Асимптотические методы в моделировании магнитной активности Солнца. Однослойные и двухслойные модели динамо. Попова Елена Петровна

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Сопоставление наблюдательных данных с однослойными моделями динамо с меридиональной циркуляцией 30

1.1. Динамо-волны вблизи солнечных полюсов с учетом меридиональной циркуляции 30

1.2. Спиральность 50

1.3. Солнечный цикл по данным о поверхностном крупномасштабном магнитном поле и теория солнечного динамо 63

1.4. Нелинейная однослойная модель динамо с меридиональной циркуляцией и параметры бабочек Маундера 73

Выводы к Главе 1 80

Глава 2. Двухслойная модель динамо Паркера в случае преобладания альфа-эффекта в одном слое, а дифференциального вращения в другом 81

2.1. Конфигурации динамо-волн в двухслойной модели 81

2.2. Двухслойная модель динамо с меридиональной циркуляцией 101

Выводы к Главе 2 113

Глава 3. Двухслойная модель динамо с альфа-эффектом и дифференциальным вращением в каждом слое для моделирования широтного распределения фонового магнитного Солнца

3.1. Широтное распределение фонового магнитного поля в циклах 21-23 114

3.2. Основные уравнения 116

3.3 Моделирование двух динамо волн 119

3.4.1 Общие замечания 119

3.4.2 Моделирование двух основных волн для циклов 21-23 122

3.4.3 Моделирование двух волн для нечетного цикла 23 126

3.4.4 Моделирование двух волн для нечетного цикла 21 129

3.4.5 Моделирование двух волн для цикла 22 130

Выводы к Главе 3 134

Глава 4 Однослойная маломодовая модель нелинейного динамо в случае дипольной и квадрупольной симметрии магнитного поля 137

4.1 Маломодовая модель динамо с меридиональной циркуляцией в случае дипольной симметрии магнитного поля 137

4.2. Динамическая система для динамо Паркера в случае квадрупольной симметрии магнитного поля

Выводы к Главе 4 168

Глава 5. Квазидвухлетний цикл и теория динамо 169

5.1. Моделирование квазидвухлетнего цикла на основе однослойного нелинейного динамо 169

5.2. Динамическая система с меридиональной циркуляцией, зависящей от широты 185

5.3. Уравнения асо -динамо с учетом толщины конвективной зоны 206

Выводы к Главе 5 220

Глава 6. Динамические системы для двухслойного динамо с альфа-эффектом и дифференциальным вращением в каждом слое . 221

6.1. Динамические системы для двухслойного динамо с учетом меридиональных потоков. 221

6.2. Динамические системы для двухслойного динамо с учетом

толщины слоев 230

Выводы к Главе 6 240

Заключение 241

Список литературы

• Солнечный цикл по данным о поверхностном крупномасштабном магнитном поле и теория солнечного динамо
• Двухслойная модель динамо с меридиональной циркуляцией
• Моделирование двух динамо волн
• Динамическая система для динамо Паркера в случае квадрупольной симметрии магнитного поля

Введение к работе

Актуальность темы

Задачи, решенные в диссертационной работе Поповой Е. П., направлены на решение проблем космического магнетизма. Модели динамо, впервые построенные и изученные в диссертационной работе, являются составной частью общей проблемы генерации магнитных полей на Солнце и в звездах. Для исследования полученных моделей были развиты асимптотический метод, аналогичный квазиклассическому, и маломодовое приближение. С помощью полученных моделей удалось воспроизвести различные особенности солнечной магнитной активности, а также получить целостную картину влияния меридиональных потоков, турбулентной диффузии и толщины конвективной зоны звезд на режимы генерации магнитного поля.

Солнечная активность проявляется в генерации сильных магнитных
полей на Солнце и оказывает большое влияние на Землю и Солнечную
систему в целом, состояние околоземного космического пространства и
земной атмосферы, биологические, химические и другие процессы.
Исследование солнечной активности становится особенно актуальным в
связи с развитием космических технологий, спутниковых

коммуникационных систем и освоением космического пространства, и находится в центре целевых национальных и международных программ, таких как, например, международная программа "Жизнь со Звездой".

В настоящее время накоплен большой наблюдательный материал,

полученный как на российских космических и наземных обсерваториях

(серия аппаратов КОРОНАС, ИНТЕРБОЛ и др.) так и зарубежных (SOHO,

SDO, ACE, Hinode), который позволяет установить взаимосвязи активности

на Солнце с земными явлениями и, в целом, с космической погодой. Для

понимания фундаментальных физических процессов, лежащих в основе

магнитной активности Солнца и их влияния на Землю становится актуальной

задача развития методов моделирования этих процессов.

Начиная с работы Паркера в 1955 году, дальнейшее развитие моделей, описывающих поведение магнитного поля Солнца под действием процесса динамо, позволило объяснить различные структуры пространственного распределения магнитной активности Солнца.

Поведение магнитных полей в астрофизических объектах описывает
сложная замкнутая система уравнений, не поддающаяся аналитическому
решению. Чем реалистичнее модель, тем более громоздкими становятся
системы дифференциальных уравнений в частных производных,

составляющие математическую постановку задачи. Их численное решение возможно, но не исчерпывает проблему полностью. В такие системы уравнений в качестве коэффициентов входят величины, распределение которых по небесному телу плохо известны. Асимптотический или численный анализ нелинейных моделей динамо довольно сложен, кроме того, при помощи прямого численного моделирования сложно дать объяснение различных явлений.

Несмотря на то, что в последнее время были достигнуты большие успехи в численных исследованиях задач магнитной гидродинамики и было подробно исследовано множество отдельно взятых задач, в целом физическая картина механизма генерации магнитных полей в теории динамо средних полей остается неясной.

Для того, чтобы выявить основные причины возникновения тех или иных наблюдательных явлений, желательно построить с одной стороны реалистичные, а с другой не слишком сложные для исследования модели, допускающие аналитическое исследование.

В уравнения, которые описывают задачи космической магнитной гидродинамики средних полей, часто входят большие безразмерные параметры - магнитные числа Рейнольдса, что соответствует сильной генерации магнитных полей. Такое условие приводит к возникновению

коротковолновых и погранслойных решений и делает применение асимптотических методов весьма эффективным.

В работах, которые были развиты во второй половине XX века Э.
Совардом, М. Проктором С. Тобайсом, Д.Д. Соколовым, С.В. Старченко,
К.М. Кузаняном, М.Ю. Решетняком и др., показано, что использование
асимптотических разложений дает реалистичные результаты, которые
способны прояснить физическую картину в целом и согласуются с данными
наблюдений. Таким образом, асимптотические методы являются

эффективным способом исследования поставленных задач, связанных с генерацией и эволюцией магнитных полей. Однако, осталось много явлений, которые существующие модели объяснить не могут.

В последние годы появился ряд наблюдательных данных, согласно которым циклическая магнитная активность Солнца содержит не только 22-летний ярко выраженный цикл, но и более короткие. Различные исследовательские группы выделяют 1–2.5 летние вариации магнитного поля. Остается неясным вопрос, как связано наличие коротких циклов на фоне более длинного с теорией динамо.

Звезды солнечного типа имеют магнитные циклы с периодами от

нескольких лет до нескольких десятилетий. Большинство наблюдений

звездных циклов опираются на долгосрочный мониторинг фотосферы,

хромосферы, короны и выбросов с использованием Солнца в качестве

основы для калибровки и сравнения. Фотометрическая и спектральная

изменчивость, связанная с магнитной активностью и периодической

модуляцией на временных масштабах от нескольких лет до десятилетий

трактуется как циклическая активность. Были исследованы хромосферные

выбросы 111 звезд солнечного типа с 1966-1991 (проект Mount Wilson HK).

Около половины звезд в выборке (51) показывают явные признаки

циклической деятельности, в том числе 21 с четко определенными периодами

цикла, начиная от 7 до 25 лет. Остальные звезды демонстрируют

нерегулярные циклы (29) или магнитную активность без явно выраженных изменений (31). Более быстро вращающиеся звезды, как правило, имеют короткие циклы, но точные соотношения звездной массы, скорости вращения и других основных параметров остаются неизвестными. Самый короткий звездный цикл активности, который наблюдается на сегодняшний день, имеет период примерно от 1 до 1,6 года, и происходит в быстро вращающихся звездах F-типа.

Остается не ясным, почему одни звезды имеют четко выраженную периодичность магнитной активности, а другие нет. По какой причине может наблюдаться одновременное присутствие циклов разного периода, как, например, на Солнце. Кроме этого, интерес представляет нахождение связи между конфигурацией магнитного поля (дипольная или квадрупольная симметрии) и характером циклов.

Цели диссертационного исследования:

- разработать и применить асимптотический метод для исследования
линейной двухслойной модели динамо Паркера;

- разработать и применить асимптотический метод для исследования более
сложной линейной двухслойной модели динамо Паркера с учетом
меридиональных потоков;

- разработать и применить асимптотический метод для исследования динамо-
волн вблизи полюсов с учетом меридиональных потоков в линейной
однослойной модели динамо Паркера;

- сопоставить с наблюдательными данными эволюцию полоидального
магнитного поля в рамках линейной однослойной и двухслойной моделей
динамо Паркера с меридиональной циркуляцией;

- исследовать эволюцию спиральности в рамках линейной однослойной
модели динамо Паркера с меридиональной циркуляцией;

в рамках маломодового приближения исследовать нелинейное динамо в однослойной и двухслойной средах с различной симметрией (дипольной и квадрупольной) магнитного поля с учетом меридиональной циркуляции и конечной толщины слоя;

в рамках маломодового приближения для однослойной и двухслойной моделей нелинейного динамо воспроизвести двойной (квазидвухлетний на фоне 22-летнего) и тройной (квазидвухлетнего, 22-летнего и 100-летнего) солнечный циклы.

найти условия переключения между различными режимами магнитной активности звезд (циклический, квазициклический, хаотический, без осцилляций) и определить факторы, отвечающие за наличие определенного типа режима магнитной активности звезды.

Модели, впервые построенные и изученные в диссертационной работе, являются составной частью общей проблемы генерации магнитных полей на Солнце и звездах. Их результаты могут быть использованы для сравнения с обширным наблюдательным материалом солнечной и звездной магнитной активности.

Асимптотические методы, которые построены и применяются в
диссертации для исследования моделей динамо, являются разновидностью
метода ВКБ и развитием квазиклассического подхода. Такие

асимптотические методы позволяют выяснить роль отдельно взятых эффектов, всесторонне рассмотреть их свойства и получить качественное соответствие наблюдениям.

В диссертационной работе построена асимптотическая теория динамо-волн для двухслойной среды в случае линейного двухслойного динамо и рассмотрено влияние меридиональных потоков на распространение динамо-волн в этом случае.

Для исследования процесса нелинейного динамо, в диссертационной работе использовано маломодовое приближение, которое сводит сложные для анализа исходные модельные уравнения к более простым системам, сохраняя при этом основные физические предположения.

Основным предположением маломодового метода является то, что возбуждаемое магнитное поле описывается небольшим числом параметров, а уравнения динамо заменяются динамической системой не очень высокого порядка. Уравнения динамо средних полей проектируются на минимально возможную систему нескольких первых собственных функций для задачи о затухании магнитного поля в случае отсутствия источников генерации. При этом минимальный набор функций необходимо подобрать так, чтобы при учете источников генерации решение, которое теперь является набором зависящих от времени нескольких первых коэффициентов Фурье по системе базисных функций, воспроизводило бы в общих чертах поведение магнитного поля изучаемого объекта, а при меньшем наборе это воспроизведение было бы уже невозможно.

В авторских работах был исследован случай дипольной симметрии магнитного поля и использовались только по две старшие моды для тороидального и полоидального полей. При этом динамическая система строилась для простейшей модели динамо Паркера в однослойной среде. Полученные результаты качественно воспроизвели 22-летний цикл Солнца и магнитную активность звезд типа Т Тельца.

Таким образом, использование такого метода для простейшей модели динамо показало, что построение динамических систем для моделирования магнитной активности звезд является сравнительно эффективным способом для исследования уравнений динамо. Поэтому оказалось весьма актуальным развить и применить маломодовый метод к более сложным и более реалистичным моделям магнитной активности небесных тел, с целью

прояснения физики явлений, полученных на основании новых

наблюдательных данных.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Построена линейная модель динамо с учетом меридиональных потоков. Построены модели нелинейного динамо в однослойной и двухслойной средах с различной симметрией (дипольной и квадрупольной) магнитного поля с учетом меридиональной циркуляции и толщины слоя.

2. Разработан асимптотический метод для однослойной линейной модели динамо с меридиональной циркуляцией с учетом эффектов кривизны вблизи полюсов. Разработан асимптотический метод для двухслойной линейной модели динамо с меридиональной циркуляцией.

3. Развито маломодовое приближение для исследования нелинейных
однослойных и двухслойных моделей динамо с учетом меридиональной
циркуляции и толщины слоя.

4. Аналитически показано, что в двухслойной среде увеличение
соотношения коэффициентов турбулентной диффузии в слоях, а также
увеличение скорости меридионального движения вещества приводит к
замедлению распространения динамо-волн. Сделаны оценки параметров
модели, при которых возникает генерация динамо-волн в периодом 22 года.

5. Аналитически показано, что в области высоких широт существует
падающая и отраженная динамо-волны, режимы распространения которых
зависят от широтного профиля меридиональной циркуляции. Полярность
широтно-временного распределения спиральности подчиняется правилу,
аналогичному правилу полярности Хейла.

6. В рамках предложенных нелинейных моделей динамо получены
основные режимы генерации магнитного поля, которые согласуются с
наблюдательными и экспериментальными данными.

7. Предложены механизмы возникновения двойного цикла
(квазидвухлетнего на фоне 22-летнего), тройного цикла (одновременное
присутствие квазидвухлетнего цикла, 22-летнего и столетнего циклов) и
глобальных минимумов.

8. Воспроизведена шахматная структура баттерфляй-диаграмм
поверхностного крупномасштабного магнитного поля и основные черты
наблюдаемых волн фонового магнитного поля.

Научная новизна

Автором получены следующие важные новые результаты:

Разработан и применен асимптотический метод для исследования
линейной двухслойной модели динамо Паркера. В данной модели впервые
были учтены меридиональные потоки. Для исследования такой модели был
разработан и применен асимптотический метод, который является развитием
асимптотического метода ВКБ. С математической точки зрения получены
новые важные свойства перехода между различными асимптотическими
режимами, что является новым направлением в развитии математических
методов. Полученное решение дополняет уже известные асимптотики и
расширяет класс решений на более общий случай. Разработанный метод
построения решения представляет интерес и для других важных разделов
теории динамо (например, галактическом динамо и геодинамо), где тоже
приходится учитывать влияние адвективных потоков, не сводящихся к
дифференциальному вращению. Результаты вычислений оказались

актуальными для исследования нелинейного динамо Паркера вблизи порога возбуждения.

Для рассматриваемых моделей впервые были получены

подтвержденные наблюдениями оценки диапазонов значений

меридиональной циркуляции и коэффициентов турбулентной диффузии, при которых модель дает длительность цикла 22 года, а также получены режимы, при которых может возникнуть длительный минимум солнечной активности.

На основании результатов диссертационной работы впервые были даны прогнозы об эволюции магнитной и токовой спиральности. Полученные результаты согласуются с наблюдательными данными.

Впервые показано, что уравнения солнечного динамо имеют решения, для которых поведение полоидального магнитного поля воспроизводит результаты наблюдений. Особенно хорошее согласие наблюдается при учете меридиональных потоков.

Наблюдения показали, что кроме динамо-волн, распространяющихся от полюсов к экватору, существуют волны, бегущие к полюсам. В диссертационной работе впервые исследована эволюция динамо-волн вблизи солнечных полюсов с учетом меридиональных потоков. Построено асимптотическое решение уравнений генерации магнитного поля. Показано, в каких случаях меридиональная циркуляция приводит к существованию бегущих к полюсам и отраженных от них динамо-волн, а в каких приводит к суперпозиции стоячих динамо-волн.

Таким образом, учет меридиональной циркуляции в однослойной и

двухслойной моделях динамо позволил получить важные аналитические и

численные результаты, согласующиеся с наблюдательными данными, и
актуальные для предсказания космической погоды.

Для моделирования магнитной активности звезд были построены и исследованы динамические системы, основанные на уравнениях нелинейного -динамо. В диссертационной работе впервые показано, что в случае дипольной симметрии магнитного поля меридиональные потоки способны регулировать режимы генерации магнитного поля. Если меридиональные потоки слабые, то возможны режимы стационарных осцилляций, динамо-всплесков, васцилляций и режимов с хаотической составляющей. При увеличении меридиональной циркуляции диапазон динамо-чисел (в динамо-число входят амплитуды альфа-эффекта и дифференциального вращения), где наблюдаются васцилляции и динамо-всплески, сужается и постепенно исчезает, при этом диапазон для реализации осцилляций увеличивается и передвигается на более высокие динамо-числа. Полученные широтно-временные распределения тороидальной и полоидальной компонент магнитного поля в случае стационарных осцилляций в целом воспроизводят наблюдательные широко-известные баттерфляй-диаграммы для солнечных пятен и широтно-временное распределение для полоидального поля, полученное по наблюдениям.

В диссертационной работе впервые проведено построение

динамической системы для нелинейного -динамо в случае квадрупольной симметрии тороидального поля. Полученная система воспроизводит режимы осцилляций, васцилляций, динамо-всплесков и конфигурацию с монотонно растущим магнитным полем с выходом на стационарный режим, а также всплесков с хаотической составляющей. Для этих режимов найдены диапазоны динамо-чисел. Построены баттерфляй-диаграммы полоидальной и тороидальной компонент магнитного поля для режима стационарных осцилляций. В диссертационной работе показано, что динамическая система для нелинейного -динамо с квадрупольной симметрией магнитного поля отличается от системы с дипольной симметрией. Система с квадрупольной симметрией, построенная на четырех модах, воспроизводит только режим

осцилляций, в то время как динамическая система с дипольной симметрией магнитного поля, построенная на четырех модах, воспроизводит режимы не только осцилляций, но и васцилляций, стационарных решений и динамо-всплесков. Если для построения динамической системы с квадрупольной симметрией использовать шесть старших мод, то возможна реализация режимов осцилляций, васцилляций, стационарных решений и динамо-всплесков, однако их расположение на синоптической карте отличается от случая дипольной симметрии. В режиме осцилляций увеличение динамо-числа приводит к росту амплитуды магнитного поля в приэкваториальной области и вблизи полюсов. Приэкваториальная область на баттерфляй-диаграммах для тороидального магнитного поля выглядит как наблюдаемые кластеры пятен на экваторе в циклах солнечной активности с квадрупольной симметрией магнитного поля. Диапазон динамо-чисел, на котором реализуется режим осцилляций магнитного поля с дипольной симметрией, лежит внутри аналогичного диапазона для магнитного поля с квадрупольной симметрией. Предложена гипотеза, что режим с ненулевым стационарным полем может приводить к долгоживущим образованиям на поверхности звезды. Таким образом, согласно полученной модели, разнообразие активности звезд реализуется за счет отличия параметров звезд (амплитуды альфа-эффекта, дифференциального вращения, меридиональных потоков).

За последние годы накоплено много наблюдательных данных, подтверждающих существование короткого цикла магнитной активности Солнца (1-2.5 года) на фоне 22-летнего. В диссертационной работе найдены диапазоны динамо-чисел, которые соответствуют случаю двойного цикла активности. Баттерфляй-диаграммы для тороидального и полоидального полей воспроизводят колебания с коротким периодом на фоне более длительных образований. В случае дипольной симметрии быстрые осцилляции соответствуют волне с дипольной симметрией, которая распространяется в направлении полюсов. Длительные образования

соответствуют волнам с дипольной симметрией, распространяющимся к экватору. Чем больше амплитуды альфа-эффекта и дифференциального вращения по модулю, тем больше коротких циклов укладывается в один длинный. В случае смешанной симметрии магнитного поля длительные образования имеют вид стоячих волн, быстрым колебаниям соответствуют волны, распространяющиеся к полюсам. Для тороидального поля режим двойного цикла выражен гораздо ярче, чем для полоидального. Так же как и в предыдущем случае, при увеличении динамо-числа по модулю количество коротких циклов на фоне длинного возрастает. В рамках модели динамо для однослойной модели воспроизведен режим двойного цикла.

Источники динамо могут находиться на разной глубине конвективной
зоны и действовать с разной интенсивностью. На основе такой схемы в
диссертационной работе построена динамическая система в случае
нелинейного звездного динамо в двухслойной среде с учетом

меридиональных потоков для моделирования двойного цикла, который соответствует одновременному присутствию 22-летних и квазидвухлетних осцилляций магнитного поля.

В диссертационной работе впервые показано, что режим двойного
цикла может возникать за счет того, что в верхнем слое конвективной зоны
движение динамо-волны противоположно меридиональным потокам. Это
ведет к торможению распространения тороидального поля и генерации
медленных осцилляций. В более глубоких слоях направления

распространения динамо-волны и меридиональных потоков совпадают, в результате чего возникают быстрые осцилляции магнитного поля. За счет этого суммарный вклад двух осцилляций с разными частотами соответствует появлению квазидвухлетних циклов на фоне 22-летних. В случае, если меридиональные потоки менее интенсивные, то может реализовываться тройной цикл за счет режимов с двумя гармониками в каждом слое и биений.

В диссертационной работе был впервые предложен механизм, объясняющий сложное поведение фонового магнитного поля в солнечных магнитных циклах, подтвержденный наблюдательными данными. На основе двухслойной модели динамо с меридиональной циркуляцией для двухслойной среды впервые качественно воспроизведены основные черты широтных распределений старших мод фонового магнитного поля, полученных методом PCA для циклов 21-23. Показано, такие волны могут иметь не только дипольную, но и квадрупольную структуру.

Научная и практическая значимость

Полученные в диссертационном исследовании результаты являются
применением методов асимптотического анализа и маломодового

приближения к задачам электродинамики и магнитной гидродинамики
средних полей. Результаты исследования сопоставляются с

наблюдательными данными. Это подтверждает достоверность полученных результатов и делает возможным привлечение моделей, рассмотренных в настоящем исследовании для объяснения дальнейшего наблюдательного материала.

Задачи, решенные в диссертационной работе, направлены на решение
проблем космического магнетизма. Результаты исследований теории динамо
могут быть использованы для описания магнитных полей в астрофизических
и других объектах. Способ построения решения системы уравнений динамо
Паркера, может быть интересен и в других разделах теории динамо
(например, галактическом динамо и геодинамо), где тоже приходится
учитывать влияние адвективных потоков, не сводящихся к

дифференциальному вращению. Результаты полезны для понимания

фундаментальных физических процессов, лежащих в основе магнитной активности Солнца, их влияния на Землю, а также их прогноза.

Полученные результаты позволяют понять физические свойства механизма динамо и это значительно облегчает задачу интерпретации данных многочисленных наблюдений магнитного поля на Солнце.

Результаты можно использовать при описании солнечных циклов, для уточнения наблюдательных данных о внутреннем строении Солнца, при объяснении магнитной активности звезд и галактик.

Результаты могут быть использованы в ИЗМИРАН, НИРФИ РАН, ГАО РАН, ИМСС УрО РАН, ИКИ РАН, ГАИШ и НИИЯФ МГУ, ИСЗФ СО РАН, ИНАСАН и других научных учреждениях.

Достоверность полученных результатов

В диссертационной работе фундаментальные законы физики
(электродинамики) и соответствующий математический аппарат

использованы корректно. Все принятые допущения обоснованы. Модели динамо, представленные в диссертации, в частных случаях воспроизводят результаты более простых моделей динамо, построенных в работах других авторов. Выводы диссертации согласованы с результатами известных работ, опубликованных ранее другими авторами.

Результаты диссертационной работы, полученные аналитически, а также численно-аналитически, согласуются с наблюдательными данными и с результатами прямого численного моделирования.

Апробация работы

Основные результаты, приводимые в диссертации, докладывались автором лично и обсуждались на конференциях и семинарах:

- Пулковская международная конференция по физике Солнца, Пулково,
Россия, 2007, 2008, 2009, 2010, 2012;

Всероссийской астрономической конференции, Россия, 2007, 2010, 2013;

международная конференция "Natural Dynamos", Star Lesn, Slovakia, 2009;

конференция «Физика плазмы в солнечной системе», Москва, Россия, 2010, 2012, 2013, 2014, 2015, 2016;

Научная конференция «Ломоносовские чтения», Москва, Россия, 2010, 2011, 2012, 2013, 2014, 2016;

274 IAU Symposium Advances Plasma Astrophysics, Giardini Naxos, Italy, 2010;

European Geosciences Union General Assembly, Vienna, Austria, 2011, 2016;

Magnetic Fields in the Universe III, Zakopane, Poland, 2011;

JENAM-2011, Moscow, Russia, 2011;

- Всероссийская конференция «Астрофизика высокий энергий сегодня и
завтра (HEA-2011)», Москва, Россия, 2011, 2012;

- ESPM-13 (13th European Solar Physics Meeting), Rhodes, Greece, 2011;

- 4th International Sakharov Conference on Physics, Moscow, Russia, 2009;

- Российская конференция по магнитной гидродинамике, Пермь, Россия,
2012;

- Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых
«Ломоносов», Москва, Россия, 2007, 2008, 2013, 2014, 2015;

- Конференция молодых ученых, посвященная Дню космонавтики,
Фундаментальные и прикладные космические исследования, Москва, Россия,
2009, 2010, 2011, 2012, 2013, 2014, 2015, 2016;

- 40th COSPAR Scientific Assembly, Moscow, Russia, 2014.

- научные семинары Института Земного Магнетизма, Ионосферы и
Распространения радиоволн РАН (ИЗМИРАН), кафедры математики
физического факультета МГУ, Отдела Электродинамики и Магнитной
Гидродинамики (ЛЭМГ) НИВЦ МГУ, НИИЯФ МГУ, ГАИШ МГУ, ИКИ
РАН, ГАО РАН, ИПГ, Института астрономии РАН, НИИФ (кафедра физики
Земли), семинар Лаборатории физики Солнца и космических лучей ОЯФА,
научный семинар А.Н. Боголюбова (кафедра математики, физический
факультет, МГУ), научный семинар А.В. Борисова (кафедра теоретической
физики, физический факультет, МГУ), на семинаре физического института
NORDITA в Стокгольме (Швеция), на семинаре Рурского университета,
Бохум (Германия), на международной школе по гелиофизике, Боулдер
(США), на семинаре Mathematics research seminar Нортумбрийского
университета (Англия).

По теме диссертации опубликованы 23 статьи из списка ВАК. На разных этапах выполнения диссертации автор являлся исполнителем грантов РФФИ: 07-02-00127-а, 08-02-92881-ННИО_а, 09-02-01010-а, 09-05-00076-а, 10-02-00960-а, 12-02-00170-а, 12-02-00884-а, 16-05-00507-а; РНФ: 16-17-10097, а также руководителем гранта РФФИ 12-02-31128мол-а.

Личный вклад автора

Проведенные исследования были выполнены автором как

самостоятельно, так и в сотрудничестве с коллегами из МГУ им. М.В.
Ломоносова, Национальной Китайской обсерватории и других учреждений.
Часть работ выполнена в соавторстве с учениками. Автору принадлежат
постановки задач, модели линейного и нелинейного динамо с

меридиональной циркуляцией и учетом толщины конвективной зоны звезды для однослойной и двухслойной сред, разработка методов исследования таких моделей, ряд программных кодов и интерпретация полученных данных. В настоящей диссертации подробно изложены результаты, полученные непосредственно автором.

Публикации

По теме диссертации опубликована 91 работа, из них 23 статьи в рецензируемых журналах, в том числе в Астрономическом журнале, Письмах в Астрономический журнал, Astronomische Nachrichten, Geophysical & Astrophysical Fluid Dynamics, Magnetohydrodynamics, Annales Geophysicae, в Геомагнетизме и аэрономии. В Успехах физических наук был опубликован обзор современных результатов асимптотических исследований моделей динамо.

Соответствие паспорту специальности

Задачи, решенные в диссертационной работе Поповой Е. П., направлены на решение общей проблемы исследования физических процессов, происходящих в космических объектах и их эволюции. Модели динамо, впервые построенные и изученные в диссертационной работе, являются составной частью проблемы генерации и эволюции магнитных полей на Солнце и в звездах. Все закономерности на основе моделирования были установлены путем аналитических вычислений и численно-аналитических расчетов и сравнением с экспериментальными данными. Для исследования полученных моделей были развиты асимптотический метод, аналогичный квазиклассическому, и маломодовое приближение. С помощью полученных моделей удалось воспроизвести различные особенности солнечной магнитной активности, а также получить целостную картину влияния меридиональных потоков, турбулентной диффузии и толщины конвективной зоны звезды на режимы генерации магнитного поля.

Диссертация соответствует областям исследований паспорта

специальности 01.03.02 - «Астрофизика и звездная астрономия»:

- Исследования физических свойств космических объектов (планет, звезд, галактик и их систем) межпланетной, околозвездной, межзвездной и межгалактической среды, базирующиеся на астрономических наблюдениях.

- Изучение происхождения, движения и эволюции космических объектов на базе фундаментальных физических теорий и астрономических наблюдений.

Структура и объем диссертации

Солнечный цикл по данным о поверхностном крупномасштабном магнитном поле и теория солнечного динамо

Для того, чтобы выявить основные причины возникновения тех или иных наблюдательных явлений, желательно построить с одной стороны реалистичные, а с другой не слишком сложные для исследования модели, которые бы позволяли найти решение поставленных задач.

Начиная с работы Паркера в 1955 году, дальнейшее развитие моделей, описывающих поведение динамо-волн под действием процесса динамо позволило объяснить различные структуры пространственного распределения магнитной активности Солнца. Однако, осталось много явлений, которые существующие модели объяснить не могут.

В последние годы появляется все больше наблюдательных данных, согласно которым циклическая магнитная активность Солнца содержит не только 22-летний ярко выраженный цикл, но и более короткие. Различные исследовательские группы выделяют 1–2.5 летние вариации магнитного поля [72-85]. Остается неясным вопрос, как связано наличие коротких циклов на фоне более длинного с теорией динамо.

Звезды солнечного типа имеют магнитные циклы с периодами от нескольких лет до нескольких десятилетий. Большинство наблюдений звездных циклов опираются на долгосрочный мониторинг фотосферы, хромосферы, короны и выбросов с использованием Солнца в качестве основы для калибровки и сравнения (например, см. [86-92]). Фотометрическая и спектральная изменчивость, связанная с магнитной активностью и периодической модуляцией на временных масштабах от нескольких лет до десятилетий трактуется как циклическая активность. Были исследованы хромосферные выбросы 111 звезд солнечного типа с 1966-1991 (проект Mount Wilson HK [86]). Около половины звезд в выборке (51) показывают явные признаки циклической деятельности, в том числе 21 с четко определенными периодами цикла, начиная от 7 до 25 лет. Остальные звезды демонстрируют нерегулярные циклы (29) или магнитную активность без явно выраженных изменений (31). Более быстро вращающиеся звезды, как правило, имеют короткие циклы [91], но точные соотношения звездной массы, скорости вращения и других основных параметров остаются неизвестными. Самый короткий звездный цикл активности, который наблюдается на сегодняшний день, имеет период примерно от 1 до 1,6 года, и происходит в быстро вращающихся звездах F-типа [92].

Остается не ясным, почему одни звезды имеют четко выраженную периодичность магнитной активности, а другие нет. По какой причине может наблюдаться одновременное присутствие циклов разного периода, как, например, на Солнце (22-летнего, квазидвухлетнего, цикла Гляйсберга и др.). Кроме этого, интерес представляет нахождение связи между конфигурацией магнитного поля (дипольная или квадрупольная симметрии) и характером циклов.

Поведение магнитных полей в астрофизических объектах описывает сложная замкнутая система уравнений, не поддающаяся аналитическому решению. Чем реалистичнее модель, тем более громоздкими становятся системы дифференциальных уравнений в частных производных, составляющие математическую постановку задачи. Их численное решение возможно, но не исчерпывает проблему полностью. В такие системы уравнений в качестве коэффициентов входят величины, распределение которых по небесному телу плохо известны. Асимптотический или численный анализ нелинейных моделей динамо довольно сложен, кроме того, при помощи прямого численного моделирования сложно дать объяснение различных явлений.

Несмотря на то, что в последнее время были достигнуты большие успехи в численных исследованиях задач магнитной гидродинамики и было подробно исследовано множество отдельно взятых задач, в целом физическая картина механизма генерации магнитных полей в теории динамо средних полей остается неясной. Для того, чтобы прояснить физику ряда наблюдаемых явлений можно пользоваться асимптотическими подходами. Эти методы являются основными методами решения задач в настоящей диссертации. Таким образом, асимптотические методы являются эффективным способом исследования поставленных задач, связанных с генерацией и эволюцией магнитных полей. Они позволят разработать понятийный аппарат для теорий динамо, строя связующий мост между обширным наблюдательным материалом и сложным численным моделированием, результаты которого нуждаются в физической интерпретации. Кроме того, результаты асимптотического моделирования являются полезными при тестировании численных алгоритмов.

В уравнения, которые описывают задачи космической магнитной гидродинамики средних полей, часто входят большие безразмерные параметры -магнитные числа Рейнольдса, что соответствует сильной генерации магнитных полей. Такое условие приводит к возникновению коротковолновых и погранслойных решений и делает применение асимптотических методов весьма эффективным. В работах, которые были развиты во второй половине XX века Совардом, Проктором, Тобайсом, Соколовым, Старченко, Кузаняном и др., показано, что использование асимптотических разложений дает качественно верные результаты, которые способны прояснить физическую картину в целом и согласуются с данными наблюдений. Таким образом, асимптотические методы являются эффективным способом исследования поставленных задач, связанных с генерацией и эволюцией магнитных полей.

Двухслойная модель динамо с меридиональной циркуляцией

Здесь предполагается, что радиальный градиент угловой скорости не меняется с в в силу одномерности задачи. О формальной процедуре вывода подобных уравнений см. [195]. По соображениям симметрии (а(-в) = -а(в)) уравнения (1.1.11-1.1.12) можно рассматривать лишь для одного (северного) полушария с условиями антисимметрии (дипольная симметрия) или симметрии (квадрупольная симметрия) на экваторе. Поскольку магнитное поле Солнца имеет дипольную симметрию, мы ей и ограничиваемся. наблюдательных данных [193], второй - исходя из предположения В уравнениях (1.1.11-1.1.12) V - меридиональная циркуляция. Вопрос о ее точном виде остается дискуссионным. В работе Поповой [99] были исследованы случаи различных широтных профилей меридиональных потоков: V(0) = Vsin2e и V(в) = V—. Первый профиль был выбран на sin26 основании о том, что вещество в процессе движения к полюсам не уходит из слоя вплоть до непосредственной окрестности полюсов.

В [99] показано, что для средних широт возможно построение решения при таких видах меридиональной циркуляции. В работе мы рассмотрим оба варианта поведения меридиональной циркуляции вблизи полюсов, а так же случай, когда V(0) = const.

Для исследования поведения динамо-волны вблизи полюса необходимо рассматривать задачу в сферических координатах. Поэтому уравнения (1.1.11-1.1.12) отличаются от аналогичных уравнений, исследованных в [97-99], которые были получены для области средних широт, где можно было пренебречь эффектами кривизны и рассмотреть задачу на отрезке. Для уравнений (1.1.11-1.1.12) необходимо построить решение не только вблизи полюсов, но и в средних широтах. Т. к. в средних широтах эффектами кривизны можно пренебречь, то уравнения (1.1.11-1.1.12) перейдут в уравнения которые рассматривались в [97-99]. Для построения асимптотического решения уравнений (1.1.13-1.1.14) в средних широтах мы используем метод аналогичный известному методу ВКБ в квантовой механике. Такой подход для решения уравнений Паркера без учета меридиональной циркуляции применялся в [189].

Для связности напомним основные этапы получения соотношения для частоты динамо-волны и ее волнового вектора. Будем искать решение (1.1.13-1.1.14) в виде А yBj ехр(/1 D Г S + yt)(f0+ D \-Ui /+...), (1.1.15) где =,02/3Г+,01/3Г1+..., (1.1.16) , /і ГАЇ \Уи (1.1.17) Здесь S, ju, v, jux и vx - гладкие функции и \D\ \. S аналог действия, а его производная k = S соответствует импульсу, или волновому вектору, который в данном случае является комплексным. Комплексное у определяет собственное значение, его действительная часть дает скорость роста, а мнимая дает длительность цикла активности. Множители \D\ в комплексной скорости роста и D1/3 в действии выбраны так, чтобы дифференциальное вращение, а -эффект, собственное значение и диссипация оказались одного порядка и вошли в старший член асимптотического разложения. Меридиональная циркуляция включена в тот же старший член асимптотического решения, при V(d)=\D\m у(в). (1.1.18)

Подставляя (1.1.15-1.1.17) в (1.1.13-1.1.14) и оставляя слагаемые при максимальной степени \D\ получим систему линейных алгебраических уравнений для ц и v. Условие разрешимости для этой системы представляет собой соотношение для частоты динамо-волны и ее волнового вектора, т.н. уравнение Гамильтона-Якоби [T + ikv(e) + k2f-iak = 0, (1.1.19) где a = acos0.

Уравнение (1.1.19) при известном Г представляет собой алгебраическое уравнение четвертого порядка относительно к. Для произвольного вида меридиональной циркуляции метод поиска Г и к был описан в [99]. На рис. 1.1.1 изображена структура решения уравнения Гамильтона-Якоби для случая бегущей волны. Точки м\, м 2, м\, м034 и мі соответствуют концам четырех ветвей. Верхний индекс обозначает номер ветви, двойной верхний индекс описывает двойную точку. Нижний индекс показывает значение а/а в наблюдаемой точке, т.е. а =0 или d/a =1. Для того чтобы волна распространялась от полюса к экватору необходима сшивка 2 и 3 ветви к. Это условие используется для поиска Г. В [99] было показано, что сшивка ветвей происходит при а", где а достигает максимума. Чтобы решение существовало вблизи полюсов, необходимо сшить ветви 1 и 2, т.е. надо найти г1, при которой происходит сшивка ветвей. Для этого надо построить асимптотическое разложение более высокого порядка, чем приведенный в [97-99]. Ищем функции м(п) и у(п) в виде: іл{п) =(Г(Л + (k(n)f +гк(п)у{в))а{вТ\ (1.1.20) (и) v(n =ik(n sm8(j(8yn\ (1.1.21) где верхний индекс п соответствует номеру ветви к, j - номеру ветви Г. Для поиска т(0) применяем метод, описанный в [64]. а = а(п) функция, которая может быть определена из асимптотического разложения более высокого порядка. Для этого подставим (1.1.15-1.1.17) в (1.1.13-1.1.14) и оставим второй порядок асимптотического разложения, который включает цх и vx. Условием разрешимости алгебраической системы относительно д и vl является так называемое уравнение диффузии

Моделирование двух динамо волн

Развитие моделей динамо показало, что характеристики теоретических баттерфляй-диаграмм (форма, амплитуда и период осцилляций магнитного поля) для Солнца и других звезд существенно зависят от управляющих параметров в моделях динамо [50]. В работах по теории динамо [50, 52, 54, 97, 99, 206, 207] проведен анализ влияния различных параметров моделей на эволюцию магнитного поля. Например, численно в работах [50, 52, 54, 206] и аналитически в работах [97, 99] было показано, что меридиональная циркуляция, направленная против распространения динамо-волны, может существенно затормозить ее движение. Кроме этого, интенсивная меридиональная циркуляция “сдувает” динамо-волну к полюсам. В работе [207] было показано, что коэффициент турбулентной диффузии также способен влиять на длительность цикла солнечной активности. В других работах (см., например, [50]) было показано, что широтный профиль -эффекта также влияет на форму бабочки Маундера.

Однако не все наблюдаемые величины входят в модели динамо. Некоторые параметры солнечных циклов можно пытаться связать с величинами модели только косвенно и в некоторых случаях эта связь бывает довольно спорна. Поэтому анализ различных характеристик наблюдательных баттерфляй-диаграмм может оказаться полезным для такого сопоставления и для прояснения физики процесса генерации магнитных полей в небесных телах.

В [115, 116] анализ наблюдательных данных для бабочек Маундера был проведен П. А. Откидычевым, и затем автором диссертационной работы полученные результаты сопоставлялись с теоретическими с помощью нелинейной однослойной модели динамо.

Для исследования параметров бабочек Маундера были использованы данные RGO – NASA/Marshall по среднемесячным и ежедневным индексам активности солнечных пятен и координаты пятен за период 1878–2008, который полностью охватывает 12–23 циклы солнечной активности, а также для ядер за период 1878–1976 (12–20 циклы соответственно). На основе этих данных для каждого цикла были построены баттерфляй-диаграммы для северного и южного полушарий Солнца. Для каждого “крыла” бабочки, как на севере, так и на юге, был построен график зависимости широты от среднемесячной площади пятен и сделана линейная аппроксимация.

На основе пакета программ Origin для каждого крыла была вычислена средняя широта L как сумма попарных произведений широты на площадь, деленная на сумму всех площадей пятен. Далее, была рассчитана мощность каждого цикла S как среднее от среднемесячных значений площадей пятен (ядер). Анализ соотношений между этими величинами показал, что среднее арифметическое тангенсов углов наклона “крыльев” бабочек по северу и югу пропорционально мощности цикла (коэффициент корреляции R = 0.66) (рис. 1.4.1, а). Для ядер в циклах 12–20 подобное соотношение выполняется с коэффициентом корреляции R = 0.69 (рис. 1.4.1, б). Средняя широта расположения “крыла” в южном полушарии практически совпадает со средней широтой “крыла” в северном полушарии для каждого цикла (R = 0.89). Отметим, что эта широта меняется от цикла к циклу, при этом явной периодичности в ее изменении не обнаружено. В целом циклы с меньшей продолжительностью имеют больший угол наклона [115, 116].

В [208] были вычислены средние магнитные поля циклов по данным обсерватории Mount Wilson для пятен площадью более 100 мдп (миллионных долей полусферы) как среднее арифметическое от суммы напряженностей полей таких пятен. В таких пятнах содержится большая часть магнитного потока, поэтому пренебрежение мелкими пятнами не вносит существенной ошибки. Используя эти данные для 16–23 циклов, мы нашли, что величины BT/L и S находятся в линейной зависимости друг от друга, где B – среднее магнитное поле цикла, T – продолжительность цикла, S – мощность цикла, L – средняя широта солнечных пятен за цикл (среднее арифметическое от абсолютных величин средних широт по северу и югу). Эта зависимость может быть описана следующим уравнением: S = 2539-0.89BT/L, R = 0.87, среднеквадратическое отклонение =132 (рис. 1.4.2, а) [115, 116].

Если в качестве мощности цикла S использовать среднюю величину площадей не пятен, а ядер, то зависимость еще более близка к линейной, однако в данном случае мы имеем всего лишь пять циклов (16-20), для которых вычислялась как площадь ядер, так и магнитное поле (рис. 1.4.2, б). В случае ядер зависимость принимает вид S = 500 - 0.20BT/L, R = 0.95, =16.

При прочих равных условиях бльшая мощность цикла S соответствует либо меньшему значению магнитного поля В, либо меньшей продолжительности цикла Т, либо бльшей широте L. Это позволяет предположить, что на каждый цикл расходуется примерно одинаковая магнитная энергия, однако пути реализации магнитной энергии в каждом цикле различны. Так, повышенная пятнообразовательная активность в общем случае ведёт к тому, что пятна будут генерироваться на более высоких широтах, но напряжённость полей в пятнах будет невелика, а сам цикл будет скоротечным.

Мощность цикла в целом прямо пропорциональна тангенсу угла наклона бабочки, хотя строгой зависимости не наблюдается. Какой-либо зависимости амплитуды магнитного поля от длительности цикла, средней широты, тангенса угла наклона и мощности цикла не обнаружено.

Динамическая система для динамо Паркера в случае квадрупольной симметрии магнитного поля

Работа динамо описывается громоздкой системой дифференциальных уравнений в частных производных, в которые входят величины, о деталях распределения которых по небесному телу мало известно. Кроме этого, прямое численное моделирование, как и другие экспериментальные методы исследования, непосредственно не дают объяснения явлений, для получения которого приходится пользоваться разнообразными упрощенными моделями явления. Таким образом решение сложных систем уравнений с большим числом управляющих параметров сейчас возможно, однако не исчерпывает проблему.

Возможный способ получения упрощенных моделей, направленных на прояснение физики явления, состоит в следующем. Предполагается, что возбуждаемое магнитное поле просто устроено и его можно описать сравнительно небольшим числом параметров, так что для его качественного описания уравнения динамо можно заменить подходящим образом подобранной динамической системой не очень высокого порядка. Основные идеи такого подхода изложены в [232].

В недавних работах по динамическим системам как моделям солнечного динамо [233], [234] подчеркивается важность использования таких моделей для задачи прогноза солнечной активности.

В работах [93, 94, 235] развит метод построения маломодового приближения уравнений динамо. В [94] предложен регулярный метод построения маломодового приближения уравнений динамо. Уравнения маломодовой модели получены в простейшем приближении алгебраического подавления спиральности. В [94] показано, что получаемая таким образом нелинейная модель динамо оказывается достаточно богатой и дает надежду на описание широкого круга явлений генерации магнитного поля в сферических оболочках небесных тел (звезд и планет).

Такая модель построена для системы Паркера, в которой совместно действуют а -эффект и дифференциальное вращение, но не учтены меридиональные потоки вещества в конвективной зоне Солнца, где происходит распространение динамо-волн [94].

С другой стороны, в работах [97-99], где исследована система Паркера с меридиональной циркуляцией, показано, что наличие меридиональных потоков может влиять на длительность цикла солнечной активности. Увеличение значения меридиональной циркуляции приводит в такой модели к замедлению распространения динамо-волны, что увеличивает длительность цикла магнитной солнечной активности. Однако, метод исследования уравнений динамо с меридиональной циркуляцией в [97-99] применим только для больших динамо чисел. Такой случай соответствует режиму интенсивной генерации динамо. Маломодовая модель позволяет исследовать уравнения динамо для пороговых значений динамо-числа. В [94] показано, что кроме режима осцилляций в маломодовой модели возможны режимы васцилляций и динамо-всплесков. Такие режимы не могут быть воспроизведены в модели, рассмотренной в [97-99].

Цель данного раздела получить динамическую модель для динамо с меридиональной циркуляцией и исследовать как меридиональная циркуляция может влиять на широтно-временное распределение тороидальной и полоидальной компонент магнитного поля для режимов осцилляций, васцилляций и динамо-всплесков. 139 Систему Паркера можно переписать в виде ol oa , (4.1.1) дВ „ . пдА д2В — = Rmsm0 — + — dt дв дв2 где А и В являются функциями широты в, измеряемой от экватора, и времени t. Безразмерные числа Ra и Rm, аналогичные известному в гидродинамике числу Рейнольдса, характеризуют интенсивность «-эффекта и дифференциального вращения соответственно (D = RaRj.

Согласно [93], идея построения предлагаемой модели состоит в следующем. После начального периода роста магнитное поле в звезде стабилизируется, его рост прекращается и возникает режим, напоминающий автоколебания. Можно предположить, что при этом система перестроилась так, что динамо стало маргинально устойчивым. При этом можно надеяться, что решение представимо в виде суперпозиции небольшого числа подходящим образом подобранных мод свободного затухания. Классическое объяснение Паркера, представленное выше, как раз и излагает работу динамо на языке эволюции двух мод свободного затухания под действием двух источников генерации, дифференциального вращения и спиральности.

Для начала мы рассматриваем случай свободного затухания, когда интенсивность источников генерацииRa,Ra= 0. Собственные решения здесь имеют вид {sin 9,o}, А; = 1,3,... (мы учли условие дипольной симметрии для векторного потенциала А) или {o,sin6 } , к = 2,4,...(мы учли условие дипольной симметрии для векторного потенциала В). Идея метода состоит в поиске решения основной системы (4.1.1) в виде ряда по собственным функциям задачи свободного затухания, при этом мы ограничиваемся конечным числом членов. Определим скалярное произведение элементов X и у как: (х,у) =\xydO. Теперь умножая первое уравнение на А, а второе на В, и учитывая ортогональность А и В, можно перейти к задаче на собственные функции и собственные значения матрицы W: