Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Резонансы в динамике астероидов: история исследования и методы анализа 14
1.1 Динамика астероидов в историческом аспекте 14
1.2 Космические миссии 17
1.3 Двухтельные резонансы
1.3.1 Соизмеримость 20
1.3.2 Резонансы в главном поясе астероидов 21
1.3.3 Резонансный аргумент
1.4 Трёхтельные резонансы 25
1.5 Порядок резонанса 28
1.6 Выводы к Главе 1 30
Глава 2. Выбор оптимальных интеграторов 31
2.1 Методы численного интегрирования орбит астероидов 34
2.2 Определение погрешностей методом Монте-Карло 37
2.3 Выводы к Главе 2 43
Глава 3. Алгоритмы отождествления резонансов и программный комплекс 45
3.1 Построение идентификационной матрицы 45
3.1.1 Резонансное значение большой полуоси для трёхтельного резонанса 46
3.1.2 Резонансное значение большой полуоси для двухтельного резонанса з
3.2 Динамическая идентификация 57
3.3 Выводы к Главе 3 59
Глава 4. Отождествление и анализ двухтельных и трёхтельных резонансов 65
4.1 Статистические результаты массового отождествления 65
4.2 Оценка количества астероидов в резонансах высокого порядка 67
4.3 Двухтельные резонансы с Юпитером 75
4.4 Сравнение двухтельных и трёхтельных резонансов 77
4.5 Показатели Ляпунова орбит резонансных астероидов 78
4.6 Выводы к Главе 4 80
Заключение 82
Список литературы
- Соизмеримость
- Порядок резонанса
- Определение погрешностей методом Монте-Карло
- Двухтельные резонансы с Юпитером
Соизмеримость
Одним из главных эффектов, определяющих динамическую структуру Солнечной системы, служит явление резонанса. В общем случае резонанс представляет собой целочисленную соизмеримость между частотами или периодами. При этом соизмеримы могут быть как орбитальные периоды (например, период обращения вокруг Солнца для планеты и астероида), так и вращательные периоды (например, в системе Земля—Луна), так и вращательные периоды с орбитальными периодами (спин-орбитальное взаимодействие). Примером спин-орбитального резонанса является динамика Луны, для которой орбитальный период равен периоду вращения. Именно благодаря этой соизмеримости Луна всегда повёрнута одной стороной к Земле. Многие из спутников планет Солнечной системы находятся в подобных спин-орбитальных резонансах 1/1 [4]. В этом случае говорят о синхронном спин-орбитальном резонансе.
Планеты также могут находиться в резонансах или близко к ним. Орбиты Юпитера и Сатурна испытывают колебания с периодом порядка 900 лет из-за так называемого большого неравенства: средние движения планет близки к соизмеримости 5/2. Хотя планеты и не находятся в этом резонансе, тем не менее возмущения, испытываемые орбитами планет от близости к резонансу, являются существенными [4].
Другим примером резонансов в планетных системах является резонанс 3/2 между Нептуном и Плутоном. Известно, что орбиты этих двух небесных тел в плоскости эклиптики пересекают друг друга. Однако же наличие этого резонанса максимизирует расстояние между обеими планетами в момент сближения. Аналогичный эффект характерен и для плутино — объектов, находящихся в резонансе средних движений 3/2 с Нептуном.
Однако одним из самых известных примеров соизмеримостей является резонанс Лапласа. Этот резонанс представляет собой целочисленную соизмеримость орбитальных периодов у трёх из четырёх галилеевых спутников — Ио, Европы и Ганимеда: - 3 + 2 =0, (1.1) где ,, — средние движения Ио, Европы и Ганимеда соответственно. Точность этой формулы составляет лучше 10-9 /сут. Объяснение большого неравенства, векового неравенства в движении Луны и многие другие достижения (например, предсказание А. Клеро большого возвращения кометы Галлея в 1759 г.) явились триумфом небесной механики [16]. Именно они позволили Лапласу, отрицавшему существование любых других сил, за исключением гравитационных, выдвинуть идею о том, что мир полностью детерминирован. Эта идея хорошо иллюстрируется известным мысленным экспериментом. Исходная формулировка звучит следующим образом:
«Мы можем рассматривать настоящее состояние Вселенной как следствие его прошлого и причину его будущего. Разум, которому в каждый определённый момент времени были бы известны все силы, приводящие природу в движение, и положение всех тел, из которых она состоит, будь он также достаточно обширен, чтобы подвергнуть эти данные анализу, смог бы объять единым законом движение величайших тел Вселенной и мельчайшего атома; для такого разума ничего не было бы неясного и будущее существовало бы в его глазах точно так же, как прошлое.» [5]
Проблема детерминизма связана не с тем, возможно ли детерминистическое предсказание эволюции систем на любом интервале времени на практике, а возможно ли оно хотя бы в теории. И, согласно идеям Лапласа, ответ на этот вопрос был утвердительным. Таким образом, учёт одиночного резонанса в динамике тел Солнечной системы в теории Лапласа привёл к всеобщему научному признанию детерминизма.
Развитие в начале XX века квантовой механики впервые показало несостоятельность детерминистического подхода в науке: принцип неопределённости Гейзенберга гласит, что у частицы невозможно одновременно точно измерить и положение, и импульс. Согласно этому принципу, начальные данные любой системы не могут быть сколь угодно точными, а, следовательно, погрешность исходных данных через какое-то время (возможно, достаточно большое) приведёт к кардинально различающимся ситуациям.
Окончательный отказ от детерминистического подхода в небесной механике положили работы Б. В. Чирикова [13–15;28] и Уиздома [73–75]; см. обзор И. И. Шевченко [16]. Отказу от него, в частности, способствовало возвращение кометы Галлея в 1986 г. Теперь орбита этой кометы рассматривалась не как пример предсказуемости, а как проявление динамического хаоса [16].
Резонансы средних движений подразделяются на два важных класса: помимо обычных (двухтельных) резонансов средних движений астероида и планеты, существенную роль в динамике астероидов играют так называемые трёх-тельные резонансы средних движений [53;55;56]: в этом случае «резонансный аргумент» является алгебраической суммой с целочисленными коэффициентами угловых переменных движения астероида и двух планет, например, Юпитера и Сатурна. Ввиду «перенаселённости» фазового пространства орбитального движения астероидов трёхтельными резонансами, Д. Несворный и А. Морби-делли [55] указали, что «трёхтельные резонансы средних движений, по всей вероятности, являются главными “действующими лицами”, формирующими динамическую структуру главного пояса астероидов».
Порядок резонанса
В последние годы отмечается многократный количественный рост наблюдаемой популяции астероидов и комет за счет вновь открываемых объектов. Среди них особый интерес представляют потенциально опасные для Земли астероиды [27;76]. Потенциально опасными для Земли (ПОА) принято считать астероиды и кометы, орбиты которых в принятую эпоху сближаются с орбитой Земли до расстояний (MOID) меньших или равных 0.05 а.е.. Общее число ПОА в 2008г. составляло 979 астероидов, из них 240 нумерованных. На начало 2012 г. нумерованных ПОА насчитывалось уже 299 1. В связи с реально существующей опасностью столкновения таких астероидов с Землей возникает необходимость прогнозирования их движения с очень высокой степенью точности. На точность прогноза орбиты, несомненно, влияют и резонансные явления [7;9].
Как видно на примере хорошо известного астероида 99942 Апофис, задача высокоточного прогноза движения может оказаться трудно решаемой даже на небольших промежутках времени [1]. При автоматизированном отождествлении резонансов для такого типа объектов необходима хорошая точность на больших промежутках времени. Как показано в многочисленных исследованиях, основная трудность связана с прогнозированием орбиты после очень тесного сближения Апофиса с Землей в апреле 2029 г., когда его минимальное расстояние от Земли составит порядка 38000 км. Это расстояние по оценкам разных исследователей на начало 2009г. вычислялось с ошибкой порядка 1000 км. После уточнения орбиты Апофиса с учетом новых оптических наблюдений минимальное расстояние Апофиса от Земли в 2029 г. согласно работе [1] уменьшилось на величину порядка 200 км и приблизило номинальную орбиту астероида к «замочной скважине», ведущей к столкновению в 2036 г. Было показано, что вероятности столкновения Апофиса с Землей в 2036 г., подсчитанные на
1http://www.jpl.nasa.gov/ основе мало отличающихся решений, варьируются в достаточно широких пределах. Для примера сошлемся на работу Виноградовой, Кочетовой, Чернетенко и др. [1], где использовались три системы начальных данных — данные самих авторов (ИПА РАН), данные Лаборатории реактивного движения NASA (JPL) и начальные данные из каталога NEODyS. С использованием этих данных был рассчитан характерный размер «замочной скважины», при прохождении через которую 13.04.2029 Апофис выйдет на траекторию, приводящую к соударению с Землей в 2036 году. Обращается внимание на несоответствия в оценках параметров орбиты Апофиса и их точности, найденных различными группами исследователей из имеющихся на данный момент наблюдений. Следствием этих несоответствий являются различные оценки вероятности столкновения Земли с Апофисом в период после 2029 года.
Отдельный интерес представляют исследования воздействия малых эффектов на орбиту астероида. В частности, влияние солнечного давления [63] на положение Апофиса составляет 5.7 - 12.9 км, а эффекта Ярковского — 19.7 - 40.6 км для номинальной траектории [33]. Кроме того, в той же работе была учтена несферичность Земли с точностью до гармоник восьмого порядка и было выяснено, что вклад возмущений от гармоник третьего порядка в положение астероида составляет 1.256 км, тогда как возмущениями от гармоник более высоких порядков можно пренебречь, так как их значение не превосходит 10 м. В качестве модели астероида авторами был выбран шар диаметром d = 270 м и плотностью = 2.7 гм/см3. В более позднем исследовании при использовании сферической модели влияние солнечного давления на минимальное расстояние между Землёй и Апофисом в момент сближения оценено в 4 км, а в других моделях — от 1 км до 88 км [78].
Для прогнозирования орбиты астероидов используются методы численного интегрирования уравнений движения. Известно, что при подобных расчетах существует несколько типов погрешностей, которые способны влиять на полученный результат. В первую очередь — это погрешности, связанные с методом интегрирования и погрешности, связанные со свойствами изучаемых движений, таких, например, как устойчивость или хаос. Зачастую хаос не может быть отделен от других типов численных ошибок. Многочисленные исследования динамики ПОА, выполненные в последние десятилетия, показали, что численное интегрирование, выполненное разными методами, качественно дает картину движения схожую с тем, как если бы проводилось интегрирование одним и тем же интегратором, но с несколько измененными начальными данными. Но малая разница в начальных данных может вести к существенной модификации траектории движения, особенно для тех астероидов, которые имеют большие изменения своих орбит благодаря тесным сближениям или резонансам.
Таким образом, прогнозирование движения астероида в рамках одной и той же динамической модели и с одними и теми же начальными данными, но с помощью нескольких различных интеграторов можно рассматривать как некий пучок орбит, достаточно близких в начальный момент времени.
В данной главе мы проведём исследование и сопоставление точности методов численного интегрирования орбит, таких как симплектический метод Йо-шиды [43;77], самостартующий метод Эрмита [46], интегратор Эверхарта [30], восьмишаговый метод типа предиктор-корректор (далее — ПК-8 [35]), метод Паркера–Сочаки [58;62], экстраполяционный метод Булирша—Штера, Гибридный интегратор (два последних — [26]), а также оценим величины погрешности каждого из интеграторов. Мы не будем отдельно останавливаться на схемах указанных интеграторов, с которыми можно ознакомиться в оригинальных работах, ссылки на которые приводятся по ходу текста и в списке литературы. На основе проведённого исследования в дальнейшем будет выбран оптимальный интегратор, которым будет проводиться интегрирование орбит астероидов для отождествления резонансов.
Для прогнозирования орбиты астероида Апофис в ряде работ [1;9] был выбран интегратор Эверхарта [24;30]. Как известно, это — неявный одношаго-вый метод типа Рунге–Кутты, который использует полиномиальные разложения правых частей уравнений движения по времени, опираясь на приближение производных высоких порядков разделенными разностями, которое дает сравнительно большую погрешность метода в случае интегрирования вблизи особой точки дифференциального уравнения [6;10;11].
При использовании других численных методов, в которых реализуются иные интеграционные схемы временных рядов для правых частей уравнений движения, мы будем иметь и различные погрешности при прогнозировании движения на одном и том же интервале времени, связанные именно с самим методом. Поскольку эту погрешность метода при решении нелинейных задач сложно (или даже невозможно) отделить от малых погрешностей в начальных данных, то получаемые с помощью различных интеграторов результаты будем интерпретировать как спектр орбит с близкими начальными параметрами в начальный момент времени.
Нами были использованы программы [46], реализующие некоторые из вышеописанных методов. Для реализации интеграторов и сопутствующего программного обеспечения нами были выбраны ruby и python — современные языки программирования, дающие возможность быстро разрабатывать понятные и гибкие программы. В них отсутствуют ограничения на количество знаков в дробной части вещественных чисел, так как последние могут быть представлены в виде строк, что позволяет практически избежать погрешности округления при выборе достаточно большой длины строки (мы остановились на 100 значащих цифрах).
Определение погрешностей методом Монте-Карло
Для динамической идентификации резонансов мы использовали следующую процедуру. На первом шаге мы проинтегрировали орбиты всех 249 567 астероидов (количество астероидов в базе AstDyS на момент проведения исследования) на интервале времени 105 лет. Учитывались возмущения от всех планет и Плутона. В качестве интегратора использовался пакет mercury6 [26]. Для верификации на первой тысяче астероидов использовался также пакет orbit91. Полученные в результате интегрирования результаты сохранялись в виде файлов для дальнейшего использования. Интервал вывода данных в файлах составил 1 год.
После интегрирования вычислялось среднее значение большой полуоси для каждого объекта. Затем в идентификационной матрице искались резонан-сы, в которых резонансное значение большой полуоси находится в интервале ± 0.2 а.е. Для каждого такого резонанса мы по отдельности считали резонансный аргумент res.
Мы различаем два типа резонансных либраций: чистый и транзиентный. По определению, мы называем либрацию чистой, если на всём интервале интегрирования (в нашем случае — 105 лет) присутствовала либрация без перехода в циркуляцию [66]. Астероид считается находящимся в транзиентном резонансе, если периоды либрации сменяются периодами циркуляции, при этом общее время, проведённое в либрации, превышает 20000 лет [55;66].
Примеры астероидов, находящихся в двухтельных резонансах: – 190 Исмена, чистый резонанс 3J-2, рис. 3.1; 1http://adams.dm.unipi.it/orbmaint/orbft/ – 1915 Кетцалькоатль, транзиентный резонанс J3-1, рис. 3.5. Примеры астероидов, находящихся в трёхтельных резонансах: – 10 Гигея, тразиентный трёхтельный резонанс 8J-4-3 (рис. 3.6); – 138 Тулуза, транзиентный трёхтельный резонанс 7J-2-2 (рис. 3.7); – 463 Лола, чистый трёхтельный резонанс 4J-2S-1 (рис. 3.2); – 490 Веритас, чистый трёхтельный резонанс 5J-2-2 (рис. 3.8); – 744 Агунтина, чистый трёхтельный резонанс 5J-2S-2 (рис. 3.3); – 789 Лена, чистый трёхтельный резонанс 7J-4S-2 (рис. 3.4). Рисунок 3.1 — Резонансный аргумент и орбитальные элементы астероида 190 Исмена. Чистый двухтельный резонанс 3J-2. Здесь и далее — наклонение орбиты астероида к неизменной плоскоти, — аргумент перицентра, — долгота восходящего узла, — эксцентриситет, — большая полуось — резонансный аргумент. - В главе 3 «Алгоритмы отождествления резонансов и программный комплекс»: 1. Описана алгоритмическая основа и программная реализация автоматического отождествления резонансов средних движений в динамике астероидов. 2. Даны основные определения: двухтельный резонанс, трёхтельный резонанс, мультиплет резонансов, субрезонанс, ведущий субрезонанс. 3. Для двухтельных резонансов приведён вывод формулы для вычисления резонансного значения большой полуоси. 4. Для трёхтельных резонансов обоснован и разработан итеративный метод вычисления резонансного значения большой полуоси; « иоуЧ/ЧЛЛуЛЛЛМ/\ЛлЛлЛлЛ/ 3.25 « 3.20 3.15 ІШ Ш І І Ш о.ю о юоооо 20000 40000 60000 80000 Время, лет Рисунок 3.3 — Резонансный аргумент и орбитальные элементы астероида 744 Агунтина. Чистый трёхтельный резонанс 5J-2S-2. 5. Проведена верификация получаемых значений, полученных итеративным методом, со значениями, полученными Несворным и Морбидел-ли [55]. 6. Построены идентификационные матрицы для двухтельных (42 различных резонанса) и трёхтельных (124 различных резонанса) резонансов соответственно. 7. Описан алгоритм для динамического отождествления резонансов, на основе которого построен программный комплекс для массовой идентификации резонансных астероидов. 8. Приведены примеры идентифицированных астероидов, находящихся в резонансах: чистый двухтельный резонансный астероид, чистый трёхтельный, транзиентный двухтельный и транзиентный трёхтельный. 2.0 F
В последней колонке таблицы 10 приведены аналитические оценки ширины резонанса, вычисленные Несворным и Морбиделли [56, табл. 1]. Из таблицы видно, что чем шире резонанс, тем больше количество астероидов, находящихся в нём, хотя сильной корреляции и не наблюдается.
Для каждого резонанса были посчитаны количество чистых резонансных астероидов и количество транзиентных резонансных астероидов. Статистические результаты приведены в таблице 11. В этой таблице полученные результаты также сравниваются с результатами, полученными Несворным и Морбидел 66 ли [55]. Количество астероидов, находящихся в трёхтельных резонансах (чистые + транзиентные), составляет 4.5% от общего количества объектов. Это очень близко к числу 4.6% ( 1500 из множества 32400 объектов), которое получили Несворный и Морбиделли [55] при оценке относительной доли трёх-тельных резонансных астероидов на основе выборки объёмом на два порядка меньше. Как следует из таблицы 11, количество чистых резонансных астероидов составляет 1.0% от всего множества объектов в нашей выборке (из 250 000 объектов).
Проиллюстрируем расположение астероидов, находящихся в трёхтельных резонансах, на плоскости «большая полуось — эксцентриситет». Для каждого астероида в заданном резонансе посчитаем среднее значение (на всём интервале интегрирования в 105 лет) большой полуоси и эксцентриситета и нанесём эти значения на плоскость –. Данная процедура была проделана для каждого резонанса с известной структурой резонансного мультиплета, полученной аналитически Несворным и Морбиделли [56]. Помимо этого на график также нанесена сепаратриса ведущего субрезонанса. Несколько подобных графиков представлены на рисунках 4.1, 4.2, 4.3. Из рисунков видно, что количество «вы-падаюших» (то есть находящихся вне сепаратрисы) объектов невелико (за исключением резонанса 2J+2S-1, в котором б`ольшая часть астероидов находятся не в чистых, а в транзиентных резонансах, что и объясняет б`ольшее количество Рисунок 4.1 — Астероиды, находящиеся в трёхтельном резонансе 5J-2S-2, на плоскости –. Кривая на графике — сепаратриса ведущего субрезонанса, вычисленная в [56]. «выпадений»). Это подтверждает хорошую точность процедуры отождествления в случае конкретного резонанса
Двухтельные резонансы с Юпитером
На основе полученных данных можно сравнить количество объектов, находящихся в двухтельных и трёхтельных резонансах. Данные представлены в таблице 16. Из таблицы видно, что количество астероидов в трёхтельных резонансах превышает аналогичный показатель для двухтельных резонансов в 2.5 раза, при этом количество чистых резонансных астероидов практически совпадает. Однако если исключить из статистики двухтельных резонансов Троянцы и Гильды, трёхтельные резонансы будут превалировать над двухтельными: количество астероидов, находящихся в транзиентных+чистых трёхтельных резонансах, будет в 11039/1747 6.3 раза превышать аналогичное число для двух-тельных; для случая чистых резонансных астероидов это соотношение равно 2516/456 5.5.
Статистика двухтельных и трёхтельных резонансов: абсолютные и относительные значения Транз.+чист. Чист. Чист./(Транз.+чист.) Двухтельные резонансы 4450 (1.8%) 3132 (1.3%) 70% Трёхтельные резонансы 11039 (4.4%) 2338 (1.0%) 21% Как следует из последней колонки в таблице 16, количество чистых резонансных астероидов в случае двухтельных резонансов существенно выше (в процентном соотношении — в 3.3 раза), нежели в случае трёхтельных резо 78 нансов. Иными словами, двухтельные резонансы, в среднем, являются более «чистыми», нежели трёхтельные. Однако в целом трёхтельные резонансы превалируют над двухтельными в главном поясе астероидов.
Отметим, что наш количественный анализ подтверждает гипотезу Несворного и Морбиделли [55], что «именно трёхтельные резонансы являются “главными действующими лицами”, формирующими тонкую структуру главного пояса астероидов».
Данные, полученные в результате массовой идентификации, в дальнейшем могут быть использованы для более глубокого анализа роли двухтельных и трёхтельных резонансов в динамике астероидов.
Каталог AstDyS содержит значения максимального показателя Ляпунова для орбит большинства астероидов [37–39]. Представленные в нём значения вычислены на временном интервале 2 млн лет, то есть на интервале в 20 раз превышающим интервал, использовавшийся нами при динамической идентификации. Важно проверить, насколько коррелируют данные о показателях Ляпунова с делением резонансных астероидов на чистые и транзиентные.
Для случая транзиентных астероидов можно ожидать, что поведение астероидов должно быть хаотичным, а в случае чистых резонансных астероидов — наоборот, регулярным, так как переход от либраций к циркуляциям и обратно происходит в хаотическом слое в окрестности сепаратрисы резонанса; о ля-пуновских показателях в резонансных мультиплетах см. [65]. Однако следует учитывать, что за счёт того, что мы выбрали относительно короткий промежуток интегрирования, чистые резонансные астероиды на самом деле могут быть транзиентными на больших временных шкалах. iMML
Построим распределение количества резонансных астероидов в зависимости от значения максимального показателя Ляпунова. Результат представлен на рисунке 4.12. Показатель Ляпунова дан в размерности myr-1 (1/млн лет; заметим, что в каталоге AstDyS та же величина дана в yr-1). — количество астероидов в интервале (, + A), где A = 10. Светло-серая часть гистограммы соответствует астероидам, находящимся в транзиентных резонансах; тёмно-серая — астероидам, находящимся в чистых резонансах. Диаграмма обрезана, начиная с = 500, так как объекты с 500 встречаются редко и они все транзиентные.
Из рисунка 4.12 видно, что транзиентные астероиды, как и ожидалось, имеют гораздо более широкое распределение по , нежели чистые резонансные астероиды.
Среди всех отождествлённых чистых резонансных астероидов среднее составляет 34.3 myr-1, среди транзиентных — 49.7 myr-1. Ляпуновские времена, соответственно, равны 29200 и 20100 лет соответственно. Среди всех объектов из базы данных AstDyS среднее = 20.8 myr-1, что соответствует ляпуновскому времени 48100 лет. Таким образом, в среднем, резонансные астероиды (чистые + транзиентные) имеют более хаотическую динамику, нежели обычные. Кроме того, наличие чистых резонансных астероидов с ненулевым показателем Ляпунова, говорит о том, что на масштабах времени больше 105 лет эти астероиды становятся транзиентными.