Содержание к диссертации
Введение
1 Корректно поставленные задачи 17
1.1 Вектор-функции и оператор-функции 17
1.2 Сильно непрерывные полугруппы
1.3 Корректная разрешимость задачи Коши для уравнения 1-го порядка 33
1.4 Дробные степени операторов 36
1.5 Корректная разрешимость граничных задач для уравнения 2-го порядка 38
1.6 Об одном методе решения одномерных параболических уравнений (задачи Дирихле) 46
2 О корректной разрешимости задач фильтрации 50
2.1 Необходимые факты из общей теории при исследовании модели В.С.Голубева 50
2.2 Постановка задач в рамках общей теории (случай х Є R+) 53
2.3 Построение полугруппы U(t,-A) (случай х Є (0,оо)) 54
2.4 Построение оператора у/А 58
2.5 Вычисление характеристик потока на границе 60
3 Об автоматическом регулировании течения вязкой сжи маемой жидкостивпористой среде 64
3.1 Выбор математической модели 64
3.2 Анализ возможности использования неявной разностной схемы 66
3.3 Численное решение граничной задачи 67
3.4 Результаты расчетов и рекомендации 69
Список литературы
- Сильно непрерывные полугруппы
- Корректная разрешимость задачи Коши для уравнения 1-го порядка
- Постановка задач в рамках общей теории (случай х Є R+)
- Анализ возможности использования неявной разностной схемы
Введение к работе
Актуальность научного исследования. Врожденные пороки развития, наряду с гестационной незрелостью и внутриутробными инфекциями, занимают одно из лидирующих мест в структуре младенческой смертности (Жилюк М.А. с соавт. 2011; Стародубов В.И., Суханова Л.П., 2012; Kurinczuk J.J., et al., 2011; Yu Z. et al., 2011; Corsello G., Giuffr M. 2012; Knowles R.L. et al., 2012;). Частота встречаемости врожденной гидроцефалии (ГЦ) по сведениям Российского регистра составляет 0,1–40,88, согласно данным EUROCAT – 0,01–0,78, по мнению Zahl S.M., Wester K. (2008), – 0,15 – 3 на 1000 родившихся живыми детей. Только 35% случаев врожденной ГЦ диагностируется в пренатальном периоде (Breuning-Broers J.M., 2014). Сведения из научных публикаций свидетельствуют о многофакторности этиологии врожденной ГЦ: хромосомные мутации, персистенция вирусной инфекции во внутриутробном периоде, интранатальные внутрижелудочковые кровоизлияния (ВЖК) (Ивахнишина Н.М., 2009; Островская О.В. с соавт., 2010; Munch T.N. et al., 2012). Формирование постгеморрагической ГЦ у новорожденных с экстремально низкой массой тела (ЭНМТ) происходит из-за особенностей герминативного матрикса (ГМ) и сосудов перивентрикулярной зоны (Афанасьев Ю.И., 2012; Vela-Huerta M.M., 2009; Leschik J., 2013).
Сегодня отсутствуют данные, отражающие динамику морфологических изменений герминативного матрикса и неокортекса при формировании гидроцефалии в условиях прогрессирования вентрикуломегалии (ВМ).
Цель исследования: выявить структурные изменения в герминативном
матриксе и неокортексе у новорожденных с экстремально низкой массой тела
при гидроцефалии и разработать алгоритм исследования головного мозга,
гестационные параметры зрелости неокортекса и герминативного матрикса и
дифференциально-диагностические критерии гидроцефалии и
вентрикуломегалии.
Задачи исследования: 1. Изучить структурные особенности герминативного матрикса и неокортекса в области средней трети верхней лобной, передней трети прецентральной извилины и проксимальном отделе нижней теменной дольки у новорожденных с экстремально низкой массой тела без дилатации вентрикулярной системы
головного мозга на органном, тканевом, клеточном, субклеточном уровнях структурной организации.
-
Разработать гестационные критерии зрелости герминативного матрикса и неокортекса головного мозга у новорожденных с экстремально низкой массой тела без вентрикуломегалии и гидроцефалии.
-
На основании результатов комплексного морфологического исследования выявить структурные изменения в герминативном матриксе и неокортексе в проекциях передних, задних рогов и центральных отделов боковых желудочков при формировании ненаследственной гидроцефалии у новорожденных с экстремально низкой массой тела.
4. С морфологических позиций обосновать стадии формирования
ненаследственной гидроцефалии у новорожденных с экстремально низкой
массой тела.
5. Разработать алгоритм исследования головного мозга при патологии
вентрикулярной системы и дифференциально-диагностические критерии
гидроцефалии и вентрикуломегалии.
Научная новизна исследования:
-
Впервые у новорожденных с ЭНМТ с прогрессирующей ВМ изучена определенная последовательность дилатации боковых желудочков (БЖ) (задние рога – центральная часть – передние рога).
-
Впервые у новорожденных с ЭНМТ показан переход ВМ боковых отделов желудочков в ГЦ.
-
Установлена динамика морфологических и функциональных изменений в ГМ и неокортексе на различных стадиях формирования ГЦ.
-
Уточнена этиология ГЦ в исходе прогрессирования ВМ у новорожденных с ЭНМТ.
Практическая значимость работы. Установлены гестационные морфологические критерии зрелости ГМ и неокортекса у новорожденных 22–27 недель гестации, разработаны морфологические дифференциально-диагностические критерии ВМ и ГЦ и алгоритм исследования больших полушарий головного мозга при ВМ, трансформирующейся в ГЦ у новорожденных с ЭНМТ.
Для диагностики ГЦ у новорожденных с ЭНМТ врачу-патологоанатому следует использовать:
– алгоритм исследования головного мозга, включающий визуализацию, соответствие гирификации сроку гестации, органометрию, инъекцию вентрикулярной системы раствором окрашенного желатина, иссечение материала из зон проекции отделов БЖ, гистологическое исследование, гистометрию неокортекса и ГМ, кариометрию глиобластов, расчет индекса экспрессии S-100 в перивентрикулярной зоне и BDNF в наружном пирамидном слое неокортекса;
– гистометрические параметры ГМ и неокортекса: при соотношении ширины ГМ к ширине неокортекса равном 2:1 диагностируют ГЦ (пат. на изобретение № 2422805 от 27.06.2011 г.);
– иммуногистохимическую идентификацию S-100: при экспрессии S-100 в 50% глиобластов перивентрикулярной зоны и более диагностируют ГЦ (пат. на изобретение № 2432574 от 27.10.2011 г.);
– морфологические диагностические критерии ГЦ различной этиологии (УМТ «Морфологическая диагностика врожденной внутренней гидроцефалии», ФС № 2009/404 от 17 декабря 2009 г.).
Положения, выносимые на защиту:
-
Факторами, способствующими прогрессированию ВМ у новорожденных с ЭНМТ являются вирусы (ВПГ II типа, ЦМВ, Эпштейна-Барра), персистирующие в структурах головного мозга при гематогенном трансплацентарном инфицировании, а также нарушения церебрального кровообращения с формированием ВЖК различной степени.
-
Вентрикуломегалия, проявляющаяся только дилатацией задних рогов БЖ, при устранении этиологических факторов на данном этапе формирования ГЦ является обратимым состоянием.
Внедрение результатов исследования в практику. Материалы диссертационного исследования вошли в усовершенствованные медицинские технологии «Морфологическая диагностика врожденной внутренней гидроцефалии», ФС № 2009/404 от 17 декабря 2009 г., «Морфологическая диагностика вентрикуломегалии у плодов и новорожденных с экстремально
низкой массой тела», ФС № 2011/291 от 26.09.2011 г. Материалы, изложенные в усовершенствованных медицинских технологиях, используются в работе 39 патологоанатомических отделений различных регионов России. Внедрение подтверждено приложенными к диссертации 39 актами.
По результатам диссертационного исследования получено три патента на изобретения: «Способ морфологической диагностики вентрикуломегалии у плодов и новорожденных» (патент на изобретение № 2422086 от 27.06.11 г.), «Способ дифференциальной диагностики вентрикуломегалии и гидроцефалии у плодов и новорожденных» (патент на изобретение № 2432574 от 27.10.2011 г.), «Способ дифференциальной диагностики вентрикуломегалии и гидроцефалии у плодов и новорожденных 22–27 недель гестации» (патент на изобретение № 2422805 от 27.06.2011 г.).
Апробация диссертационного материала. Основные положения работы доложены и обсуждены на региональной конференции «Научно-исследовательская деятельность в классическом университете ИвГУ» (Иваново, 2012),
съезде Российского общества детских патологов (Зеленогорск, 2012),
Всероссийской конференции иммунологии и репродукции (Иваново, 2012), XVI конгрессе педиатров России с международным участием (Москва, 2012), конференции молодых ученых в ФГБУ «Ив. НИИ М и Д им. В.Н. Городкова» (Иваново, 2012, 2013), региональной конференции молодых ученых в ИГМА (Иваново, 2012, 2013), XIV Всероссийском научном форуме "Мать и дитя"
(Москва, 2013).
Личное участие автора. Автором проведены сбор материала, инъекции вентрикулярной системы раствором окрашенного желатина, гистологическое, морфометрическое, ИГХ, электронномикроскопическое исследования, статистическая обработка, анализ и обобщение полученных данных.
Публикация результатов исследования. По результатам диссертационного исследования опубликовано 26 работ, из них 7 – в журналах, рецензируемых ВАК РФ. Получено 3 патента РФ.
Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на 182 листах печатного текста. Состоит из введения, списка сокращений, обзора литературы, главы с описанием материалов и методов исследования, двух глав собственных
исследований, обсуждения полученных результатов, выводов, практических рекомендаций и списка литературы. Работа содержит 16 таблиц, 51 рисунок. Библиографический указатель включает 188 источников, в том числе 108 отечественных и 80 зарубежных.
Сильно непрерывные полугруппы
Cодержание этого параграфа соответствует монографиям [27],[28]. Здесь мы будем рассматривать векторнозначные функции f(t) вещественного аргумента t, то есть функции значения которых при каждом t Є [а, Ь] С R1 являются элементами некоторого линейного банахова пространства Е.
Определение 1.1.1. Функция f(t) называется непрерывной в точке t0 , если \\f(t) - f(t0)\\E - 0 при t - t0, и непрерывной на отрезке [а, Ь], если она непрерывна в каждой точке этого отрезка. При этом норма /( ) - есть скалярная непрерывная функция. Замечание 1.1.1. Множество всех непрерывных на отрезке [а, Ь] функций со значениями в Е образуют линейную систему С(Е; [а, Ь]) в которой можно ввести норму /с[аЬ]= sup \\f(t)\\E. (1.1.1) te[a,b] После чего С(Е; [а, Ь}) становится линейным нормированным пространством. При этом, если Е- банахово пространство, то С(Е; [а, Ь\) также банахово пространство (см. [28], стр. 96).
Кроме введенного понятия (сильной) непрерывности функции f(t), можно ввести понятие слабой непрерывности.
Определение 1.1.2. Функция fit) называется слабо непрерывной (в точке, на отрезке, если для любого непрерывного линейного функционала І Є Е скалярная функция l(f(t)) непрерывна в точке (на отрезке). Из сильной непрерывности вытекает слабая. Обратное неверно. Справедливо следующее утверждение (см. [28], стр. 96): слабо непрерывная на отрезке [а, Ь] функция fit) ограничена на нем; то есть /(011 М (a t b). Определение 1.1.3. Функция fit) называется дифференцируемой в точке t0, если существует такой элемент / Є Е, что при h - 0. Элемент / называется производной функции fit) в точке t0 и обозначается f = f(t0). Функция fit) дифференцируема на отрезке [а, Ъ], если она дифференцируема в каждой точке этого отрезка.
Если при этом производная fit) непрерывна, то функция f(t) называется непрерывно дифференцируемой.
Для непрерывно дифференцируемых функций справедливо утверждение (см. [28], стр. 96): Если функция fit) непрерывно дифференцируема на [а, Ь], то спра ведливо неравенство /(6) - f{a)\\E {Ъ-а) sup \\f (t)\\E. (1.1.2) a t 6 Это неравенство остается справедливым, если производная существует на отрезке [а, Ь] всюду, за исключением счетного множества точек. Определение 1.1.4. Говорят, что функция f(t) имеет в точке t0 слабую производную f(t0), если при h - О h слабо сходится при всяком І Є Е к f(t0). Другими словами это означает, что при всяком / Є Е скалярная функция l(f(t)) непрерывно дифференцируема в точке t0 и [l(f(t0))] = l(f(t0)). Если функция f(t) имеет в каждой точке отрезка [а, Ь] слабую производную, то сохраняется оценка (1.1.2).
В частности, если слабая производная равна нулю во всех точках отрезка [а, Ь], то функция f\x) постоянна.
Аналогично определяются производные любого порядка от вектор-нозначных функций. Если функция f(t) со значениями в банаховом пространстве Е непрерывна на отрезке [а,Ь], то предел интегральных сумм:
Из абсолютной сходимости интеграла следует обычная сходимость. Можно рассматривать интегралы зависящие от параметра. На них переносятся классические теоремы о непрерывной зависимости от параметра, об интегрировании и дифференцировании по параметру. Наиболее употребительным обобщением интеграла Римана для функций со значениями в банаховом пространстве является интеграл Бохнера
Определение 1.1.5. Функция f(t), заданная на отрезке [а, Ь], со значениями в банаховом пространстве Е, называется простой, если она принимает лишь конечное заданное число значений fj на измеримых множествах j. f(t) = fj ( ЄІ), \jj = [a,b]. (При определении простой функции на множестве бесконечной меры требуется, чтобы mes(j) оо и чтобы f(t) = 0 на дополнении к (J )Определение 1.1.6. Функция f(t) называется сильно измеримой, если существует последовательность простых функций fn(t), сильно сходящаяся почти всюду к функции f(t), то есть \\fn(t)-f(t)\\E 0, при п — о для всех t Є [a, b], за исключением множества меры нуль. Определение 1.1.7. Функция f(t) называется слабо измеримой, если для всякого І Є Е скалярная функция l(f(t)) измерима на [а, Ь].
Для всякого пространства Е, содержащего счетное всюду плотное множество, понятия слабой и сильной измеримости совпадают ([28], стр. 100).
Справедливо утверждение, что если f(t) сильно измерима, то ее норма \\f(t)\\E является измеримой скалярной функцией. Для простых функций f(t) интеграл определяется единственным образом: / f(t)dt = J2fjmesj а Определение 1.1.8. Функция f(t) называется суммируемой (интегрируемой) по Бохнеру на отрезке [а,Ь], если существует сходящаяся к ней почти всюду последовательность простых функций fn(t) такая, что
Корректная разрешимость задачи Коши для уравнения 1-го порядка
Таким образом из выше сказанного следует, что при подходе С.Г.Крейна к исследованию краевых задач для уравнения (1.5.1) необходимо существование операторов Л 2 и А2 , в терминах которых формулируются понятия ослабленного и обобщенного решения. При этом условие (1.2.13) влечет существование ограниченного обратного оператора А-1.
Желание расширить класс корректных задач для уравнений вида (1.5.1) привело в [10] к введению понятия а-позитивных операторов.
Определение 1.5.7. Замкнутый линейный оператор А с плотной в Е областью определения D(A) называется а-позитивным, если для всех п = 1,2,... числа —ZL-f- принадлежат резольвентному множеству р(А) оператора А и выполняется неравенство
Класс а-позитивных операторов является более широким, чем класс сильно позитивных операторов. В частности, он содержит операторы с неограниченным обратным А 1. Вместе с тем этот класс согласуется с оператором заданным дифференциальным выражением Lu = u"{t) и граничными условиями и(0) = и (а) = 0, в том смысле, что спектр-((птг)/а)2 оператора L содержится в резольвентном множестве р(А) оператора А и выполняется оценка (Л + ((птг)/а)2)-1 а2/(птг)2. В связи с этим вводится понятие корректной задачи Дирихле u(0) = (p,u(a) = i() (1.5.18) для уравнения (1.5.1). Определение 1.5.8. Задача Дирихле (1.5.1)-(1.5.18) называется корректной, если она однозначно разрешима для любых (р,ф Є D(A) и существует с 0 такое, что для всех решений u{t) справедливы неравенства
В [10] выясняется, что задача (1.5.1)-(1.5.18) корректна тогда и только тогда, когда оператор А является а-позитивным. При этом существует с 0 такое, что для всякого решения этой задачи имеет место оценка
Требуется найти дважды непрерывно дифференцируемое решение уравнения (1.5.19) удовлетворяющее условиям (1.5.20) ( р,ф Є D(A)).
Определение 1.5.9.Задача Неймана (1.5.19)-(1.5.20) называется корректной, если она однозначно разрешима для всех (р,ф Є D(A) и существует с 0 такое, что для всех решений u(t) справедливы неравенства Теорема 1.5.6.Задача (1.5.19)-(1.5.20) корректно разрешима тогда и только тогда, когда при всех п = 0,1,... точки (-п2тг2)/а2 Є р(А) и выполняется оценка AU + ! /)-1 оо. а2 Заметим, что если задача (1.5.19)-(1.5.20) корректно разрешима, то в силу ее линейности существуют линейные операторы (см. [27], стр. 309) S(t,A) такие, что S(0,A) = I,S(a,A) = 0, D(A) С D(S(t,A)), и для любого х Є D(A) (d2S(t,A)x)/dt2 = AS(t,A)x,t Є [0,a]. В таких обозначениях решением уравнения (1.5.19) с условиями и (0) = (р,и (а) = ф является функция u{t) = S{t, A)ip + S{a - t, А)ф.
Будем предполагать, что функции f(x,t) и q(t) таковы, что существует достаточно гладкое решение задачи (1.6.1), (1.6.2). Для построения разностной схемы разобьём исходную область QT прямоугольной сеткой с шагами h = , г = - соответственно по координатам х и t. Будем искать функцию uvm, определённую в узлах (т,п) сетки, которая является приближением решения задачи (1.6.1), (1.6.2). Заменим производные в (1.6.1)разностными отношениями. Производная f в точке (тк,пт) может быть заменена многими способами, например
В зависимости от способа аппроксимации будут получаться различные разностные схемы. Вторую производную в этой точке заменим следующим образом:
Подставляя эти соотношения вместо соответствующих производных в Кроме уравнения (1.6.1), необходимо аппроксимировать начальные и граничные условия. Положим um = ОХ = q(nT),unM = 0. (1.6.5) Таким образом, уравнения (1.6.3), (1.6.5) и (1.6.4), (1.6.5) являются разностной аппроксимацией задачи для параболического уравнения (1.6.1), (1.6.2). Для оценки погрешности аппроксимации разностной схемы (1.6.3), (1.6.5). Для этого подставим в (1.6.3) точное решение дифференциальной задачи. Так как
При известных C,(m = 1,...,M - 1), соотношения (1.6.7) представляют собой систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных +1, (т = 1,... , М - 1). Поэтому схема (1.6.4), (1.6.5) называется неявной. Система уравнений (1.6.7) относительно вектора неизвестных v = {w+1,..., У-іі может быть записана в виде Av = b, где матрица А - является трёх диагональной. Такая система линейных алгебраических уравнений может быть решена, например, методом прогонки. Проведём исследование устойчивости этих разностных схем. Обозначим ип = {ип0),... , ипм), fn = (/f,..., Гм ). Введём нормы Н= max ,Л = max \fl\. 0 m M m " o ro M-l Будем называть разностную схему устойчивой в сеточной норме пространства , если существует постоянная сі, не зависящая от шагов сетки /гиг, такая, что имеет место оценка max мп сЛ max II HI + max \qk\). 0 n N 0 n N 0 k N Теорема 1.6.1. Пусты f. Тогда разностная схема (1.6.3), (1.6.5) устойчива в сеточной норме пространства . Разностные схемы, которые обладают устойчивостью при определенных соотношениях между шагами сетки, называются условно устойчивыми. Соответственно если схема устойчива при любых соотношениях между шагами сетки, то она называется безусловно устойчивой.
Постановка задач в рамках общей теории (случай х Є R+)
Как сказано выше, входной импульс изменения давления на входе жидкость-проводящей магистрали порождает в этой магистрали течение жидкости в форме изолированной волны. При этом момент формирования последующего входного импульса подобран так, что порожденное им волновое течение не взаимодействует с течением, порожденным как предшествующим, так и последующим импульсами. Поэтому при рассмотрении математической модели достаточно анализировать процессы, порожденные одиночным импульсом. Предположим, что порожденная импульсом волна полностью затухает в магистрали не вызывая отраженных течений. Поэтому для дальнейшего анализа можно использовать модель течения жидкости в полубесконечной магистрали. В математической литературе [2], [44] процесс нестационарного течения вязкой сжимаемой жидкости в неограниченной справа магистрали, имеющую пористую структуру с равномерно распределёнными проточными и застойными зонами, при заданном изменении давления u(t, 0) = q(t) на границе - описывается уравнением: в области 0 ж оо,0 оо,с начально-краевыми условиями u(t,0) = q(t); и(0}х) = Hindoou(t,x) = 0. Параметры, участвующие в уравнении (3.1.1) имеют следующий физический смысл: 0 v 1 -доля объёма проточных зон, 7 - константа, характеризующий обмен массами жидкости между проточными и застойными зонами, а- коэффициент проводимости. Вязкость жидкости учитывается коэффициентами а и 7. Для того чтобы управляющая вычислительная машина могла прогнозировать поведение жидкости в магистрали, в составе её программного обеспечения должна присутствовать подсистема моделирования движения жидкости на базе уравнения (3.1.1).Значения давления жидкости в магистрали может быть приближенно вычислено с использованием алгоритмов базирующихся на использовании разностных схем. Удовлетворительная точность вычислений с их помощью достигается при правильном выборе значений параметров At и Ах, использованными при замене производных конечными разностями. При рассмотрении задачи фильтрации в работе [2] были получены точные формулы, представляющие функцию i/;(t) = Нт о .Эти формулы можно использовать в качестве ориентира при подборе значений параметров разностных схем At и Ах
Графическое представление вычислительного графа, связанное с неявной разностной схемой, приведено на рисунке 5. Этот граф связывает те значения функции и на дискретной сетке, которые используются при вычислении значения Uij.Однонаправленная стрелка показывает, что в процессе вычислений значения этих параметров используются в качестве аргумента. Двунаправленная стрелка показывает, что значения этих параметров связаны со значением Uij уравнением. Переменная Uij представляет приближенное значение решения уравнения при значении аргумента t = і At, х = jAx. Светлым кружком, на рисунке, обведены уже вычисленные значения функции и (iAt,jAx). Тёмным кружком обведены те значения функции, которые будут вычислены в результате решения системы уравнений. Жирной линией нарисовано стандартное графическое представление вычислительного графа для неявной разностной схемы параболического уравнения, а значения функции, лежащие на тонкой линии, участвуют в квадратурной формуле для вычисления интеграла.
Вычисление приближённых значений для решения уравнения (3.1.1) в узлах дискретной сетки проведём в два этапа. На первом этапе область построения решения представим разделенной на слои по переменной t с шагом At. Для вычисления приближенных значений решения уравнения (3.1.1) на г-ом слое заменим производную по t разностным выражением: d2ut(x) _ vut{x) - щ-х(х) (1 - vYi dx2 a At a -(1-і/)72Х)е7(А"0Л -і(ж)Л В результате задача получения приближённого решения уравнения (3.1.1) сводится к решению серии краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений с краевыми условиями: иг(0) = q(iAt) и Ит и х) = 0. Решение краевой задачи можно аппроксимировать решением краевой задачи на конечном отрезке [0,Х] с краевыми условиями щ(0) = q{iAt) и щ(Х) = 0. На втором этапе заменим правую часть в уравнении (3.2.1) кусочно-постоянной функцией. Функция щ(х) совпадает с начальным условием для уравнения (3.1.1) и, по условию, является кусочно-постоянной функцией. Решение иг(х) краевой задачи для уравнения (3.2.1) будем склеивать из решений краевых задач с постоянной правой частью на отрезках \jAx, (j + 1)Аж]. Затем заменим полученное решение щ{х) кусочно-постоянной функцией со значением ut(jAx) на отрезке \jAx, (j + 1)Аж].
Рассмотрим алгоритм построения решения краевой задачи (3.2.1) с постоянной на отрезках [jAx, (j + 1) Аж] правой частью вычисляемой в предположении, что Ui-k(x), (0 к і) являются кусочно-постоянными функциями. Предположим, что на отрезках, определённых значениями индекса в промежутке 0 j п решение уже построено. Распространим решение на промежуток [пАх, (п + 1)Лж]. Для этого построим решение краевой задачи полученного из уравнения (3.2.1) в предположениях: задача рассматривается на отрезке [пАх,Х]; функции иг.к(х), (0 к і) на этом отрезке постоянны и равны Щ-к(пАх); краевые условия щ(пАх) на левом конце интервала и 0 на правом. Введём следующие соглашения и обозначения: пусть X = тАх,
В этих обозначениях краевая задача может быть сформулирована следующим образом: найти решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами на отрезке [пАх, тАх], с краевыми условиями и{пАх) = v, и{тАх) = 0. Общее решение уравнения с постоянными коэффициентами и постоянной правой частью представляется функцией: Введём обозначения: р = е/Ах, тогда значение общего решения в точке тАх будет равно Сі + С2 - д и по условию равно 0. Отсюда получаем: Схрт + С2р-т - д = 0 или d = р-т(д - С2р-т). Тогда общее решение уравнения, удовлетворяющее краевому условию в правом конце отрезка, задаётся функцией:
На интервале [(п + 1)Лж, (п + 2)Лж] кусочно-постоянная функция # принимает новое значение, которое должно быть пересчитано по формуле (3.3.1).Новое значение параметра v, вычисленное по формуле (5), определяет граничные условия для решения краевой задачи на отрезке [(п + 1)Ах,тАх]. Используя формулу (3.3.2) распространим решение краевой задачи на отрезок [(п + 1)Лж,шЛж]. Таким образом, формула (3.3.3) является рекуррентной формулой для получения значений Uij на і слое. Переходя от слоя к слою (от і -го к (г + 1)-ому), построим решение во всей области.
Анализ возможности использования неявной разностной схемы
Этапы формирования компонентов вентрикулярной системы больших полушарий головного мозга в пренатальном онтогенезе. Нейруляционный период развития эмбрионов позвоночных начинается с момента появления нервных валиков [5,71,72]. Нервную систему, в виде обособившейся структуры, обнаруживают у 18-и дневного эмбриона, поскольку в указанные сроки от эктодермы отделяется нейроэктодермальный зачаток. Процесс формирования нервной пластинки сопровождается утолщением и изгибом нервных валиков. Установлено [82, 87] частичное участие валика нервной пластинки в формировании спинного мозга. Тогда как, формообразование структур головного мозга, полностью зависит от нервных валиков. На данном этапе образование нервной пластинки завершается. Отмечено [70], что у эмбрионов человека так называемая «головная часть» нервной пластинки намного превышает закладку спинного мозга. Соединение воедино двух нервных валиков приводит к образованию нервной трубки. Краевые отделы нервных валиков спинного мозга служат источником нейромезенхимы, которая участвует в формировании нервных ганглиев, волокон, оболочек нервов и ряда тканей эндокринных органов. Нервная трубка замыкается при закрытии 2 нейропоров — переднего и заднего. С этого срока центральная нервная система развивается как самостоятельный орган [71,72,82,87,144].
Пролабирование стенки нервной трубки у эмбриона человека на 31-й день эмбриогенеза сопровождается появлением парных зачатков полушарий с боковыми желудочками [93]. Формирование желудочков у зародыша начинается с изгиба нервной трубки относительно сагиттальной оси, направленного в полость трубки. Одновременно на внешней поверхности мозгового зачатка появляется бороздка или терминальная пластинка, ограничивающая каудовентральный край закладки полушария.
На 33-36 сутки внутриутробного развития визуализируется резко расширенная в рострокаудальном направлении полость IV желудочка. Зачатки сосудистого сплетения в виде дубликатуры васкуляризированных мягких мозговых оболочек и нейроэпителия появляются в крыше ромбовидного отдела полушарий мозга на 41-43 сутки. Первичные сосудистые сплетения определяются в полостях боковых желудочков уже с 49 суток [93]. Проникает в полость III желудочка сосудистое сплетение на 53 сутки. Локализация сосудистого сплетения в полости III желудочка служит надежным ориентиром определения нижней границы возраста эмбриона, поскольку до 53 дня хориоидальное сплетение в полости отсутствует. Особенностью нейроэпителия сосудистых сплетений в ранние сроки является его «ложная многослойность». На данном этапе развития полость IV желудочка заметно уменьшается, из тонкостенной дорсальной пластинки заднего мозга в полости желудочка выступают первые складки сосудистого сплетения.
В этмоидальной области больших полушарий у эмбрионов, проживших 49 суток, по мере дифференцировки ганглиев терминальных нервов формируются зачатки хоанальных полостей. Полушария продолжают увеличиваться в размерах в ростральном направлении. Установлено [87,93,144], что в зонах образования сосудистых сплетений происходит увеличение полушарий в дорсальном направлении, а в «бессосудистых» областях увеличение (рост) в ростральном и каудальном направлениях. Первоначально, до 10-й недели гестации, сосудистые сплетения в полостях латеральных желудочках переднего мозга занимают 30% объема. Однако уже к 11 неделе гестации сплетения практически полностью выполняют боковые желудочки [82,93,165]. Дифференцируются ядра оливы и бледного шара. За счет образования задних ножек мозжечка устанавливаются связи между мозжечком и спинным мозгом. Покровный эпителий и строма сосудистого сплетения IV желудочка образуют длинные ворсинки, выступающие в полость желудочка [71]. На 51-е сутки эмбрионального развития передний отдел сосудистого сплетения, расположенный в латеральных желудочках больших полушарий переднего мозга васкуляризируется. Полость конечного мозга на 55-ый день развития (8 нед.) делится на два боковых желудочка, которые связаны между собой и сообщаются с полостью III желудочка через отверстия Монро.
Данный период развития характеризуется началом [11,22], цитологической дифференцировки глиальных клеток в полушариях переднего мозга. В астроцитах начинает выявляться, вырабатываемый клетками протеин S-100. Несколько позднее, с 14 недели гестации, в клетках обнаруживается глиальный кислый фибриллярный белок (GFAP).
Закладка коры больших полушарий осуществляется на протяжении 49-56-х суток внутриутробной жизни [93]. Именно в эти сроки из вентрикулярной герминативной зоны перивентрикулярной области по клеткам радиальной глии начинают активно мигрировать нейробласты, поскольку глия соединяет эпендимальный слой с зоной формирования новой коры в неокортексе [4,71,72,87].При гистологическом исследовании больших полушарий головного мозга в 8 недель гестации определяется 5 зон. Первой зоной является вентрикулярная герминативная зона, состоящая из активно делящихся бластных клеток. Прилежащее белое вещество является второй зоной. Третья зона представлена субкортикальным слоем, состоящим из рыхлой сетчатой ткани с немногочисленными нейронами. Кортикальная пластинка, состоящая из незрелых нейронов, и краевой сетчатый слой являются следующими, четвертой и пятой зонами [82,137,157]. Особенностью закладки коры полушарий переднего мозга является ограничение её локализации в области будущей зоны островка, а также первоочередное формирование плексиморфного слоя. Параллельно, между палеокортексом и неокортексом, формируется переходная зона коры, по которой осуществляется миграция клеток из вентрикулярного герминативного слоя в кортикальном направлении.
На протяжении первого триместра беременности большая часть нейронов и глиальных клеток занимает свой детерминированный локус в коре и в белом веществе. С увеличением срока гестации вентрикулярная герминативная зона уменьшается в размерах, и к 32-33 неделям гестации встречается в виде островков над головкой хвостатого ядра, в крыше височного рога, и в латеральной стенке затылочного рога [93].