Свойства периодических и близких к периодическим решений в общей задаче трех тел Ясько Павел Петрович

Содержание к диссертации

Введение

1 Краткая история изучения задачи трех тел 12

1.1 История и достижения в изучении задачи трех тел 13

1.2 Постановка задачи 18

1.3 Частные случаи 22

1.4 Исследование периодических орбит 24

2 Задача трех тел с нулевым угловым моментом и ненулевыми начальными скоростями 28

2.1 Введение и постановка задачи 28

2.2 Результаты исследования переходных областей между известными периодическими орбитами 31

2.3 Метод поиска близких к периодическим орбит 39

2.4 Результаты сканирования

2.4.1 Периоды Т 10т 41

2.4.2 Периоды Т 100т

2.5 Тонкая структура перехода между орбитой Шубарта и 5-орбитой 60

2.6 Основные выводы 67

3 Задача трех тел с нулевыми начальными скоростями 69

3.1 Постановка задачи и общие результаты 69

3.2 Прямолинейный случай 72

3.3 Равнобедренный случай 78

3.4 Общий случай 88

3.5 Основные выводы 92

Заключение 93

Список литературы 95

• Постановка задачи
• Исследование периодических орбит
• Метод поиска близких к периодическим орбит
• Равнобедренный случай

Введение к работе

Актуальность работы

Исследования периодических орбит в задаче трех тел проводятся регулярно со времен Пуанкаре. В последние десятилетия интерес к этой тематике существенно вырос — появилось много работ, использующих качественные, аналитические и числен-

ные методы исследований. Непрерывный прогресс в вычислительной технике позволяет разрабатывать и применять все новые методы и подходы в поиске и изучении периодических решений. Совместное использование численных экспериментов и аналитических методов современной математики (вариационное исчисление, теория групп, функциональный анализ и др.) позволяет эффективно применять численно-аналитический подход для поиска периодических решений и исследования их свойств. Однако, в основном, в предыдущих работах рассматривались отдельные периодические орбиты в ограниченных областях начальных условий в различных частных случаях задачи трех тел. Например, в прямолинейной и равнобедренной задачах. Таким образом, представляется актуальным рассмотрение обобщающих случаев в задаче трех тел, локализация и классификация периодических орбит, выделение отдельных семейств периодических орбит, изучение зависимостей устойчивости, топологии, характера эволюции и динамики от начальных условий и параметров задачи.

Цели работы

Основной целью работы является поиск и исследование периодических и близких к периодическим орбит в общей задаче трех тел равных масс с нулевым угловым моментом. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие частные задачи:

1. исследование промежуточных областей между известными устойчивыми периодическими орбитами в пространстве начальных условий;

2. разработка и апробация нового алгоритма, позволяющего определять области начальных условий для близких к периодическим орбит с заданной точностью;

3. применение разработанного алгоритма для локализации начальных условий и определения периодов близких к периодическим орбит в общей задаче трех тел равных масс с нулевым угловым моментом;

4. проведение классификации обнаруженных орбит на основе их геометрических и динамических свойств, выделение семейств периодических орбит на основе этих свойств.

Научная новизна

1. Для двух переходных областей между устойчивыми периодическими орбитами показано отсутствие траекторий с ограниченными движениями и установле-

но, что время жизни долгоживущих тройных систем подчиняется степенному закону /(Т_е) ос Т~^а с показателем а ~ 2.

2. Разработан новый метод поиска периодических орбит, основанный на минимизации безразмерной функции, определяющей близость начальных и текущих координат в фазовом пространстве.

3. Впервые локализованы начальные условия для десятков близких к периодическим орбит в общей задаче трех тел равных масс с нулевым угловым моментом.

4. Обнаружены новые семейства близких к периодическим орбит и определены порождающие их орбиты.

5. Выполнена классификация орбит на основе сходства топологических свойств орбит.

6. Обнаружена и детально исследована переходная область между близкими к периодическим орбитами двух типов.

Научная и практическая ценность работы

В диссертационной работе предложен метод, позволяющий эффективно локализо-вывать начальные условия для периодических решений и близких к ним в общей задаче трех тел. Кроме того, его можно применять для определения начальных условий близких к периодическим орбит в задаче N тел. Предложенный метод дополняет имеющиеся инструменты для поиска и исследования периодических орбит и близких к ним. Обнаруженные области начальных условий для близких к периодическим орбит представляют самостоятельную ценность для небесной механики и динамической астрономии. Предложенная в работе классификация периодических орбит позволяет проследить изменение топологии и геометрии орбит в зависимости от начальных условий и параметров задачи.

Результаты, выносимые на защиту

1. Предложен метод локализации начальных условий для близких к периодическим орбит.

2. Локализовано несколько десятков областей начальных условий, соответствующих орбитам, близким к периодическим.

3. Разработана классификация периодических орбит, основанная на их динамических и геометрических свойствах.

4. Показано, что в переходных областях между устойчивыми периодическими орбитами динамическая эволюция тройных систем завершается распадом системы, причем для долгоживущих систем распределение времени распада подчиняется степенному закону.

Достоверность результатов

В качестве критерия близости найденного решения к истинному периодическому принимается значение безразмерной функции, вычисленное в процессе численного интегрирования. Очевидно, что значение этой функции для точной периодической орбиты равно нулю. Достоверность полученных результатов также подтверждается согласием найденных нами решений с решениями, обнаруженными другими авторами, в том числе с использованием других методов и других способов задания начальных условий. Используемая в исследовании программа TRIPLE показала свою эффективность в многочисленных работах других авторов.

Апробация работы

Основные результаты работы неоднократно докладывались на семинаре Кафедры небесной механики СПбГУ, общегородском семинаре по звездной динамике и галактической астрономии, семинаре отдела небесной механики и динамической астрономии ГАО РАН.

Результаты работы докладывались на следующих всероссийских и международных конференциях:

4. 45-я Международная студенческая научная конференция „Физика космоса", Екатеринбург, 1-5 февраля, 2016.

5. International workshop „Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy“, Turku, Finland, 31 July, 2015.

6. Всероссийская научная конференция „Астрономия от ближнего космоса до космологических далей", Москва, 25-30 мая, 2015.

7. Пятая Пулковская молодежная астрономическая конференция, Санкт-Петербург, 9-11 июня, 2014.

8. 43-я Международная студенческая научная конференция „Физика космоса", Екатеринбург, 3-7 февраля, 2014.

9. Всероссийская астрономическая конференция „Многоликая Вселенная" (ВАК-2013), Санкт-Петербург, 23-27 сентября, 2013.

Публикации по теме диссертации

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих статьях, в том числе изданных в рецензируемом журнале из списка ВАК (статьи под номерами 2—5):

10. Ясько П.П. Новые близкие к периодическим орбиты в общей задаче трех тел. Известия ГАО в Пулкове. 2015. № 222. С. 125-133.

11. Ясько П.П., Орлов В.В. Тонкая структура области начальных условий для близких к периодическим орбит в общей задаче трех тел. Астрономический журнал. 2015. Т. 92. № 10. С. 858-866.

12. Ясько П.П., Орлов В.В. Поиск периодических орбит в области Агекяна-Аносовой для общей задачи трех тел. Астрономический журнал. 2015. Т. 92. № 5. С. 447— 456.

13. Ясько П.П., Орлов В.В. Поиск периодических орбит в общей задаче трех тел. Астрономический журнал. 2014. Т. 91. № 11. С. 978-988.

14. Ясько П.П., Орлов В.В. Переходные области между устойчивыми периодическими решениями в общей задаче трех тел. Астрономический журнал. 2014. Т. 91. № 11. С. 969-977.

15. Ясько П.П., Орлов В.В. Периодические решения общей задачи трех тел с нулевым угловым моментом. Улугбековские чтения. Издательство Ташкентского университета. 2014. Т. 3. С. 130-135.

Результаты работы отражены также в следующих тезисах и трудах всероссийских и международных конференций:

16. Ясько П.П. Свойства близких к периодическим решений в общей задаче трех тел. Труды 45-й Международной студенческой научной конференции „Физика космоса", Екатеринбург-Коуровка, 1-5 февраля 2016 г. Екатеринбург. 2016. С. 237.

17. Orlov V.V., Iasko P.P. Near to periodic orbits in the equal-mass free-fall three-body problem. Abstracts of international workshop „Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy", Turku, Finland, 31 July, 2015. Turku, Finland. 2015. P. 34-37.

18. Ясько П.П., Орлов В.В. Близкие к периодическим орбиты в общей задаче трех тел. Сборник резюме докладов научной конференции „Астрономия от ближнего космоса до космологических далей", Москва, 25-30 мая, 2015 г. Москва. 2015. С. 25-26.

4. Ясько П.П. Периодические орбиты в общей задаче трех тел. Труды 43-й Международной студенческой научной конференции „Физика космоса", Екатеринбург-Коуровка, 3-7 февраля 2014 г. Екатеринбург. 2014. С. 213.

5. Ясько П.П., Орлов В.В. Связь между периодическими орбитами в общей задаче трех тел. Тезисы докладов Всероссийской астрономической конференции „Многоликая Вселенная", Санкт-Петербург, 23-27 сентября 2013 г. Санкт-Петербург. 2013. С. 285.

Личный вклад автора

В совместных работах диссертант принимал участие в постановке задач, им были проведены все численные эксперименты. Анализ и обсуждение результатов проводились авторами совместно.

Объем и структура диссертации

Постановка задачи

Ньютон, отталкиваясь от законов Кеплера, получил закон всемирного тяготения. Английский ученый первым понял, что все тела притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной массам тел и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. На основе закона всемирного тяготения Ньютону удалось построить теории движения Луны, комет и планет Солнечной системы, теорию приливов и отливов, оценить массу Земли и Луны. Нельзя не отметить, что для решения поставленных задач Ньютон разработал аппарат дифференциального и интегрального исчислений, составивший основу математического анализа.

При построении теории движения Луны необходимо учитывать притяжение как Солнца, так и Земли. Таким образом, формулируется задача гравитационного взаимодействия трех тел. Ньютону не удалось получить точное решение, однако он смог найти приближенное решение.

Дальнейшее развитие изучения задачи трех тел было достигнуто в работах Эйлера (Euler, 1767) и Лагранжа (Lagrange, 1772). Ими были найдены первые частные аналитические решения для тел произвольных масс. Эйлер получил решение, в котором в каждый момент времени все три тела находятся на одной вращающейся вокруг центра масс прямой (сизигия), а все тела движутся по эллипсам. В решении, полученном Лагранжем, в любой момент времени тела находятся в вершинах равностороннего треугольника, пульсирующего и вращающегося вокруг центра масс тройной системы. Тела также движутся по эллипсам. Заметим, что решения Эйлера и Лагранжа являются периодическими — через определенный интервал времени координаты и скорости всех тел равны их начальным значениям.

Упрощенный вариант задачи трех тел представляет собой ограниченная задача трех тел: массой одного из тел можно пренебречь (приравнять к нулю). Для описания круговой ограниченной задачи (тела конечных масс двигаются по относительной круговой орбите) Эйлер впервые ввел вращающуюся систему координат. Кроме того, Эйлер обнаружил три равновесные точки, лежащие на прямой, соединяющей центры массивных тел. Позже Лагранжем были найдены еще две точки, находящиеся в вершинах равносторонних треугольников. В литературе часто все пять точек называют точками Лагранжа. Точки равновесия неподвижны во вращающейся системе координат, в них уравновешены гравитационные силы со стороны массивных тел.

В Солнечной системе известны группы тел, которые находятся в окрестности треугольных точек Лагранжа. Например, группы астероидов Греки и Троянцы в системе Солнце–Юпитер. Недавние исследования показали, что аналогичные астероиды находятся в системах Солнце–Земля, Солнце–Марс, Солнце–Сатурн, Солнце–Нептун. В дальнейшем изучением круговой ограниченной задачи трех тел занимались, в частности, Якоби и Хилл. Используя вращающуюся систему координат, Якоби (Jacobi, 1836) получил интеграл движения, впоследствии названный в его честь. Применяя интеграл Якоби к движениям астероидов, Хилл (Hill, 1877, 1878a,b,c) нашел области возможных движений и ввел поверхности нулевых скоростей, ограничивающие эти области. Кроме того, им была сформулирована и исследована задача трех тел, в которой одно тело имеет массу много больше масс двух других и находится на большом удалении от них (расстояние между двумя телами много меньше расстояний между ними и самым массивным телом). Эта задача получила название задачи Хилла. В рамках этой задачи Хилл нашел новый класс периодических решений, а также применил ее для построения теории движения Луны, предсказывавшей положения спутника точнее, чем теория Ньютона.

В конце XIX века значительный вклад в задачу трех тел был внесен французским математиком Пуанкаре. Его фундаментальный труд Новые методы небесной меха” ники“, опубликованный в 1892–1899 гг., в большей степени посвящен изучению круговой ограниченной задачи трех тел (Poincare, 1892). При исследовании этой задачи Пуанкаре разработал ряд новых качественных методов решения дифференциальных уравнений и использовал эти методы для обнаружения и изучения периодических решений. В то же время Пуанкаре показал неинтегрируемость системы уравнений, описывающей движения в задаче трех тел. Новые методы, развитые Пуанкаре, позволили ему выявить непредсказуемость движений в общей задаче трех тел и установить проявления нового феномена, известного сейчас, как хаос. Пуанкаре изучил задачу Хилла и обобщил определение периодических орбит. Он нашел такие начальные условия, которые соответствовали периодическим решениям в специальном случае ограниченной задачи трех тел. Пуанкаре выделил три сорта решений: первый сорт содержал решения, порожденные круговыми орбитами в задаче двух тел, второй сорт — решения, порожденные эллиптическими орбитами в задаче двух тел, третий сорт — решения, порожденные круговыми орбитами в задаче двух тел с ненулевым наклоном орбиты третьего тела по отношению к плоскости движения главных тел. Работы Пуанкаре послужили стимулом для дальнейших поисков, изучения и классификации периодических орбит в задаче трех тел, а также исследования вопроса об их устойчивости.

Дальнейшее обобщение и развитие идей Пуанкаре об устойчивости периодических орбит было осуществлено в работах Биркхоффа в начале XX века. Он ввел понятие рекуррентного движения, которое в течение достаточно длительного интервала времени подходит сколь угодно близко к любому своему состоянию, и показал, как это соотносится с орбитальной устойчивостью. Кроме того, Биркхофф доказал последнюю геометрическую теорему“, сформулированную Пуанкаре. Эта теорема утверждает, что существует бесконечно много периодических орбит вблизи любой устойчивой периодической орбиты.

Занимаясь поиском периодических и непериодических решений в задаче трех тел, исследователи осознали, что дифференциальные уравнения движения содержат сингулярности. Такие сингулярности обусловлены двойными и тройными соударениями, при которых одно или все три расстояния между телами становятся равными нулю. Двойные соударения не являются существенной особенностью и дальнейшее аналитическое продолжение решения возможно. Тройные соударения представляют собой существенные особенности и в общем случае не допускают аналитического продолжения. Совокупность методов, позволюящих устранить сингулярности уравнений движения при двойных соударениях, получили название регуляризации уравнений движения. Заметим, что идея регуляризации движений при двойном соударении в задаче двух тел принадлежала Эйлеру (Euler, 1767). В своих работах Пенлеве (Painleve, 1896, 1897) впервые начал исследовать сингулярности в задаче трех тел. Он определил, что в тройных системах сингулярности появляются только при соударениях и они могут быть исключены при определенных начальных условиях, для которых уравнения движения могут быть проинтегрированы с помощью степенных рядов. Несмотря на то, что Пенлеве не смог найти решений в виде рядов, его работы послужили хорошим стимулом для дальнейших исследований в этой области.

В начале XX века регуляризацией двойных соударений занимались Леви-Чивита (Levi-Civita, 1903), Сундман (Sundman, 1907, 1909, 1912) и др. Кроме того, они исследовали тройные соударения и сформулировали теоремы, позволяющие найти условия для таких соударений. В частности, Сундман (Sundman, 1909) доказал, что тройное соударение возможно только в тройных системах с нулевым угловым моментом. Следовательно, если все три тела столкнутся в одной точке пространства, то они двигаются в плоскости, в которой лежит их центр масс. При приближении к точке тройного соударения тела асимптотически приближаются к одной из центральных конфигураций: либо к прямолинейной конфигурации Эйлера, либо к треугольной конфигурации Лагранжа.

Исследование периодических орбит

В работе Мартыновой и др. (2009) была построена карта областей устойчивости в координатах к и р при t 10 000т (см. рис. 2 в работе Мартыновой и др., 2009). На рисунке выделяются три большие области устойчивости, связанные с периодическими орбитами Шубарта, Мура и Брука. 5-орбита (начальные условия: к « 13 и р « 23) находится в верхней части области устойчивости, связанной с орбитой Шубарта.

В диссертационной работе было выполнено сканирование избранных участков плоскости (к, р) между областями устойчивости (переходные области) - проводилось одномерное сканирование (перебор) вдоль отрезков прямых, попарно связывающих области устойчивости: 1. переходная область между областью орбиты Шубарта и областью орбиты Мура р= 10fc-3.01; 2. переходная область между областью орбиты Мура и областью орбиты Брука р = -Ш + 5.85. Сканирование производилось с шагами АА; = 5-10-6иА = 5-10-5. Для первого отрезка начальная точка (k,ip) = (0.371,0.70), конечная точка (k,ip) = (0.411,1.10). Для второго отрезка начальная точка (к, ф) = (0.485,1.00), конечная точка (к, ф) = (0.450,1.35). Результаты сканирования представлены на рис. 2.1 и 2.2.

По оси абсцисс отложены значения координаты к вдоль сканируемых отрезков, по оси ординат — время Те нарушения устойчивости тройной системы. При Те 20 000т система устойчива. Границы отрезков попадают внутрь соответствующих областей устойчивости, связанных с периодическими орбитами. В пограничных участках Те 20 000г. Внутри переходных областей поведение тройных систем различно: в большинстве случаев системы неустойчивы и распадаются при Те 20 000т; также наблюдаются островки устойчивости, в которых Те 20 000г. Как правило, время потери устойчивости не превышает 1 000г. Границы областей устойчивости, связанных с периодическими орбитами, могут быть как резкие (правые части рис. 2.1 и 2.2, что соответствует области орбиты Мура), так и „размытые“ (левые части рис. 2.1 и 2.2, что соответствует областям орбит Шубарта и Брука).

Было проведено исследование зависимости результатов от принятого значения параметра точности є. Наряду со значением є = 5-Ю-13 были рассмотрены значения є = 5 10-12 и є = 5 10-14. Соответствующие зависимости Те(к) при рассмотренных Рис. 2.1: Зависимость времени жизни от вириального коэффициента для переходной области от области орбиты Шубарта (слева) к области орбиты Мура (справа). Параметер точности є = 5 10-13.

Зависимость времени жизни от вириального коэффициента для переходной области от области орбиты Брука (слева) к области орбиты Мура (справа). Параметер точности є = 5-10-13. дополнительных значениях є для первой и второй переходных областей представлены на рис. 2.3 и 2.4. Сравнение этих рисунков с рис. 2.1 и 2.2 показывает, что качественный характер зависимости Те(к) сохраняется при рассмотренных значениях параметра точности.

Рассмотрим распределения времени нарушения устойчивости для неустойчивых тройных систем. На рис. 2.5 и 2.6 показаны гистограммы плотности распределений f(Te) для исследуемых переходных областей на интервале Те Є (0,1 000т). В каждом Рис. 2.3: Зависимость времени жизни от вириального коэффициента для переходной области от области орбиты Шубарта (слева) к области орбиты Мура (справа) при значениях параметра точности = 5 10-12 (а) и = 5 10-14 (б).

Зависимость времени жизни от вириального коэффициента для переходной области от области орбиты Брука (справа) к области орбиты Мура (справа) при значениях параметра точности = 5 10-12 (а) и = 5 10-14 (б). из распределений имеется один глобальный максимум. Для первой области максимум находится в интервале от 20т до 60т; для второй области максимум становится заметно шире, смещается в сторону больших значений Те и находится в интервале от 250т до 500г. Средние значения времен жизни тройных систем составляют Т1 = 501т, Т2 = 1 055т; стандарты распределений равны а1 = 1 469т, а2 = 1 871г. Отметим, что для второй переходной области между областями орбит Брука и Мура среднее время жизни неустойчивых тройных систем примерно в два раза больше среднего времени жизни неустойчивых систем в первой переходной области между областями орбит Шубарта и Мура. Таким образом, во второй переходной области для неустойчивых тройных систем в среднем требуется больше времени от начала эволюции до момента далекого выброса одного компонента из системы, нежели для триплетов из первой переходной области. Заметим, что во втором случае отсутствуют системы, у которых Те 50т. Асимметрия и эксцесс для первой и второй переходных областей, соответственно, равны As1 = 7.4, Ех1 = 66; As2 = 5.8, Ех2 = 40. Оба распределения скошены в сторону больших времен.

Метод поиска близких к периодическим орбит

Периодическая орбита 4 (рис. 2.23) связана с орбитой Брука (рис. 2.12в), имеет период в четыре раза больший, чем орбита Брука, и две ортогональные оси симметрии.

Заметим, что при первоначальном сканировании две орбиты с номерами 5 и 7 в табл. 2.1 не были обнаружены нами при сги = 0.03 и сги = 0.01. Однако они были обнаружены при подробном сканировании с сги = 0.01 и шагами к = р = 0.00001 окрестностей точек (к, р), приведенных в табл.

Таким образом, мы можем сделать следующие выводы: 1. Все найденные нами близкие к периодическим орбиты имеют общие свойства: симметрия определенного типа и соотношения между числом самопересечений витков траектории центрального тела на одной из осей симметрии и числом оборотов крайних тел; 2. Орбиты можно классифицировать на несколько групп, внутри которых прослеживается направленное изменение структуры орбит. 3. В отдельных случаях внутри групп наблюдается изменение кратности периодов.

Рассмотрим результаты сканирования плоскости (к,р) с шагами к = р = 0.001, со значениями сгіі = 0.03 и значениями периодов Т 100г. Был обнаружен ряд областей, содержащих в себе начальные условия для периодических орбит или близких к ним (рис. 2.25). Самая большая область (левая нижняя часть рисунка) связана с орбитой Шубарта (начальные условия (к,р) = (0.203,0)). Верхняя часть этой области относится к 5-орбите (к,р) = (0.333,0.656). В центре справа расположена область орбиты Мура - ” восьмерка“ (к, р) = (0.484,1.000). В верхней части рисунка находится область, связанная с орбитой Брука (к, р) = (0.418,1.571).

Вдоль оси абсцисс (прямолинейная задача) расположены области, в которых содержатся начальные условия для орбит, периоды которых приблизительно кратны периоду орбиты Шубарта. Кроме того, на рисунке наблюдается раздвоение области орбиты Шубарта на два „хребта“. Левому „хребту“ соответствуют орбиты с точками возврата, а правому — без таких точек. Правый „хребет“ тянется от орбиты Шубарта к 5-орбите. От него отходят „ребра“ - вытянутые области, соответствующие периодическим орбитам (или близким к ним), для которых значение периода Т Юг. Также наблюдаются два вертикальных „столба“, примыкающих к оси абсцисс в окрестностях точек (к = 0.10) и (к = 0.31), соответствующих (с точностью до сдвига по фазе) периодическим орбитам с одинаковыми периодами Т « 1.8т, равными удвоенному периоду орбиты Шубарта. Таким образом, имеет место бифуркация орбиты Шубарта. В области, центр которой находится в точке с координатами (к, р) « (0.45,0.75), обнаружены начальные условия для периодических орбит, по своей геометрии занимающих промежуточное положение между -орбитой и орбитой Мура. Кроме связных структур наблюдаются изолированные точки. Точки, лежащие на оси абсцисс, соответствуют периодическим орбитам в прямолинейной задаче, с периодами, приблизительно кратными периоду орбиты Шубарта. Отдельно выделяется точка с координатами (к, р) « (0.028, 0.994). Соответствующая орбита отдаленно напоминает -орбиту.

На рис. 2.26 приведены точки, соответствующие начальным условиям для близких к периодическим орбит для различных интервалов периодов. Рис. 2.26 состоит из четырех фрагментов, суперпозиция которых составляет рис. 2.25. На каждом из фрагментов с различной степенью контраста проявляются детали структуры, описанные выше при обсуждении рис. 2.25. Например, вертикальные „столбы“ образуются короткопериодическими орбитами и отчетливо проявляются только на рис. 2.26а (несколько точек видны на рис. 2.26б) и вообще не проявляются на рис. 2.26в,г. С другой стороны, левый „хребет“ и „ребра“ четко наблюдаются только на рис. 2.26в,г.

На рис. 2.27-2.29 представлены примеры близких к периодическим орбит с периодами до 25г. Орбиты с большими периодами на качественном уровне часто повторяют орбиты с меньшими периодами; при этом большие периоды кратны малым. Орбиты, представленные на рис. 2.27а,б, относятся к одному семейству периодических орбит, связанному с орбитой Шубарта. Периоды этих орбит кратны периоду Т = 0.90т орбиты Шубарта, соответственно, в 25 и 27 раз. Обе орбиты обладают центральной симметрией. Орбита на рис. 2.27в связана с 5-орбитой, обладает центральной симметрией. Ее период равен восьмикратному периоду -орбиты.

Орбиты на рис. 2.27г и рис. 2.28а,б относятся к одному семейству, порожденному орбитой, представленной на рис. 2.27г, найденной впервые. Дополнительным аргументом в пользу этого служит то, что периоды орбит 28 и 29 равны учетверенному периоду орбиты 27 (приблизительно 9 периодов 5-орбиты). Орбита на рис. 2.28в занимает промежуточное положение между семейством орбиты 27 и семейством орбиты Рис. 2.26: Начальные условия (к, ф) для близких к периодическим орбит с периодами: (а) Т 10т; (б) 10г Т 20т; (в) 20т Т 50т; (г) 50т Т 100г. Мура, кратность периодов составляет 14 раз.

Два представителя семейства ” восьмерки“ изображены на рис. 2.28г и рис. 2.29а. Примечательно, что они имеют одинаковые периоды, равные 7 периодам ” восьмерки“ Т = 1.68г. Обе эти орбиты являются хореографиями, т.е. все три тела движутся по одной и той же замкнутой кривой.

Орбиты, изображенные на рис. 2.29б,в, занимают промежуточное положение между семействами орбит Мура и Брука. В обоих случаях траектория центрального тела имеет две точки возврата, как и орбита Брука, в то же время витки траекторий всех трех тел описывают замкнутые и незамкнутые ” восьмерки“. Орбита, представленная на рис. 2.29г, является уникальной, причем ее период кратен периодам четырех ранее известных порождающих орбит: 15, 5 и 8 раз, соответственно, для орбиты Шубарта, 5-орбиты и орбит Брука и Мура.

В области начальных условий, определяемых параметрами (к, р), обнаруженные орбиты образуют различные семейства. Принадлежность к тому или иному семейству определяется, в первую очередь, топологическим сходством и кратностью периода данной орбиты (порожденной) одному из нескольких периодов основных (порождающих) орбит. В качестве порождающих орбит, как правило, выступают известные орбиты: орбита Шубарта (Т « 0.90т), 5-орбита (Т « 2.68т), орбита Мура (Т « 1.68т) и орбита Брука (Т « 1.67т). Причем период 5-орбиты примерно в три раза больше периода орбиты Шубарта, а периоды орбит Мура и Брука почти равны. Новая орбита 27, представленная на рис. 2.27г, с периодом Т « 6.08т, по-видимому, является порождающей, т.к. ее период не кратен ни одному из четырех перечисленных выше. Эта орбита является базовой для орбит, представленных на рис. 2.28а,б (периоды отличаются в 4 раза).

Равнобедренный случай

Как и ранее, уравнения движения общей задачи трех тел численно интегрировались методом Булирша-Штера (Bulirsch and Stoer, 1966) с использованием регуляризации Арсета-Заре (Aarseth and Zare, 1974). Все вычисления проводились по программе TRIPLE, составленной Арсетом (Aarseth, 2003). При вычислениях использовался параметр точности є = 1 10-15.

В результате сканирования было обнаружено 50 близких к периодическим орбит (рис. 3.2). Все орбиты можно разбить на три типа, в зависимости от начальной конфигурации: прямолинейный случай — движения тел происходят вдоль одной неподвижной прямой; равнобедренный случай — в каждый момент времени тела образуют равнобедренный треугольник; общий случай — тела находятся в вершинах произвольного треугольника. Рис.

Построенные траектории представлены на рис. 3.3-3.17. При построении траекторий использовался параметр точности є = 2 Ю-16. На рисунках представлены траектории движения тел в системе координат, связанной с центром масс тройной системы, в течение одного периода. Для систем с начальными условиями на оси 0 вместо траекторий, которые представляют собой отрезки прямых, для наглядности приведены зависимости от времени координат х всех трех тел (в этих случаях координаты у равны нулю). Характеристики найденных орбит представлены в таблицах 3.1- 3.4. Для каждой орбиты в таблицах указаны номер, начальные условия (, т/), приближенное значение периода Т в единицах т, символическая последовательность (см. ниже) и событие в момент t = Т/2. 3.2 Прямолинейный случай

Вблизи оси абсцисс было обнаружено 17 областей, в которых могут находиться начальные условия для точных периодических орбит (рис. 3.3-3.10). Мы предполагаем, что начальные условия для периодических орбит находятся на оси абсцисс 0, то есть эти орбиты относятся к прямолинейной задаче трех тел. В этих случаях центральное тело С испытывает двойные соударения с каждым из крайних тел А и В. Различным периодическим орбитам соответствуют разные последовательности соударений.

Для описания траекторий будем использовать методы символической динамики (см., например, Алексеев, 2001; Saito and Tanikawa, 2009). Введем символы А и В, обозначающие двойные соударения тела С с телами А и В, соответственно. Тогда каждую из периодических орбит в течение одного периода можно представить в виде базовой последовательности символов (четвертый столбец в табл. 3.1-3.4). Динамическая эволюция периодических орбит на интервале времени, кратном периоду, представляется повторением базовой последовательности.

Аналогичные символические последовательности можно ввести не только для прямолинейной задачи, но и для двух других случаев. Например, в равнобедренной задаче с начальными условиями на дуге окружности символические последовательности будут иметь вид В(п), где п равно числу последовательных двойных соударений тел В и С. Соответствующие последовательности также приведены в пятых столбцах табл. 3.2-3.4. Для орбит 45 и 46 (рис. 3.16) кроме двойных сближений центрального тела С с каждым из крайних, наблюдаются сближения крайних тел А и В между собой. Для таких сближений мы используем символ Q.

Все обнаруженные нами орбиты, кроме орбиты 3, обладают симметрией по времени относительно половины периода. Орбита 3 представляет суперпозицию орбит 2 и 4, а ее период равен приблизительно сумме периодов орбит 2 и 4: Т3 « Т2 + Т4. При этом начальные условия для орбит 2 и 3 близки (см. табл. 3.1). Дополнительный анализ траекторий с начальными условиями в окрестности точки (, rj) = (0.0257, 0) показал, что малые вариации начальных условий приводят к сильной расходимости решений на интервалах времени порядка нескольких периодов. Таким образом, близость орбиты 3 к периодической ставится под сомнение и требует дальнейшего исследования.

На основе вышесказанного можно предположить, что в рамках данной задачи имеется, по крайней мере, два типа периодических орбит, для которых в момент времени t = Т/2 осуществляется одно из двух событий (последний столбец табл. 3.1-3.4):

1. одновременная остановка всех трех тел (четное число символов в соответствующей символической последовательности);

2. двойное соударение с одновременной остановкой третьего тела (нечетное число символов в соответствующей символической последовательности).

Пусть в начальный момент времени тела располагаются в вершинах равнобедренного треугольника, тогда в ходе динамической эволюции в каждый момент времени тела также будут находиться в вершинах равнобедренного треугольника. Этим случаям соответствуют положения тела С(, rj) на дуге окружности единичного радиуса с центром в точке А, которая ограничивает область D, и на оси Or] ( = 0). Дуге окружности соответствуют треугольники с углом при вершине меньше 7г/3; оси Or] — треугольники с углом при вершине больше 7г/3 и меньше 7Г. Точке пересечения окружности с осью ординат соответствует равносторонний треугольник. Динамическая эволюция тройной системы с начальными координатами в этой точке (f V) = (Q ) приводит к тройному соударению.

В процессе исследования области D наряду с основным сканированием для всей области было проведено дополнительное сканирование дуги окружности, ограничивающей область. Сканирование проводилось по углу а = arctg( ). Величина угла а менялась в интервале (0.3,7г/3) с шагом Аа = 10-6. В результате обоих сканирований было обнаружено несколько областей, соответствующих различным близким к периодическим орбитам. Соответствующие орбиты приведены на рис. 3.8-3.13. Основная информация об этих орбитах сведена в табл. 3.2 и 3.3. Обозначения в таблицах такие же, как и в табл. 3.1.