Исследование особенностей динамики астероидов, сближающихся с Землей Летнер Оксана Никитична

Содержание к диссертации

Введение

1 Алгоритмы и методы исследования особенностей движения астероидов 16

1.1 Численная модель движения АСЗ 16

1.1.1 Дифференциальные уравнения движения. Модель сил 17

1.1.2 Интегратор Эверхарта

1.2 Алгоритм построения вероятностной области движения астероида 20

1.3 Вычисление резонансных характеристик 21

1.4 Количественные характеристики хаоса: ляпуновское время и параметр MEGNO

1.4.1 Ляпуновское время 23

1.4.2 Параметр MEGNO 24

2 Прикладной программный комплекс «ида» для исследования динамики астероидов 27

2.1 Задачи, решаемые с помощью программного комплекса «ИДА» 27

2.2 Структура программного комплекса 29

2.3 Особенности реализации в среде параллельного программирования алгоритмов исследования динамики астероидов 33

2.4 Программное обеспечение для определения параметра хаотичности MEGNO в движении астероидов 34

2.5 Тестирование программы для вычисления параметра MEGNO 36

3 Megno-анализ динамики астероидов, сближающихся с землей 42

3.1 Сравнительный анализ численных методов оценивания хаотичности орбит АСЗ 45

3.2 Оценка хаотичности орбит АСЗ с помощью параметра MEGNO 53

3.3 Анализ и сравнение полученных оценок времени предсказуемости движения АСЗ с результатами других авторов 56

4 Исследование динамики асз, движущихся в окрестности резонансов 1/2 И 1/3 С землей 59

4.1 Выявление АСЗ, движущихся в окрестности резонансов 1/2 и 1/3 с Землей, и исследование их номинальных орбит 59

4.2 Построение вероятностных областей движения АСЗ на несколько тысяч лет 67

4.3 Оценка эффективности использования кластера «СКИФ Cyberia» для исследования долговременной орбитальной эволюции АСЗ 74

4.4. Анализ результатов исследования 76

5 Исследование динамики астероидов, сближающихся с землей и юпитером 78

5.1 Выявление астероидов, сближающихся с Землей и Юпитером 78

5.2 Исследование номинальных орбит АСЗ 79

5.3 Анализ результатов исследования 86

6 Исследование динамики астероидов, проходящих через сферу хилла земли 88

6.1 Выявление астероидов, проходящих через сферу Хилла Земли 88

6.2 Оценка хаотичности орбит АСЗ, проходящих через сферу Хилла Земли, с помощью параметра MEGNO 89

6.3 Исследование вероятностной орбитальной эволюции астероидов 153201 2000 WO107 и 101955 1999 RQ36 92

6.4 Анализ результатов исследования 96

Заключение 97

Список использованных источников 100

• Алгоритм построения вероятностной области движения астероида
• Особенности реализации в среде параллельного программирования алгоритмов исследования динамики астероидов
• Оценка хаотичности орбит АСЗ с помощью параметра MEGNO
• Оценка эффективности использования кластера «СКИФ Cyberia» для исследования долговременной орбитальной эволюции АСЗ

Введение к работе

Актуальность проблемы

В настоящее время пристальное внимание специалистов привлекает исследование эволюции орбит астероидов, сближающихся с Землей (АСЗ). По данным NASA () на 1 сентября 2014 года известно 655843 астероидов, в том числе 11418 астероидов, сближающихся с Землей. Такой интерес к исследованию динамики АСЗ связан с весьма актуальной проблемой астероидной опасности. Отметим, что падение даже небольшого небесного тела в наше время может вызвать катастрофу регионального или даже глобального масштаба, что связано с появлением на Земле большого числа опасных технических объектов. Поэтому очень важно вовремя выявлять потенциально опасные для Земли астероиды и исследовать эволюцию их орбит.

Основные проблемы в исследовании динамики АСЗ связаны с особенностями моделирования их движения на больших интервалах времени. Движение таких объектов практически невозможно изучать аналитическими методами из-за больших эксцентриситетов и тесных сближений с планетами. Поэтому при исследовании долговременной орбитальной эволюции обычно применяются численные методы интегрирования уравнений движения АСЗ, что в свою очередь может вызывать трудности из-за быстрого роста ошибок округления при тесных или многократных сближениях астероидов с планетами.

Тесные или многократные сближения АСЗ с большими планетами играют большую роль в движении астероидов и оказывают влияние на прогнозирование их динамики, так как сближения могут значительным образом изменить параметры орбит АСЗ и увеличить риск тесных сближений или столкновений с другими планетами, в том числе с Землей. Кроме того, очень важно вовремя выявлять АСЗ, имеющие тесные сближения с Землей, так как эти объекты могут представлять реальную угрозу для Земли в ближайшем будущем.

Важную роль в движении АСЗ, играют орбитальные резонансы с большими планетами: устойчивые резонансы могут служить защитным механизмом от тесных сближений с планетами, а попадание АСЗ в окрестность резонанса с неустойчивой геометрической конфигурацией «астероид – планета» повышает риск тесных сближений или столкновений астероида с другими планетами, в том числе с Землей. Кроме того, значительные изменения параметров орбиты астероида создают трудности в дальнейшем численном исследовании его динамики.

Хаотичность в движении АСЗ связана с появлением высокой чувствительности решения к малым изменениям начальных данных. Если чувствительность такова, что первоначально близкие орбиты расходятся со временем экспоненциально, то мы имеем дело с детерминированным хаосом. В этом случае движение астероида становится непрогнозируемым.

Из всего выше сказанного можно сделать вывод, что задачи исследования как резонансной, так и хаотической динамики АСЗ, и определения времени прогнозируе-мости их движения являются весьма актуальными. Открытие новых АСЗ и появлением новых наблюдений уже известных астероидов только повышает актуальность проблемы.

Степень разработанности

В связи с актуальностью проблемы в настоящее время опубликовано много работ, связанных с исследованием динамики АСЗ (Milani et al., 2000а; Morbidelli et al., 2003; Michel et al., 2005; Giorgini et al.; Заботин, Медведев, 2009, Jenniskens et al, 2009; Aleshkina et al, 2011 и др.). Особенно много работ посвящено некоторым потенциально опасным астероидам, например, АСЗ 99942 Apophis (Chesley, 2006; Соколов и др., 2008; Виноградова и др., 2008; Giorgini et al., 2008; Prado et al., 2012; Кочетова и др., 2013 и др.). Исследованию динамики некоторых групп астероидов, входящих в класс АСЗ и имеющих тесные сближения с Землей, посвящены работы (Галушина, 2011а; Раздымахина, Галушина, 2012). Проблема астероидной опасности и обзор соответствующих работ подробно представлены в книге «Астероидно-кометная опасность: вчера, сегодня, завтра» под ред. Б.М. Шустова, Л.В. Рыхловой (2010). Данные о наблюдениях и постоянно обновляемых параметрах орбит АСЗ можно найти на сайте MPC (Minor Planet Center) ().

Исследованию долговременной вероятностной орбитальной эволюции АСЗ посвящено не так много работ. Представление о методах статистического моделирования областей возможных начальных значений орбитальных параметров и их отображения во времени в задачах динамики астероидов можно получить в работах (Sitarski, 1998; Черницов и др., 1998; Sitarski, 1999; Milani et al, 2000б; Sitarski, 2006; Черницов и др., 2007; Заботин, Медведев, 2008 и др.).

Работ, посвященных исследованию резонансов АСЗ с большими планетами в настоящее время также немного. В качестве примера можно привести работы (Wiegert et al, 1998; Bykova, Galushina, 2001; Morais, Morbidelli, 2002; Morais, Morbidelli, 2005; Christou, Asher, 2011). Среди статей, содержащих более или менее полный перечень резонансных АСЗ, можно выделить работы (Алтынбаев, 2004; Быкова, Галушина, 2006; Галушина, 2011).

Исследованию детерминированного хаоса в орбитальном движении небесных тел и астероидов, в частности, посвящено большое количество работ. Для изучения детерминированного хаоса в орбитальном движении астероидов широко используются различные количественные характеристики и быстрые индикаторы. Для астероидов главного пояса вычисление ляпуновского времени выполнялось многими авторами, такие же оценки для АСЗ можно найти лишь в нескольких работах (Tancredi et al, 2001; Whipple, 1995; Wlodarczyk, 2001). Побзор работ можно найти во введении к диссертации.

Проведенный аналитический обзор позволяет сделать вывод об актуальности задачи выявления и исследования особенностей динамики АСЗ, способных значительным образом повлиять на динамику астероидов в будущем. Кроме того, в связи с постоянным пополнением класса АСЗ новыми астероидами и решение проблемы астероидной опасности всегда будет требовать проведения новых исследований и обновления результатов уже выполненных.

Цель и задачи работы

Целью данной работы является исследование некоторых особенностей динамики астероидов, сближающихся с Землей, а именно, сближений АСЗ с большими планетами, в том числе с Землей и Юпитером, резонансных взаимодействий астероидов с планетами, проявлений хаотичности в движении астероидов.

Для достижения поставленной цели в диссертационной работе были решены следующие задачи:

1. Разработаны алгоритм и программа для определения параметра хаотичности MEGNO в задачах динамики АСЗ для кластера ТГУ «СКИФ Cyberia». Проведен сравнительный анализ различных численных алгоритмов оценки времени предсказуемости движения АСЗ.

2. Проведен MEGNO–анализ динамики АСЗ, известных на апрель 2013 г.

3. Исследована долговременная орбитальная эволюция АСЗ, движущихся в окрестности резонансов 1/2 и 1/3 с Землей. Получены оцени хаотичности орбит АСЗ с помощью параметра MEGNO. Построены и исследованы вероятностные области их движений.

4. Исследована орбитальная эволюция АСЗ, сближающихся с Юпитером и движущихся в окрестности резонансов низких порядков с ним. Получены оценки хаотичности орбит этих АСЗ с помощью параметра MEGNO.

5. Исследована динамика АСЗ, проходящих через сферу Хилла Земли, и получены оценки хаотичности орбит АСЗ с помощью параметра MEGNO.

Научная новизна работы

6. Разработаны алгоритм и программа определения параметра хаотичности MEGNO в задачах динамики АСЗ как для персонального компьютера, так и для кластера ТГУ «СКИФ Cyberia». Проведен MEGNO–анализ динамики 9280 АСЗ, известных на апрель 2013 года.

7. Выполнен сравнительный анализ различных численных алгоритмов оценки времени предсказуемости движения АСЗ. Рассмотрено три алгоритма определения времени предсказуемости движения АСЗ: два алгоритма вычисления ляпуновского времени (метод теневой траектории и метод вариации параметра) и MEGNO–анализ.

3. Исследована орбитальная эволюция АСЗ, движущихся в окрестности резо-нансов 1/2 и 1/3 с Землей. Построены и исследованы вероятностные области их движений. Получены оценки хаотичности орбит АСЗ с помощью параметра MEGNO.

4. Исследована орбитальная эволюция АСЗ, сближающихся с Юпитером и движущихся в окрестности резонансов низких порядков с ним. Получена оценка хаотичности орбит АСЗ с помощью параметра MEGNO.

5. Исследована динамика АСЗ, проходящих через сферу Хилла Земли. Получены оценки хаотичности орбит АСЗ с помощью параметра MEGNO.

Самостоятельно автором работы была разработана программа для определения параметра MEGNO и его усредненной величины в задачах динамики астероидов (Раз-дымахина, 2011). Проведен MEGNO–анализ динамики АСЗ, известных на апрель 2013 года (Летнер, 2013a; Летнер, 2013b).

Совместно с Быковой Л.Е. и Галушиной Т.Ю. выполнен сравнительный анализ различных алгоритмов оценки времени предсказуемости движения АСЗ, и выявлены преимущества исследования хаотической динамики астероидов с помощью параметра MEGNO (Быкова и др., 2011). Исследована динамика астероидов, сближающихся с Землей и Юпитером (Быкова и др., 2007a). Под руководством Быковой Л.Е. построены и исследованы в среде параллельных вычислений вероятностные области движений АСЗ, находящихся в окрестности резонансов 1/2 и 1/3 с Землей (Быкова, Раздымахина, 2011).

Совместно с Галушиной Т.Ю. исследована динамика АСЗ, проходящих через сферу Хилла Земли. Получены оценки хаотичности орбит АСЗ с помощью параметра MEGNO (Раздымахина, Галушина, 2012).

Теоретическая и практическая значимость работы

Представленный в работе алгоритм определения параметра MEGNO и построенное на его основе программное обеспечение могут быть использованы для проведения MEGNO–анализа динамики не только АСЗ, но и астероидов Главного пояса. Исследована орбитальная эволюция АСЗ с различными особенностями в движении. Полученные результаты могут быть использованы для решения актуальных задач астероидной опасности.

Методология и методы исследования

Основной методологией исследования являются законы динамики небесных тел. Исследование орбитальной эволюции АСЗ выполняется путем математического моделирования движения АСЗ по данным измерений, в основе которого лежит численное интегрирование дифференциальных уравнений движения АСЗ с помощью разработанного коллективом НИИ ПММ ТГУ программно-алгоритмического комплекса «ИДА», реализующего численную модель движения. Комплекс «ИДА» позволяет

прогнозировать движение астероида на заданный момент времени, строить вероятностную орбитальную эволюцию, проводить MEGNO-анализ динамики астероида, исследовать некоторые особенности его движения, такие как тесные сближения и орбитальные резонансы с планетами, Плутоном и Луной.

Численная методика исследования вероятностной орбитальной эволюции астероида включает следующие разделы:

анализ имеющихся наблюдений каждого из исследуемых АСЗ и получение начальных параметров орбиты астероида и их вероятностных ошибок методом наименьших квадратов;

построение доверительной области в виде эллипсоида в шестимерном пространстве начальных параметров орбиты астероида;

построение эволюции ансамбля траекторий некоторого множества тестовых частиц, выбираемых в рамках начальной вероятностной области.

Методика исследования резонансных движений АСЗ включает в себя анализ поведения таких резонансных характеристик, как критический (резонансный) аргумент (3 (Murray, Dermott, 1999; Nesvorny et al., 2002), определяющий долготу соединения астероида и планеты, и его производная по времени а, называемая резонансной «щелью» (Гребеников, Рябов, 1978).

Для исследования регулярности или хаотичности движения в окрестности границ резонансных областей нами используется параметр MEGNO (Mean Exponential Growth of Nearby Orbit) (Cinkotta et al, 2003).

Положения, выносимые на защиту

1. Программно-алгоритмическое обеспечение определения индикатора хаотичности MEGNO в задачах динамики астероидов удовлетворяет требованиям решаемой задачи.

2. Результаты сравнительного анализа различных алгоритмов оценивания хаотичности движения АСЗ (два алгоритма вычисления ляпуновского времени и MEGNO-анализ) показывают, что индикатор хаотичности MEGNO позволяет уверенно разделять регулярный и хаотический режимы движения астероидов на относительно небольших интервалах времени, в отличие от алгоритмов вычисления ляпуновского времени, которые дают тот же результат только на большом интервале времени, что трудно реализуемо для АСЗ.

3. Результаты MEGNO-анализа динамики всех АСЗ, известных на апрель 2013 года, проведенного на интервале времени около тысячи лет, показывают, что времена прогнозируемости движения этих астероидов очень коротки, что хорошо согласуется с результатами других авторов.

4. В окрестности орбитальных резонансов 1/2 и 1/3 с Землей обнаружено 16 АСЗ, движущихся в окрестности резонанса 1/2 с Землей, и 2 АСЗ, движущихся в окрестности резонанса 1/3 с Землей. Показано, что в окрестности границ резонансных

зон в движении астероидов проявляется хаотичность. Установлено, что только пять из выявленных астероидов захвачены в резонанс и движутся в устойчивой резонансной геометрической конфигурации «астероид – Земля», что защищает эти астероиды от тесных сближений с Землей.

5. Результаты исследования орбитальной эволюции АСЗ, сближающихся с Юпитером и движущихся в окрестности орбитальных резонансов низких порядков с ним на интервале времени около тысячи лет показывают, что большая часть этих АСЗ (83 из 92) находится в окрестности резонансов, соответствующих люкам Кирквуда. Выявленные 92 АСЗ либо имеют большие амплитуды либраций, либо не захвачены в резонанс, либо ушли из области резонанса, а неустойчивая геометрическая конфигурация «астероид – Юпитер» для этих АСЗ приводит к сближениям с планетой. Хаотичность в движении этих астероидов появляется в окрестности границ, разделяющих резонансное и нерезонансное движения, а также при сближении астероидов с Юпитером

6. Исследование динамики АСЗ, проходящие через сферу Хилла Земли на интервале времени около двухсот лет показывает, что для большинства астероидов (310 из 490 АСЗ) хаотичность начинает проявляться после прохождения через сферу Хил-ла Земли. Результаты построения вероятностных областей движений астерои-дов153201 2000 WO107 и 101955 1999RQ36 показывают, что тесные сближения этих АСЗ с Землей приводят к проявлению хаотичности в их движении и к значительному увеличению их вероятностных областей.

Степень достоверности и апробация результатов

Достоверность полученных результатов подтверждается данными наблюдений
АСЗ, пред-ставленных на сайте Центра Малых Планет MPC (Minor Planet Center)
(). Все результаты получены путем высокоточного ин-
тегрирова-ния уравнений движения астероидов с использованием суперкомпьютера
«СКИФ Cyberia» Том-ского государственного университета (ТГУ)

(). Используемое в процессе исследований программное обеспечение протестировано на объектах с заведомо из-вестными особенностями и характером движения. Кроме того, достоверность полученных ре-зультатов подтверждается сравнением некоторых из них с результатами других авторов (Tancredi et al, 2001; Whipple, 1995; Wlodarczyk, 2001).

По результатам исследований опубликовано 14 работ (Быкова и др., 2007a; Раз-дымахина, 2008; Быкова и др., 2010; Раздымахина, 2010; Быкова и др., 2011; Быкова, Раздымахина, 2011; Раздымахина, 2011; Галушина, Раздымахина, 2011а; Галуши-на, Раздымахина, 2011b; Раздымахина и др., 2011; Раздымахина, Галушина, 2012; Га-лушина, Раздымахина, 2013; Летнер, 2013а; Летнер, 2013b), 7 из них – в рецензируемых изданиях. Результаты исследований докладывались на 7 научных конференциях:

1. XXXVII Международная студенческая научная конференция «Физика Космоса», г. Екатеринбург, 28 января – 1 февраля, 2008 г.;

2. Всероссийская конференция с участием зарубежных ученых «Математическое и физическое моделирование опасных природных явлений и техногенных катастроф», г. Томск, 18–20 октября 2010 г.;

3. XXXIX Международная студенческая научная конференция «Физика Космоса», г. Екатеринбург, 1 – 5 февраля, 2010 г.;

4. Околоземная астрономия. г. Красноярск, 5 – 10 сентября 2011 г;

5. II Всероссийская Молодёжная научная конференция «Актуальные проблемы современной механики сплошных сред и небесной механики», г. Томск, 11–13 апреля 2012 г.;

6. XXXXII Международная студенческая научная конференция Екатеринбург,28 января – 1 февраля 2013 г.;

7. Всероссийская астрономическая конференция ВАК-2013, Санкт-Петербург, 23–27 сентября 2013 г.

Результаты, представленные в диссертации, включены в отчеты по проекту №
2.1.1/2629 «Развитие и применение основанных на параллельных вычислениях
математических моделей сложных космических систем естественного и

искусственного происхождения», выполняемого в рамках АВЦП «Развитие потенциала высшей школы»; в отчет по гос. контрактам № П1247 и № П882 в рамках реализации ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России»; в отчетах по грантам РФФИ 05-02-17043 и № 12-02-31255-мол_а.

Алгоритм построения вероятностной области движения астероида

Основной вклад в возмущающее ускорение P вносит притяжение больших планет, Плутона и Луны. Если считать, что на движение астероида оказывают влияние только большие планеты, Плутон, Луна и наиболее крупные астероиды (Церера, Паллада и Веста), возмущающее ускорение P примет вид соответственно вектор положе ния и масса возмущающего тела. Необходимой составной частью решения многих задач астрономии является вычисление координат Солнца, Луны и больших планет. Основой для этого может быть как численная, так и аналитическая теории. Примерами такой численной теории могут служить эфемериды DE406, DE405 и DE408, из которых для вычисления правых частей уравнений движения (1.1) определяются координаты больших планет, Плутона и Луны. Выбор каталога больших планет определяется согласованностью модели, точностью и интервалом времени проводимого исследования.

В случае если исследуемый объект имеет тесные сближения с Землей, в модель сил желательно включать влияние сжатия Земли, при этом, в большинстве случаев, достаточно ограничиться учетом возмущений от второй зональной гармоники. Тогда возмущающее ускорение и возмущающая функция, обусловленные второй зональной гармоникой потенциала притяжения

Земли, определятся как (Аксенов, 1977) ры R = J 2 f sinV0 (1.4) где Л - коэффициент при второй зональной гармонике, который равен J2 =1082.628-1 (Г6, Мф и г0 - масса и средний экваториальный радиус Земли, г и - геоцентрический радиус-вектор и широта астероида относительно экватора Земли, г = yjx 2+y 2+z 2 , sincp = /,. Важно отметить, что возмущения, обусловленные второй зональной гармоникой геопотенциала, примерно в 1000 раз больше возмущений от остальных зональных гармоник.

Кроме сжатия Земли в модель возмущающих сил может быть включено влияние светового давления, определение которого зависит от физических характеристик исследуемого астероида. Основная сложность в определении светового давления заключается в знании таких характеристик астероида как диаметр, масса и альбедо. Предположим, что мощность потока солнечной радиации постоянна, сила светового давления всегда направлена по линии астероид - Солнце, орбита Земли круговая, а астероид имеет сферическую форму. При данных условиях сила прямого светового давления Солнца на астероид может быть задана как где А - взаимное расстояние между астероидом и Солнцем; а - большая полуось орбиты Земли; а - альбедо астероида; q = 4.65-\05дин/см2 - солнечная постоянная; s - площадь эффективного поперечного сечения астероида, представляющая собой отношение площади поперечного сечения астероида к его массе (Бордовицына, Авдюшев, 2007).

Таким образом, если на движение астероида оказывают влияние притяжение больших планет, Плутона, Луны, трех крупных астероидов (Цереры, Паллады и Весты), сжатие Земли и световое давление, то возмущающее ускорение Р из формулы (1.2) будет иметь вид p = Ppi+Pob+ps. (1.6) Для численного интегрирования уравнений движения (1.1) нами используется метод Эверхарта с переменным шагом 19 - 27 порядков. Выбор порядка метода интегрирования зависит от условий задачи и используемой разрядной сетки. 1.1.2 Интегратор Эверхарта

Важное место в задачах небесной механики занимает выбор высокоточного метода численного интегрирования дифференциальных уравнений движения объектов. Высокую эффективность в задачах кометной динамики показал интегратор, разработанный Э. Эверхартом специально для численного исследования орбит (Everhart, 1973). Обнаружив принадлежность своего интегратора к семейству интеграторов типа Батчера, Эверхарт обобщил разработанный алгоритм для численного решения любых обыкновенных дифференциальных уравнений первого и второго порядков (Everhart, 1974). Так Э. Эверхарт расширил область применения своего интегратора, который до сих пор не потерял своей популярности в решении задач небесной механики.

В работе (Butcher, 1964) показано, что интегратор Эверхарта (RA15) наследует все замечательные свойства неявных методов Рунге–Кутты типа Батчера, так как он основан на видоизмененных формулах этих методов.

Кроме того, благодаря своей оригинальной схеме, с точки зрения численного интегрирования интегратор имеет следующие преимущества: 1. Алгоритм интегрирования универсален для любого порядка. 2. Интегратор имеет простой критерий для выбора шага интегрирования. 3. В интеграторе реализован довольно точный предиктор решения. Это позволяет сократить количество итераций на шаге в процессе численного интегрирования до двух.

Несмотря на это, код RA15 (Everhart, 1985) и его модификация типа RADAU_27 существенно ограничивают возможности интегратора. По этой причине для численного исследования динамики астероидов мы использовали новый код интегратора Эверхарта, разработанный Ав-дюшевым В.А. (2006) и названный им GAUSS_15.

В отличие от более ранних версий (RA15 и RADAU_27), код GAUSS_15 позволил устранить следующие трудности: 1. Трудночитаемый и громоздкий код. Использование возможностей Фортран 90 позволило сократить программный код почти в 2 раза. 2. Устранены все связанные с порядком метода константы (большое количество таких констант затрудняло обобщение кода на другие порядки). 3. Исправлен алгоритм выбора переменного шага. 4. Изменен выбор стартового шага. Ранее стартовый шаг интегрирования в режиме переменного шага выбирался независимо дифференциальных уравнений, т.е. этот выбор был не всегда оптимальным. Теперь стартовый шаг выбирается по оценке интегрирующей схемы второго порядка с учетом поведения правых частей уравнений. 5. В коде GAUSS15 на выбираемый шаг наложены ограничения в соответствии с порядком интегратора. Ранее ограничения на величину выбираемого переменного шага не зависели от порядка интегратора.

Кроме того, интегратор GAUSS_15 наделен новыми возможностями: 1. Интегрирование на шаге до полной сходимости итерационного процесса. 2. Запоминание величины предпоследнего шага после выполнения процедуры интегрирования, что весьма полезно при многократном использовании программного кода в режиме переменного шага. 3. Быстрый выбор стартового шага, требуемый лишь для первого обращения к интегратору (при повторном обращении используется запоминаемый шаг предыдущего обращения).

Общую теорию интегратора Эверхарта, а также сам программный код GAUSS15, который был использован для проведения исследований динамики АСЗ, представленных в данной диссертации, можно найти в работе (Авдюшев, 2006).

Точность построения динамической эволюции астероида существенным образом зависит от точности начальных орбитальных параметров объекта. Ошибки начальных параметров орбиты в свою очередь определяются ошибками имеющихся наблюдений объекта. Оценка влияния ошибок начальных данных на результаты прогнозирования движения астероида выполняется обычно путем задания некоторой области 0О возможных значений начальных параметров и отображения этой области во времени. Исследованиям этой задачи и разработке алгоритмов построения возможных областей движения небесных тел посвящены работы многих авторов (Muinonen, 1996; Sitarski, 1998; Черницов и др., 1998; Sitarski, 1999; Milani, 1999; Milani et al, 2000а, 2000б; Черни-цов, 2000; Sitarski, 2006; Черницов и др., 2007; Заботин, Медведев, 2008; Соколов и др., 2008; Авдюшев, 2009; Быкова, Галушина, 2009; Ивашкин, Стихно, 2009а, Ь; Сюсина и др., 2009; Armel-in et al, 2010 и др.).

Особенности реализации в среде параллельного программирования алгоритмов исследования динамики астероидов

Исследование эволюции больших совокупностей астероидов, а также построение вероятностных областей движения объектов являются весьма трудоемкими задачами, решение которых занимает значительное время. Максимальную эффективность в решении таких задач можно получить при распараллеливании процесса. Для достижения максимального эффекта каждая траектория должна вычисляться на отдельном ядре. В этом случае время исследования ансамбля траекторий будет равно времени исследования одной частицы. Если количество исследуемых объектов велико (больше 100 частиц), можно на каждом ядре совместно интегрировать уравнения движения нескольких частиц. Количество совместно исследуемых реальных или модельных астероидов зависит от общего количества объектов и загруженности суперкомпьютера, на котором проводятся исследования, и определяется экспериментально. Такой способ проведения исследований динамики астероидов можно реализовать на суперкомпьютере ТГУ «СКИФ Cyberia».

Вычислительный кластер «СКИФ Cyberia» представляет собой комплексный проект союзной суперкомпьютерной программы СКИФ (Суперкомпьютерная инициатива «Феникс»), реализованный российской компанией «Т-Платформы». По структуре доступа к оперативной памяти кластер ТГУ относится к кластерам с распределенной оперативной памятью и позволяет задействовать в процессе обработки данных значительные ресурсы как оперативной памяти узла (до 4 Гб), так и процессорной памяти. В кластере «СКИФ Cyberia» имеется 282 вычислительных узла, содержащих 564 двухъядерных процессора Intel Xeon серии 5150, а также 114 узлов, содержащих, в общей сложности, 268 шестиядерных процессоров Intel Xeon 5670 (приложение А). На кластере установлена операционная система Linux SUSE Enterprise Server 10.0. В качестве средств разработки приложений используются высокопроизводительные оптимизирующие компиляторы с языков С/С++/Fortran (Intel 9.1). Важной особенностью кластера является возможность варьировать разрядную сетку от 32 б до 128 бит, что оказывает влияние на точность численной модели и ее быстродействие. Важно отметить, что при использовании расширенной разрядной сетки (128 битной), поддерживаемой компилятором с языка Fortran, необходимо применять функции распараллеливания, так как время выполнения программного комплекса на 128 битной разрядной сетки значительно возрастает. Как уже было сказано в пункте 2.1 данной работы, подсистемы «Evolution», «Ансамбль частиц», и «MEGNO» программного комплекса «ИДА» разработаны, как для персонального компьютера, так и в среде параллельного программирования. Таким образом, используя кластер ТГУ «СКИФ Cyberia» для исследования больших совокупностей астероидов и построения вероятностных областей их движения, мы можем значительно сократить время расчетов и повысить точность проводимых исследований.

Опираясь на описанный в первом главе данной работы алгоритм вычисления параметра MEGNO и его усредненной величины, была разработана программа исследования эволюции параметров MEGNO для астероидов, как на персональном компьютере, так и с использованием кластера ТГУ «СКИФ Cyberia» (Раздымахина, 2011).

Как уже отмечалось, механизм распараллеливания является главным принципом работы программы на кластере ТГУ. В данном случае механизм распараллеливания по ядрам будет работать следующим образом. Предположим, что используется п ядер, на каждом из которых совместно интегрируются уравнения движения т астероидов. На первом шаге каждое ядро, начиная с первого, считывает координаты и скорости соответствующих т тестовых частиц из входного файла. Затем в первом ядре начинается интегрирование уравнений движения для первых т объектов, а на остальных ядрах последовательно интегрируются уравнения движения соответствующих т астероидов.

Для численного интегрирования уравнений движения астероидов использовался описанный в предыдущей главе метод Эверхарта, и в основу программного кода был заложен интегратор Эверхарта, разработанный Авдюшевым В.А. (Авдюшев, 2006). В процессе интегрирования уравнений движения астероидов возможен учет возмущений: от больших планет; Плутона; Луны; трех самых массивных астероидов (Цереры, Паллады и Весты); сжатия Земли и светового давления. Следует отметить, что учет светового давления возможен только в случае, если известны такие физические параметры исследуемого объекта, как диаметр, масса и альбедо, которые известны далеко не для всех астероидов. В случае учета возмущений от Цереры, Паллады и Весты необходим файл данных с координатами и компонентами скорости этих астероидов.

При запуске программы сначала численно интегрируются уравнения движения Цереры, Паллады и Весты и определяются их координаты и компоненты скоростей на момент времени, соответствующий начальным данным исследуемого объекта. Этот процесс выполняется только при учете возмущений от этих трех массивных астероидов. Затем происходит совместное численное интегрирование уравнений движения исследуемого объекта (1.13), уравнений в вариациях (1.14) и двух интегральных уравнений (1.19) для определения вспомогательных величину и w с выбранным шагом. Зная значения вспомогательных величин, вычисляются параметр MEGNO и его усредненная величина по формулам (1.20).

Программа, разработанная для проведения MEGNO-анализа динамики астероидов, тестировалась на нескольких объектах, имеющих разный характер движения. В процессе тестирования была рассмотрена орбитальная эволюция астероидов 588 Achilles и 617 Patroclus, движущихся в резонансе 1/1 с Юпитером (пример движения по устойчивой орбите), динамика астероидов 10 Hygia и 9262 Bordovitsyna, принадлежащих Главному поясу астероидов (пример квазипериодического движения) и движение астероида 2340 Hathor, проходящего через сферу Хилла Земли (пример неустойчивого движения).

Движение приведенных астероидов рассматривалось в рамках возмущенной задачи двух тел в прямоугольной гелиоцентрической системе координат, отнесенной к экватору. В модель сил были включены влияния всех больших планет, Плутона, Луны и трех крупных астероидов: Цереры, Паллады и Весты. В зависимости от исследуемого объекта в модель сил включались влияния сжатия Земли и светового давления. Координаты больших планет, Плутона и Луны на заданный момент времени определялись из фондов DE405, DE406, DE408, выбираемых в зависимости от интервала интегрирования (http://ssd.ipl.nasa.gov/horizons.htmn. Начальные значения кеплеровских элементов орбит перечисленных астероидов (а, е, / , Q, со, MQ) были взяты из каталога Е. Боуэлла на начальную эпоху t0 = 08.02.2011 и представлены в таблице 2.1.

Оценка хаотичности орбит АСЗ с помощью параметра MEGNO

Начальные параметры движения астероидов содержат в себе погрешности, обусловленные ошибками наблюдений. Для того чтобы оценить, орбиты каких из рассматриваемых астероидов действительно претерпят значительные изменения в ближайшем будущем, необходимо исследовать области их возможных движений. С целью построения вероятностной области движения для каждого исследуемого астероида было проведено улучшение орбиты методом наименьших квадратов (МНК) (Эльясберг, 1976), и в качестве опорной была выбрана орбита, полученная в результате улучшения. Затем были построены начальные вероятностные области о по алгоритму, описанному в пункте 1.2. Вероятностная область движений каждого астероида строилась как ансамбль траекторий некоторого множества тестовых частиц, выбираемых из области вероятных значений начальных параметров орбиты астероида. При этом множество тестовых частиц формировалось с помощью датчика случайных чисел относительно выбранного центра на основе нормального закона распределения и полной ковариационной матрицы ошибок.

При построении вероятностных областей движений исследуемых АСЗ использовалось 1000 тестовых частиц, покрывающих начальную вероятностную область объекта. Построение эволюции таких больших ансамблей траекторий требует применения больших вычислительных ресурсов. Эта задача решалась на основе разработанного комплекса программ «ИДА» с использованием многопроцессорной вычислительной системы «СКИФ Cyberia» (Быкова, Галушина, 2012).

Результаты построения и анализа вероятностных областей движения АСЗ приведены в таблице 4.3. Здесь для каждого объекта представлены данные о наблюдениях этих объектов и результаты МНК-оценок. Здесь N число наблюдений, использованных при улучшении; At интервал наблюдений в годах, а для объектов, наблюдавшихся менее одного месяца, в сутках (число суток указано в скобках); (х0) и (х0) среднеквадратические ошибки МНК-оценок векторов положения х0 и скорости х0 АСЗ; среднеквадратическая ошибка представления наблюдений в угловых секундах; to эпоха, которой соответствует наилучшая обусловленность задачи для имеющейся совокупности наблюдений (Быкова, Парфенов, 2000); (А) число обусловленности Тодда матрицы нормальных уравнений на эпоху to.

Вероятностные области движения АСЗ, находящихся в окрестности резонансов 1/2 и 1/3 с Землей, строились на интервале времени (-3000, 3000) гг., что обусловлено границами интервала, охваченного фондом координат больших планет DE406. Для некоторых объектов интервал прогнозирования сокращался, если не выдерживалась необходимая точность численного интегрирования их уравнений движения.

Результаты построения вероятностных областей движения АСЗ, представленных в таблице 4.3, показали, что все астероиды, движущиеся в окрестности резонансов 1/2 и 1/3 с Землей, можно разделить на три группы (таблица 4.4). К группе I отнесены астероиды, которые имеют колебания около положения точного резонанса с небольшой амплитудой, как для опорной орбиты, так и для всего ансамбля 1000 тестовых частиц. Причем эволюция орбит ансамбля незначительно отличается от эволюции опорной орбиты на всем интервале времени. Такое поведение приводит к устойчивой резонансной геометрической конфигурации «астероид – Земля» (Murray, Dermott, 1999), вследствие чего эти АСЗ не имеют тесных сближений с Землей.

К группе II отнесены АСЗ, орбиты которых хорошо определены, но некоторые частицы ансамбля выходят из резонанса. Эти астероиды движутся в окрестности резонанса 1/2 с Землей и имеют либо предельно большую амплитуду либраций, либо нерегулярные либрационные движения около значения точной соизмеримости средних движений астероида и Земли. В этом случае АСЗ движутся в неустойчивой геометрической конфигурации «астероид – Земля», что может приводить к тесным сближениям с Землей. Таблица 4.4 Классификация АСЗ, движущихся в окрестности резонансов 1/2 и 1/3 с Землей

Группу III составляют АСЗ, имеющие плохо определенные орбиты в связи с тем, что они наблюдались на короткой дуге и (или) имеют небольшое число наблюдений. Это значит, что вероятностные области движения этих астероидов очень велики для того, чтобы судить о том, являются ли эти астероиды действительно резонансными или нет. К этой группе отнесены 7 АСЗ, движущихся в окрестности резонанса 1/2 с Землей, и два астероида 2011 JZ10 и 2012 EU14, движущиеся в окрестности резонанса 1/3 с Землей.

На рисунках 4.6 - 4.9 приведены примеры орбитального поведения АСЗ и тестовых частиц из областей их вероятных движений для астероидов соответственно первой, второй и третьей групп. На графиках показана эволюция резонансной характеристики а (1.9) и кеплеровских элементов орбит астероидов: большой полуоси a, эксцентриситета e и наклонения i плоскости орбиты астероида к плоскости эклиптики. Здесь же показаны сближения астероидов и тестовых частиц с большими планетами. На всех рисунках данные для 1000 тестовых частиц показаны серым цветом, для номинальной орбиты АСЗ - черным цветом.

На рисунке 4.6 видно, что для астероидов 162038 1996 DH и 2004 DD, относящихся к I группе, эволюция резонансной щели а 1000 тестовых частиц (показаны серым цветом) практически совпадают с соответствующими данными опорной орбиты (черным цветом), и эти астероиды не имеют сближений с планетами земной группы. В Приложении Б приведены графики орбитального поведения АСЗ и тестовых частиц из областей их вероятных движений для астероидов 2008 BS2, 330659 2008 GG2 и 2012 GG1, движущихся в устойчивом резонансе 1/2 с Землей (I группа).

Оценка эффективности использования кластера «СКИФ Cyberia» для исследования долговременной орбитальной эволюции АСЗ

При исследовании движения астероидов нельзя ограничиться номинальной орбитой, поскольку начальные параметры движения астероидов содержат погрешности, обусловленные ошибками наблюдений. Для исследования вероятностной орбитальной эволюции требуется построение областей возможных движений астероидов.

В контексте проводимого исследования будем называть ту орбиту номинальной, которая получена в результате улучшения начальных параметров (взятых из каталога Боуэлла) методом наименьших квадратов по имеющимся наблюдениям.

В случае появления неустойчивости движения астероидов вероятностная область сильно увеличивается, что существенно затрудняет прогнозирование движения, особенно при наличии тесных сближений.

В качестве примера рассмотрим вероятностные области движения астероидов 153201 2000 WO107 и 101955 1999 RQ36, проходящих по два раза через сферу Хилла Земли на рассматриваемом интервале времени. В таблице 6.1 представлены результаты построения областей вероятных значений начальных параметров орбиты астероида. Здесь п число наблюдений, использованных при улучшении; At интервал наблюдений в годах; (Х0 ) и т(Х0) среднеквадратические ошибки МНК-оценок векторов положения Х0 и скорости Х0 АСЗ; -среднеквадратическая ошибка представления наблюдений в угловых секундах.

В данном численном эксперименте в рамках начальной вероятностной области было выбрано 100000 тестовых частиц. Уравнения движения исследуемых астероидов и их тестовых частиц интегрировались численно методом Эверхарта на интервале времени (2013; 2300) гг. с использование 100 ядер кластера «СКИФ Cyberia» (http://skif.tsu.ru/). В модель сил при улучшении орбит и исследовании вероятностной орбитальной эволюции включено влияние больших планет, Плутона, Луны, сжатия Земли, светового давления и релятивистских эффектов от Солнца. Результаты исследования представлены в таблице 6.2 и на рисунках 6.5–6.6.

В таблице 6.2 представлены данные о прохождении через сферу Хилла Земли номинальных орбит и тестовых частиц астероидов 153201 2000 WO107 и 101955 1999 RQ36. Из таблицы вид 93 но, что в момент прохождения через сферу Хилла Земли номинальных орбит обоих астероидов все тестовые частицы проходят через нее, причем минимальное расстояние до геоцентра для частиц ансамбля меньше, чем для номинальных орбит. Для астероида 153201 2000 WO107 в момент второго прохождения через сферу Хилла 100% частиц ансамбля проходят через сферу тяготения Земли (значение радиуса сферы тяготения Земли составляет примерно 254316 км). Для астероида 101955 1999 RQ36 было обнаружено еще несколько моментов времени, в которые наблюдается прохождение через сферу Хилла Земли небольшого числа тестовых частиц. При этом среди 100000 тестовых частиц было обнаружено 418 орбит, проходящих через сферу Хилла Земли в 2185 году, среди которых одна орбита приводит к столкновению с Землей. Но следует отметить, что в движении астероида 101955 1999 RQ36 начинает проявляться хаотичность уже в 2166 году, и в 2185 году будет трудно судить о вероятности столкновения астероида с Землей.

На рисунке 6.5 представлены результаты построения вероятностной орбитальной эволюции астероида 153201 2000 WO107. Здесь показаны сближения с Меркурием, Венерой, Землей и Марсом, а также эволюция элементов для номинальной орбиты (черным цветом) и тестовых частиц (серым цветом). Из рисунка 6.5 видно, что после прохождения через сферу Хилла вероятностная область движения объекта увеличивается, а усредненный параметр MEGNO начинает возрастать, в среднем, линейно, и можно считать, что у орбиты астероида проявляются признаки хаотичности, начиная с 2144 года. Из графиков сближений и эволюции параметра MEGNO видно, что в момент второго прохождения через сферу Хилла сближение с Землей было более тесное, и в связи с этим скорость роста Y (t) увеличилась. Рассмотрим более подробно процесс увеличения вероятностной области движения объекта. На последнем графике показана эволюция максимального расстояния от тестовых частиц до астероида на номинальной орбите. После второго прохождения через сферу Хилла в 2140 г. вероятностная область движения астероида 153201 2000 WO107 увеличивается на 4 порядка.

Астероид 153201 2000 WO107: (а) - сближения с Меркурием и Венерой ();(в) - сближения с Землей () и Марсом ( );(б) - эволюция большой полуоси а, (г) - эволюция эксцентриситета е, (е) - наклонения орбиты астероида к плоскости эклиптики; (д) - эволюция максимального расстояния от тестовых частиц до астероида на номинальной орбите в км и {ж) - эволюция усредненного параметра MEGNO 7(f). Данные для номинальной орбиты показаны черным цветом, для тестовых частиц - серым цветом На рисунке 6.6 представлена орбитальная эволюция астероида 101955 1999 RQ36.

Астероид 101955 1999 RQ36: (а) - сближения с Землей (); (б) -эволюция большой полуоси а, (г) - эксцентриситета е, (е) - наклонения орбиты астероида к плоскости эклиптики; (в) -эволюция максимального расстояния от тестовых частиц до астероида на номинальной орбите в км и (д) - эволюция усредненного параметра MEGNO Y(t). Данные для номинальной орбиты показаны черным цветом, для тестовых частиц - серым цветом

Из рисунка 6.6 видно, что после первого прохождения астероида через сферу Хилла Земли в 2060 г., усредненный параметр MEGNO меняет свое поведение и начинает постепенно расти. После второго прохождения через сферу Хилла скорость роста Y(t) возрастает, и уже в 2166 году параметр MEGNO пересекает граничное значение и продолжает возрастать линейно, что свидетельствует о проявлении хаотичности в движении астероида. При этом вероятностная область движения объекта значительно увеличивается. Из графика эволюции максимального расстояния от тестовых частиц до астероида на номинальной орбите видно, что это расстояние после второго прохождения через сферу Хилла Земли увеличилось почти на 6 порядков.