Введение к работе
Актуальность темы
В современных теоретических и прикладных исследованиях в области акустики одно из ведущих мест занимает проблема решения обратных волновых задач. Она возникает в связи с необходимостью определения внутренней структуры различного рода объектов и представляет собой многогранную задачу как математической, так и экспериментальной физики. Активно исследующиеся в настоящее время проблемы разработки медицинских акустических томографов, служащих задачам ранней диагностики рака и других заболеваний, делают актуальным решение обратных задач излучения, обратных задач рассеяния и граничных обратных задач в самых различных постановках. С физической точки зрения, обратные задачи рассеяния подразумевают восстановление характеристик рассеивателя (чаще всего, это фазовая скорость, плотность, коэффициент поглощения) на основе измерения рассеянного исследуемым . объектом поля в некотором множестве экспериментов. С математической точки зрения, решение таких задач связано с восстановлением некоторых функциональных коэффициентов дифференциального оператора, характеризующего волновой процесс.
Использование ультразвука в области обратных задач предпочтительнее других видов зондирующего излучения благодаря его большой проникающей способности, относительной дешевизне оборудования и пренебрежимо малому вредному побочному воздействию на здоровье. Первые акустические томографы разрабатывались на основе лучевых представлений. В дальнейшем стали использоваться приближения Борна и Рытова. Теоретические представления, лежащие в основе построения этих систем, на сегодняшний день изучены достаточно полно. Однако ограничения, присутствующие в этих приближениях, существенно сужают область применимости таких приближенных теоретических подходов и основанных на них прикладных систем. В связи с этим, дальнейшее развитие теории обратных задач рассеяния и ик практической реализации в конкретных прикладных разработках связано со строгим учетом процессов многократного рассеяния. Тогда задача становится уже не только
некорректной, но и нелинейной относительно неизвестных функций. К настоящему времени наибольшее развитие в акустических приложениях получили итерационные методы решения обратных задач рассеяния. Однако, в последнее время уделяется достаточно большое внимание разработке функциональных подходов, применяемых для решения импульсных или монохроматических обратных задач. Эти работы характеризует высокая математическая строгость и принципиальное использование методов современного функционального анализа и теории функций" комплексных переменных. Тем не менее, до сих пор в них практически не ставился вопрос об устойчивости получаемого решения. Этот вопрос особенно важен из-за некорректности обратных задач, приводящей к заметному влиянию ошибок в данных рассеяния. Поэтому решение нуждается в вычислительной регуляризации, которая, в силу учета процессов многократного рассеяния, становится более сложной, чем это имеет место в линейных обратных задачах.
Актуальной задачей на настоящем этапе является нахождение границ применимости различных схем вычисления, определяемых физическими характеристиками рассеивателя и заданной точностью решения, а также обеспечение устойчивости решения к неизбежным ошибкам измерения. При этом требуют внимания все стороны процесса решения: разработка различных схем съема данных, привлечение необходимого математического аппарата, оценка величин возможных ошибок, оценка практической реализуемости алгоритмов средствами современной вычислительной техники и удобство их сопряжения с техническими возможностями конкретных томографических систем.
Цель диссертационной работы состоит в исследовании возможности физической реализации рассматриваемых схем решения двумерной и трехмерной обратных задач рассеяния в борновском приближении и в анализе возникающих при этом принципиальных и технических сложностей, а также в рассмотрении возможности повышения разрешающей способности существующих в настоящее время двумерных томографических систем по третьей координате. Основные задачи работы заключались в следующем:
-
Выбор наиболее перспективных для решения прикладных задач алгоритмов восстановления акустических рассеивателей в монохроматическом и импульсном режимах, учитывающих ограничения на объем доступных данных рассеяния, накладываемые спецификой конкретных задач медицинской диагностики.
-
Проведение рассмотрения и сравнительного анализа различных двумерных и трехмерных томографических алгоритмов, с точки зрения возможности повышения их разрешающей способности.
-
Определение возможности применения многочастотных алгоритмов для многокомпонентной характеризации тканей и исследование ограничений на характеристики рассеивателей, а также определение точности этих методов.
-
Проверка полученных теоретических результатов путем восстановления простейших неоднородностей при помощи компьютерного моделирования и определение степени устойчивости алгоритмов по отношению к ошибкам измерения.
-
Проведение анализа возможных путей дальнейшего развития медицинских томографических систем.
Научная новизна работы заключается в следующем:
Показано, что при характерном для медицинских томографических систем размещении приемно-излучающих преобразователей во "внешнем" (по отношению к пациенту) полупространстве, восстановление трехмерных распределений ' характеристик слабо поглощающих сред возможно при двухчастотном режиме, а для дополнительного восстановления характеристик поглощения необходима трехчастотная методика, требующая при этом знания частотной зависимости коэффициента поглощения.
Разработан новый, технически простой путь развития систем двумерной (послойной) акустической томографии путем введения различных схем наклона приемно-излучающих преобразователей относительно ' плоскости томографирования, позволяющий в несколько раз увеличить разрешающую способность в направлении, перпендикулярном основной плоскости томографирования.
Практическая ценность работы заключается в следующем:
Путем численного моделирования и обработки данных модельного физического эксперимента проведен анализ томографических методов восстановления трехмерного распределения акустических характеристик неоднородных сред (плотности, скорости ультразвука, коэффициента поглощения и характера его частотной зависимости) с учетом ограничений, накладываемых на объем получаемых данных в медицинской акустической диагностике.
Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на конференции "Acoustical Imaging - 23" (Boston, 1997), VI сессии Российского Акустического Общества (Москва, октябрь, 1997), конференции 'Acoustical Imaging - 25" (Bristol, 2000) и семинарах кафедры акустики физического факультета МГУ.
Публикации. Основные результаты диссертации представлены в 4 работах в рецензируемых журналах и сборниках. Список приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из 4 глав, заключения и списка цитируемой литературы, включающего 112 наименований., Объем работы: 122 страниц текста и 41 рисунок.
