образуют комплементарные основания при отклонении от положения равновесия, К - величина жесткости остова, / - момент инерции основания, /3 - энергия связи одной водородной связи и ЛІ - число водородных связей внутри пары оснований (Aj = 2 в паре А — Ти\І = 3в паре G — С). При этом авторы используют обезразмеренную модель и предположение о том, что значение коэффициента J5/K 10-3 является необходимым условием устойчивости солитона. В работе была использована искусственная последовательность, составленная из участка генома бактериофага T7, содержащего промотор A1. Авторы оценили длину солитона, и она составила 35 пар оснований. Авторы представили численные расчёты траекторий кинка в данной последовательности и показали, что в рассматриваемой последовательности кинк, обладающий начальной нулевой скоростью, движется только при условии, что его начальная координата находится в области промотора. В своей следующей работе Салерно и Кив-шар используют ту же модель и ту же последовательность для моделирования движения кинка [68]. В данной работе, они представляют кинк как частицу, находящуюся в эффективном потенциале. В итоге авторы получили профиль безразмерного эффективного потенциала и направление движения кинка при нулевой начальной скорости, помещённого в область промотора. В результате моделирования направление движения кинка совпало с направлением движения РНК-полимеразы, связывающейся с данным промотором [69]. Идея Салерно была использована Леннхолмом и Хорнквистом [70] для исследования полного генома бактериофага Т7 на предмет активных областей, где возможно движение солитонов. Они показали, что промоторные области являются наиболее вероятными для возникновения солитонов по сравнению с другими областями генома. Для этого они построили графики зависимости доли кинков, от расстояния которые они проходят после начала симуляции. Так, было показано, что доля кинков с нулевой начальной скоростью, начавших свое движение в области, где происходит кодирование первых 20 оснований РНК, больше по сравнению с долей кинков, начавших движение в случайном месте последовательности. Также авторы исследовали устойчивость солитона при воздействии на него тепловых флуктуаций. В данном случае авторы добавили термостат Носе-Хувера в модель, и показали, что кинки сохраняют устойчивость даже при высоких температурах (600 K).

Та же модель была использована Башфордом в работе [71]. В данной статье автор рассматривает использует решение в виде бризера для описания движения белка (РНК-полимеразы) вдоль цепочки ДНК, для этого он также использует построение эффективного потенциала. При анализе движения бризеров используется профиль потенциала, построенный для отрезка ДНК, содержащего в себе несколько промоторов бактериофага T7. Показано, что минимумы эффективного потенциала коррелируют с сайтами инициации транскрипции. Приведены оценки длины бризера – от 18 до 30 пар оснований, оценки энергии активации и частоты бризера при его длине в 30 по: 2.7 10-18 Дж (387 ккал/моль) и 1 1012 Гц соответственно.

В работе Якушевич и соавторов [72] рассматривается модель, в которой учтена асимметрия спирали ДНК. В большинстве моделей, описанных выше, основания рассматривались как одинаковые объекты, имеющие одинаковые массы и моменты инерций. В предложенной модели обе цепочки ДНК представлены в виде двух параллельных прямых, с которыми перпендикулярно связаны основания, равноудаленные друг от друга. Азотистые основания имеют различные массы, в зависимости от вида основания. В каждой цепочке основание может совершать угловые колебания в плоскости пары оснований, перпендикулярной главной оси молекулы. Рассматривая однородные и неоднородные цепочки авторы находят три типа топологических солитонов, которые описывают открытые состояния ДНК. Авторы привели оценки скорости звука в ДНК, которые составили 1890-3500 м/с. Показано, что отталкивание или слияние солитонов зависит от их полярности и расположения на каждой из цепочек ДНК. Приведены оценки минимальной энергии необходимая для прохождения солитонов друг через друга и слияния солитонов, они составили 2025 кДж/моль (484 ккал/моль) и 1730 кДж/моль (413 ккал/моль) соответственно. Также было рассмотрено поведение солитонов в последовательностях с неоднородностями: точечная неоднородность, последовательность, состоящая из однородных участков и случайная последовательность. Показано, что взаимодействии с неоднородностями солитоны останавливаются в результате потерь энергии на фононное излучение. Кроме этого авторы статьи моделировали влияние тепловых флуктуаций на динамику солитона. В результате расчётов было показано, что при температуре 300 K все виды солитонов устойчивы при различных коэффициентах жёсткости (K=0.234 Н/м и K=0.8714 Н/м). Также авторы показали, что при взаимодействии солитонов друг с другом меняется при воздействии тепловых флуктуаций на систему. Так в системе без флуктуаций солитоны притягиваются, а в системе с флуктуациями отталкиваются в результате сжатия фононного газа, которые образуется в результате этих флуктуаций, что позволило объяснить эффекты дальнодействия между солитонами в молекуле ДНК. Недостатком работы является то, авторы использовали слишком большие значения энергии активации солитонов и коэффициентов внутримолекулярных взаимодействий. Так например энергия упругих взаимодействий внутри сахарофосфатного остова составляет 6000 кДж/моль (1434 ккал/моль). Также, согласно оценкам авторов, порядок массы солитонов составляет несколько тысяч Да, что на порядок превышает оценки других авторов.

Естественным развитием мезоскопических моделей является увеличение различных степеней свободы и внутримолекулярных взаимодействий для более точного и подробного описания внутренней подвижности ДНК. Во многом такие модели получили своё развитие благодаря увеличению компьютерных вычислительных мощностей и численных методов. Хотя некоторые авторы предпринимали попытки аналитических решений таких сложных моделей. Главными недостатками таких моделей является то, что исследователи при выигрыше в более детальном рассмотрении одного аспекта динамики сильно проигрывают в описании другого, например включая в модель большое количество внутримолекулярных взаимодействий приходится жертвовать временем симуляции, учётом неоднородности системы, либо моделировать малые молекулы ДНК. В любом случае такой подход является будущим мезоскопического моделирования, и в перспективе приближается к методам молекулярной динамики по критерию подробности описания объектов. В данной главе приведены примеры таких работ с кратким описанием моделей, методов их исследования и полученных результатов.

В статьях Хеннига и соавторов [73–76] была рассмотрена двухцепочечная молекула ДНК в декартовой системе координат таким образом, что ось была направлена вдоль молекулы в центре спирали, а движение оснований было рассмотрено в плоскости ,. Авторы рассматривали две степени свободы – радиальные смещения основания и углы отклонения от положения равновесия. В модель был добавлен дополнительный вид взаимодействия - энергия продольных деформаций, а водородные связи описаны с помощью потенциала Морзе. Эта модель была использована авторами для изучения процесса образования бризер, который сопряжен со структурными изменениями двойной спирали. Кроме этого авторы проводили численные эксперименты в модели с учётом и без учёта спиральности и сравнивали их между собой. Сначала авторы рассматривали динамику релаксации короткой молекулы ДНК (10 - 30 пар оснований) после её растяжения в разные стороны, построены профили перераспределения энергии возмущения в угловые и радиальные колебания колебания. Энергия возмущения составляла 0.35 еВ (8.1 ккал/моль) [74]. Затем в работе [75] авторы уточнили размеры бризеров - 15-20 пар оснований. Были построены профили скоростей бризеров как функции от начальных условий (начальных радиальных возмущений), скорости находятся в интервале от 0 до 1.6 A/пикосекунду при начальных амплитудах и частотах радиальных колебаний от 0.1 до 0.3 Aи 7-21 ТГц соответственно [73]. Также было показано, что чем больше азотистых оснований подвержены начальному возмущению, тем больше длина пробега бризера. А в статье [76] было исследовано влияние термостата на систему, была показана устойчивость бризеров при температурном воздействии. Также авторы продемонстрировали, что при увеличении температуры термостата увеличивается время пробега бризера. Гамильтониан системы: N Н = У У En i, En i = E ln + V + V 1 + V 1 + VP 1, (1.16) i=1,2 ra=1 где E n - кинетическая энергия нуклеотида, V - потенциал Морзе для описания водородных взаимодействий внутри комплементарной пары, V 1 - энергия ковалентных связей сахарофосфатного остова, VJ1 1 - энергия стекинговых взаимодействий и V 1 - энергия продольных деформаций.

Аналитические и численные расчёты динамических характеристик кинков

Сначала рассмотрим наиболее простое представление системы, которую может описывать уравнение синус-Гордона – это система связанных между собой маятников. Механический аналог модели представляет собой горизонтальную нить, на которой на равном расстоянии друг от друга подвешены маятники (рис. 2.1). Предполагается, что маятники могут колебаться в плоскостях, ортогональных горизонтальной нити. Предполагается также, что маятники связаны между собой пружинками, намотанными на горизонтальную ось. В рамках модели Скотта [59] колебания маятников можно описать с помощью уравнения синус-Гордона:

Первыми сходство между колебаниями маятников в модели Скотта и колебаниями азотистых оснований в ДНК заметили Инглeндер и соавторы [58]. В случае ДНК аналогом грузов маятников являются азотистые основания, аналогом оси вращения – сахаро-фосфатный остов, аналогом гравитационного потенциала – поле, наводимое комплементарной цепочкой и проявляющееся через водородные взаимодействия между основаниями внутри пар. Такое сходство позволило Инглeндеру и соавторам сделать предположение о том, что колебания оснований ДНК вокруг оси сахарофосфатной цепочки можно описать уравнением синус-Гордона в параметрах ДНК: где (,) – угловое отклонение основания от положения равновесия; – момент инерции основания; – константа взаимодействия между основаниями внутри пар; – крутильная жесткость сахарофосфатной цепочки; – расстояние между парами оснований. Инглендер и соавторы использовали такую модель для описания открытых состояний ДНК, которые были обнаружены в экспериментах по водородно-дейтериевому обмену. 2.3 Общие свойства модельного уравнения

Уравнение (2.2) обладает множеством решений в виде нелинейных уединённых волн, включая односолитонные решения (кинк/антикинк), двухсолитонные решения (бризер, кинк-кинк, кинк-антикинк, антикинк-антикинк), трехсолитонные и т.д. [103]. В данной работе мы ограничимся рассмотрением односолитонных решений - кинков и антикинков. Эти решения будут описывать распространение нелинейных конформационных возмущений вдоль цепочки ДНК. Поэтому здесь и далее мы будем понимать термины «кинк», «открытое состояние» и «нелинейное конформационное возмущение» как синонимы. Следует отметить важную особенность уравнения (2.2), которое инвариантно относительно преобразований Лоренца z1 = 7(-2 - vt), і! = 7(i - (v/c )z) (2.6) где z и t - координата и время конформационного возмущения, двигающегося со ско ростью v вдоль оси z, в новой системе отсчета, 7 = 1/\А - v2/с2 - фактор Лоренца. Благодаря этому свойству можно провести аналогию между нелинейным конформацион-ным возмущением и релятивистской частицей, и соответственно можно записать энергию Е и импульс этой частицы Р в виде

Е = 07 Р = lvm0, (2.7) где 0 = 02 – энергия покоя, а 0 – масса покоя частицы, а = 2/ – скорость звука в ДНК. В терминах «нелинейного конформационного возмущения» эти две характеристики означают энергию активации нелинейного конформационного возмущения и его массу, соответствующую этой энергии. Под энергией активации понимается минимальная энергия, необходимая для формирования нелинейного конформационного возмущения. Значения коэффициентов в модельном уравнении (2.2) для каждого из четырех видов однородных цепочек были рассчитаны в работе [102]. Коэффициенты представлены в таб лице 2.1. Значение коэффициента одинаково для всех видов цепочек и равно 3.4 A. Для каждого вида однородных цепочек существует свой набор коэффициентов уравнения, так, говоря о движении кинка мы подразумеваем движение конформационного возмущения по одной из двух цепочек двойной спирали ДНК в эффективном поле, наводимом комплементарной цепочкой. Например, кинк, распространяющийся в цепочке polyA, движется в эффективном поле цепочки polyT.

Возвращаясь в формуле (2.16) к исходным переменным z и t, получим решения (2.17). Графики этих решений представлены на рис. 2.2, 2.3. Односолитонное решение этого уравнения в виде кинка/антикинка: ф(г, t) = 4arctan ( exp ( ±— {z — vt — Z0) )) (2.17) (1(ф/2) 7 = ±—а. (2.14) было проинтерпретировано Инглeндером и соавторами как открытое состояние ДНК. В формуле (2.17) = 2/ – полуширина кинка/антикинка, и 0 – начальная скорость и начальное положение кинка/антикинка соответственно. Знак «+» соответствует решению кинк, знак «–» – решению антикинк. Оба эти решения абсолютно идентичны, за исключением направления вращения азотистых оснований: кинк – вращение по часовой стрелке, антикинк – против часовой. Рисунок 2.2: Кинки (красный и чёрный цвет) и антикинки (синий и зелёный цвет), рассчитанные для четырех видов однородных полинуклеотидных цепочек. Профили попарно совпадают для polyA, polyT (красный для кинка, синий для антикинка) и polyG, polyC (чёрный для кинка, зелёный для антикинка).

Из рис. 2.2 видно, что профили кинков/антикинков, распространяющихся в цепочках polyA и polyT совпадают, аналогично совпадают профили в polyG и polyC цепочках. Решения уравнения (2.2) в трехмерном пространстве {,,} показаны на рис. 2.3. Поверхности, отвечающие кинкам в polyA, polyT, polyG и polyC цепочках (рис. 2.3a), показаны красным, синим, зеленым и черным цветами соответственно. Аналогичным образом показаны поверхности, отвечающие антикинкам (рис. 2.3b).

Решение задачи методом МакЛафлина-Скотта

В этой главе были рассчитаны динамические характеристики нелинейныx конфоpма-ционныx возмущений в неодноpодныx полинуклеотидныx цепочках ДНК. Для их вычиc-ления был иcпользован метод скользящего среднего, котоpый даёт возможноcть учеcть за-виcимоcть вcеx коэффициентов модельного динамичеcкого уpавнения – уpавнения cинуc-Гоpдона – от поcледовательноcти оcнований. Было показано, что c помощью данного метода можно pаccчитать динамичеcкие xаpактеpиcтики любыx иcкуccтвенныx и pеаль-ныx поcледовательноcтей, что может быть применено для pешения задач, cвязанныx c поиcком и анализом функционально значимыx учаcтков ДНК. Были рассчитаны динамические характеристики конформационных возмущений для трёх промоторных последовательностей бактериофага T7. Результаты имеют качественное совпадение с результатом расчётов других авторов.

Одна из пеpвыx неодноpодныx поcледовательноcтей – иcкуccтвенная поcледователь-ноcть, cодеpжащая гpаницу между двумя одноpодными облаcтями, была pаccмотpена в pаботе [106]. В ней угловые колебания оcнований моделиpовалиcь уpавнением cинуc-Гоpдона (2.2), в котоpом два коэффициента ( и 2) cчиталиcь поcтоянными, а тpетий (V) задавался функцией: V(z) = V\ -\- (V2 — V\)e(z — ZQ), (4.1) где V\ и V2 - значения этого коэффициента V слева и справа от границы, zo - координата границы, в - ступенчатая функция Хевисайда. Задача (2.2, 4.1) решалась методом теории возмущений. Авторам удалось получить аналитическую формулу, определяющую изменение скорости конформационного возмущения при прохождении границы. Позднее этот результат был улучшен в работах [114], где использовались численные методы. Это позволило решить задачу об изменениях скорости конформационного возмущения при пересечении границы и при этом учесть зависимость всех коэффициентов модельного уравнения синус-Гордона от последовательности оснований. Два других вида искусственной последовательности - однородная последовательность с точечным дефектом и случайная последовательность - рассматривались в работе [72]. Еще несколько искусственных последовательностей - периодические, апериодические и случайные - были исследованы в работе [115]. Однако в обеих работах авторы ограничились случаем, когда только один из трёх коэффициентов уравнения синус-Гордона зависел от последовательности оснований.

Первое исследование динамики конформационных возмущений в реальной последовательности, а именно в промоторной последовательности А1 бактериофага Т7, было проведено в работе [67]. Затем задача о динамике конформационных возмущений решалась и для других последовательностей: для промоторных последовательностей A3 и D бактериофага Т7 [96], промоторных последовательностей плазмиды pBR 322 [116], полного генома бактериофага Т7 [70], последовательностей, взятых из генома человека [108,117]. Однако и в этих работах только один из коэффициентов уравнения (2.2) учитывал зависимость от последовательности оснований.

Преодолеть это ограничение удалось недавно в работах [118,119] с помощью простого аналитического метода, названного авторами методом концентраций. В рамках этого метода постоянные коэффициенты модельного уравнения (2.2) заменялись функциями, линейно зависящими от концентраций азотистых оснований в рассматриваемой цепочке: I = 1А х С А + 1т х Ст + IG Х СО + 1с х Сс] (4.2) V = VA х С А + Ут х Ст + VQ х CQ + Ус х С с] К = КА х С А + Кт х Ст + KG х С с + Кс х Сс Здесь СІ = (Ni/N) - концентрация оснований г-го типа; iVj - число оснований г-го типа, г = A,T,G,C; N - общее число оснований в полинуклеотидной цепи. Такой подход позволил легко и быстро рассчитать разнообразные динамические характеристики конформационных возмущений, такие как энергия активации (.Ео), полная энергия (Е), плотность энергии (р), масса покоя (то), полуширина и размер (d). Для этого достаточно было воспользоваться аналитическими формулами, полученными ранее для однородных полинуклеотидных цепочек [102,114,120], и заменить в них постоянные коэффициенты значениями, рассчитанными по формулам (4.2).

Однако этот метод обладает одним существенным ограничением: он позволяет рассчитывать коэффициенты уравнения и динамические характеристики усредненные по всей последовательности, а следовательно не чувствителен к порядку расположения оснований в цепи. Ниже описан метод, позволяющий преодолеть это ограничение.

В качестве математической модели было также использовано уравнение синус-Гордона (2.2). Однако в этом случае коэффициенты уравнения не являются константами, а являются функциями, зависящими от некоторой последовательности оснований S:

Для расчёта усреднённых коэффициентов уравнения использовался метод скользящего среднего, который позволил рассчитать концентрации азотистых оснований на каждом из участков усреднения (см. рис. 4.1), размер которого равен р. После этого вычисляются значения коэффициентов I(n),V(n) и К (п) согласно формулам (4.2). Затем были рассчитаны динамические характеристики конформационного возмущения - энергия активации Е0(п) и полуширина d(n) по следующим формулам [7]: Ео(п) = 8y/V (п)К (п), (4.4) d(n) = \JК (п)а2 /V(п). Полученные значения энергии активации и полуширины присваиваются номера интервала усреднения. Таким образом были получены графики зависимости динамических характеристик Е0(п) и d(n) от номера интервала п, что приближенно отражает зависимость этих характеристик от последовательности S.

Результаты расчёта динамических характеристик конформационного возмущения

Перейдём к рассмотрению простой последовательности длиной 900 пар оснований. Предполагается, что она состоит из трёх однородных участков: polyA, polyT и polyG, которые имеют одинаковую длину и разделены границами (рис. 5.7). Далее следует пред Рисунок 5.7: Искусственная последовательность. положение, о том, что внутри і-го интервала энергия активации открытого состояния Е0І может быть расчитана по формуле [7,122,123]: ЕОІ = 8у ЩУг, г = Д Т, G. (5.22) Это позволит рассчитать приблизительный энергетический профиль искусственной последовательности (рис. 5.8). Рисунок 5.8: Энергетический профиль искусственной последовательности. Затем, используя метод решения уравнения, описанный в предыдущей главе 5.2 была получена функция , которая приближённо определяет решение (,) в узлах сетки. Также как и в предыдущем разделе мы будем рассматривать графики для частной производной функции (,) по координате . На рис. 5.9 (вверху) и рис. 5.10 (вверху) показаны результаты расчётов траекторий конформационного возмущения, имеющего начальные скорости 0 = 400 м/с и 0 = 1200 м/с соответственно. Положения границ показаны белыми вертикальными прямыми. Энергетические профили последовательности и уровни энергии, соответствующие полной энергии конформационного возмущения показаны на рис. 5.9 (внизу) и рис. 5.10 (внизу).

Траектория конформационного возмущения (вверху),энергетический профиль искусственной последовательности (синяя сплошная линия) и полная энергия конформационного возмущения (красная пунктирная линия) (внизу). Начальная скорость конформационного возмущения 0 = 400 м/с.

В первом случае после пересечения границы толщина траектории конформационного возмущения уменьшается. Следовательно скорость конформационного возмущения увеличивается, когда оно преодолевает первую границу. Далее конформационное возмущение Рисунок 5.10: Траектория конформационного возмущения (вверху), энергетический профиль искусственной последовательности (синяя сплошная линия) и полная энергия конформационного возмущения (красная пунктирная линия) (внизу). Начальная скорость конформационного возмущения 0 = 1200 м/с. отражается от второй границы т.к. начальная скорость конформационного возмущения 0 = 400 м/c, а следовательно и полная энергия мала для преодоления потенциального барьера. Во втором случае (рис. 5.10) начальная скорость конформационного возмущения 0 = 1200 м/с, что позволяет ему пройти через вторую границу. Оценка минимальной скорости конформационного возмущения, обладая которой оно может преодолеть эту границу определяется следущим образом: 1 f EA\ \ — т Г f?t = cA1 — —7. (5.23) Здесь EQ и EQ - это минимальные энергии, необходимые для активации конформаци-онного возмущения в областях polyA и polyG, сА - скорость звука в области polyA, численно значение критической скорости v .% = 1033.4 м/с. Аналогично можно расчитать усгц для любой искусственной последовательности.

Для того, чтобы учесть влияние эффектов диссипации необходимо добавить в уравнение (5.10) дополнительное слагаемое (Хдф/dt), где Л - коэффициент диссипации, аналогично модели (3.1). В результате получим: Оценки численных значений коэффициентов диссипации в ДНК колеблются достаточно широком диапазоне [124]. В данной работе было использованы значения полученные в работе [125], где была рассмотрена похожая модель (таблица 3.1).

Рассматривались движения конформационных возмущений для тех же последовательностей, что и в предыдущих разделах данной главы. Результаты расчёта траекторий конформационных возмущений показаны на рис. 5.11, 5.12. На рисунках видно, что эффекты диссипации приводят к искривлению траекторий. Так на рисунках 5.11 можно видеть те же случаи поведения конформационного возмущения, которые были показаны выше. А на рис. 5.12 в обоих случаях (vo = 400 м/с и 02 = 1200 м/с) начальная полная энергия конформационного возмущения имеет значение, достаточное для преодоления первой границы, но недостаточное для преодоления второй в результате потери энергии. Следовательно оно застревает во второй области.

В этом разделе рассматривается движение конформационных возмущений в реальной последовательности ДНК - плазмиде pTTQ18, которая имеет кольцевую структуру [126]. Плазмида имеет длину 4563 основания [127], содержит в себе четыре функциональных области: промотор (54-333), терминатор (611-1108) и две кодирующих области (1585-2544 Рисунок 5.11: Сверху вниз отражение конформационного возмущения от границы между областями polyT и polyG. Прохождение конформационным возмущением границы между областями polyG и polyC c увеличением скорости. Прохождение конформационным возмущением границы между областями polyA и polyG c уменьшением скорости. Рисунок 5.12: Траектории конформационных возмущений, рассчитанные для искусственной последовательности. Начальные скорости конформационного возмущения 0 = 400 м/с (вверху) и 0 = 1200 м/с (снизу). и 2762-3622) (рис. 5.13). Области, расположенные между функциональными, называются некодирующими. В итоге, в плазмиде содержится восемь областей, разделенных восемью границами.

Сначала необходимо рассчитать значения коэффициентов уравнения (5.24) для каждой из восьми областей с помощью усреднения коэффициентов уравнения по областям. Затем полученные коэффициенты были использованы для расчёта энергии активации для каждой области и построения энергетического профиля для последовательности плазми-ды pTTQ18 (рис. 5.14). Также для описания изменения коэффициентов уравнения был применён тот же алгоритм, что и для искусственной последовательности. Для анализа Рисунок 5.13: Схематическое изображение кольцевой ДНК плазмиды pTTQ18, содержащей четыре функциональных области: промотор (Pr), терминатор (Term) и кодирующие области (CDS-1, CDS-2). Стрелка показывает направление движение конформационных возмущений.