Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1 Особенности постановки и решения несамосопряжённых краевых задач электродинамики 15
1.1. Введение 16
1.2. Собственные функции прямой и сопряжённой задач, базис для решения задач дифракции 17
1.3. Использование импедансных граничных условий в задачах нахождения спектра собственных волн экранированного волновода, описываемого несамосопряженной краевой задачей 19
1.4. Особенности спектра собственных волн экранированного волновода, описываемого в отсутствие потерь самосопряженной краевой задачей, при наличии диссипации энергии. Квази-Е и квази-Н волны .
1.4.1. Расчёт круглого экранированного волновода методом комплексных параметров 23
1.4.2. Расчёт круглого экранированного волновода импедансным методом 39
1.4.3. Погрешность расчётов импедансным методом 45
1.4.4. Степень гибридности собственных волн круглого волновода с неидеально проводящими стенками 1.5. Особенности определения критической частоты волновода с потерями 50
1.6. Выводы 54
ГЛАВА 2 Анализ влияния неидеальности (шероховатости) поверхности стенок волновода на его характеристики 55
2.1. Введение 55
2.2. Модель регулярной шероховатой проводящей поверхности 57
2.3. Модель случайной шероховатой проводящей поверхности 68
2.3.1. Нормальный закон распределения высоты неровностей поверхности 71
2.3.2. Равномерный закон распределения высоты неровностей поверхности 80
2.4 Выводы 85
ГЛАВА 3 Экранированный волновод, описываемый несамосопряжённой краевой задачей 86
3.1. Введение 86
3.2. Постановка задачи для круглого двуслойного волновода без потерь 87
3.3. Характеристики круглого двуслойного волновода без потерь 93
3.4. Выводы 111
ГЛАВА 4 Трансформация комплексных волн при наличии потерь в стенках волновода и диэлектрической среде 112
4.1. Введение 112
4.2. Постановка задачи 112
4.3. Влияние потерь в стенках волновода на дисперсионные характеристики круглого двухслойного волновода 116
4.4. Влияние потерь в диэлектрическом заполнении волновода на дисперсионные характеристики круглого двухслойного волновода 122
4.5. Влияние потерь на характеристики круглого открытого диэлектрического волновода 124
4.6. Выводы 134
ГЛАВА 5 Расчёт направляющих электродинамических структур без потерь релятивистским методом 135
5.1. Введение 135
5.2. Основные релятивистские соотношения прикладной электродинамики 135
5.3. Трансформация поля собственных волн волновода без потерь в движущейся системе отсчёта 138
5.3.1. Круглый волновод 138
5.3.2. Прямоугольный волновод
5.4. Метод расчёта направляющих электродинамических структур, основанный на инвариантности уравнений Максвелла относительно преобразований Лоренца 158
5.5. Расчёт круглого полого волновода без потерь релятивистским 159
методом 159
5.6. Выводы 160
ГЛАВА 6 Расчёт направляющих электродинамических структур с потерями релятивистским методом 161
6.1. Введение 161
6.2. Обобщённые граничные условия Щукина-Леонтовича
6.2.1. Падение плоской электромагнитной волны на движущуюся проводящую поверхность 161
6.2.2. Зависимость импеданса проводящей поверхности от скорости движения 167
6.2.3. Обобщённые граничные условия Щукина-Леонтовича для движущейся проводящей поверхности
6.3. Круглый полый волновод 169
6.4. Прямоугольный полый волновод 176
6.5. Выводы 181
Заключение 182
Список литературы 184
- Особенности спектра собственных волн экранированного волновода, описываемого в отсутствие потерь самосопряженной краевой задачей, при наличии диссипации энергии. Квази-Е и квази-Н волны
- Модель случайной шероховатой проводящей поверхности
- Характеристики круглого двуслойного волновода без потерь
- Влияние потерь в диэлектрическом заполнении волновода на дисперсионные характеристики круглого двухслойного волновода
Введение к работе
Актуальность. Основной тенденцией развития всех отраслей науки и техники, связанных с генерированием, передачей или преобразованием электромагнитных колебаний, всегда было и остаётся неуклонное продвижение вверх по диапазону частот. Это связано с огромными преимуществами, которые дают высокие частоты в плане информационной ёмкости радиоканалов с одной стороны, и возможностями микроминиатюризации устройств - с другой.
Однако увеличение частоты используемых колебаний приводит к значительному повышению требований к точности изготовления узлов, качеству обработки поверхностей волноведущих структур и, как следствие, к необходимости их более точного электродинамического расчёта.
Широко используемые в настоящее время стандартные пакеты электродинамического моделирования существенно облегчают процесс разработки СВЧ и КВЧ устройств. Однако они позволяют скорее заменить распространённый ранее этап макетирования и экспериментальной доводки изделия до требуемых параметров, чем исследовать принципиальные физические процессы, происходящие в том или ином электродинамическом объекте.
В связи с этим представляется необходимым и актуальным дальнейшее развитие аналитических (численно-аналитических) методов анализа, в которых численный расчёт играет вспомогательную роль на этапе реализации аналитически составленных алгоритмов. Одной из основных задач электродинамического моделирования является доведение аналитического представления полей в макетируемых устройствах до предельно возможного.
В представляемой диссертационной работе предлагается новый метод расчёта направляющих электродинамических структур и развиваются известные методы, позволяющие путём строгого учёта потерь максимально приблизиться к адекватному моделированию функциональных узлов СВЧ, КВЧ и те-рагерцового диапазонов частот. Тематика и содержание работы соответствуют научным исследованиям кафедры «Физика и техника оптической связи» НГТУ и являются составной частью работ по Государственному заданию в сфере научной деятельности «Исследование спектров волн (в том числе комплексных и присоединённых) неоднородных (взаимных и невзаимных) направляющих структур, являющихся базовыми при построении устройств СВЧ, КВЧ и тера-герцового диапазонов».
Объектом исследования являются направляющие электродинамические системы канонических поперечных сечений с потерями.
Целью диссертации является:
исследование влияния потерь на характеристики электродинамических структур, выявление качественных изменений этих характеристик в диссипа-тивных структурах;
исследование влияния неидеальности экранирующей поверхности (шероховатости) на характеристики электродинамических структур;
разработка нового и развитие известных методов решения несамосопряжённых краевых задач, описывающих направляющие электродинамические структуры с потерями;
определение предельных возможностей использования направляющих электродинамических структур на высоких частотах, ограничиваемых допустимыми потерями.
Решаемые задачи:
исследование особенностей структур полей собственных волн экранированных волноводов, описываемых несамосопряжёнными краевыми задачами. Количественная оценка степени гибридности собственных волн;
определение критических частот собственных волн волноводов с потерями;
расчёт направляющих электродинамических структур с использованием инвариантности уравнений Максвелла относительно преобразований Лоренца;
- создание алгоритмов расчёта направляющих электродинамических
структур на основе преобразований Лоренца и концепции парциальных волн;
- задача о падении плоской электромагнитной волны на движущуюся
проводящую поверхность;
анализ влияния шероховатости поверхности стенок волновода на его характеристики;
исследование трансформации волн, включая комплексные, при увеличении потерь в стенках волновода и диэлектрическом заполнении.
Научная новизна. В результате выполнения работы:
выявлены особенности структур полей собственных волн экранированных волноводов, описываемых несамосопряжёнными краевыми задачами. Дана количественная оценка влияния диссипации энергии на степень гибридности собственных волн;
предложено определение критических частот собственных волн волноводов с потерями. Исследована зависимость критических частот от величины потерь для различных собственных волн. Выявлено принципиальное различие влияния потерь в диэлектрике и проводнике на критические частоты направляющих электродинамических структур;
показана возможность использования инвариантности уравнений Максвелла относительно преобразований Лоренца для расчёта реальных (с потерями) направляющих электродинамических структур;
- сформулирован метод расчёта направляющих электродинамических
структур, основанный на преобразованиях Лоренца и концепции парциальных
волн;
решена задача о падении плоской электромагнитной волны на движущуюся проводящую поверхность;
исследовано влияние шероховатости поверхности стенок волновода на его характеристики;
исследована трансформация волн, включая комплексные, при увеличении потерь в стенках волновода и диэлектрическом заполнении.
Методы исследования. В диссертационной работе использованы строго обоснованные методы и положения: метод частичных областей, общая теория несамосопряжённых линейных дифференциальных операторов, теория преобразований Лоренца для инерциальных систем отсчёта.
Достоверность и обоснованность полученных результатов обеспечивается использованием строгого электродинамического подхода, применением строго обоснованного метода частичных областей, известных релятивистских соотношений для расчёта электромагнитного поля. Для проверки результатов использовались предельные переходы к случаям, допускающим строгое аналитическое решение. Проводилось сравнение с результатами работ других авторов.
Практическая ценность работы:
Создан комплекс методов и алгоритмов, позволяющих рассчитывать характеристики реальных направляющих структур с учётом неидеальности используемых материалов, погрешностей изготовления, качества обработки поверхностей. Приведены номограммы, позволяющие задавать требуемое качество обработки внутренней поверхности волновода в зависимости от допустимого уровня погонных потерь. Получены соотношения, позволяющие определить верхние граничные частоты сверхразмерных волноводов, обусловленные ростом потерь.
Личный вклад. Основные результаты диссертационной работы, обладающие научной новизной и практической ценностью, получены автором самостоятельно и соответствуют пунктам 2 и 9 паспорта специальности 05.12.07.
Реализация результатов работы. Результаты диссертационной работы использованы в НИОКР, проводимых ФГУП «ФНПЦ НИИИС им. Ю.Е. Седак-ова» и ОАО «ФНПЦ «ННИПИ «Кварц» имени А.П. Горшкова», а также в НИР и учебном процессе на кафедре «Физика и техника оптической связи» Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования "Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева", что отражено в актах, представленных в приложении к диссертации.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на научно-технических конференциях различных уровней:
«Физика и технические приложения волновых процессов», Самара, 2004 г., Челябинск, 2010 г., Екатеринбург, 2012 г. Нижний Новгород, 2014 г.;
«Информационные системы и технологии» (ИСТ), Нижний Новгород, 2006 г., 2007 г., 2008 г., 2010 г. 2011 г., 2013 г., 2014 г., 2015 г., 2016 г.;
Международный конгресс «Проблемы и перспективы развития наукоемкого машиностроения», Международная научно-техническая конференция «Нигматуллинские чтения - 2013», Казань, 2013 г.;
Публикации. Основное содержание диссертационной работы отражено в 41 работе, 12 из которых опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК РФ для опубликования результатов диссертационных работ.
Основные положения, выносимые на защиту:
-
Метод расчёта затухания волн в экранированных направляющих электродинамических структурах, вызванного неидеальностью (шероховатостью) экранирующей поверхности.
-
Результаты исследования влияния шероховатости поверхности стенок волновода на его характеристики и определение его потенциальных возможностей, ограничиваемых допустимыми потерями.
-
Результаты исследования трансформации волн, включая комплексные, при увеличении потерь в стенках волновода и диэлектрическом заполнении.
-
Определение понятия «критическая частота» собственных волн направляющих структур с потерями.
-
Количественная оценка степени гибридности собственных волн направляющих структур с потерями.
6. Метод анализа направляющих электродинамических структур, осно
ванный на инвариантности уравнений Максвелла относительно преобразований
Лоренца.
7. Методика использования граничных условий Щукина-Леонтовича, ос
нованная на решении задачи о падении электромагнитной волны на движущу
юся проводящую плоскость.
Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, шести глав, заключения, списка использованной литературы, включающего 155 наименований. Работа без приложений изложена на 201 странице машинописного текста, включая 107 рисунков и 3 таблицы.
Особенности спектра собственных волн экранированного волновода, описываемого в отсутствие потерь самосопряженной краевой задачей, при наличии диссипации энергии. Квази-Е и квази-Н волны
В первом случае расчёт потерь проводится непосредственно на основе решения краевой задачи, общая формулировка которой сохраняется такой же, как и при отсутствии потерь. Потери учитываются путём введения комплексных параметров, описывающих электрические свойства материалов.
В результате решения дисперсионного уравнения получается комплексный коэффициент распространения волны Ошибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования., включающий постоянную распространения и коэффициент затухания . Все волновые числа в представлении полей полагаются комплексными величинами.
Данный метод является строгим и означает аналитическое продолжение функций действительного аргумента, описывающих поля в структурах без диссипации, на комплексную плоскость [108]. Широко используется при анализе открытых структур. В случае экранированных структур применение этого метода означает добавление одной (круглый волновод) или нескольких (прямоугольный волновод) областей с комплексными диэлектрическими проницаемостями.
Добавление дополнительных частичных областей в большинстве случаев приводит к значительному усложнению задачи, в связи с чем этот метод не получил распространения при расчёте экранированных волноводов. Однако, в частном случае круглого волновода он позволяет получить строгое решение, которое можно использовать для оценки погрешностей приближённых методов.
При исследовании направляемых волн найти точное решение электродинамической задачи при наличии диссипации энергии часто не удается. Однако, если поглощение невелико и вызванное им изменение структуры поля пренебрежимо мало, затухание можно определить, используя решение задачи, полученное для идеальной структуры. Для этой цели используется энергетический метод, чаще называемый в литературе методом возмущений, как более простой и наглядный. В этом случае коэффициент распространения определяется по полям структуры без потерь из выражения, следующего из закона сохранения энергии J = (2(DW-IP)/2L, (1.2) где W- запасённая энергия (колеблющаяся); Р- мощность потерь (колеблющаяся); Е- колеблющийся поток мощности. Полученные этим методом соотношения показывают, что при стремлении частоты к критической затухание волн неограниченно возрастает. Подобный вывод ошибочен и свидетельствует о неприменимости энергетического метода расчета вблизи критической частоты.
Метод, использующий теорию возмущений, также используется в случаях, когда потери невелики. Это позволяет искать коэффициент затухания для каждого вида потерь независимо и использовать при его вычислении разложение по соответствующему малому параметру, принимая за исходное приближение решение, получаемое при отсутствии потерь. Малым параметром выступает либо импеданс проводящей поверхности, либо мнимая часть диэлектрической проницаемости вещества, заполняющего электродинамическую структуру.
Однако даже в простейшем случае распространяющейся волны, определяемой и при учёте конечной проводимости стенок лишь одной потенциальной функцией, прямой расчёт коэффициента затухания по методу теории возмущений достаточно громоздкая операция, ещё более усложняющаяся при учёте гибридности поля, которая при наличии потерь всегда имеет место.
Для учёта потерь в стенках экранированных структур наиболее адекватным является импедансный метод, позволяющий исключить из рассмотрения поля внутри объёма проводников. В качестве граничных условий на поверхности проводника используются импедансные граничные условия Щукина-Леонтовича:
Граничные условия Щукина-Леонтовича выполняются строго лишь при нормальном падении электромагнитной волны на поверхность проводника. Погрешность при конечных углах падения зависит от угла, удельной проводимости проводника и частоты.
Последние годы характеризуются бурным развитием систем проектирования, ориентированных на СВЧ диапазон. В современных САПР используются разные математические методы. Среди них можно отметить прямые методы решения граничных задач, такие как метод конечных элементов и метод конечных разностей. Отличительной и наиболее привлекательной их чертой является универсальность, то есть возможность анализировать практически любую структуру. Платой за универсальность являются большие затраты компьютерных ресурсов.
Современные САПР СВЧ являются сложнейшими системами, функционирование которых существенным образом зависит от множества настроек и параметров, устанавливаемых пользователем. При этом данные настройки зависят от стратегии решения задачи и от требований к качеству решения, которые также определяет пользователь. По этой причине пользователь должен заранее иметь качественное представление о возможных решениях задачи. Отсутствие таких знаний почти гарантированно приводит к неверному или в лучшем случае неоптимальному решению. Таким образом, использование систем автоматизированного проектирования предполагает наличие некоторого объёма априорных знаний, которые может дать лишь аналитическое решение (пусть даже приближённое). Чаще всего несамосопряжённая краевая электродинамическая задача ставится в случаях, когда требуется найти величину затухания амплитуды волны в волноводе или колебаний в резонаторе, вызванного диссипацией энергии в структуре [89, 90].
Потери энергии могут быть обусловлены поглощением как в веществе, заполняющем структуру, так и в её стенках из-за конечного значения их проводимости. Любое поглощение приводит к тому, что волновые числа становятся комплексными. Однако и в направляющих структурах без потерь могут распространяться [119] волны с комплексными волновыми числами, получившие название «комплексные волны». Учитывая, что большая часть неоднородных по поперечному сечению структур описывается несамосопряженными операторами даже при отсутствии диссипации энергии, можно заключить, что анализ таких структур требует обязательного поиска решений, соответствующих комплексным волнам. Учёт комплексных волн необходим при решении дифракционных задач, возникающих при разработке устройств СВЧ и КВЧ диапазонов, т.к. без них проекционный базис не является полным.
Модель случайной шероховатой проводящей поверхности
Наряду с конечной проводимостью стенок направляющей структуры важным фактором, влияющем на её характеристики, особенно в КВЧ диапазоне, является качество обработки экранирующих поверхностей [87, 128, 133, 65, 136]. а) Рассмотрим три случая шероховатых поверхностей, когда размеры шероховатостей малы (рис.2.1а), сравнимы (рис.2.1б) и велики (рис.2.1в) по сравнению с глубиной проникновения электромагнитного поля распространяющегося в структуре колебания.
Из общих физических соображений понятно, что шероховатостью поверхности можно пренебречь, если размеры неровностей много меньше глубины проникновения электромагнитного поля в стенки экрана. Это требование обычно выполняется и шероховатостью поверхности практически всегда пренебрегают на частотах ниже и порядка сотен мегагерц. Однако по мере повышения частоты требования к качеству обработки экранирующих поверхностей возрастают и становятся соизмеримыми с технологическими возможностями. В связи с этим в КВЧ диапазоне учёт шероховатости поверхностей направляющих структур представляется необходимым и весьма актуальным.
Рассмотрим, сначала случай, когда размеры шероховатостей много больше толщины скин-слоя, но много меньше длины волны распространяющегося в волноводе электромагнитного колебания. В этом случае (рис.2.1.в) электромагнитное поле взаимодействует с поверхностью сложной геометрической формы, но однородной по электрическим параметрам.
В качестве модели шероховатой поверхности рассмотрим бесконечную в двух направлениях (y и z) ребристую поверхность, показанную на рис.2.2.
Модель шероховатой поверхности. 8 - глубина шероховатости; d, А - поперечные размеры шероховатости; D = d + A - период шероховатости. Будем считать, что поле в рассматриваемой системе не зависит от координаты у, т.е. — = 0. ду Внутри ячеек электромагнитное поле удовлетворяет уравнениям Максвелла: гоШ = /шєє0Е (2.1) п Е = -ш)цц0Н (2.2) Полагая в первом приближении, что структура поля внутри ячеек такая же, как в случае идеально проводящих стенок, считаем (с учетом условия «А,), что Ех=0 и Еу = 0, Е2ФО. Тогда из уравнения (2.2): -/шцц0Н х0 у0 z0 — О — дх dz О О Ez (2.3) следует, что внутри ячеек присутствует единственная компонента магнитного поля Ну. Таким образом, поле в ячейках является чисто поперечным, образованным двумя встречными плоскими волнами, распространяющимися вдоль оси Ошибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования.. На дне ячеек на суммарное поле накладываем граничное условие Щукина - Леонтовича: ET=FT0[H,n l = (1 + /), (2.4) где W0 - поверхностный импеданс металла, Rnoe - поверхностное сопротивление металла. В данном случае п = -х0, в результате граничное условие принимает вид: Ez(-8)=W0Hy(-8) (2.5) В случае однородной нейтральной среды (div Е = 0) из (2.1), (2.2) получаем: ДЕ + 2Е = 0, (2.6) где к2 = Ю2880 0 . Поскольку плоская волна, распространяющаяся в ячейках, имеет одну компоненту электрического поля Ez, уравнение (2.6) переписываем в виде: AEZ + k2Ez = 0 (2.7) Общее решение этого уравнения (для плоской волны, распространяющейся вдоль оси х) имеет вид: Ez=Ae lkx+Belkx (2.8) Тогда магнитное поле определяется как Я = —1ЁЁ,. = - ( «- - Be -) (2.9) COJLL0JLL дх COJLL0JLL Одну из постоянных (например, В) исключаем, используя граничное условие (2.5): B = Ac2 W 0+W с = A w Ц0Ц (2.10) с s0s w0-w Г с \ 0 с \ где Г0 и Г - коэффициенты отражения электромагнитной волны от дна и выходного сечения ячейки: Г = Г е-1 2 6 = W 0 W сe- 2k& (2 11) 0 w0+w 0 с На выходе из ячейки (х = 0) компоненты поля (2.8) и (2.9) будут иметь значения: Ez(x = 0)=A + B = A—, (2.12) Г # (л = 0)=-1(л-Я)=——. (2.13) жс жс Г Таким образом, импеданс на выходе ячейки равен: W(x = 0)=E&-0\ = Wс— (2.14) v Hy(x = 0) 1-Г Подставляя в (2.14) выражение для Г, получим: W = Wсcth\ ікд--lnгА. (2.15) { 2 0J В случае идеально проводящей поверхности Г0=-1. Учитывая, что 1п(-1) = (2к + 1)га , получаем W = iWс tg5, т.е. известное выражение. Учитывая, что для реальной проводящей поверхности ReГ0 0, можно привести выражение (2.15) к более удобному виду: W = Wс th\ik8--ln(0)). (2.16) Преобразовав это выражение с учетом того, что Е = пов «1, получим: Wс W 2 сfe + /tg( 5 + $)). (2.17) Выражение (2.17) показывает, что учет конечности проводимости металла приводит к появлению действительной части импеданса и изменению его реактивной части. Формула (2.17) дает импеданс на выходе ячейки. На гребне ячейки импеданс совпадает с поверхностным импедансом металла: W(0 z d) = w W(d z d + A)=W0 (2.18) Таким образом, поверхность х = 0 представляет собой чередующиеся области с разными импедансами W и W0. Так как размеры шероховатостей малы по сравнению с длиной волны, считаем структуру поля в резонаторе, ограниченном такими экранирующими поверхностями, такой же как в резонаторе с гладкими проводящими стенками. Наличие шероховатостей скажется, в - основном, на величине потерь в стенках волновода. Поэтому рассматриваемую поверхность целесообразно описать эффективным импедансом Жэфф, потребовав равенства потоков мощности через поверхность с импедансом №эффи поверхность, состоящую из чередующихся областей с импеданса-ми W и WQ.
Характеристики круглого двуслойного волновода без потерь
Зачастую при рассмотрении направляющих электродинамических структур рассматривают лишь распространяющиеся и реактивно-затухающие волны. Распространяющимся волнам в структурах без диссипации энергии соответствуют действительные собственные значения краевых задач. При введении потерь собственные значения становятся комплексными. Однако и в направляющих структурах без потерь могут распространяться волны с комплексными волновыми числами, получившие название «комплексные волны» [66 – 79, 114, 117, 119]. Их существование связано с тем, что большая часть неоднородных по поперечному сечению структур описывается несамосопряженными операторами даже при отсутствии диссипации энергии. Учёт комплексных волн необходим при решении дифракционных задач, возникающих при разработке устройств СВЧ и КВЧ диапазонов, т.к. без них проекционный базис не является полным [40, 43, 45, 47 – 49, 63, 82 – 84, 85, 116].
В настоящей главе рассматривается круглый двухслойный волновод как пример направляющей электродинамической структуры, описываемой несамосопряжённой краевой задачей даже в отсутствие потерь [62, 96, 109, 113, 114, 118, 121 - 125].
Для постановки краевой задачи воспользуемся цилиндрической системой координат с граничными условиями Дирихле на цилиндрической поверхности экрана, а для её решения - методом частичных областей. Решая уравнения Гельмгольца относительно продольных компонент электрического и магнитного полей для первой и второй частичных областей и выражая через них поперечные компоненты, получим:
Здесь A,B,C,D,F,G - произвольные постоянные. Периодические функции Ф(жр), Щпц) связаны друг с другом соотношениями Ф(жр) =ХР («Ф), («Ф) = -Ф («Ф) (3.2) для Е-волн (точнее для волн, переходящих в Е-волны при равенстве диэлектрических проницаемостей первой и второй областей) и Ф(жр) =- Ч"(жр), Щпу) = Ф (жр) (3.3) для Н-волн (точнее для волн, переходящих в Н-волны при равенстве диэлектрических проницаемостей первой и второй областей). Поперечные %19%2 и продольное у волновые числа связаны соотношениями 2 2 Ю2 2 2 Ю2 Y +Х1 = —2 S1JLL1 , у +Х2= є2Іи2- 0-4) Приравнивая тангенциальные компоненты полей первой и второй областей на границе раздела (г = Ъ) и полагая равными нулю тангенциальные составляющие векторов напряжённости электрического поля на стенках волновода (г = а), получаем систему уравнений относительно произвольных постоянных.
Приравнивая нулю определитель системы (условие нетривиальности решения), получаем уравнение Ошибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования., которое в сочетании с соотношениями (3.4) определяет дисперсионную характеристику. Определитель системы имеет вид: Ошибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования. (3.6) Следует отметить, что дисперсионные уравнения для волн обоих типов совпадают, т.к. соответствующие им определители отличаются лишь знаками.
Решение дисперсионного уравнения для азимутальных индексов Ошибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования. и Ошибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования. в случае отсутствия потерь приведено на рис.3.2. Как видно из рисунка 3.2б для азимутально несимметричных волн рассматриваемая задача даже в отсутствие потерь в диэлектрике и стенках экрана имеет комплексные решения, что свидетельствует о её несамосопряжённости [119]. Спектр собственных волн электродинамической направляющей структуры, описываемой несамосопряженной краевой задачей, содержит, кроме распространяющихся и реактивно затухающих волн, комплексные волны (К1, К2 и К3 на рис.3.2б). В спектре азимутально симмет а) азимутальное число n = 0 ричных волн (рис.3.2а) комплексные волны отсутствуют. б) азимутальное число n = 1 Рис. 3.2. Дисперсионные характеристики круглого двухслойного волновода 3.3. Характеристики круглого двуслойного волновода без потерь В случае равенства диэлектрических проницаемостей первой и второй областей рассматриваемая структура представляет собой круглый экранированный волновод с диэлектрическим заполнением. При Ошибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования. получаем круглый полый экранированный волновод, подробно рассмотренный в главе 1. Его характеристики показаны на рис. 3.3. На последующих рисунках показана трансформация спектра собственных волн при последовательном увеличении диэлектрической проницаемости первой области. Как видно из приведённых графиков, по мере увеличения диэлек-94 трической проницаемости первой области происходит сдвиг дисперсионных кривых в сторону более низких частот. Величина этого сдвига для разных типов волн разная. В результате дисперсионные кривые, соответствующие некоторым типам волн как бы меняются местами на оси частот – происходит инверсия критических частот.
Рис.3.3. Дисперсионные характеристики круглого полого волновода Кроме того, по мере увеличения диэлектрической проницаемости первой области в рассматриваемом диапазоне частот наряду с быстрыми волнами, характерными для полых направляющих структур, сначала появляются медленные волны (рис.3.4), характерные для открытых диэлектрических волноводов
Влияние потерь в диэлектрическом заполнении волновода на дисперсионные характеристики круглого двухслойного волновода
В соответствии с преобразованиями Лоренца для декартовых систем координат, движущихся друг относительно друга со скоростью V вдоль оси Z, справедливы соотношения [91, 93]:
В соответствии с этими преобразованиями комплексные амплитуды ком понент поля Е волн принимают вид: 154 v- / E mn = E sin—— sin e a b r Xx[y-(V 2)tol mnx rmy _liz, Er =-/En L , v cos sin—e л Wl-(v/c)2 a b E ;« = -JEQ V sin—cos z Xi-(v/e ] шш- nny , sin cos— Х2 Ш a b (5.24) X2Vl-(v/c)2 a b u,mn .„ SOXX((D-VY) гтЫ /игу _yYz Я =-}En і cos sin—є л , Из инвариантности фазы колебательного процесса по отношению к переходу из одной инерциальной СО в другую: Ошибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования., следуют выражения для продольного волнового числа и частоты в движущейся системе отсчета:
На рис.5.8 показано направление вектора Умова-Пойнтинга в поперечном сечении волновода при движении системы отсчёта со скоростью, равной групповой скорости волны. Справа показана шкала интенсивности. Белый цвет соответствует максимуму мощности электромагнитной волны, чёрный цвет - нулевой мощности.
В отличие от Е волн при Ошибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования.вектор Умова-Пойнтинга Ошибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования. волны Н оказывается тангенциальным к стенке волновода при Ошибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования. или Ошибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования.(рис.5.9).
Таким образом, когда система отсчета движется со скоростью, равной групповой скорости распространения электромагнитной волны в исходной системе отсчета v = vгр = с2у/оо продольное волновое число становится равным 0.
Распространение энергии вдоль волноведущей структуры прекращается, распределение поля не зависит от продольной координаты, а в поперечном сечении соответствует полю стоячей волны. При этом структура поля в движущей 158 ся системе отсчёта полностью совпадает со структурой поля в исходной системе отсчёта на критической частоте.
Метод расчёта направляющих электродинамических структур, основанный на инвариантности уравнений Максвелла относительно преобразований Лоренца Таким образом, независимо от типа рассматриваемой волны и ее частоты при переходе в систему отсчета, движущуюся со скоростью, равной групповой скорости распространения волны, структура поля совпадает со структурой поля волны рассматриваемого типа в исходной системе отсчета на критической частоте. Это позволяет предложить две методики расчета характеристик волновода, равноценные в случае идеально проводящих стенок.
Первая методика: - Сначала рассчитываются характеристики волновода на критической частоте. Для этого продольное волновое число полагается равным нулю. При этом граничные условия (даже при наличии потерь в стенках) могут быть опре делены точно и задача решена строго. - Затем производится переход в движущуюся систему отсчёта. В новой СО поперечное волновое число не меняется, а продольное волновое число и частота зависят от скорости. - Исключением скорости движения системы отсчёта как параметра, находится зависимость продольного волнового числа от частоты. Вторая методика: - В системе отсчёта, движущейся с некоторой скоростью (равной групповой скорости анализируемой волны) находится поперечное волновое число при условии равенства нулю продольного. - При переходе в неподвижную систему отсчёта как и в первом случае поперечное волновое число не меняется, а продольное волновое число и частота зависят от скорости. 159 - Исключением скорости движения системы отсчёта как параметра, находится зависимость продольного волнового числа от частоты.
Задача о расчёте круглого полого волновода имеет аналитическое решение и может служить тестовой задачей для проверки предлагаемого метода. В соответствии с первой методикой на критической частоте продольное волновое число равно нулю и выполняются соотношения у = 0, - = х. (5.30) с В соответствие с преобразованиями Лоренца для компонент волнового вектора частота и продольное волновое число в движущейся системе отсчёта могут быть представлены в виде -РУ у-Р О й с х , с -Рх (531) Исключение из этих выражений (3, т.е. скорости движения СО, позволяет получить зависимость продольного волнового числа от частоты
Знак минус означает, что в этой системе отсчёта волна распространяется против оси «Z». В случае использования второй методики производится переход в систему отсчёта, движущуюся относительно исходной с некоторой скоростью. В этой системе отсчёта задача решается стандартным образом и находится частота, при которой продольное волновое число равно нулю, т.е. выполняются соотношения