Содержание к диссертации
Введение
1 Изучение движения сверхтекучей жидкости во вращающемся сосуде . 11
1.1 Пульсары 11
1.2 Элементы теории сверхтекучести 13
1.3 Вращение сверхтекучей жидкости 15
1.4 Вихревая нить 16
1.5 Система вихревых нитей 20
1.6 Уязвимые места теории Бекаревича - Халатникова 21
1.7 Постановка задачи 22
1.8 Построение модели 23
1.8.1 Учет граничных условий 23
1.8.2 Запись функционала свободной энергии 23
1.8.3 Преобразование функционала F 25
1.9 Расчет модели 27
1.9.1 Расчет силы, действующей на вихрь в потоке сверхтекучей жидкости 27
1.9.2 Расчет средней плотности v{r) вихревых нитей в сосуде 29
1.9.3 Минимизация функционала свободной энергии по полному числу вихрей в сосуде 30
1.10 Нахождение величины ирротационного слоя 33
1.10.1 Минимизация свободной энергии для последней окружности с вихрями 33
1.10.2 Нахождение величины а и сравнение ее с результатом теории Бекаревича - Халатникова . 33
1.10.3 Оценка погрешностей 36
1.11 Выводы главы 39
Общерелятивистский случай. 40
Общерелятивистская деформация вихревой структуры пульсара . 41
2.1 Введение 41
2.2 Анализ изменений в системе при замене обычной жидкости на квантовую, сверхтекучую ферми-жидкость. 42
2.2.1 Общие соотношения для сверхтекучего конденсата в ОТО 42
2.2.2 Общерелятивистская теорема Бернулли 44
2.3 Нахождение связи динамических характеристик сверх текучей жидкости 47
2.3.1 Принцип наименьшего действия для вращающейся СЖ в ОТО 47
2.3.2 Нахождение зависимости между компонентами 4-градиента фазы сверхтекучего конденсата . 49
2.3.3 Общерелятивистская теорема о сохранении циркуляции 52
2.4 Нахождение средней плотности и кривизны вихревых нитей в пульсаре с учетом поправок ОТО 55
2.4.1 Переход во вращающуюся систему отсчета. 55
2.4.2 Нахождение ковариантного ротора скорости СЖ и плотности вихрей в системе 56
2.5 Выяснение причин связи внутренней, сверхтекучей структуры пульсара с его твёрдой оболочкой 58
2.5.1 Оценка сил сцепления вихрей с твёрдой корой (оболочкой) пульсара — пиннинга 60
2.5.2 Оценка скорости квантового проскальзывания вихрей (крипа) — одновременное туннелиро-вание коров на место соседнего кора 62
2.6 Нахождение зависимости напряжений деформации от поверхностных сил, действующих на кору пульсара 64
2.6.1 Нерелятивистский случай 64
2.6.2 Релятивистский случай 68
2.7 Приложение 1 68
2.8 Выводы главы 71
3 Динамика образования горизонта событий . 73
3.1 Введение 73
3.2 Описание модели 74
3.3 Запись уравнений модели 76
3.4 Задание начальных условий 77
3.5 Вывод основного выражения 79
3.6 Предельный случай а = 0 80
3.7 Смещение горизонта в общем случае 80
3.8 Обсуждение вероятного уравнения состояния 81
3.9 Обоснование результата 81
3.10 Приложение 1 82
3.11 Приложение 2 86
3.12 Выводы главы 96
Выводы работы 96
Список литературы 99
- Расчет силы, действующей на вихрь в потоке сверхтекучей жидкости
- Нахождение величины а и сравнение ее с результатом теории Бекаревича - Халатникова
- Нахождение зависимости между компонентами 4-градиента фазы сверхтекучего конденсата
- Оценка скорости квантового проскальзывания вихрей (крипа) — одновременное туннелиро-вание коров на место соседнего кора
Введение к работе
Актуальность темы.
Данная работа представляет собой попытку изучить некоторые свойства вещества, находящегося в экстремальных условиях и описываемого, с одной стороны, теорией сверхтекучей жидкости и, с другой стороны, теорией гравитации Эйнштейна.
Интерес, который сопутствует подобным исследованиям, связан прежде всего с необычными свойствами материи в изучаемых условиях.
Что же конкретно может быть интересного в объединении этих двух описаний? Прежде всего то, что предсказываемые теорией Эйнштейна гравимагнитные эффекты до сих пор, к сожалению, не были обнаружены экспериментально,-а возможным ключом к их обнаружению может быть влияние сил Лензе-Тирринга (гравимагнитных сил в постныото-ноесеом приближении) ка механизм сбоя периода пульсаров.
Кроме гравимагнитных эффектов несомненный интерес вызывают исследования в области динамики коллапса небесных тел с последующим образованием горизонта событий. Такие исследования стали проводиться только сравнительно недавно и привлекли к себе внимание самоподобными типами решений (наподобие нелинейных решений гидродинамических уравнений с вязкостью).
В этом направлении рядом известных специалистов (Новиковым И.Д., Фроловым В.П., Пенроузом, Хоукингом и др.) получены в последнее время интересные результаты, доказаны важные теоремы о сингуляр-ностях и горизонтах у черных дыр ([11, 12, 13]).
Кроме чисто теоретического и методического интереса, данные исследования представляются важными еще и потому, что они связаны с изучением образования и эволюции ядер галактик на ранних стадиях (здесь уже необходимы модели с нетривиальным уравнением состояния вещества).,
Все это говорит об актуальности исследования свойств и характеристик вещества с точки зрения указанных выше теорий. Решаемые в диссертационной работе задачи важны для описания астрофизических объектов — нейтронных звезд (пульсаров) и черных дыр.
Цель данной работы. Вопросов, которые возникают при этих исследованиях, еще достаточ-
но много, но главная цель, которую поставил перед собой автор, заключается в том, чтобы выяснить не приводит ли описание вещества (в рамках теорий сверхтекучей жидкости и гравитации) к принципиально новым эффектам, наподобие того, что был открыт с появлением решения Керра для уравнений Эйнштейна. Речь идёт об обобщении решения Шварцшильда на случай вращения чёрной дыры. После получения Керром своего решения, старое решение было не просто обобщено, а по-сути была доказана его вырожденность на случай отсутствия углового момента и электрического заряда. Общее же решение отличалось принципиально новыми особенностями — такими, как появление второго горизонта, и существованием поверхности эргосферы со всеми вытекающими отсюда последствиями.
Обобщение задачи о нахождении решения для поля чёрной дыры, будь то учёт её вращения, электрического заряда или сил противодавления сжатию при коллапсе — приводит к появлению новых, но очень похожих эффектов.
Защищаемые результаты и их новизна.
-
Подробно изучены вопросы распределения вихревой структуры пульсара в нерелятивистском случае без. упрощения усреднением этого распределения. В результате доказана справедливость такого упрощения. Доказана справедливость этого результата в общерелятивистском случае.
-
Общерелятивистское исследование сверхтекучей внутренности пуль сара позволило описать эффекты искривления и увлечения вихревых нитей в пульсаре гравитационными (гравиэлектрическими) и грави-магнитпыми полями системы. Решен вопрос об увлечении внутренностей пульсара и локально-инерциальной системы отсчета самосогласованным полем массивного вращающегося объекта. Доказаны теорема Бернулли и теорема о сохранении циркуляции в общерелятивистской гидродинамике для сверхтекучего конденсата.
III. Аналитически и численно исследована модель коллапса сфери
ческого тела в чёрную дыру. Найден момент появления и местоположе
ние образующихся горизонтов у чёрной дыры, исследована дальнейшая
эволюция этих горизонтов. Исследован вопрос об ударных волнах в кол-
лапсируюгдей системе и их влиянии на её эволюцию.
Все выносимые на защиту результаты являются новыми. Научное значение работы.
Т\ г\я&\<\Фа гькьгт-ъгг\ггт\аг*т^т тэта "агттттл pr\TTr4/-\«-*tT *-т><тг>»іт:гтгт_т« гт* гтплопмон т»
эволюцией нейтронных звезд (пульсаров), черных дыр и неустойчивых центрально - симметричных объектов. Изучение этих объектов необходимо для понимания общей астрофизической картины эволюции сверхновых звезд. Хотя исследования в этой области уже давно ведутся многими специалистами, автор изучал в диссертации те аспекты, которые ранее не затрагивались.
Рекомендация по использованию научных выводов. Результаты изучения коллапсирующих объектов позволяют сделать ряд важных для дальнейших исследований выводов:
I. Сопоставляя доказанную теорему о смещении горизонта видимости
(в большую, по сравнению с его Шварщлильдовским значением, сторо
ну) с теоремой, доказанной ЇЇ.Д. Новиковым, В.П. Фроловым и Пенро-
узом о максимально возможном значении горизонта видимости — го
ризонта событий ([13]), можно сделать предположение о возможности
нахождения аналитического критерия коллапса для конкретного слоя
падающего вещества.
Нахождение такого критерия дало бы возможность рассчитывать какая часть массы коллапсирующей звезды была бы выброшена ударными волнами наружу, а также какова остальная часть массы, все-таки сколлапсировавшая под горизонт. Само-собой разумеется, что соотношение этих частей будет зависеть от многих факторов: полной массы системы, ее уравнения состояния и начального распределения вещества.
В свою очередь выброс части вещества при коллапсе представляет собой одну из возможных моделей вспышек сверхновых и новых звезд, которые неоднократно наблюдались.
Хотелось бы особенно подчеркнуть, что однозначной и бесспорной теории вспышек сверхновых звезд еще пока нет, поэтому становится особенно актуальным доказательство теорем типа вышеуказанной.
II. В работе была также доказана возможность образования второго
горизонта видимости внутри системы в один и тот же момент времени,
(возможность возникновения второго горизонта зависит от начального
распределения вещества и уравнения состояния)
Ввиду принципиальной возможности наблюдения эффектов типа образования нового горизонта, этот эффект может иметь большое предсказательное значение при наблюдениях потоков нейтрино от вспышек сверхновых (только нейтрино способно пронизывать без поглощения толстые слои звезд).
Апробация работы.
Результаты работы докладывались и обсуждались:
-
Международная конференция студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов —: 98", Москва 1998г.
-
III Научная конференция молодых ученых и специалистов, Дубна 1999г.
-
Международная конференция студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов — 99", Москва 1999г.
-
IX Международная конференция пи элементарным частицам "Ломоносов — 99", Москва 1999г.
Публикации.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [16, 19, 23, 24],
Структура и объем диссертации.
Диссертационная работа состоит из разделов "Постановка задач", "Обзор литературы", трех глав и трех приложений. Диссертация изложена на 102 страницах, в том числе 11 рисунков. Библиография включает 57 названий.
Расчет силы, действующей на вихрь в потоке сверхтекучей жидкости
Радиус пульсаров порядка 106см, а их масса порядка массы Солнца, т.е. 1033г. Факт вращения пульсара запечатлен в импульсном характере его излучения. Величина периода Т измеряется с огромной точностью, что позволяет регистрировать малейшие нарушения режима вращения пульсара. В таких нарушениях и лежит ключ к возможности заглянуть внутрь пульсара. Период пульсара монотонно и медленно (с характерным временем порядка тысячи лет) растет со временем, что связано с потерей вращательной энергии на излучение и т.п. Однако на фоне такого монотонного роста время от времени возникают малые, но чётко регистрируемые "сбои" периода — его внезапные уменьшения на очень малую долю (её характерный порядок 10 ). Причину этих сбоев можно объяснить, например, моделью "звездотрясения" пульсаров. Согласно этой модели при замедлении вращения должна изменяться равновесная форма эллипсоида вращения, ограниченного поверхностью пульсара. При этом в определенные моменты времени твёрдая оболочка (кора) пульсара не выдерживает внутренних деформаций и разламывается. Момент инерции коры при этом уменьшается, а её угловая скорость, при заданном моменте количества движения, увеличивается. Затем кора, приняв новую равновесную форму, из-за трения с внутренними частями звезды, релаксирует к синхронному вращению с сердцевиной, в последующем процесс может повторяться.
Время релаксации г имеет порядок месяцев или года. Эта аномально большая величина и показывает, что трение внутри пульсара исчезающе мало и что вещество в этой области должно проявлять свойства сверхтекучести. Огромная величина г служит свидетельством слабости взаимодействия между корой пульсара, которая отвечает за его излучение, и его сердцевиной, в которой сосредоточена основная масса пульсара. Поэтому предположение о сверхтекучести сердцевины могло бы объяснить, по крайней мере качественно, величину т. Однако для количественного объяснения приведенного выше числа необходимо допустить существование некоторой доли нормальной, несверхтекучей компоненты вещества сердцевины, взаимодействие с которой коры и обеспечит нужное значение т. Как показано в работе [3], в пульсарах существует развитая система вихревых нитей, а каждая вихревая нить, как будет показано ниже, содержит часть нормальной (несверхтекучей) компоненты вещества. Появление нормальной компоненты коров вихревых нитей в основной части сверхтекучей жидкости при ее вращении будет описано ниже.
Помимо модели "звездотрясения" существуют и другие модели сбоя периода, в которых вихревым нитям принадлежит ещё большая роль (сбой периода прямо связывается со срывом вихревых нитей).
Явление сверхтекучести, как известно, существует в средах, где ПО крайней мере часть материи находится в состоянии Бозе-Эйнштейновского конденсата. Как известно из физики микромира, существует два сорта элементарных частиц. Это фермионы и бозоны. Фермионы имеют полуцелый спин в единицах постоянной Планка h , и каждое квантово-механическое состояние может быть занято не более чем одним фермионом. При попытке поместить в уже занятое состояние еще один фермион возникают мощные силы, препятствующие этому. К фермионам относятся лептоны и барио-ны, т.е. электроны, протоны, нейтроны и т.д. Частицы второго сорта — бозоны (фотон, пион, глюоны и т.д.) имеют целый спин, а в каждом квантово-механическом состоянии может быть произвольное число частиц. При этом существует тенденция к тому чтобы занять это состояние как можно большим числом частиц.
Составные частицы, представляющие собой связанное или сильно коррелированное состояние двух или более элементарных частиц, принадлежат к группе бозонов или фермионов в зависимости от того, чётное или нечётное число фермионов входит в их состав. В случае притяжения между фермионами основное состояние системы оказывается неустойчивым по отношению к определённой перестройке, понижающей энергию системы. Физическая природа этой неустойчивости состоит в стремлении частиц к "спариванию": образованию связанных или сильно коррелированных состояний па рами частиц. В импульсном пространстве эти частицы находятся вблизи ферми-поверхности и обладают равными по величине и противоположными по направлению импульсами, а также (во многих случаях) антипараллельными спинами — так называемый эффект Купера. Т.о. такая куперовская пара есть связанное или сильно коррелированное состояние двух фермионов и поэтому является бозоном. Особенно ярко проявляются свойства бозонов в состоянии бозе-конденсата. Смысл этого понятия состоит в следующем. В системе бозонов при определенной температуре нижний уровень энергии заполнен большим числом частиц NQ , чем любой другой уровень. Однако отношение NQ/N (N — полное число частиц в системе, N —) со) стремится к нулю при температуре системы выше критической (Тс) и стремится к конечной величине при температуре ниже критической. Совокупность бозонов, "сидящих" на нижнем уровне, в числе, которое составляет конечную долю от бесконечного числа всех частиц, называется бозе-конденсатом. Примерами таких систем могут служить жидкий гелий Не при низких температурах: Т 1 К, жидкий Не при сверхнизких температурах Т 10 3іГ, вещество атомных ядер или сверхплотное нейтронное вещество сердцевины пульсаров при температурах Т 1010 1 MeV. В последних трех примерах имеется в виду конденсат куперовских пар атомов Не3 или нуклонов. При сверхпроводимости, в случае низких температур (Тс 10-гЮО К0), мы будем иметь дело со сверхтекучестью куперовских пар электронов. В этом случае Тс определяется составом и структурой вещества. Соответствующая теория носит название БКШ (Бардина, Купера, Шриффера). При этом стоит особо подчеркнуть, что для фермионов существуют и другие типы спаривания, например, спаривание не с антипараллельными, а с параллельными спинами, другими словами спаривание S и Р типа и др. Вводя понятие изоспина нейтроны и протоны можно рассматривать как нуклоны в разных изоспиновых состояниях. Всем этим возможностям соответствуют и разные типы бозе-частиц — квазикуперовских и куперовских пар. Соответственно разными будут и критические температуры Бозе-конденсации, величины энергетических щелей и параметров порядка. Однако рассмотрение таких ситуаций уже выходит за рамки данной работы, никак не сказываясь (как станет понятно далее) на конечных результатах.
Бозе-конденсат описывается волновой функцией ф = \ф\ехр(г р), где (р — фаза волновой функции конденсата. Состояния вещества, обнаруживающие сверхтекучие или сверхпроводящие свойства, относятся к разряду упорядоченных. Именно в сверхтекучей жидкости, в отличие от несверхтекучей, конечная доля частиц (т.е. макроскопически большое их число) имеет строго равный нулю импульс. Эти частицы и составляют конденсат в импульсном пространстве. Если в жидкости происходит сверхтекучее движение или если она находится в неоднородных, нестационарных внешних условиях (существенно меняющихся на расстояниях больших по сравнению с межатомными), то бозе-эйнштейновская конденсация по-прежнему имеет место, но уже нельзя утверждать, что она будет происходить в состояние с равным нулю импульсом. Т.о., в состоянии конденсата конечная доля всех частиц упорядочена по импульсам. Параметром порядка служит волновая функция конденсата ф. Т.к. ф нормирована на полное число конденсатных частиц в единице объема, то она является макроскопически большой величиной.
Нахождение величины а и сравнение ее с результатом теории Бекаревича - Халатникова
В работе [5] рассматривается сверхтекучая жидкость во вращающемся цилиндрическом сосуде. В этой главе поставлена задача найти распределение средней плотности вихрей v(г) и средней скорости движения жидкости Ucp.(r), зависящей от радиуса г. При этом усреднение подразумевается по площади, заметно превышающей квадрат среднего межвихревого расстояния d, который теперь можно определить как d2 — TTR2/N. ЧИСЛО вихрей в сосуде предполагается большим: N 1. Для нахождения необходимых величин Бекаревич и Халатников (БХ) выражали все остальные величины в функционале свободной энергии через UСр.. При этом в выражение для момента М скорость входит линейно и усреднить момент можно обычным образом. В то же время в выражение для энергии Е скорость входит квадратично, а среднее от квадрата, как известно, не равно, вообще говоря, квадрату от среднего. Чтобы обойти эту трудность БХ записывают среднее от квадрата как квадрат от среднего плюс некоторый корреляционный член:
Этот член был введен полуфеноменологическим путем и выражал энергию вихревой нити в сосуде с радиусом, равным d. Этот член был введен для отличия между средним от квадрата и квадратом от среднего. В связи со всем вышесказанным, точность этой теории ограничивается размерами, по которым ведется усреднение, а также точностью выражения для Екорт, т.е. размерами много большими среднего межвихревого расстояния d. В результате своих вычислений БХ получили, что средняя скорость выражается следующим образом: Ucp. — [w х f\, для г = R — а, и Ucp. = [w х r\(R — а)2/г2, для R — а г R, где а — величина ирротационного слоя, где нет вихрей. При этом отношение {a/R)2 в их теории оказывается приблизительно равным отношению EKopJЕ. Отсюда а « 3d. Т.о., согласно теории БХ, около стенки сосуда должен существовать ир-ротационный слой жидкости, в котором rot Ucp. = 0 и, следовательно, нет вихрей. Но толщина этого слоя а меньше или порядка погрешности самой теории.
Отметим, что существование этого слоя ставит под вопрос законность введения понятия "имитации" движением несверхтекучей жидкости для СЖ и, поэтому, этот вопрос должен быть изучен более подробно. Итак, в теории БХ имеются три допущения: 1) При выводе используется понятие корреляционного члена, выражающего разность между усреднением квадрата скорости и квадратом от среднего значения U. Приведенное выражение для этого члена нужно строго обосновывать. 2) Найденная величина ирротационного слоя а сильно зависит как от выражения для Екор. так и от масштабов усреднения. При этом оказывается, что величина найденного результата меньше или порядка погрешности теории. 3) Из уравнений теории БХ получаются два разных решения, соответствующие твердотельному движению жидкости и иррота-ционному слою в ней. При этом добиться гладкого сшивания этих решений, чего требует сама теория БХ, оказывается невозможно. По указанным причинам существование данного слоя и его величина, не могут считаться строго обоснованными. Необходимы более точный расчет и более корректное доказательство.
В связи со всем вышесказанным необходимо построить и рассчитать модель сверхтекучей жидкости во вращающемся цилиндрическом сосуде при наличии вихрей и при сохранении момента количества движения системы. Т.к. случай N = 7 был подробно изучен в работе [29], то мы будем рассматривать случай N 1. Именно этот случай особенно интересен при изучении пульсаров. При этом величина найденного ирротационного слоя должна быть найдена с погрешностью, не превышающей размеров самого слоя. С этой целью построим математически точную модель системы вихревых нитей во вращающемся сосуде со сверхтекучей жидкостью при условии сохранения момента количества движения системы М. При расчете модели будем использовать учитываемые в дальнейшем допущения. Необходимой основой такой модели является написание точного выражения функционала свободной энергии F системы.
Для одного вихря на оси сосуда граничные условия, заключающиеся в том, что нормальная компонента скорости обращается в нуль на стенке сосуда, выполняются автоматически. Если есть вихри, расположенные в других местах сосуда, то для выполнения гра-ничных условий необходимо, чтобы скорость жидкости U(г) не была просто равна векторной сумме отдельных скоростей Uk(r) от каждого вихря с номером к, в отдельности, внутри сосуда. Для выполнения граничных условий необходимо вне сосуда поместить мнимые вихри-изображения. Вклад поля их скоростей обеспечивает в таком случае и условие потенциальности, и граничные условия. Для выяснения характера размещения этих мнимых нитей воспользуемся методом изображений, известным из электростатики. В двумерном случае этот метод сводится к тому чтобы каждому вихрю в точке ТІ сопоставить вихрь-изображение, вращающийся в противоположном направлении, в точке R2fi/rf. Таким образом, система состоит из N вихрей в сосуде и N вихрей-изображений вне его, что обеспечивает выполнение граничных условий.
Нахождение зависимости между компонентами 4-градиента фазы сверхтекучего конденсата
Это выражение можно было бы получить и другим способом, учитывая теорему Бернулли (2.23) и перейдя в невращающуюся систему отсчета, по формулам (2.47) на странице 56. При этом одновременно получается, что константа из (2.23) должна быть равна химическому потенциалу /х. Сопоставляя уравнения (2.36) и (2.37), получаем аналог твердотельного вращения для СЖ:
Как было показано в [29] для нерелятивистского случая, ВН как бы "вморожены" в СЖ — движутся с угловой скоростью Q — скоростью вращения оболочки. Таким образом проскальзывание относительно этой угловой скорости отсутствует.
Это было доказано с помощью нахождения силы, действующей на ВН. После нахождения этой силы — силы Магнуса, было очевидно, что она обращается в ноль во вращающейся с угловой скоростью О, системе отсчета. Следовательно, в этой системе отсчета ВН покоились, что и доказывало утверждение.
Сила Магнуса, действующая на вихрь, может быть рассчитана путем минимизации энергии системы по положению кора этого вихря в системе. Силу Магнуса можно найти и другим способом. Как известно, сила Магнуса, действует на вращающееся тело в набегающем потоке и обусловлена ненулевой разностью давлений для разных сторон потока, обтекающего тело. В свою очередь, давление вдоль границы тела меняется вследствие действия теоремы Бернулли — скорость обтекающей среды вокруг вращающегося тела меняется при обходе вокруг оси тела.
Рассчитаем силу Магнуса, действующую на вихрь, именно таким способом. Запишем уравнение Бернулли для нерелятивистского случая: В качестве тела, на которое действует сила Магнуса, естественно рассмотреть участок кора ВН. Как будет видно из дальнейшего, сила Магнуса не зависит от радиуса этого кора — а. Выберем цилиндрическую систему координат, ось z которой совпадает с осью вращения этого кора. Поскольку радиус кора а много меньше любых масштабов, на которых набегающий поток, создаваемый остальными вихрями, заметно меняется, то этот поток можно считать постоянным при обтекании кора. Согласно (2.38), физическая скорость этого потока в точке кора равна: Учитывая, что члены, независящие от угла р исчезают, и что в нерелятивистском случае для СЖ п « р2, т « т , получаем для силы Магнуса, действующей на единицу длины кора: Из выражения (2.42) следует, что сила Магнуса, действующая на покоящийся относительно удаленного наблюдателя кор ВН, заставляет его двигаться к стенке сосуда. По мере ускорения к стенке, возникает набегающий от нее поток (точнее сам кор набегает на СЖ), и вследствие этого сила Магнуса меняет свою ориентацию, заставляя кор ВН прецессировать вокруг некоторой точки потока СЖ. Эта прецессия очень быстро затухает, а кор начинает двигаться таким образом, чтобы сила Магнуса на него не действовала, т.е. чтобы энергия системы стала минимальной. Для этого необходимо, чтобы кор покоился относительно потока СЖ в точке его местонахождения. Эти рассуждения и доказывают "вмороженность" системы ВН, т.е. отсутствие проскальзывания в нерелятивистском случае. В общерелятивистском случае выражение (2.39) теоремы Бер-нулли заменяется на выражение (2.23). Для обобщения теоремы о проскальзывании на общерелятивистский случай нам нет необходимости повторять аналогичные вычисления для нахождения силы Магнуса, которые, кстати, окажутся весьма сложными. Достаточно заметить, что: фо = кщ, к = fc(V,F,n,pijt), о = «o(V,0ijfc), а так же учесть, что при обходе вокруг кора вихревой нити метрика дц, и концентрация п если и меняются, то так ничтожно мало 8, что этими изменениями можно пренебречь. Поэтому мы можем записать для участка СЖ, прилегающей к кору: Отсюда видно, что общерелятивистсая сила Магнуса будет отсутствовать при таком движении ВН, при котором V = const вокруг 8Как известно, радиус кора имеет размеры порядка l-f-10 межчастичных расстояний. кора. А это возможно только тогда, когда кор ВЫ сопутствует потоку СЖ, т.е. V создается только самим кором. Следовательно, учитывая выражение (2.38), видим, что проскальзывание отсутствует и в общерелятивистском случае. Отметим в заключение, что отсутствие проскальзывания является также следствием другой важной теоремы гидродинамики — теоремы о сохранении циркуляции (см. например [28]).
Оценка скорости квантового проскальзывания вихрей (крипа) — одновременное туннелиро-вание коров на место соседнего кора
Поскольку цель этого раздела — получить общее представление о механизмах связи внутренних и внешних частей пульсара, то в этом и следующем подразделах используется нерелятивистское приближение.
Связь оболочки со сверхтекучей нейтронной жидкостью в пре-фазе в первую очередь осуществляется рассеянием нормальных электронов на нормальных (несверхтекучих) сердцевинах нейтронных вихревых нитей. Характеристическое время этого рассеяния выражается через параметры сверхтекучих нейтронов и более подробное рассмотрение этого вопроса содержится в работах [9, 36]. Скажем здесь только, что по порядку величины это время около одного года и, казалось бы, поэтому может отвечать за медленную релаксацию, наблюдаемую у пульсаров. Однако, как показывает точное исследование, (см. например [9]) вокруг каждого нейтронного вихря в пульсаре образуется пучок протонных ВН. Его связь с нейтронным вихрем очень жёсткая — время релаксации порядка 10 14 сек. Протонные вихри, в свою очередь, взаимодействуют с магнитным полем системы и соответствующее время релаксации порядка R/c Ю-4 сек. (R — радиус системы). Следовательно такой механизм не может быть ответственным за большие времена релаксации пульсаров.
Авторы работы [9] предлагают иное объяснение наблюдательных фактов. Их объяснение основано на явлении пиннинга — прикреплении коров ВН к твёрдой оболочке пульсаров с последующим квантовым туннелированием — крипом вдоль оболочки (проскальзыванием) .
Прикрепление нейтронных ВН к ядрам энергетически выгодно, если тем самым уменьшается энергия, необходимая для создания их нормальных сердцевин. В обратном случае энергетически более выгодно нахождение вихрей между ядрами. Учитывая, что плотность энергии конденсации: Єк = — (3/8)А2п/ , где А - энергетическая щель, п — плотность нейтронов, EF — фермиевская энергия, запишем плотность энергии пиннинга на одно ядро в виде (см. работу [40]): здесь out и in обозначают локальные значения Дг, тії и E2F для сверхтекучих нейтронов вне и внутри ядер, V — объём, перекрываемый сердцевиной вихря и ядром радиусом RN. Несмотря на неопределённость в значении энергетической щели в зависимости от плотности (её значение экспоненциально зависит от плохоопре-делённого нуклон-нуклонного взаимодействия), расчеты показывают, что пиннинг возможен при плотностях от 1013 до 1014 г/см3.
В модели, предложенной Седракяном и Шахабасяном в работе [9], сбой периода и время релаксации обусловлено срывом группы вихревых нитей на оболочку после частичного удержания их на концах за счет пиннинга. Поясним это подробнее. Как известно, в первую очередь у пульсара начинает замедляться оболочка, которая тянет за собой сердцевину. Если бы в сердцевине не было ВН, то и сцепление её с оболочкой так же почти отсутствовало бы. С другой стороны, как мы только что показали, коры ВН связаны с оболочкой за счет пиннинга почти абсолютно жестко и поэтому должно было бы наблюдаться синхронное замедление без всяких скачков.
Но, за счет этой "привязки" концов вихрей, они испытывают по всей длине большое натяжение, которое приводит их к квантовому "перескоку" на соседнее место в направлении передачи своего момента оболочке, т.е. в направлении периферии.
Таким образом ВН частично теряют свою связь с оболочкой и, в этом смысле, проскальзывают или ползут вдоль неё. Поэтому оценка остающейся связи или этого проскальзывания и отвечает на вопрос о времени релаксации пульсаров. Авторы работы [37] предположили возможность термического крипа по аналогии с поведением сверхпроводников II рода, находящихся в резистивном состоянии при малых напряжениях. Предполагается, что в равновесном состоянии (в отсутствие скачка) возможно квантовое туннелирование термически активных нейтронных вихрей через пиннинговые барьеры: вихри случайным образом перескакивают от одного центра пиннинга к другому. Скорость радиального движения вихрей во вращающейся системе отсчета в этом случае: где Vo — скорость движения вихрей при отсутствии пиннинга (VQ 10-7 см/с), Т —- температура коры, w = Q,s — Qc — относительная скорость вращения СЖ и нормальной коры, wcr = (Us — 0с)тоаж — максимальная относительная скорость, которая может поддерживаться силами пиннинга.
Уравнения, описывающие динамику вихревой решетки и её отклик на внезапное изменение угловой скорости вращения оболочки, были получены в работе [38]. Без уточнения природы взаимодействия между нормальной и сверхтекучей компонентами, было показано, что за начальным скачком угловой скорости вращения нормальной части системы следует экспоненциальный процесс выравнивания начальной неравновесности.
Пусть звезда вращается с угловой скоростью fic, а средняя угловая скорость вращения СЖ Qs определяется распределением ВН: 5\ Скорость изменения угловой скорости Qs связана со скоростью движения вихрей Vp формулой: