Содержание к диссертации
Введение
1 Интегративные принципы планетных исследований 11
1.1 Интегративные алгоритмы геодезии и гравиметрии 11
1.2 Задачи планетной гравиметрии и особенности их решения 20
1.3 Общий вид уравнений наблюдений и уравнений поправок в небесной системе координат 35
1.4 Уравнения наблюдений и уравнения поправок в планетной системе координат 39
1.5 Задача навигационной привязки КА 43
1.6 Интегративный подход к построению лунной (планетной) системы координат 50
1.7 Вычисление весов при совместной обработке разнородных наблюдений 59
1.8 Оценивание параметров гравитационного поля по разнородным наблюдательным данным 63
1.9 Итоги и выводы 70
2 Определение параметров гравитационного поля методом спутниковой градиентометрии 77
2.1 Спутниковая градиентометрия: бортовые измерения вторых производных гравитационного потенциала 77
2.2 Уравнения наблюдений и уравнения поправок спутниковой градиентометрии
2.3 Поля вторых производных гравитационных потенциалов Луны и Марса на спутниковых высотах 89
2.4 Постановка численного эксперимента
по спутниковой градиентометрии Луны и Марса 95
2.5 Выбор спутниковых орбит и состава измерений для определения параметров гравитационных полей Луны и Марса , 102
2.6 Влияние ошибок различной природы на точность оценивания параметров гравитационного потенциала 114
2.7 Итоги и выводы 126
Межспутниковое слежение в системе коорбиталь ных искусственных спутников 133
3.1 Задача определения гравитационного поля по данным об относительном движении искусственных спутников 133
3.2 Межспутниковое слежение: уравнение наблюдений и уравнение поправок для лучевых скоростей 137
3.3 Численный эксперимент по межспутниковому слежению в системе коорбитальных искусственных спутников Луны и Марса 141
3.4 Влияние ошибок различной природы на точность оценивания параметров гравитационного потенциала 151
3.5 Комплексный эксперимент по межспутниковому слежению и спутниковой градиентометрии в окрестности Луны и Марса 161
3.6 Кинематика относительного движения и устойчивость системы почти коорбитальных спутников 176
3.7 Итоги и выводы 185
Определение параметров гравитационного поля по лучевым ускорениям искусственных спутников
4.1 Лучевые ускорения и их использование в планетной гравиметрии 190
4.2 Уравнение наблюдений для лучевых ускорений искусственного спутника 195
4.3 Межспутниковое слежение в системе разновысоких спутников: уравнение наблюдений и уравнение поправок 198
4.4 Задача трансформации дискретных измерений путем повышения порядка производной 207
4.5 Выбор орбитальной конфигурации для проведения межспутниковых измерений 213
4.6 Численный эксперимент в системе разновысоких искусственных спутников Луны и Марса 220
4.7 Итоги и выводы 230
Заключение 234
Литература 241
- Задача навигационной привязки КА
- Поля вторых производных гравитационных потенциалов Луны и Марса на спутниковых высотах
- Численный эксперимент по межспутниковому слежению в системе коорбитальных искусственных спутников Луны и Марса
- Задача трансформации дискретных измерений путем повышения порядка производной
Задача навигационной привязки КА
В силу теоремы о структуре линейного отображения, определенного на прямом произведении нормированных векторных пространств [205, с. 120] всякое линейное непрерывное отображение F из Еп х Н в векторное нормированное пространство Е\ выражается, и притом единственным образом, в виде F(X,V) = F1(X) + F2(V) где F\ (соответственно F2) является линейным непрерывным отображением Еп (соответственно Н) в Ei. Тогда F\z )dz = Idx + эгт, причем каждому элементу F (Z ) Є Z соответствует одна и только одна пара функционалов А Є Еп,Є Н. Здесь Еп и Н - пространства линейных ограниченных функционалов, определенных соответственно на Еп и Н. При этом задача отыскания F (Z ) сводится к раздельному определению линейно непрерывных (вследствие их ограниченности [196, с.82]) функционалов: тг-мерного вектора А = и оператора 3ft. Сказанное выше позволяет записать функционал (1.1) в линеаризованном виде: f)F dL = L- F{X%U) = dX + Ш (1.2) Слагаемое ffiT в (1.2) обозначает результат действия линейного дифференциального оператора U на возмущающий потенциал Т. В [42] показано, что для всех геодезических функционалов F Є Z оператор Ш может быть выражен в стандартной форме U = fr(Z )6(X )grad (1.3) где 6(Х ) - дельта-функционал, a y(Z ) - трехкомпонентный вектор-строка, получаемый дифференцированием функционала F (1.1) по координатам X в поле U. Объединение уравнений вида (1.2) для всех выполненных разнородных наблюдений приводит к системе уравнений поправок, традиционно записываемой в форме, несколько отличающейся от обозначений, принятых выше [135]: Г= AX + Bs + n, (1.4) где I - вектор поправок наблюдений (в смысле О - С), А - матрица коэффициентов детерминированной (параметрической) составляющей системы уравнений поправок, X - искомый вектор поправок в компоненты вектора положения, В - матрица коэффициентов обусловленной влиянием гравитационного поля псевдостохастической (сигнальной) составляющей системы уравнений поправок, s - искомый вектор-сигнал, зависящий от возмущающего потенциала и его трансформант, n - вектор случайных ошибок измерений. Система уравнений поправок (1.4) в предположении некоррелированности сигнала s и шума п решается при условии nTC-ln + srC= min, - (1.5) где Спп -автоковариационная матрица вектора п ошибок наблюдений, Css - автоковариационная матрица вектора-сигнала s. Этот метод, представляющий собой обобщение метода наименьших квадратов на случай бесконечномерных пространств, носит название метода среднеквадратической коллокации и широко используется в практике совместной обработки данных разнородных геодезических наблюдений (см. также параграф 1.8) [135], [145], [216], [277], [284], [287] и др.
В развитие изложенной интегративной концепции Гайном получены уравнения наблюдений вида (1.1) практически для всех видов наземных наблюдений [244], [245]. Первой программной реализацией соответствующих алгоритмов стала разработанная в 1981 году программная система OPERA [248]. В 1987 году были представлены усовершенствованные версии пакета OPERA 2.3, а затем - OPERA 2.4 [249]. Отметим, что последний вариант предусматривает включение в обработку также и результатов GPS-наблюдений.
Применению интегративных методов в динамической спутниковой геодезии и выводу уравнений спутниковых наблюдений посвящены работы Машимова и др.[128] и Гайна, Айсфеллера [247]. В [128] принимается следующая форма записи уравнения наблюдения: L = Ф(АТ 7, о, г0, 7е, GM, hRp,n,Pt) (1.6) где обозначено: L - результат наблюдения; XQ - вектор координат наземных пунктов, участвующих в этом наблюдении; EQ - вектор начальных элементов орбит ИСЗ; го - вектор положения центра масс Земли и параметров ориентации ее осей инерции относительно центра и направлений осей используемой геодезической системы координат; 7е - вектор параметров вращения Земли; GM - геоцентрическая гравитационная постоянная; {Спт, Sum} - набор гармонических коэффициентов разложения геопотенциала в ряд объемных сферических функций; Ир/п - матрица прецессии и нутации; — Pt - вектор параметров модели приливных явлений. Линеаризация в окрестности референцных значений перечисленных параметров позволяет в общем случае перейти к уравнению поправок вида (1.4). Понятно, однако, что строгое решение получаемой в итоге системы уравнений является весьма сложной задачей как вследствие огромного объема вычислений, так и по причине неизбежной плохой обусловленности подобных систем, предполагающих совместное уточнение большого числа разнородных, но тесно друг с другом связанных параметров.
Развитием идей интегративной геодезии на геодинамическом уровне стали работы Панкрушина [153], [154], [155], [156], в которых с позиций системного анализа рассматривается задача моделирования геодинамической системы "земная поверхность и гравитационное поле Земли" по результатам пространственно - временных рядов разнородных наблюдений.
Поля вторых производных гравитационных потенциалов Луны и Марса на спутниковых высотах
Задачи планетной геодезии и гравиметрии, решение которых возлагается на орбитальные КА, требуют, как правило, определения орбит с максимально высокой точностью. Как показала практика планетных исследований, на современном уровне точности измерения первичных навигационных параметров повышение точности определения движения КА может быть достигнуто только при статистической обработке весьма большого количества измерений, проведенных на нескольких мерных участках последовательно на ряде витков. В основе автономных методов позиционирования на пассивных участках траектории в большинстве случаев лежит определение вектора положения X. Наиболее эффективно и просто этот вектор возможно получить при раздельном определении его модуля (по измерениям высот над поверхностью и/или углового диаметра планеты) и направления (по измерениям положения вертикали относительно ориентиров - небесных светил и точек опорной сети на поверхности исследуемого небесного тела) [161]. Запишем dL из (1.37) следующим образом: яр dL = - dX = gradFdX (1.38) Предположим далее, что максимально допустимая ошибка нави гационной привязки \dX\ обеспечивает выполнение условия \gradF\max где mL - среднеквадратическая ошибка измерения Z, \gradF\max максимальное на всей совокупности измерений значение модуля градиента F. Оператор градиента здесь может быть записан как в прямоугольной dF dF dF так и в сферической системе координат ,_ dF ldF 1 dF_ gradF = —ep + теФ + 7 геА op риф рсоБфдХ
Условие (1.39) позволяет ответить на вопрос: как велика может быть ошибка \dX\ позиционирования КА, чтобы влияние ее dL на результат измерения L не превысило среднеквадратического значения m{L) случайной ошибки измерения. Задавшись рациональным значением последней для конкретного вида наблюдений, получаем возможность оценить величину максимально строгих требований к точности навигационной привязки К А, выполняющего наблюдения рассматриваемого вида.
Заметим, что применительно к изучению тел Солнечной системы условие (1.39) носит достаточно жесткий характер, обусловленный помимо технических причин также и неточностью имеющейся информации об астрономо-геодезических постоянных, соответствующих исследуемому небесному телу. Так, например, ошибки параметров физической либрации Луны приводят к ошибкам селеноэкваториальных координат звезд, а, следовательно, к ошибкам измеряемых относительно звезд спутникоцентрических направлений на точки лунной поверхности [193].
Съемки поверхности небесного тела также могут быть эффективно использованы для уточнения орбитальных и навигационных параметров. Для этих целей применяют материалы фотографической, фототелевизионной, телевизионной и радиолокационной съемок, а также съемок, выполненных с помощью оптико-механических сканерных систем. В простейшем случае для уточнения вектора положения КА используют различные варианты обратной фотограмметрической засечки, если на снимке возможно опознать точки опорной сети на поверхности исследуемого тела [192]. Уточнение параметров орбиты КА по снимкам поверхности может проводиться и по данным сгущения опорной сети методом фототриангуляции [194]. Такое уточнение выполнялось для Марса после сгущения опорной сети по фототелевизионным снимкам на район съемки с АМС "Марс-4" и "Марс-5" и для Меркурия - по снимкам КА "Mariner 10" [231].
Практика показывает, что использование автономных средств позиционирования, основанных на фотограмметрической обработке изображений поверхности исследуемого тела с привлечением данных бортовых звездных видеоприборов для определения ориентации искусственного спутника, позволяет уменьшить ошибку его навигационной привязки до 100 - 300 метров [6].
При решении задач текущего позиционирования обычно предполагается, что конфигурация и положение навигационных точек, линий или поверхностей, используемых при проведении измерений, известны с необходимой точностью. В реальном случае точность определения положения искусственного спутника в значительной степени зависит от точности координат положения тех точек поверхности исследуемого тела, к которым осуществляется координатная привязка. По этой причине повышение точности координат опорных точек на поверхности небесных тел является существенным резервом повышения точности навигационных местоопределений КА.
Подробне рассмотрим этот вопрос в следующем параграфе, в котором на примере Луны обсуждаются интегративные подходы к задаче реализации планетной системы координат.
В последующих главах, посвященных определению параметров модели поля по данным разнородных спутниковых наблюдений, также приводятся результаты численных экпериментов по априорному оцениванию влияния погрешностей навигационной привязки К А. Это позволяет высказать некоторые рекомендации по оптимизации программ научных измерений с целью обеспечения предельно достижимой точности изучения структуры гравитационного потенциала.
Численный эксперимент по межспутниковому слежению в системе коорбитальных искусственных спутников Луны и Марса
Таким образом, возможны два способа оценки вектора неизвестных при наличии мешающих параметров. Первый предполагает включение их в число оцениваемых. Это целесообразно в том случае, если имеются достаточно достоверные данные о характере действия мешающих параметров и их возможной величине [84]. В противном случае можно рекомендовать замену схемы мешающих параметров моделью, учитывающей те или иные априорные сведения о возможных границах диапазона оцениваемых величин или стохастических характеристиках связей между составляющими вектора ошибок измерений [212].
В большинстве случаев на основании анализа источников априорной информации могут быть сформулированы гипотезы о статистических свойствах оцениваемого вектора неизвестных параметров. Наличие этих гипотез способно существенно повлиять на результаты решения, поскольку известно, что любая дополнительная информация при соответствующем ее качестве и рациональной обработке может привести к улучшению оценок. Априорная информация используется в различных методах и алгоритмах оценивания, например, в получившем широкое распространение в практике статистической обработки траекторных измерений методе динамической фильтрации по Калману.
Основная особенность метода калмановской фильтрации состоит в том, что он позволяет проводить оценки многомерных векторов в динамике развития космического эксперимента по мере поступления измеряемой информации (т.е. по выборке измерений нарастающего объема). По этой причине процесс оценивания представляет собой рекуррентную процедуру, при которой текущая оптимальная оценка определенным образом суммируется со вновь полученной по данным последнего по времени сеанса измерений. Другими словами, на каждом шаге обрабатывается только упомянутый последний по времени сеанс измерений, а в качестве эквивалента всех предыдущих измерений используется последняя по времени оценка вектора состояния и ее статистические характеристики [80], [166], [211]. Таким образом, каждое вновь поступившее измерение немедленно привлекается для исправления уже имеющихся оценок неизвестных параметров и соответ ствующей им ковариационной матрицы [139], [174]. Преимущества указанного подхода заключены в возможности оперативной обработки "бесконечно" продолжающегося ряда наблюдений и вычислительных достоинствах алгоритма динамической фильтрации данных [63], [140] и др.
В то же время реализация фильтра Калмана требует достаточно точной априорной информации о статистических характеристиках входных и измерительных шумов: неточность ее обычно приводит к расходимости алгоритма [174, с. 13]. В ряде случаев может оказаться эффективным применение адаптивных алгоритмов, менее требовательных к точности априорных данных.
Необходимость привлечения априорных сведений диктуется, кроме того, также и тем принципиальным обстоятельством, что задачи оценивания параметров многомерных сложных моделей по результатам физического эксперимента всегда, как правило, относятся к классу некорректно поставленных задач, в которых малым возмущениям входных данных соответствуют, вообще говоря, сколь угодно значительные возмущения выходных параметров.
В настоящее время создана строгая математическая теория построения регуляризирующих алгоритмов, позволяющих отыскивать приближенные решения широкого круга некорректных задач, опираясь на априорные данные о приближенных значениях искомых величин и уровне ошибок исходной наблюдательной информации. При этом первоначальная задача погружается в семейство вспомогательных задач, зависящих от точности исходных данных. Решение такой задачи при фиксированной точности эксперимента можно рассматривать как результат воздействия на массив наблюдательных данных некоторого регуляризирую-щего оператора, зависящего от точности наблюдений. Существование регуляризирующих операторов и достижение устойчивого решения при их использовании доказано для широкого круга задач [43], [56], [57], [138], [143], [176], [189].
Поиск регуляризирующего опрератора при наличии непрерывных исходных данных сводится к вариационной задаче минимизации соответствующих функционалов. Однако особой ценностью такой вариационной задачи является ее простота в наиболее реальной для практики ситуации, когда исходные измерения соответствуют отдельным дискретным точкам пространства [141], [142], [143], [159].
Основная цель планетной гравиметрии была выше сформулирована нами как определение внешнего гравитационного поля исследуемого небесного тела по данным разнородных наблюдений, выполненных в различных точках пространства. Дискретные значения измеряемых величин, представляющих собой различные трансформанты гравитационного поля, рассматриваются в этом случае как значения соответствующих нелинейных функционалов на гравитационном потенциале. Такая весьма общая и одновременно реальная постановка задачи соответствует современным интегративным представлениям, применительно к Земле, как указывалось выше, развиваемым в ряде публикаций отечественных и зарубежных исследователей [40], [135], [144], [145], [146], [261] и др.
Главной особенностью указанного подхода является стремление к восстановлению такого внешнего поля, которое в предположении отсутствия ошибок измерений совпадало бы со всеми имеющимися результатами разнородных наблюдений. По аналогии с подобными математическими методами решения дифференциальных и интегральных уравнений эти методы получили название коллокации.
Поскольку реальное гравитационное поле может быть описано лишь бесконечным числом параметров, а количество дискретных измерений, как бы велико не было их число, всегда конечно, задача коллокации имеет бесчисленное множество решений. Указанное обстоятельство также вынуждает прибегать к некоторой априорной информации, позволяющей тем или иным способом ограничить класс возможных решений. Важнейшей теоретической проблемой в этой связи становится также обоснование сходимости решений дискретных задач к реальному гравитационному полю при условии неограниченного возрастания числа исходных измерений [159].
Задача трансформации дискретных измерений путем повышения порядка производной
Этот вывод непосредственно следует из рассмотрения рисунка 3.5, на котором отражена зависимость точности решения, оцениваемая по критерию rN, (Л7 = 8,9,10,11,12), от наклонения орбиты. И для Луны (слева), и для Марса (справа) в интервалах наклонений до и после 45 наблюдается существенно различное поведение кривых. До 45 графики имеют сильно осциллирующий характер, свидетельствующий о неустойчивости и низкой точности решения задачи оценивания гармонических коэффициентов. При наклонениях более 45 и, особенно, более 75 — 80 осцилляции прекращаются, кривые Демонстрируют устойчиво высокую точность решения.
Коридоры оптимальных высот для различных N на рисунках 3.3 и 3.4 достаточно широки: для Луны - 400-1500 км, для Марса - 1000-2000 км и слабо сужаются с ростом N.
По этой причине представляется целесообразным выбирать круговые (или почти круговые) орбиты, обеспечивающие высокоточное оценивание параметров гравитационных потенциалов Луны и Марса в широком диапазоне частот. Напомним в этой связи, что круговые орбиты имеют по сравнению с эллиптическими ряд преимуществ: для них отсутствует проблема стабилизации положения орбит в их плоскостях (в отличие от эллиптических орбит, линия апсид которых прецессирует в плоскости оскулирующей орбиты), упрощается стабилизация самих спутников относительно центрального тела и т.д.[134].
Более детально зависимость точности искомых параметров потенциала от высоты орбиты иллюстрирует рисунок 3.6. На нем для Луны (сплошные линии) и Марса (штриховые линии) приведены графики зависимости критерия rN,(N = 8,9,10,11,12) от высоты для величины межспутникового расстояния Ли == 5 (сверху) и Ли = 11 (снизу). Из рисунка следует, что расстояние между спутниками практически не влияет ни на ширину коридора, ни на сами значения высот, наиболее пригодных для проведения измерений. Также подтверждается вывод о перекрытии этих коридоров для рассмотренных значений индекса N.
Кроме того наблюдается некоторое повышение точности с увеличением межспутникового расстояния Аи с 5 до 11, более заметное у Марса и менее у Луны.
Зависимость точности определения параметров потенциала от величины межспутникового расстояния отражена на рисунке 3.7. На нем для Луны (слева) и Марса (справа) для N — б, 7,8, ...14 приведены графики значений гах в функции значений Аи = 5, 10, 15, 20. Наибольшие значения критерия гах, свидетельствующие о максимальной точности получаемых решений, для Луны достигаются при Аи = 15 для более низких частот N = 6,7,8 и при Аи = 10 для более высоких степеней N = 9,10, ...14. Для Марса почти для всех N (кроме N =8 и 11) оптимальным при выбранных условиях численного эксперимента оказывается межспутниковое расстояние Аи =15.
Известно, что гармоники степени N в разложении по сферическим функциям обеспечивают разрешение подробностей моделируемой функции с простиранием не менее 180/N. Поэтому следует ожидать, что слежение в системе двух спутников, разделенных дугой орбиты Дм, окажется эффективным для оценивания гармоник степеней N 180/Аи. Так для Аи = 15, N 12, а для Аи = 20, N 9. Рисунок 3.7 подтверждает сказанное, демонстрируя падение точности решения для степеней N = 10,11,12,13,14 при увеличении межспутникового расстояния с 15 до 20.
Также обращает на себя внимание падение точности определения гармоник ареопотенциала степени iV = 11 более резкое при Аи = 5, 20 и менее заметное при Aw = 10, 15.
Сопоставление относительных дальностей, обеспечивающих достижение максимальных значений критерия rN, с разрешающей способностью гармоник тех же степеней свидетельствует о том, что движение цепочки низких коорбитальных спутников оказывается наиболее чувствительным к влиянию гравитационных аномалий, простирание которых в 1.5-2 раза превышает величину межспутникового расстояния.
Наконец следует напомнить, что обсуждаемые в настоящем параграфе результаты получены в предположении об отсутствии систематических ошибок референцного поля, случайная компо нента модели ошибок характеризуется при этом некоррелированностью элементов, нормальным законом распределения и с.к.о. 0.005 мм/сек.
Как уже отмечалось выше, результаты, обсуждаемые в предыдущем параграфе, по-существу соответствуют некоему идеальному случаю весьма высокой точности измерений относительных лучевых скоростей и безошибочному референцному потенциалу. В настоящем параграфе мы намерены исследовать влияние неизбежных в реальном случае ошибок различного вида и происхождения на условия и результаты натурного эксперимента. Будем рассматривать следующие источники и составляющие модели ошибок: ошибки систематические, обусловленные погрешностью параметров референцной модели поля; величина ошибки, как и прежде (см. параграф 2.6), определяется коэффициентом 0 а 1; случайные ошибки измерений, характеризуемые величиной с.к.о. случайного гауссовского шума, накладываемого на моделируемые результаты наблюдений; погрешности в абсолютных и относительных положениях искусственных спутников.
Обратимся далее к рисунку 3.8, на котором для Луны (вверху) и для Марса (внизу) представлены результаты численного эксперимента по исследованию влияния ошибок различной природы на параметры орбиты спутников, обеспечивающие максимальную точность определения гармонических коэффициентов степеней N = 9 (слева) и N = 12 (справа). Внутренние точки каждой области на рисунках, как и всюду выше, удовлетворяют условию (rax - rN) 0.02.