Содержание к диссертации
Введение
Динамика линейных возмущений в вязких аккреционных дисках 18
1.1. Гидродиіштческая модель вязкого газового диска, 18
1.1.1. Исходная система уравнений 18
1.1.2. Модель тонкого газового диска 19
1.1.3. Вертикальное равновесие для политропной модели 21
1.1.4. Вертикальное равновесие в модели оптически толстого диска 23
1.1.5. Закон сохранения энергии 24
1.2. "Плоский" показатель адиабаты
для гонкого газового диска 26
1.3. Дисперсионные свойства линейных длинноволновых возмущений. Диссипатнвныс
неустойчивости ЛД 28
1.3.1. Качественный анализ 28
1.3.2. Дисперсионное уравнение 30
1.3.3. Законы вязкости 34
1.3.4. Оптические свойства газа 36
1.3.5. Вторая вязкость 39
1.3.6. Закон вращения диска 39
1.4. Неустойчивость коротковолновых акустических волн 40
1.4.1. Задача определения собственных частот 41
1.4.2. Фундаментальные S- и AS-моды в 2D- и ЗБ-модслях 44
1.4.3. Дисперсионные свойства высокочастотных неустойчивых мод 46
1.5. Выводы 50
Нелинейное моделирование диссипативных аккреционных дисков 52
2.1. Алгоритмы и методика расчетов вязких дисков 52
2.1.1. Уровень турбулентной вязкости в АД 52
2.1.2. Основные уравнения 53
2.1.3. Численная схема TVD 54
2.1.4. Численная схема SPH 57
2.2. Формирование ударных волн СО
2.2.1. Динамика возмущений от стационарного периодического источника 60
2.2.2. Динамика волн при наличии начального возмущения 65
2.3. Динамика акустических возмущений в не адиабатическом аккреционном диске 67
2.3.1. Случай стандартной модели АД 67
2.3.2. Аккреция тонкого кольца С92.4. Учет несимметричных и вертикальных движений 71
2.5. Выводы и обсуждение 72
3 Глава
Неустойчивости и переход к турбулентности 75
3.1. Неустойчивости в плоскости вращающегося радиальио неоднородного диска 75
3.1.1. Проблема конвекции в АД 76
3.1.2. Дисперсионное уравнение 76
3.1.3. Границы конвективной устойчивости 78
3.2. Нелинейная стадия радиальной конвекции 81
3.2.1. Структура конвекции на нелинейной стадии 81
3.2.2. Последствия конвективных движении 84
3.2.3. Долговременная периодичность карликовых новых 86
3.3. Резонансные неустойчивости в моделях аккреционных дисков 88
3.3.1. Собственные частоты колебаний в вертикально неоднородном диски с учетом
магнитного поля при наличии звуковой точки 90
3.3.2. НТАР без магнитного поля 91
3.3.3 . Учет магнитного поля и пределе узкой переходной зоны 95
3.3.4 . Неустойчивость медленных магнитозвуковых волн 97
3.4. Обсуждение результатов 101
Динамическое моделирование дисковых галактик 104
4.1. Динамические модели N-тел 104
4.1.1. Основные методы расчета самосогласованной гравитационной силы 104
4.1.2. Построение численных моделей равновесных осесимметричных
бесстол кновительных трехмерных звездных дисков 107
4.1.3. Численное интегрирование уравнений движения. Параметры динамических моделей и основные предположения 113
4.2. Тестовые расчеты 116
4.2.1. Разогрев холодного диска 116
4.2.2. Модели TREEcode и РР 119
4.2.3. Связь между дисперсиями радиальных и азимутальных скоростей в диске . . . 121
4.2.4. Бары — как результат развития
гравитационной неустойчивости глобальной бар-моды 123
4.2.5. Модели с нестационарными сфероидальными подсистемами 124
4.3 Звездно-газовые модели 125
Проблема темной массы в S-галактиках 128
5.1. Звездные диски на границе гравитационной устойчивости 130
5.1.1. Проблема гравитационной устойчивости дискои и критерии устойчивости . , . 130
5.1.2. Звездные диски на границе устойчивости 136
5.1.3. Граница гравитационной устойчивости моделей без балджа 140
5.1.4. Модели с образованием бара 143
5.1.5. Модели с балджем 144
5.1.6. Дифферснциальпость вращения как фактор, повышающий порог гравитационной устойчивости 146
5.2. Оценка массы сфероидальных подсистем для выборки дисковых галактик 147
5.2.1. Зависимость отношения дисперсии скоростей звезд к скорости вращения cTjV
от относительной массы гало р. = Мд/Л/d 147
5.2.2. Модели галактик KGC 6503, 319S 149
5.2.3. Линзовидная галактика NGC 3115 153
5.2.4. Оценка массы маржиналыга устойчивых дисков 154
5.3. Оценка пассы гало для галактик позднего типа 159
5.3.1. Отношение центральной дисперсии скоростей звезд к максимальной скорости вращения 159
5.3.2. Оценка массы гаю по наблюдаемой дисперсии скоростей звезд в центре диска 162
5.4. Особенности формы кривых вращения галактик, наблюдаемых с ребра 164
5.4.1. Постановка вопроса 164
5.4.2. Модели без поглощения 166
5.4.3. Модели с поглощением света 169
5.4.4. Влияние хаотических движений 171
5.4.5. Модели с неоднородным распределением пыли 174
5.5. Изгибные неустойчивости звездного диска 176
5.5.1. Вертикальная структура звездных дисков
и изгибные неустойчивости 176
5.5.2. Численное моделирование изгибных исустойчивостей 178
5.5.3. Результаты моделирования галактик, наблюдаемых с ребра 189
5.6. Выводы и обсуждение результатов гл. 5 197
Глава Динамические модели галактик с баром 202
6.1. Особенности распределения параметров в SB-галактиках 203
С. 1.1. Бар и массивное гало 204
6.1.2. Дисперсии скоростей звезд в области бара 207
6.1.3. Кинематика звездной компоненты в области бара 210
6.1.4. Медленное рождение бара 213
6.2. Примеры моделирования звездных дисков с баром 215
6.2.1. NGC 936 216
6.2.2. NGC U69 и NGC 2712 218
6.3. Ограничения на параметры Галактики (Milky Way) 219
6.3.1. Закон вращения Галактики в околосолнечной окрестности 219
6.3.2. Кинематика центральной области, концентрированный балдж и бар 225
6.3.3. Закон распределения вещества в диске 229
6.3.4 . Кинематика старого звездного диска 231
6.3.5. Вертикальная шкала звездного диска 232
6.3.6. Эллипсоид скоростей звезд (Сг, С(, Cz ) 233
6.3.7. Некоторые ограничения на параметры Галактики 234
G.4. Особенности структуры галактик позднего типа 235
6.4.1. Асимметричные галактики (lopsided-галактики) 235
6.4.2 . Формирование изолированных JopsidcxJ-галактик 237
6.4.3. О смещении бара в галактиках позднего типа 245
6.5. Динамическая модель Большого Магелланова Облака 24С
6.5.1. Основные данные наблюдений 246
G.5.2 . Результаты динамического моделирования БМО 249
6.5.3. Обсуждение и выводы 254
С. 6. Сложные несимметричные структуры в центре галактик 255
6.0.1. Проблема двойных баров 255
6.6.2 . Распределение параметров в области двойного бара 256
6.6.3 . К вопросу об устойчивости двойных баров 260
6.7. Основные результаты гл. С 262
Заключение 265
Список литературы 272
Список публикаций по теме диссертации
- Модель тонкого газового диска
- Уровень турбулентной вязкости в АД
- Границы конвективной устойчивости
- Численное интегрирование уравнений движения. Параметры динамических моделей и основные предположения
Введение к работе
Диссертация посвящена теоретическому исследованию устойчивости аккреционных и галактических дисков в линейном и нелинейном приближениях. Получены ограничения, обусловленные развитием различных неустоичивостеи в газовых и звездных дисках, на параметры астрофизических объектов.
Основные направления и актуальность исследований
В качестве первого направления данной работы выделим изучение различного рода неустоичивостеи в несамогравитирующих газовых дисках в рамках линейного и нелинейного анализа.
Одной из ключевых проблем физики аккреционных дисков является вопрос о механизмах отвода углового момента, обеспечивающих падение вещества на гравитирующий центр. Достигнутый прогресс в немалой степени основан на вязких моделях аккреционных дисков (АД) [51, 44, 55, 23]. Другой возможностью является отвод углового момента посредством крупномасштабных спиральных ударных волн, которые могут формироваться при перетекании газа в тесных двойных системах (ТДС) с учетом гравитационного влияния звезды-донора [37, 21].
Вязкие модели АД, в основе которых лежит гипотеза о турбулентной вязкости (а-модель Шакуры и Сюняева [51] и её многочисленные модификации), позволяют объяснить многие наблюдения в ТДС, активных галактических ядрах (АГЯ), протозвездных дисках, однако удовлетворительной нефеноменологической модели турбулентной вязкости в настоящее время нет. Вязкость может играть важную роль в газовых галактических дисках [2]. Следует отметить, что, несмотря на достижения последних лет, активное изучение турбулентности в аккрецирующих системах только начинается и основные результаты еще впереди.
Имеется много работ, посвященных линейному анализу устойчивости вязких АД [52, 22, 13, 58, 3, 18 и др.]. Однако, вопрос о последствиях развития неустоичивостеи на существенно нелинейных стадиях только начинает рассматриваться в рамках численного гидродинамического моделирования [16,14,19,57].
Проблема конвекции в газовых дисках восходит к работам Вейцзеккера [59] и Сафронова [11]. Развитие ADAF-моделей (адвективно доминирующие аккреционные течения) для объяснения низкой светимости рентгеновских двойных и активных галактических ядер с черными дырами привело к построению CDAF-моделей (конвектавшуДрминирующие аккреционные
L внвлкотем I
течения), в которых,при слабой вязкости формируются течения с сильной турбулентностью из-за развития конвективной неустойчивости [19]. Другим примером вертикальной конвекции в газовом диске является неустойчивость в радиационно-доминирующей области [22,16]. При учете ионизации водорода получаются неустойчивые вертикальные распределения температуры, приводящие к конвективному переносу тепла [55]. Однако вопрос о возможности конвекции из-за радиальной неоднородности диска требует изучения.
Характерной чертой аккрецирующих систем является широкий спектр нестационарных проявлений (карликовые новые различных типов: SS Лебедя, 5/Болыпой Медведицы, ZXnpac[)a; рентгеновские пульсары; рентгеновские барстеры I и II типов; квазипериодические осцилляции рентгеновских источников; переменность излучения у кандидатов в черные дыры: CygX-1, GX 339-4, CirX-1). Для объяснения некоторых переменностей излучения важным представляется изучение нестационарных течений, которые обусловлены развитием гидродинамических неустойчивостей.
Наличие магнитного поля существенно усложняет гидродинамические течения в гравитационном поле компактного объекта, где разнообразие неустойчивостей плазмы, по-видимому, не меньше, чем для термоядерной плазмы [7]. Магнитные поля играют важную роль в динамике ряда аккреционно-струйных систем вблизи компактных звезд. В частности, влияют на структуру диска, струй, характер и темп аккреции [1, 5, 23, 45, 40].
Изучение турбулентности в аккрецирующих системах должно привести к построению нефеноменологических моделей турбулентной вязкости. Существенная доля газа в галактиках, протопланетных и протозвездных дисках и подавляющая его часть в аккрецирующих системах представляет собой полностью или частично ионизованную плазму. В плазме может существовать большое число неустойчивых мод, развитие которых эффективно турбулизует вещество. Без преувеличения, можно сказать, что турбулентность является естественным состоянием для плазмы. Причем, одновременно могут работать много механизмов, приводящих к турбулентности через нелинейную стадию неустойчивостей.
Вторым направлением работы является изучение 5-галактик.
Понимание галактической морфологии невозможно без осознания того, что галактики являются принципиально динамическими системами. Природу большинства спиральных рукавов, баров, колец, недавно открытых вихревых образований (антициклонов) [29] и других галактических струк-
тур можно понять только в терминах коллективных процессов. К числу важнейших факторов следует отнести условия первоначального формирования галактик, взаимодействия с другими объектами и крупномасштабные коллективные явления, в основе которых лежат различного рода неустойчивости.
Для выявления физических механизмов требуется знать пространственное (2D/3D) распределение не только светимости, но и кинематических параметров — полей скоростей звезд и газа, дисперсий скорости звезд и газа. Наблюдательные методы к настоящему времени достигли уровня развития, когда спектральные исследования могут дать детальную кинематическую информацию о различных подсистемах [30, 8, 39]. Такую возможность предоставляет 2В-спектроскопия галактик, которая совместно с динамическим ЗО-моделированием является эффективным инструментом изучения галактик.
Неустойчивости могут быть ответственными за формирование различных наблюдаемых структур в астрофизических объектах. Примерами могут являться спиральная галактическая структура [4, 6], галактические бары и сложное строение центральных областей спиральных галактик (мини-бары, мини-спирали, околоядерные диски и кольца [например, 15, 54]), изгибы галактических дисков [49], асимметричные особенности в галактиках [33]. В свою очередь возникает вопрос об устойчивости, и следовательно, времени жизни этих образований.
Исследование гравитационной неустойчивости, приводящей к формированию глобальной бар-моды, является одним из первых достижений моделей звездных дисков, основанных на решении задачи JV-тел [43]. И этот результат, вошедший сразу в классические монографии и обзоры [9, 28, 35, 17, 2], немало способствовал доверию к динамическому моделированию (iV-body, іУРіТ-модели), которое в настоящее время становится одним из наиболее результативных подходов к изучению как звездных систем, так и решению космологических задач [50, 34, 24 и др.]. Различные аспекты эволюции звездных и газовых дисков активно исследуются в рамках численных моделей (например, [17, 10, 31, 42]).
- Рассмотрение новых механизмов образования баров в звездных дисках и способов их описания [46,10, 48], а также наблюдательные свидетельства о наличии внутренних баров [например, 30, 15], существенно повысили интерес к изучению этих структур. В этой же плоскости лежит проблема так называемых "двойных баров" в связи с активными галактическими яд-
рами [53]. Принципиальная возможность формирования маленького бара внутри глобального в рамках идеальных моделей требует изучения влияния на такие структуры различных факторов (гравитационное взаимодействие между газовой и звездной компонентами, приливное воздействие, изгибные неустойчивости бара и др.), которые могут иметь место в реальных системах. Во всяком случае, анализ данных наблюдений о кинематике центральных областей свидетельствует, по-видимому, не в пользу большой распространенности "двойных баров" [8, 39].
Особый интерес к исследованию неустойчивостей связан с возможностью, исходя из критериев устойчивости, определять многие важнейшие параметры астрофизических систем, прямое определение которых из наблюдений затруднено. В частности, такой подход дает дополнительный метод решения одной из фундаментальных проблем физики галактик, которая связана с гипотезой существования "темной массы" как в дисковых, так и в эллиптических галактиках. В основе развиваемого подхода лежит предположение о том, что звездные диски являются гравитационно устойчивыми или маржинально устойчивыми системами. При этом дисперсия скоростей звезд, требуемая для устойчивости, должна отражать (при заданной кривой вращения) локальную плотность диска, что и дает возможность оценки его массы, и следовательно, определения массы и шкалы невидимой сфероидальной компоненты в форме гало.
Начало массовых наблюдений, дающих распределение дисперсий скоростей в плоскости звездных дисков [27, 41, 20, 47], позволяет получать статистические данные об отношении массы диска к гало Md/Mh и отношении массы к светимости Md/L для различных типов галактик. Таким образом, несмотря на нерешенность вопроса о природе вещества темного гало, имеется ряд прежде всего динамических свидетельств (протяженные кривые вращения типа "плато", маленькое отношение дисперсии скоростей звезд к скорости вращения диска, горячие газовые короны, окружающие галактики, полярные газовые кольца) в пользу достаточно массивного гало. Однако, для количественных оценок требуется специальное рассмотрение конкретных объектов.
Изучение физики коллективных процессов в гравитирующем диске было инициировано классическими работами Сафронова B.C. [11], Тоомре А. [56], Голдрейха и Линден-Белла [32]. Однако, несмотря на значительный прогресс в изучении динамики возмущений [9, 28, 2, 35, 4, 3, 26, 31, 42], вопрос о критерии гравитационной устойчивости для существенно неодно-
родных трехмерных дифференциально вращающихся звездно-газовых или даже звездных систем еще не имеет удовлетворительного решения.
Дисковые галактики, видимые с ребра, дают возможность выделения массы "темного" гало из общей массы галактики по наблюдаемой вертикальной шкале диска. Поэтому особый интерес представляет изучение механизмов вертикального разогрева и утолщения звездных дисков, в частности, за счет изгибных неустоичивостеи. В связи с наблюдаемым феноменом изгибов дисков (bending, warp) [49], изучение динамики изгибных неустоичивостеи имеет самостоятельное значение [36,-38, 12]. Отметим, что для видимых с ребра галактик большой проблемой является учет эффектов проекции, внутреннего поглощения и дисперсии скоростей газа или звезд при построении кривой вращения галактик и радиальных профилей дисперсии скоростей звезд.
Для астрофизических приложений, с учетом уровня развития современных теоретических представлений, заведомо недостаточно ограничиваться линейным приближением. Для существенной части рассмотренных в работе неустоичивостеи, помимо линейной стадии, изучены и нелинейные этапы эволюции возмущений.
Цель работы. Основной целью работы является получение ограничений на параметры аккрецирующих систем и галактик исходя из анализа устойчивости моделей газовых и звездных дисков и моделирования нелинейных стадий эволюции неустойчивых систем. Достижение поставленной цели предусматривает решение следующих основных задач:
1. Изучение динамики линейных возмущений различной природы в газовых
дисках с учетом произвольных законов вязкости, оптических свойств газа,
неоднородных распределений скорости вращения и термодинамических па
раметров газа.
Численное нелинейное газодинамическое моделирование газовых квази-кеплеровских дисков, в которых неустойчивы акустические волны или градиентные (энтропийно-вихревые) возмущения.
Построение численных динамических моделей дисковых галактик с учетом самогравитации и на их основе исследование эволюции звездных и звездно-газовых дисков.
Определение параметров отдельных компонент галактик, включая темную мяссу в форме гало, с использованием результатов динамического моделирования галактических дисков на границе гравитационной устойчиво-
сти.
Изучение в рамках моделей дисковых галактик, видимых с ребра, динамических и кинематических особенностей, связанных с геометрическими факторами, эффектами поглощения излучения и последствиями развития изгибных неустойчивостей.
Исследование механизмов, приводящих к наблюдаемым особенностям ба-роподобных структур в центральных областях галактик.
Научная новизна работы. Получен критерий устойчивости линейных
возмущений в вязких аккреционных дисках для законов вязкости и непрозрачности общего вида. Сделан вывод о наличии неустойчивых решений для акустических волн у большинства описанных в литературе вязких моделей АД.
Впервые обнаружена возможность неустойчивости высокочастотных акустических волн в квазикеплеровских газовых вязких дисках из-за дис-сипативных факторов. Показано согласие между динамикой линейных неустойчивых звуковых волн в модели тонкого диска и с учетом вертикальных движений для достаточно коротковолновых возмущений.
Развита нелинейная теория звуковых волн в неустойчивом вязком аккреционном диске. Предложен механизм квазипериодических осцилляции в аккрецирующих системах, основанный на диссипативно-акустической неустойчивости. *
Изучена нелинейная динамика конвективно неустойчивого радиально неоднородного газового диска.
Получены новые неустойчивые решения дискового течения вокруг за-магниченного компактного объекта.
С использованием развитого метода определения параметров сфероидальной подсистемы галактик получены оценки масс темного гало для более ста галактик. Показано, что для линзовидных галактик дисперсия скоростей существенно превосходит пороговые значения, требуемые для устойчивости диска, что указывает на перегретость звездных дисков у S0-галактик.
На основе численного динамического моделирования звездных дисков разработан метод оценки массы темного гало для конкретных галактик, видимых с ребра. Предложено объяснение наблюдаемым особенностям кривых вращения в центральных областях галактик, видимых с ребра.
Построены самосогласованные динамические модели дисков с центральными перемычками, в рамках которых изучены свойства двойных баров.
Построены распределения кинематических параметров в области "двойных баров". Предложен и исследован механизм образования наблюдаемых асимметричных структур в галактиках поздних типов.
На защиту выносятся следующие основные положения и результаты:
Результаты линейного анализа устойчивости модели вязкого газового диска с учетом газового и радиационного давлений, различных законов вязкости и оптических свойств газа, вертикальной структуры диска. Обнаружение диссипативно неустойчивых высокочастотных гармоник звуковых волн в вязком диске.
Нелинейные гидродинамические модели дисковой аккреции на компактный объект при наличии динамической вязкости, зависящей от термодинамических параметров газа. Диссипативно-акустическая неустойчивость на нелинейной стадии приводит к появлению системы слабых ударных волн и нестационарной компоненты светимости диска.
Линейные и нелинейные расчёты динамики возмущений, неустойчивых из-за радиальной неоднородности термодинамических параметров газового диска. Условия устойчивости волн конвективного типа в плоскости газового диска. На нелинейной стадии конвекция в плоскости диска приводит в среднем к падению вещества на гравитационный центр.
Построение линейной теории, описывающей динамику неустойчивых в результате резонансного усиления акустических и магнитозвуковых волн в газовом диске при наличии короны или магнитосферы вокруг компактного объекта.
Метод определения параметров сфероидальных компонент дисковых галактик, основанный на динамическом моделировании звездных систем и полученном критерии гравитационной устойчивости дисков. Оценки верхнего предела масс дисковых компонент для более чем сотни галактик с известными дисперсией скоростей старых звезд диска и скоростью вращения на основе результатов динамического моделирования.
Результаты расчетов структуры звездных дисков, наблюдаемых с ребра. Оценки темной массы гало для галактик, видимых с ребра, исходя из полученных условий устойчивости относительно изгибных возмущений с использованием динамического моделирования.
Динамические модели Большого Магелланова Облака и Галактики.
Результаты исследования динамики структур, возникающих в моделях галактических дисков с баром. Механизм формирования баров, смещённых относительно центра диска, в изолированной первоначально осесимметричной системе. Условия образования структур типа "двойных баров". Особенности кинематики в области двойных баров в рамках самосогласованных моделей.
Научно-практическая ценность работы.
Научная ценность диссертации состоит в обнаружении и исследовании новых неустойчивых решений газовых течений. Проведенный анализ устойчивости газовых дисков дает возможность объяснения наблюдаемых особенностей систем с компактными объектами, в частности, нестационарным проявлениям (КПО, переменность систем типа U-Gem). Изучение линейной и нелинейной динамики неустойчивых течений представляется необходимым этапом на пути построения нефеноменологической теории турбулентной вязкости и выявления механизмов аккреции.
В работе решается ряд вопросов, имеющих важное значение для развития представлений о структуре и эволюции дисковых галактик. Проведенный анализ показывает эффективность использования динамических моделей для определения границ устойчивости галактических систем. Соотношения между параметрами галактик, полученные исходя из требования гравитационной устойчивости звездных дисков относительно возмущений в плоскости диска и устойчивости изгибных колебаний, позволяют проводить оценки масс темного гало для галактик с известными из наблюдений дисперсиями скоростей звезд или вертикальной шкалы диска и могут служить основой для статистических исследований. Выявление количества скрытой массы в галактиках имеет общенаучное значение и играет важную роль в физике галактик, поскольку темная масса, в частности, накладывает ограничения на отношение массы к светимости и характер динамической и химической эволюции галактик.
Исследованный механизм образования асимметричных дисковых галактик указывает на статистические особенности эволюции галактик поздних типов и содержания темной массы в таких объектах. Вывод о короткой фазе существования структур типа "двойные бары" в процессе развития бар-моды приводит к ограничениям на частоту встречаемости галактик с такими системами.
Практически важным представляется алгоритм построения дисковых галактик на границе устойчивости. Практическую ценность имеют созданные пакеты программ по динамическому моделированию галактик, которые используются в научных исследованиях в ГАИШ МГУ.
Апробация. Результаты работы докладывались на научных семинарах физического факультета Волгоградского госуниверситета (1982-2003 гг.), кафедры теоретической астрофизики Санкт-Петербургского госуниверситета (май 2001 г.), Института астрономии РАН (Москва, январь, июнь, 2002 г., апрель 2004 г.), Государственного астрономического института им. П.К. Штернберга (2000-2004 гг.), Астрономического института им. В.В. Соболева (май 2002 г.), в Институте Космических Исследований (январь, 2003 г.); на 1-й и 2-й Всесоюзных конференциях "Классическая гравифизика" (Волгоград, сентябрь 1985, 1989), на Всесоюзной конференции "Астрофизика сегодня" (Нижний Новгород, март 1991), в рамках научной программы Н-го съезда Астрономического общества СССР (Москва, ноябрь 1991 г.), на Всесоюзном научном семинаре "Астрофизиа - IV" рабочей группы "Физика галактик" (Цейское ущелье, сентябрь 1990 г.), на конференции "Современные проблемы астрофизики" (Москва, ноябрь 1996), в рамках научной программы IV-ro съезда Астрономического общества (Москва, ноябрь 1997 г.), на международном коллоквиуме "Двумерная спектроскопия галактических и внегалактических туманностей" (октябрь 2000 г, САО РАН), на съезде Европейского астрономического общества (Москва, 2000), на конференциях "Актуальные проблемы внегалактической астрономии" (Пущино, апрель 2001 г., апрель 2002 г.), 'The interaction of stars with their environment И." (Венгрия, июнь, 2002 г.), "Stellar Dynamics: from Classic to Modern" (С.-Петербург, август, 2000 г.), Всероссийской астрономической конференции (С.-Петербург, август, 2001 г.), на Международном научном семинаре "Физика Солнца и звезд" (Элиста, октябрь 2003), International Workshop "Progress in Study of Astrophysical Disks: Collective and Stochastic Phenomena and Computational Tools" (Волгоград, сентябрь 2003).
Публикации и личный вклад автора. Основные результаты диссертации опубликованы в 37 работах (список приведен в конце автореферата). Из них 7 публикаций соавторов не имеют. Положения, выносимые на защиту, основаны на работах, вклад соискателя в которые был определяющим или равным с соавторами. В работах, положенных в основу первой и второй глав, Автору принадлежит решающий вклад в постановке задач и равный вклад в получении и анализе результатов. Реализация численно-
го алгоритма TVD проведена С.С. Храповым, а код численного алгоритма SPH написан Е.А. Недуговой [А32]. В 3.1 весь линейный анализ и постановка задачи в 3.2 принадлежит Автору, а нелинейные расчеты, представленные в 3.2, выполнены совместно с С.С. Храповым [АЗО]. В 3.3 приведены только те результаты из работ [A3, А4, Аб], выполненных с соавторами, которые получены лично Автором. Четвертая, пятая и шестая главы основаны на численных моделях, построенных Автором (только в моделях звездно-газового диска численный код расчета газодинамических уравнений без самогравитации написан С.С. Храповым [А36]). В обработке результатов численного моделирования звездных дисков принимали участие Н.В. Тюрина и Е.А. Чуланова, но основная часть этой работы, вошедшей в диссертацию, проведена лично Автором. Участие соискателя в постановке задач и анализе результатов равное с А.В. Засовым в работах [А19, А25, АЗЗ, А35, А37].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из Введения, б
глав, Заключения, списка литературы. Приложением к работе является CD, на который записаны фильмы в формате *.avi с демонстрацией эволюции наиболее важных моделей. Общий объем диссертации составляет 292 страницы, включая 177 рисунков и 3 таблицы. Общий список литературы включает 542 наименования на 22 страницах.
Модель тонкого газового диска
Будем считать, что перенос к поверхности тепла, выделяющегося внутри диска из-за вязкости, осуществляется в основном посредством излучения, а не проводимостью или конвекцией [91, 150]. В общем случае возможны несколько режимов переноса излучения для различных областей диска и в разных моделях АД (в зависимости от темпа аккреции, массы компактной звезды и т.д.).
В случае оптически толстого диска фотоны переносятся к поверхности в результате диффузии и для полной оптической толщины диска выполняется условие г — / Kgdz 1 (к — непрозрачность). Тогда для тонкого слоя газа можно принять [91]: здесь a — постоянная излучения, с — скорость света, к — средняя непрозрачность. Если г 1, диск является оптически топким и для Q имеем [91]: Q- J A(g, Т) dz hA(p, Т), (1.35) где Л — средняя излучательная способность вещества диска. Отметим, что уравнение (1.32) отличается от аналогичного уравнения, используемого в работах по исследованию устойчивости АД [440, 473, 334 и др.], в которых вместо полной производной — = + (uV)h во втором слагаемом использовалась частная производная dh/dt. В нашем случае в бездиссипативном пределе уравнение (1.32) обеспечивает постоянство энтропии (см. 1.2). Различия обусловлены тем, что при интегрировании уравнения (1.3) в указанных работах вместо соотношения (1.11) использовалось w(z = h) — dh/dt. Это не влияет на осесиммет-ричные линейные возмущения, поэтому результаты [440, 154, 472, 473] сохраняются. Однако отмеченный фактор существенно изменяет результат при рассмотрении неосесимметричных возмущений (см. п. 1.3.2). В связи с этим, так называемая радиально-азимутальпая неустойчивость АД 3 [334, 483,191 и др.] связана с использованием некорректной формы записи теплового уравнения. "Плоский" показатель адиабаты для тонкого газового диска
При изучении газодинамических процессов важную роль может играть значение показателя адиабаты. Например, от величины показателя адиабаты прежде всего зависит возможность установления стационарных течений с ударными волнами в газовых дисках в ТДС [455, 457]. При рассмотрении крупномасштабных структур по сравнению с характерной полутолщиной слоя h следует использовать плоский показатель адиабаты Г (р ос сг), который отличается от величины обычного объемного показателя 7 {V ос д1). Для газового самогравитирующего диска в отсутствии внешнего ноля связь между Г и 7 была определена в работе Хантера [270]: . В другом предельном случае, когда легкий газовый диск находится в поле массивного тела, Чуриловым и Шухманом получено [88]:
В работе [33] соотношение (1.36) было уточнено в рамках более рафинированной модели вертикальной структуры диска.
В данном параграфе получим связь между Г и ) в первом приближении для топкого газового слоя во внешнем гравитационном поле с учетом газодинамического {pgas) и радиационного (prad) давлений при
Для определения плоского показателя адиабаты достаточно ограничиться изэнтропическим приближением, поэтому здесь пренебрежем диссипативными процессами. Перепишем закон сохранения энергии (1.32) с учетом (1-31) относительно давления при Q+ = Q
Например, в [334] для тепловой моды получены сильный рост инкремента с увеличением к , при фиксированных других параметрах и существенное расширении неустойчивой области но кг по сравнению с осселмметричлой моделью (точка В на рис. 1.0 переходит в К = 1).
В случае cUz ф const даже в приближении чисто газового или радиационного давления адиабатичность невозможна. Этот эффект легко понять, поскольку соотношение (1.26) играет роль уравнения состояния для "плоских" величин р и a, a h2 имеет смысл температуры. В случае cQ,z ф const имеется явная зависимость в уравнении состояния от пространственных координат, что и даст неадиабатичность. Однако, если пренебречь указанной неоднородностью, то можно рассматривать адиабатические движения и ввести плоский показатель адиабаты. В предельном случае prad ; pgas уравнение (1.37) приводит к соотношению (1.36). В обратном пределе pTad 3 pgas из равенства нулю фигурной скобки в (1.37) следует Г = 9/7. Поскольку для излучения j — 4/3, то справедливой остается формула (1.36).
Неадиабатичность в общем случае является следствием наличия правой части в (1.37). Перейдем в выражении для энтропии в ос In (Р/р7) к поверхностным величинам р = 2hP, a = 2hp с учетом (1.2G). В результате имеем s ос [\п(р/ит) — (Г — 1) 1п(сПг)], что и дает неадиабатичность тонкого слоя в случае неоднородности величины cQs, т.е. нельзя в общем случае считать выполненным условие p/ar — const для всего диска.
При произвольном значении параметра (3 = prad/p выражение для плоского показателя адиабаты для cQ.z = const можно получить, рассматривая динамику малых возмущений. Запишем в локальной системе координат для возмущений вида ехр{ — iujt + ikxx + ikyy] линеаризованные уравнения непрерывности, Эйлера и (1.37): здесь k — {kx, ky] — волновой вектор, значком " " помечены амплитуды возмущенных величин, Ai — BQ + 4(37 — 4)/ , А2 — BQ(1 + 7) + (37 - 4)Д (9 - /), A3 = [Д) 37 - 4) + 7] Д), Д) = 1 + 3/. Условие су-шествования нетривиальных решений системы (1.38)-(1.40) приводит к дисперсионному уравнению для звуковых волн ьз2 — c2k2, где скорость распространения волны с2. Гро/"о; а величина
Для 7 4/3 учет давления излучения (/ 0) приводит к монотонному уменьшению величины Г. При 7 4/3 выполняется условие Г 9/7, зависимость Г(/?о) не монотонна — имеется минимум. Этот результат аналогичен известному эффекту: скорость звука в жидкости, содержащей газовые пузырьки, может быть меньше и скорости звука в газе и скорости звука в жидкости [60]. При 7 — наличие области Г 0 свидетельствует о возникновении неустойчивых решений, когда с ростом поверхностной плотности значение поверхностного давления уменьшается.
Прежде, чем проводить строгий анализ с учетом многочисленных факторов, продемонстрируем в рамках простейшей модели, принципиальную возможность неустойчивости акустических волн в вязком диске. Выявим факторы, играющие ключевую роль. С этой целью в данном пункте оставим в линеаризованных уравнениях только те слагаемые, которые обеспечивают рост амплитуды волн со временем. Будем учитывать возмущение динамической вязкости т\ — щ + г) и дифференциальность вращения О, ex r n. Особо подчеркнем, что это рассмотрение не является математически корректным, поскольку не учитывает слагаемые, которые строго говоря не малы
Уровень турбулентной вязкости в АД
Параметр Л характеризует пространственную структуру возмущений (рис. 3.3). Большие значения параметра Л 1 достигаются для коротковолновых в радиальном направлении волн k Q/cs. Величина Л выше для возмущений с бблыпим азимутальным номером т. Следует подчеркнуть, что наиболее неустойчивыми с точки зрения уравнений (3.7), (3.9) являются предельно неосесимметричные возмущения sin(O) = 1 (поскольку Imu; ос sin{0}), для которых заведомо нарушаются приближения, лежащие в основе дисперсионных уравнений. Границы конвективной неустойчивости в плоскости диска зависят от степени неосесим-метричпости возмущений только через параметр Л(О). Наиболее сильно параметр Л влияет на модели с r/Lp 0. И в случае r/Lp 0 неустойчивыми могут быть только мелкомасштабные возмущения.
Наличие предельных переходов свидетельствует, что физический механизм, обуславливающий рост возмущений со временем, аналогичен классической конвективной неустойчивости при наличии градиента энтропии, сонаправленного с внешней силой, либо неустойчивости Рэлея-Тейлора, если градиенты равновесных давления и плотности имеют разные знаки.
Оценим влияние вязкости на значения инкрементов. Ограничимся случаем, когда коэффициент вязкости является константой 1. Тогда по порядку величины стабилизация наступает при: где безразмерный параметр A , определяемый квадратными скобками в (3,9), зависит в первую очередь от градиентов равновесных величин и можно считать А 10. Воспользовавшись выражением (2.3) для вязко 1 Если учесть зависимость коэффициента вязкости от термодинамических параметров, то, ь со-ОТЕ0ТСТП11И с гл.1, стабилизирующий эффект будет меньше.
НоустоГічивости и переход к турбулентности 3.2. Нелинейная стадия радчальїюіі конвекции сти получаем из (3.10) оценку a 1/kr. Поскольку левая часть в (3.10) ос к при фиксированном G, а правая часть ос А;2, то вязкость стабилизирует коротковолновые возмущения и длина волны наиболее неустойчивых возмущений увеличивается. Нелинейная стадия радиальной конвекции
Проведенный выше анализ подразумевает выполнение, как минимум, трех условий: 1) линейность, 2) малость длины возмущения в радиальном направлении по сравнению с масштабом неоднородности, 3) волны должны быть силыюзакрученными (ограничение связано с дифференциал ьностыо вращения). Инкремент пропорционален sin(0), поэтому необходимо изучить влияние сильной дифференциальности вращения на формирующиеся на линейной стадии конвективные ячейки.
Выйдем за рамки указанных приближений с помощью численного решения системы уравнений (1.13)-(1.15), (1.37). Воспользуемся методом TVD-E (см. п. 2.1.3) без учета вязкости, ограничившись Qz = const.
К числу свободных параметров модели относятся 5р — r/Lp, ba = r/La, j, Л4. В начальный момент времени задаем степенные зависимости плотности и давления (r/Lp = const, т/La = const). Будем использовать безразмерные координаты и время: і — 1 — период обращения на радиусе г — 1. На внешней границе расчетной области тех используются условия свободного протекания вещества. На внутренней границе rj,i ставятся условия непротекания, считая, что диск доходит до поверхности аккрецирующей звезды в случае нейтронной звезды или белого карлика. Ограничимся пределом pgas prad- Будем изучать динамику волн, различающихся азимутальным числом т, задавая соответствующие начальные возмущения. Для выделения определенной гармоники m рассматриваем только сектор диска по углу if, используя вдоль азимутальной координаты периодические граничные условия.
Структура конвекции на нелинейной стадии
Если начальное равновесное состояние, определяемое функциями Ро(г) и о"о(г) обеспечивает устойчивость диска в соответствии с (3.7) (1т(ш) = 0), то роста возмущений со временем в численных моделях не наблюдается. Тестовый расчет в случае r/Lp = — 1, г/La- — —2 показывает, что на протяжении t 105 при наличии первоначальных возмущений с начальной амплитудой 2 % их дальнейший рост не происходит.
Рассмотрим модель с T/LV = —3/2 и r/La = —1/2, 7 5/3, которая попадает в неустойчивую область в соответствии с (3.7). Независимо от амплитуды начального возмущения, происходит формирование растущих со временем волн, имеющих характерную спирально-ячеистую
Изолинии u/cs (а) и v/c$ (б) в момент времени t\ = 15000 (см. рис. 3.4о). Пунктирная линия соответствует знамениям u/cs — 0, v/cs — 5, области с вертикальной штриховкой — u/cs 0, v/cs 5, а с горизонтальной штриховкой ujcs 0, v/cg 5. структуру. На рис. 3.4 показаны изолинии отношения плотности a(r,(p) к равновесному значению оо(г) в Два момента времени t\ — 15 000 и t2 = 41000. На начальной стадии формируются типичные конвективные ячейки (см. рис, 3,4 й) с небольшой относительной амплитудой поверхностной плотности \а — о"о/со 5 5%. Со временем происходит рост амплитуды возмущений и усложнение пространственной структуры из-за дифференциалыюсти вращения диска (см. рис. 3.4 6).
Закон вращения слабо отличается от ксплеровского QK (рис. 3.5). В случае развитой конвекции относительное отклонение (Q, — QK)/ K не превышает 10 % при малых числах Маха [М. — 5). С ростом JA данные отклонения уменьшаются. Радиальная скорость существенно дозвуковая. Поскольку радиальная и азимутальная компоненты скорости сильно различаются, то удобнее рассматривать не полное поле скоростей, а только возмущенные компоненты. На рис. 3.6 в плоскости диска изображено векторное поле возмущений скорости, которое наглядно демонстрирует вихревой характер течения.
Параметры к и т, характеризующие пространственную структуру возмущений, независимы в рамках линейного анализа. И формально, при прочих равных, наиболее неустойчивы волны с углом закрутки G — 90. В численной модели нарастают волны сО 15 4-25 в результате компромисса между неустойчивостью и дифференциалыюстыо вращсЕшя. Структура неустойчивых возмущений на нелинейной стадии определяется параметрами модели (Л4, тп, 5Р, 5а, 7), причем азимутальное число тп мы можем изменять, варьируя начальные возмущения вдоль угла (р. Из рис. 3.7 видно, что с ростом азимутального числа возмущения становятся более мелкомасштабными и в радиальном направлении. Аналогичный эффект имеем при увеличении числа Маха
Границы конвективной устойчивости
В данной главе изучены свойства ряда неустойчивостей в газовых дисках, возникновение которых не связано с действием вязкости. Существенным результатом представляется возможность турбулизации среды в результате развития этих неустойчивостей и появления радиального потока газа. В случае конвективной неустойчивости — это прямое следствие ее развития.
Мы изучили в 3.2 нелинейную динамику конвективно неустойчивых возмущений из-за радиальной неоднородности энтропии, пренебрегая эффектами охлаждения и вязкости. С этой целью построены нестационарные гидродинамические нсосесимметричные модели газовых ква-зикеплеровских дисков. В отличие от многочисленных работ по изучению конвекции в плоскости г — z (даже в ЗВ-моделях CDAF в основе лежат вертикальные движения в толстых системах), показана принципиальная возможность развития конвективной неустойчивости в тонком квазикеплеровском диске, где вертикальные движения, если и присутствуют, то не они определяют неустойчивость.
Формирование слабой конвективной турбулентности происходит за характерные времена 10 периодов вращения диска на данном радиусе. Конвективное перемешивание в плоскости диска может приводить в среднем к радиальному движению вещества (аккреции) без учета действия вязких сил. Изученная неустойчивость может являться источником слабой турбулентности в областях больших градиентов плотности и температуры, проникая в соседние зоны из-за диффузии турбулентных пульсаций из области их возникновения [3]. Отметим, что представления о слабой двумерной турбулентности газового диска были введены в работах Чурилова СМ. и Шухмана И.Г. [89].
Рассмотренные неустойчивости относятся к градиентным, частными пределами являются конвективная и Рэлея-Тейлора. Подчеркнем, что рассмотренная здесь конвективная неустойчивость в плоскости диска не связана с фактом вращения газа, как в случае движения жидкости между двумя вращающимися цилиндрами (течение Тейлора), приводящем к формированию вихрей Тейлора [40]. Возможность развития кон век Гл.З. Неустойчивости и переход к турбулентности 3.4. Выводы 102 ции в плоскости диска сохраняется и в случае твердотельного вращения LQ1 — — О, в качестве астрофизических приложений для таких течений можно указать центральные области газовых дисков у некоторых спиральных галактик. Условия для конвекции (при определенных соотношениях между градиентами плотности и давления) сохраняются для кривой вращения галактических газовых дисков типа плато V — rQ — const. Роль внешней силы, которая требуется для развития неустойчивости играет величина g с — гП2 , причем в случае —- О необходимо g 0.
В рамках нестационарной а-модели, в которой вязкость определяется изученной градиентной неустойчивостью, в работах [A3, А37] предложен механизм вспышечной активности карликовых новых в тесных двойных системах. В основе лежит гипотеза [30], что величина турбулентной вязкости определяется инкрементом неустойчивости і/ max [lm(o;)//c2].
В рамках рассмотренного сценария при постоянном темпе поступления газа с нормальной звезды Мех = const вспышка связана с рассмотренной в 3.1 градиентной неустойчивостью АД.
Наличие зоны резкого перепада скорости при переходе из диска в область короны может являться причиной развития неустойчивостей в результате резонансного усиления звуковых волн, отличительной особенностью которых является многомодовый характер неустойчивых возмущений уже на линейной стадии ( 3.3). Силы Кориолиса практически не влияют на значения инкрементов. Неоднородность профиля плотности вещества, а также учет поперечной силы тяжести могут оказывать как стабилизирующее, так и дестабилизирующее влияние на неустойчивость типа акустического резонанса в сравнении с разрывными моделями. Учет "размазки" скорости вещества всегда приводит к уменьшению инкремента, причем в первую очередь при таких значениях параметров, при которых углы распространения возмущений значительно отличаются от резонансных. Показано, что неустойчивость типа акустического резонанса может развиваться в моделях, в которых характерные масштабы изменения физических величин (скорости и плотности вещества, силы тяжести) сравнимы с толщиной диска.
При учете магнитного поля возможно развитие по крайней мере двух классов неустойчивостей: магнитогидродинамической неустойчивости типа акустического резонанса и раскачка неустойчивых поверхностных мод разрывов между веществом диска и внешним магнитным полем. В первом случае присутствие вещества вне диска (в магнитосфере) необходимо, во-втором неустойчивость развивается и при дех = 0.
Помимо неустойчивых ветвей колебаний, связанных с быстрыми маг-нитоакустическими волнами, получены неустойчивые решения для медленных магпитоакустических волн (ММВ) в рамках модели плоской сим Гл.З. Неустойчивости и перехол к турбулентности метричиой сверхзвуковой МГД-струи и условия стабилизации неустойчивости ммв.
Особая привлекательность мпогомодовых иеустойчивостей в приложении к проблеме турбулизации среды связана с наличием ряда (иерархии) выделенных пространственных масштабов в диске, соответствующих максимальным значениям инкрементов различных гармоник. Отметим, что нелинейная стадия неустойчивостей, связанных с неоднородностью скорости, подробно изучена в приложении к астрофизическим струям (галактическим и звездным) [369, 250, 394], где показана возможность формирования сложной системы ударных волн внутри струи и обсуждается возможность турбулизации течения [469
Численное интегрирование уравнений движения. Параметры динамических моделей и основные предположения
В данном параграфе методом динамического моделирования (ЛГ-тел) исследуются условия гравитационной устойчивости трехмерных звездных дисков в гравитационном поле стационарных сферических компонент — балджа и гало, степень концентрации и относительные массы которых варьировались в широких пределах. Основной целью является поиск минимально допустимых локальных значений дисперсии скоростей звезд в дисках галактик с различным распределением масс, при которых достигается квазистационарное состояние трехмерных дисков, начавших эволюцию со слабо неустойчивых равновесных состояний. В п. 5.1.1 дается краткий обзор результатов аналитических и численных подходов к оценке дисперсий скоростей звезд, требуемых для устойчивого состояния бесстолкновительных дисков. В п. 5.1.2 - 5.1.4 рассматриваются различные трехмерные модели галактик.
Проблема гравитационной устойчивости дисков и критерии устойчивости
Теоретический анализ проблемы устойчивости вращающихся тонких дисков к различного рода возмущениям (включая и изгибные) подробно рассмотрены в монографиях Полячеико и Фридмана [63, 212]. Аналитический подход к рассмотрению динамики возмущений в гравитиру-ющем диске и определению условия устойчивости имеет наряду с преимуществом перед методом численного моделирования (математическая строгость решения в рамках поставленной задачи) тот недостаток, что реализуется только в рамках сильно упрощенных моделей, и в приложении к реальным объектам может дать лишь грубую оценку параметров дисковой компоненты.
Рассмотрим эти упрощения подробнее.
Прежде всего, в основе простых аналитических моделей бесстолкновительных дисков, рассматриваемых при анализе устойчивости, обычно лежит предположение о малой толщине диска — фактически рассматривается бесконечно тонкий слой. Несмотря па малость отношений h/r и h/L (г - радиальная координата, hub- характерные вертикальная и радиальная шкалы соответственно) для большей части звездного диска, это условие может быть недостаточным для того, чтобы пренебречь вертикальными движениями (подробное обсуждение этого вопроса, как и вывод о том, что в общем случае уравнения динамики астрофизических дисков не могут рассматриваться в двумерной постановке задачи, см. в книге Горькавого и Фридмана [17], Приложение II и [83]). Равновесие газового диска конечной толщины с учетом самогравитации обсуждается в [9].
При аналитических исследованиях динамики малых возмущений в звездном диске обычно исходят из малости радиальных градиентов параметров диска (см., например, [466, 323, 488]). Попытки учета градиентных факторов проводились только в рамках ВКБ-приближения (например, [55, 5G, 1]). Это означает, что характерная длина волны возмущений должна быть малой по сравнению с локальными масштабами неоднородности равновесной скорости вращения V{r), дисперсии радиальных скоростей звезд сг(г) и поверхностной плотности a(r). Во многих случаях эти условия выполняются с малым запасом или даже нарушаются. Пожалуй, особую трудность представляет дифференциальность вращения. Учет слабой неоднородности угловой скорости вращения возможен для слабо-нерадиальных возмущений [56, 57]. Однако, более неустойчивыми являются сильно пеосссиммстричные (в пределе — "сиицеобразные") возмущения. Для их стабилизации при прочих равных условиях требуется существенно более сильный разогрев диска, то есть более высокая дисперсия скоростей звезд [70], и именно они, по-видимому, приводят на нелинейной стадии к увеличению дисперсии скоростей звезд в случае первоначально холодной системы.
При аналитических исследованиях гравитационной устойчивости дисков обычно используется эпициклическое приближение сг ?: V, кото-рос для большинства галактик выполняется на периферии, где cr/V с± 0.1 -г- 0.3, но нарушается при приближении к центру, где Сг V.
Другое важное ограничение аналитических подходов связано с локальным характером получаемых критериев. В то же время ряд исследований свидетельствует о глобальном характере условия устойчивости диска [201, 202]. Это означает, что если изменить равновесные параметры, например, в центре, сохранив их на периферии диска, то условие гравитационной устойчивости может измениться во всем диске. В рамках глобального анализа, в отличие от локального, основанного па анализе дисперсионных уравнений, собственная частота ищется для всего диска при решении задачи типа краевой, что и определяет возможность влияния условий в одной из частей системы на дисперсионные свойства возмущений во всем диске. Поэтому строгий подход требует рассмотрения диска как целого. Но глобальный анализ проведен только для специфических распределений степенного вида (см. [201, 202, 428]). В применении к поддержанию дол гожи вущих спиральных волн плотности в галактиках глобальные моды в дисках рассматривались, например, Бертином и ДР- [142].
Численные эксперименты с бесстолкновительными системами более гибки к выбору модели. Они позволяют выйти за рамки локального ана Гл.5. Проблема темной массы в 5 -галактиках 5.1. Звездные диски на границе устойчивости 132 лиза и простых двумерных моделей и непосредственно следить за развитием возмущений в первоначально равновесном диске. Однако этот подход также имеет свои недостатки. Наиболее серьезными проблемами при использовании метода TV"-тел являются, во-первых, определенные математические упрощения, неизбежные при любом способе представления диска системой N гравитирующих тел, где N несравнимо меньше числа звезд в реальных галактиках, а во-вторых, зависимость конечного состояния системы после ее прихода в квазистационарнос состояние от задаваемых начальных параметров, которые для галактик плохо известны. При сопоставлении с реальными галактиками может также возникнуть проблема учета диссииативной среды (газа), скорость звука в которой существенно меньше дисперсии скоростей старых звезд.
В литературе встречается несколько критериев гравитационной устойчивости бесстолкиовительных дисков, аналитически полученных в рамках различных моделей. Рассмотрим, па наш взгляд, важнейшие из них. а) Критерий Тоомре.