Методы решения граничных задач акустики для изотропных объектов различных геометрических форм. Ильменков Сергей Львович

Содержание к диссертации

Введение

1. Методы решения граничных задач для изотропных тел канонической формы 16

1.1.Рассеяние стационарного звукового сигнала на системе упругих и вязкоупругих цилиндрических слоев 21

1.2. Рассеяние нестационарного (импульсного) сигнала системой упругих и вязко упругих цилиндрических слоев .44

1.3.Излучение звука упругими телами сфероидальной и цилиндрической форм под действием точечных источников на их поверхности .50

1.4.Заключение 70

2. Методы решения задач дифракции и излучения упругими объектами неканонической формы с использованием функций грина 71

2.1.Оценка погрешности применения функций Грина при решении граничных задач для объектов с неканонической формой поверхности 71

2.2.Расчет угловых характеристик рассеяния для идеальных объектов неканоничес-кой формы с помощью функций Грина 87

2.3. Использование интеграла Кирхгофа в задаче дифракции на упругом теле неканонической формы 98

2.4.Применение функций Грина и метода конечных элементов для решения задачи излучения звука изотропным телом под действием точечного источника на его

поверхности 109

2.5.Заключение 113

3. Численно-экспериментальный метод определения дальнего поля объекта произвольной формы в условиях плоскоговолновода .115

3.1.Исследование акустических характеристик измерительного объема морской мелководной акватории .116

3.2. Оценка влияния границ волновода на организацию процедуры пересчета ближнего поля в дальнюю зону объекта 132

3.3.Определение звукового поля объекта в зоне Фраунгофера с помощью функций Грина в условиях плоского волновода 144

3.4.Заключение 152

4. Метод решения граничных задач для изотропных объектов произвольной формы с использованием граничных элементов 154

4.1.Рассеяние стационарных звуковых сигналов изотропными телами различных форм 157

4.2.Исследование характеристик рассеяния нестационарных (импульсных) сигналов на упругих телах неканонической формы 184

4.3.Модельный эксперимент и расчетная оценка рассеяния звука упругой оболочкой на низких частотах 192

4.4. Оценка влияния насадки движителя модели подводного объекта на его звукоизлу чение в среднечастотном диапазоне .196

4.5.Исследование влияния формы оконечности упругого тела на характеристики излучения звука при работе движителя .203

4.6.Заключение .209

5. Исследование влияния внешней и внутренней жидких сред на фазовые скорости упругих волн в изотропных цилиндрических оболочках 210

5.1. Расчет фазовых скоростей ненулевых форм трехмерных изгибных волн в изотропном цилиндрическом стержне, контактирующем с жидкостью 211

5.2.Определение фазовых скоростей трехмерных и осесимметричных упругих волн в изотропной цилиндрической оболочке 218

5.3.Оценка влияния заполнения и окружающей жидкости на фазовые скорости изгиб ных волн в изотропных цилиндрических оболочках 225

5.4. Заключение 229

Заключение .231

Литература .2

• Рассеяние нестационарного (импульсного) сигнала системой упругих и вязко упругих цилиндрических слоев
• Использование интеграла Кирхгофа в задаче дифракции на упругом теле неканонической формы
• Оценка влияния границ волновода на организацию процедуры пересчета ближнего поля в дальнюю зону объекта
• Оценка влияния насадки движителя модели подводного объекта на его звукоизлу чение в среднечастотном диапазоне

Введение к работе

Актуальность темы

Исследования распространения, излучения и дифракции звуковых волн в упругих средах и телах опираются на общий математический аппарат, физические аспекты данных процессов также являются взаимосвязанными. Оценка влияния параметров объектов, находящихся в жидкости, на структуру их первичного и вторичного полей продолжает оставаться одной из наиболее актуальных проблем гидроакустики. Изучение фазовых скоростей упругих волн в телах, контактирующих с жидкостью, является неотъемлемой частью исследования характеристик излучения и рассеяния ими звука.

К настоящему времени по данной тематике опубликовано очень большое количество работ и накоплен обширный опыт решения граничных задач. В рамках строгого подхода в связи со значительными математическими и вычислительными трудностями получение числовых результатов решений таких задач возможно лишь для тел с канонической формой поверхности и в ограниченных диапазонах волновых размеров. Для объектов, по форме и физическим параметрам более близких к реальным, широкое применение находят приближенные и численные методы, основанные на принципе Гюйгенса в формулировке Френеля или Кирхгофа, методы функций Грина, Т–матриц, конечных и граничных элементов и др.

Дальнейшее развитие приближенных и численных методов требует разработки достаточно простых моделей, для которых возможно применять как тестирование строгим теоретическим рассмотрением, так и корректную экспериментальную проверку. В то же время, такие модели должны быть достаточно подробными, отражающими особенности конструкции исследуемых объектов, быстродействующими и гибкими.

Совершенствование методов решения граничных задач приобретает особую значимость применительно к низко- и среднечастотному звуковым диапазонам как излучения объектов, так и зондирующих сигналов, что во многом определяет контекст исследований, представленных в данной работе.

Цель и задачи работы

Целью работы в рамках научного направления, связанного с решением граничных задач акустики для идеальных и упругих объектов, является дальнейшее развитие следующих методов:

1. строгих - в трехмерной и осесимметричной постановках на основе метода разделения переменных;

2. приближенных – основанных на принципе Гюйгенса-Френеля, интегральной формуле Кирхгофа и функциях Грина;

3. численных – с использованием конечных и граничных элементов.

В процессе выполнения работы значительное внимание уделяется объектам с неканонической формой поверхности. Для достижения поставленной цели решаются следующие основные задачи:

4. расчет и анализ характеристик отражения звукового сигнала (стационарного и импульсного) от системы упругих и вязкоупругих цилиндрических слоев при различных вариантах их расположения;

5. решение трехмерных задач излучения звука упругим сплошным вытянутым сфероидом и упругими сфероидальной и цилиндрической оболочками под действием точечных источников на их поверхности;

6. оценка погрешности использования функций Грина при решении задач дифракции и излучения звука идеальными и упругими телами, представляющими собой фрагменты канонических поверхностей (сфера, бесконечный цилиндр, сфероид), различным образом состыкованные между собой;

7. разработка (на основе интеграла Кирхгофа, функций Грина и метода конечных элементов) алгоритмов и программного обеспечения для расчета характеристик излучения и рассеяния звука упругими телами произвольной формы;

8. разработка метода определения звукового поля тел произвольной формы в зоне Фраунгофера в условиях плоского волновода с использованием методов мнимых объемных излучателей и функций Грина;

9. разработка на основе метода граничных элементов алгоритмов и программного обеспечения для исследования характеристик рассеяния стационарного и импульсного звуковых сигналов упругими объектами различных форм и параметров;

10. разработка математических моделей для расчета шумоизлучения движителя при различных типах насадки и формы оконечности упругого тела;

11. исследование влияния внешней и внутренней жидких сред на фазовые скорости трехмерных и осесимметричных изгибных волн различных форм в изотропных цилиндрических оболочках.

Методы исследования

Для реализации поставленных целей в первую очередь применяется теоретический метод исследования, опирающийся на разделы динамической теории упругости и метод разделения переменных. Для исследования характеристик объектов неканонической формы используются численно-аналитические и численные методы. На основе полученных теоретических результатов и разработанных алгоритмов выполняются расчетные оценки на ЭЦВМ. При исследовании объектов неканонических форм помимо численных экспериментов выполняются также экспериментальные измерения (в лабораторных и морских условиях).

Научная новизна

В данной работе впервые: 1) получены результаты решения задачи рассеяния звука на системе упругих и вязкоупругих цилиндрических слоев; вычислены и проанализированы ха-

рактеристики рассеяния стационарного и импульсного сигналов для различных вариантов расположения слоев;

2. получены решения трехмерных задач излучения звука изотропными телами (сплошным вытянутым сфероидом, сфероидальной и цилиндрической оболочками) под действием точечных источников на их поверхности (с помощью теоремы взаимности); рассчитаны и проанализированы угловые характеристики излучения при различном расположении источников;

3. выполнен численный анализ амплитудной и фазовой погрешностей применения функций Грина в задачах Дирихле и Неймана для тел неканонической формы в зависимости от волнового размера и положения точки наблюдения;

4. предложен метод решения граничных задач для упругих объектов неканонической формы, составленных из фрагментов канонических поверхностей (бесконечный цилиндр, сфера, сфероид), различным образом состыкованных между собой; вычислены угловые характеристики при различных волновых размерах объектов;

5. предложен метод определения звукового поля в зоне Фраунгофера для тел произвольной формы, находящихся в плоском волноводе, толщина которого сопоставима с их размерами и длиной излучаемой звуковой волны; исследовано влияние параметров границ волновода на вид диаграмм направленности и частотные характеристики при различных дистанциях и волновых размерах тел;

6. разработан численный метод решения задач дифракции и излучения для изотропных объектов произвольной формы (с использованием граничных элементов); выполнен анализ влияния параметров таких объектов на характеристики рассеяния стационарного и импульсного сигналов;

7. разработаны математические модели и программное обеспечение для численной оценки влияния различных типов насадки движителя упругого тела и формы его оконечности на характер шумоизлучения; получены соответствующие угловые, проходные и частотные характеристики;

8. выполнен расчетный анализ влияния внешней и внутренней жидких сред на фазовые скорости трехмерных изгибных волн в изотропных цилиндрических оболочках различных толщин и материалов; получены частотные зависимости осесимметричных продольных, изгибных и крутильных волн в таких оболочках.

Практическая значимость

Полученные результаты могут быть использованы при:

1. оценке влияния параметров упругих объектов различных форм на особенности характеристик излучения и рассеяния ими стационарного и импульсного сигналов;

2. оценке шумоизлучения упругих тел под воздействием турбулентных пульсаций потока жидкости;

3. обнаружении и идентификации гидроакустическими средствами объектов неканонической формы (например, рыбных скоплений) с помощью нестационарных (импульсных) сигналов;

4. проведении экспериментальных исследований моделей подводных аппаратов, находящихся в плоском волноводе, оценке влияния границ водного слоя на вид диаграмм направленности и частотных характеристик;

5. определении влияния внешней и внутренней жидких сред на фазовые скорости изгибных, продольных и крутильных волн в изотропных цилиндрических оболочках;

6. выборе оптимального типа насадки движителя и формы оконечности упругого тела с точки зрения снижения звукоизлучения.

Основные положения, выносимые на защиту

1. результаты решения задачи рассеяния стационарного и импульсного звуковых сигналов на системе упругих и вязкоупругих цилиндрических слоев;

2. решения трехмерных задач излучения звука изотропными телами (сплошным вытянутым сфероидом, сфероидальной и цилиндрической оболочками) под действием точечных источников на их поверхности;

3. результаты расчетного анализа амплитудной и фазовой погрешностей применения функций Грина в задачах Дирихле и Неймана для тел неканонической формы при различных волновых размерах и положениях точки наблюдения;

4. метод решения граничных задач (с использованием функций Грина) для упругих объектов неканонической формы, представляющих собой фрагменты канонических поверхностей (бесконечный цилиндр, сфера, сфероид), различным образом состыкованные между собой;

5. метод определения звукового поля в зоне Фраунгофера для тел произвольной формы, находящихся в плоском волноводе, толщина которого сопоставима с их размерами и длиной излучаемой звуковой волны;

6. численный метод решения граничных задач для изотропных объектов произвольной формы (с использованием граничных элементов) и анализ влияния параметров таких объектов на характеристики рассеяния стационарного и импульсного сигналов;

7. математические модели и программное обеспечение для численной оценки влияния различных типов насадки движителя и формы оконечности упругого тела на характер шумоизлучения движителя;

8. результаты расчетного анализа влияния внешней и внутренней жидких сред на фазовые скорости трехмерных изгибных волн в изотропных цилиндрических оболочках различных толщин и материалов.

Достоверность результатов

Выводы, полученные в работе на основе аналитических решений, находятся в соответствии с результатами приближенных и численных оценок для аналогичных объектов и условий. Теоретические и численные результаты подтверждаются экспериментальными данными, полученными как в гидроакустическом бассейне, так и в морских условиях. Представленные в работе результаты расчетов

фазовых скоростей упругих волн и характеристик рассеяния для идеальных и упругих объектов различных форм согласуются с результатами других авторов.

Апробация результатов работы

Основные результаты работы докладывались и обсуждались на: V Всесоюзной конференции «Технические средства изучения и освоения океана» (Ленинград, 1985 г.); IV и V Дальневосточных акустических конференциях (Владивосток, 1986 г. и 1989 г.); школе-семинаре «Акустика океана» (Москва,1986 г.); Всесоюзном совещании-семинаре «Глубоководные системы и комплексы» (Чер-кассы,1986 г.); 8-ой научно-технической конференции по авиационной акустике (Москва,1986 г.); 2-ой конференции «Техника и методика акустического зондирования океана» (Наманган,1988 г.); Всесоюзной школе «Технические средства и методы освоения океанов и морей» (Геленджик, 1989 г.); Всесоюзном симпозиуме «Взаимодействие акустических волн с упругими телами» (Таллинн, 1989 г.); Всесоюзной конференции «Приборы и методы гидрофизических измерений» (Москва, 1990 г.); 10-ой Всесоюзной конференции «Волны и дифракция-90» (Мо-сква,1990 г.); Юбилейной конференции СПбГМТУ (С.-Петербург, 1999 г,); 10, 11, 17, 22 и 27-й сессиях РАО (Москва, 2000г., 2001 г., 2006 г. 2010 г. и 2014 г.); региональной научно-технической конференции с международным участием «Кораблестроительное образование и наука» (С.-Петербург, 2003 г.); научно-технической конференции «Бубновские чтения» (С.-Петербург, 2003 г.); VII международном симпозиуме «Транспортный шум и вибрация» (С.-Петербург, 2004 г.); XIV Санкт-Петербургской международной конференции «Региональная информатика-2014» (С.-Петербург,2014 г.); Межведомственной научно-технической конференции «Актуальные проблемы военной науки и политехнического образования» (С.-Петербург, 2016 г.).

Публикации

Материалы диссертации опубликованы в 55 научных работах. Из них: 2 главы в 2-х монографиях, 28 статей, 21 доклад, 4 свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ. 20 работ выполнено в личном авторстве, доля автора в остальных составляет от 30 % до 70 %.

В изданиях, рекомендованных Перечнем ВАК, опубликовано 20 работ. Из них 12 выполнено в личном авторстве, доля автора в остальных составляет от 35 % до 70 %.

Структура и объём работы

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка цитируемой литературы. Она содержит 243 страницы текста, 166 рисунков, 10 таблиц, библиографию из 156 наименований. Каждая глава завершается сводкой основных результатов в форме кратких выводов.

Личный вклад автора

Автору принадлежит выбор научного направления в целом и конкретных подходов к развитию рассмотренных методов. Лично автором разработаны алгоритмы и программное обеспечение, выполнены расчеты: характеристик излучения и рассеяния звука идеальными и упругими телами различной формы, фазовых скоростей упругих волн, проведен анализ результатов. Значительная часть теоретических результатов также получена лично автором, а постановка отдельных задач, связанных с методом разделения переменных, осуществлена совместно с научным консультантом профессором А.А.Клещевым. Разработка методик экспериментальных исследований, их подготовка и проведение (в том числе в условиях морской акватории), обработка и анализ результатов выполнены при непосредственном личном участии автора.

Рассеяние нестационарного (импульсного) сигнала системой упругих и вязко упругих цилиндрических слоев

Особый интерес для исследователей представляют задачи низкочастотного рассеяния звука на тонких упругих цилиндрических оболочках, находящихся в жидкости. В данной области частот упругие оболочки вследствие хорошо выраженных низкочастотных резонансов являются весьма эффективными рассеивателями (в отличие от акустически жестких тел). Резонансные свойства упругих оболочек приводят к появлению ряда максимумов и минимумов в частотной характеристике рассеянного сигнала, величина и расположение которых зависят от частоты падающей звуковой волны, параметров жидкой среды, геометрических и упругих характеристик рассеивающего тела. Исследование влияния указанных параметров на вид частотных зависимостей отраженного сигнала может быть использовано, в частности, для идентификации конкретных рассеивателей.

Рассмотрим решение одной из граничных задач подобного класса с использованием методов динамической теории упругости и разделения переменных. Будем рассматривать рассеяние стационарного и нестационарного (импульсного) звукового сигнала системой, состоящей из нескольких вариантов комбинаций упругих и вязко – упругих цилиндрических слоев с различными значениями плотности материала, коэффициентов Ламе (, ) и находящихся в безграничной жидкой среде [1-5]. Целью решения является расчет и анализ характеристик отражения звукового сигнала (гармонического и импульсного) такой системой в широком диапазоне углов, включая и обратное направление.

Начнём рассмотрение с гармонического непрерывного звукового сигнала, облучаю щего данную систему слоёв, т. е. будем полагать, что на эту конструкцию падает плоская звуковая волна единичной амплитуды и частоты ( = частота сигнала в Гц) та ким образом, что волновой вектор падающей волны перпендикулярен оси z этой системы (плоская задача, рис. 1.2). Поведение изотропного тела в рамках динамической теории упругости описывается системой уравнений движения (динамического равновесия) элементарного объема среды [12], [13], [22]. Использование закона Гука позволяет исключить из этих уравнений напряжения и перейти к одной неизвестной векторной функции - вектору смещения , имеющему три компоненты, каждая из которых зависит от трех координат: r, , z.

Преобразованные таким образом уравнения движения приводят к уравнению Ламе для изотропной среды при гармонической зависимости от времени:

По теореме Гельмгольца вектор смещения u упругой среды, как известно, может быть представлен в виде комбинации скалярного и векторного потенциалов: (1.24) при где Ф-скалярный потенциал, характеризующий смещения, вызванные изменением объема; -векторный потенциал, описывающий смещения вихревого типа. Подстановкой (1.24) в (1.23) можно получить два уравнения Гельмгольца: скалярное для Ф и векторное– для : (1.25) (1.26) где и -волновые числа соответственно продольной и поперечной волн в упругой среде.

В рассматриваемой круговой цилиндрической системе координат частное решение скалярного уравнения (1.25) с учетом разложения по фундаментальным решениям уравнения Гельмгольца в общем случае принимает следующий вид [21]: ] , (1.27) где –A, B, - произвольные постоянные; -постоянная разделения; На основе представления (1.24) получим выражения для компонент вектора смещения ur, u, uz. С этой целью в уравнении (1.23) для всех трех компонент произведем операции rot и grad и воспользуемся формулами преобразования этих операторов в цилиндрические координаты [24,137,138]: где коэффициенты преобразования координат.

После подстановки (1.28) в (1.24) выражения для компонент вектора смещения примут вид:

В силу плоской постановки данной задачи переменные в уравнениях (1.25), (1.26) разделяются и все векторные потенциалы слоев будут иметь только одну компоненту, от личную от нуля, а именно, , которую мы обозначим как . Граничные условия относительно напряжений и смещений формулируются для каждой из поверхностей контакта слоев между собой, с вакуумом или жидкой средой. Для изотропной среды, в которой выполняется закон Гука, инвариантный к выбору системы координат, напряжения выражаются через постоянные Ламе , и деформации. При малых деформациях в системе круговых цилиндрических координат данные компоненты деформации представляются через компоненты вектора смещения и принимают окончательный вид в зависимости от рассматриваемого варианта системы слоев.

Вариант 1. Система состоит из одного упругого слоя (с потенциалами соответст венно и и двух областей: внутренней I – вакуум (волновые процессы отсутствуют), наружной II - внешняя жидкая среда, характеризующаяся звуковыми давлениями в па дающей волне и рассеянной (отражённой) волне (см. рис. 1.2). x Разложим потенциалы слоя и звуковые давления по фундаментальным решениям уравнения Гельмгольца в круговой цилиндрической системе координат: волновые числа соответственно продольных и поперечных волн в упругом слое и внешней жидкой среде; при m = 0 и (m 0) - неизвестные коэффициенты, которые находятся из граничных усло вий: отсутствие напряжений на границе вакуума и упругого слоя ( : на внешней границе упругого слоя и жидкой среды ( : отсутствуют касательные напряжения в упругом слое; нормальные компоненты смещения непрерывны; нормальное напряжение в упругом слое равно суммарному (дифрагированному) давлению в жидкой среде

Подставляя разложения (1.30)-(1.33) в граничные условия (1.34)-(1.37) и используя ортогональность тригонометрических функций cos(m) и sinQm ), получим для каждой моды m алгебраическую систему 5 - го порядка для нахождения неизвестных коэффици ентов разложения с фиксированным индексом. Для нахождения рассеянного давления необходимо определить коэффициенты ,входящие в выражение (1.34). С использова нием асимптотики для цилиндрических функций Ханкеля 1 - го рода из (1.34) получим соотношение для угловой характеристики рассеяния D(): D(tp) = - ехр(-iя- / 4)(жkу1 ]Г (-i)mAm cos mир. m=0 (1.38) Определяя коэффициенты из решения системы по правилу Крамера, на основа нии (1.38) рассчитываем значения .

Вариант 2. В отличие от предыдущего варианта (см. рис. 1.2), внутри вместо вакуума находится вода с плотностью р0 и скоростью звука c. Звуковое давление внутри оболочки pх может быть представлено рядом: где неизвестные коэффициенты разложения. Соответствующим образом трансформируются граничные условия (1.34)-(1.37). В правой части граничного условия (1.36) появится давление , вводится дополнительное граничное условие (1.36-а) о непрерывности нормальных компонент вектора смещения на внутренней границе упругого слоя и жидкой среды: (1.40) Подставляя разложения (1.3О)4-(1.32), (1.39) в скорректированные граничные усло вия и опять используя ортогональность тригонометрических функций cos(m) и sin(m), получим для каждой моды т алгебраическую систему 6 - го порядка для нахождения не известных коэффициентов разложения Из решения этой системы определяются коэффициенты необходимые для расчета. Вариант 3. Система состоит из двух упругих слоев (1 и 2) с одинаковыми постоян ными Ламе , потенциалами соответственно и и трех областей: внутрен ней / - вакуум, внутренней II - жидкая среда, характеризующаяся звуковым давлением , и наружной III - внешняя жидкая среда, характеризующаяся звуковыми давлениями и (рис. 1.3).

Использование интеграла Кирхгофа в задаче дифракции на упругом теле неканонической формы

Исследованию методов расчета излучения звука упругими телами и оболочечными конструкциями, колеблющимися в сжимаемой жидкой среде, посвящено очень большое количество работ отечественных и зарубежных авторов. Основополагающие результаты, достигнутые в данной области, отражены в монографиях [6,7,8,10,12-18,22,24 и др.]. Акустическое излучение пластин и оболочек рассматривалось также в работах [19-21,25-27,29,30 и др.].

При этом библиография по данной тематике продолжает интенсивно пополняться, что свидетельствует как о востребованности и актуальности последней, так и о сохраняющихся в этой области недостаточно исследованных вопросах.

Разработку методов и алгоритмов расчета излучения звука упругими оболочками в области достаточно низких частот вполне целесообразно строить с позиций волновой акустики, обеспечивающей наиболее полное и строгое описание звуковых полей с учетом взаимодействия отдельных упругих мод конструкции с внешним акустическим полем. Несмотря на появление в настоящее время большого количества достаточно удобных численных методов решения подобных задач и, соответственно, их результатов, получение аналитических зависимостей не утрачивает своей актуальности. Известно, что практическая реализация расчетных методов на строгой основе ограничена простейшими геометрическими формами излучающих объектов, тем не менее, особая польза аналитических решений состоит в строгом понимании сущности изучаемой проблемы, оценке влияния граничных поверхностей на различные типы волн, процессов затухания колебаний и т.д. Кроме того, при постановке сложных задач с использованием численных методов и ЭВМ предварительные аналитические решения могут оказать решающую помощь для успешной реализации численных алгоритмов.

В высокочастотной области, при широкополосном возбуждении и наличии большого количества резонансов конструкции, для оценки параметров излучаемого поля достаточно знать его усредненные характеристики (например, плотность звуковой энергии), основанные на использовании энергетического статистического подхода. Такой способ позволяет упростить исходную модель звукового процесса при разработке практических расчетных методов. В современных условиях развитие судостроения, авиации, трубопроводного транспорта и т.д. стимулирует интерес к исследованию проблем генерации звука упругими оболочечными системами при воздействии на них полей пульсаций давления гидродинамической природы, а также к изучению структуры таких полей.

В данном разделе рассматриваются строгие решения трехмерных задач излучения звука изотропными телами: сплошным вытянутым сфероидом, а также сфероидальной и цилиндрической оболочками под действием точечных источников на их поверхности. В монографии [29], посвященной изучению гидродинамических источников звука, отмечается, что такие задачи могут быть интерпретированы как задачи излучения звука упругим телом под воздействием турбулентных пульсаций потока жидкости, причем, определенный интерес представляет расчет, основанный на сосредоточенной силе, обусловленной этой пульсацией.

Сначала рассмотрим трехмерную граничную задачу динамической теории упруго сти по излучению звука изотропным вытянутым сфероидом [36-39], находящемся в невяз кой жидкости с плотностью и возбуждаемым в точке Р0 гармоническим точечным ис точником с потенциалом = / , где волновое число жидкой среды; расстояние от источника [33-36].

Введем в рассмотрение сфероидальную систему координат , , с межфокусным расстоянием , являющуюся одной из 11-ти ортогональных криволинейных систем координат, в которых возможно разделение переменных в скалярном уравнении Гельмголь-ца (1.8) (рис. 1.27). Радиальная сфероидальная координата и две угловые координаты ц и (р меняются в пределах: -1 ?] 1; 7 оо; 0 р 2ж, поверхность = const 1 является вытянутым эллипсоидом вращения с большой осью, равной 2h0E, и малой осью, равной

. Вырожденная поверхность =/ представляет собой отрезок оси Z, соединяющей фокусы координатной системы, т. е. концы отрезка имеют координаты (z = -h0...z = +h0).

Дополнительно введем также сферическую систему координат R, , с общим для обеих систем центром О. Поверхность 177І = const 1 является двуполостным гиперболоидом вращения с асимптотическим конусом, образующие которого проходят через начало координат и составляют угол 0 = arccosr/ с осью Z. Вырожденная поверхность = -/ это часть оси Z, для которой \z\ h0. Поверхность (p=const есть плоскость, проходящая через ось Z и составляющая угол (р с плоскостью (X, Z). При 2ho обе рассматриваемые координатные системы сводятся к одной сферической системе координат. При для конечных значений 2h0 поверхность f = const становится сферой, т.е. h0% r; TJ - cos в, где г и 6» - сферические координаты. Сфероидальные координаты точки Р0 примем равными ,, ю, 0. (рис. 1.27). Для нахождения дальнего поля излучения вытянутого сфероида под действием точечного источника воспользуемся вариантом теоремы взаимности для упругих поверх ностей [33-35], что позволяет в нашем случае свести решение задачи излучения к реше нию эквивалентной трехмерной граничной задачи дифракции плоской монохроматиче ской волны на этом сфероиде. В соответствии с теоремой взаимности искомая угловая ха рактеристика излучения звука телом , где сферические координаты точки наблюдения, совпадает с распределением потенциала на поверхности упругого рассеива теля , помещенного в поле плоской звуковой волны с потенциалом ( – волновой вектор падающей волны; – радиус-вектор из начала координат в точку наблюдения P. Таким образом, положение точечного источника на поверхности упругого тела определяется точкой пересечения луча от источника падающей волны (в задаче дифракции) с поверхностью тела (рис.1.27).

Оценка влияния границ волновода на организацию процедуры пересчета ближнего поля в дальнюю зону объекта

Задачи, возникающие при изучении дальнего поля излучающих объектов сложной формы, находящихся в жидкой среде и дифракционных явлений на них, достаточно трудны. При этом методы разделения переменных и динамической теории упругости, рассмотренные в предыдущей Главе, оказываются неприменимыми. Несмотря на то, что многие реальные объекты могут быть достаточно хорошо аппроксимированы телами канонической формы, число точно решаемых задач оказывается в значительной степени ограниченным. Реальные рассеиватели имеют в общем случае неканоническую форму поверхности, которая не может быть отнесена к разряду координатных систем с разделяющимися переменными в скалярном уравнении Гельмгольца. В этой связи для решения граничных задач на подобных объектах широкое применение находят нестрогие (приближенные) подходы, в частности, основанные на принципе Гюйгенса в обобщенной формулировке Френеля или Кирхгофа: интегральных уравнений [6-8,12,13,23,24,43,48,90 и др.], геометрической теории дифракции [6,8,24,57,58,62], Купрадзе [47], Т-матриц [45,46,110 и др.], функций Грина [71,72,90]. Оценка точности решений граничных задач, полученных этими методами, должна опираться на результаты, полученные в строгой математической постановке.

В данной Главе рассматривается один из возможных путей дальнейшего развития численно-аналитических подходов к решению задач излучения и дифракции звука на идеальных телах сложной геометрической формы, основанный на использовании функций Грина. При этом общая поверхность тела образуется из фрагментов поверхностей канонических форм (сфера, бесконечный цилиндр, вытянутый сфероид), различным образом состыкованных между собой. Проводится расчетный анализ погрешности приближенного подхода, рассчитываются и анализируются угловые характеристики рассеяния для различных вариантов форм поверхности тел, типов граничных условий, волновых размеров и углов облучения.

Основным исходным соотношением для нахождения звуковых полей рассматриваемых объектов является математическая формулировка принципа Гельмгольца-Гюйгенса (интеграла Кирхгофа), которая определяет поле в пространстве по значениям звукового давления и его нормальной производной на гладкой выпуклой поверхности, окружающей данное тело [12,13,24,73-75,95-97 и др.] (рис.2.1): где - звуковое давление в дальнем поле излучающего объекта (зоне Фраунгофера); – радиус-вектор точки P дальнего поля; S– замкнутая контрольная поверхность, окружающая объект с непрерывной внешней нормалью n; и – амплитудно-фазовые распределения звукового давления и его гра диента на поверхности – радиус-вектор точки Q на поверхности - функция Грина, удовлетворяющая неоднородному уравнению Гельмгольца: где ( длина волны в жидкой Р(Єі,фі,гі) среде); - дельта-функция Дирака.

В подынтегральном выражении первый член определяет потенциал источников сферических волн, второй - потенциал двойного слоя источников, дающих дипольное излучение. Таким образом, формула (2.1) представляет собой формулировку принципа

Гюйгенса, согласно которому любое звуко-Рис.2.1. Гладкий выпуклый объект с

поверхностью неканонической Аовмы. вое поле представляется в виде суперпози ции волн, излучаемых сферическими и дипольными источниками, расположенными на поверхности, охватывающей точку наблюдения .

Следует отметить, что использование соотношения (2.1) не требует обязательного нахождения поверхности S в ближнем поле объекта, однако, при проведении численных расчетов и практических измерений для объектов больших размеров, оказывается целесообразной именно такая постановка задачи. Давления в ближнем и дальнем поле удовлетворяют однородному урав нению Гельмгольца: Кроме того, давление в дальнем поле дополнительно удовлетворяет условиям излучения на бесконечности (условиям Зоммерфельда), согласно которым бесконечно удаленные источники не должны вносить вклада в звуковое поле [10,20,21]: Зависимость от времени здесь и далее опускается. Градиент давления связан с колебательной скоростью соотношением [10]: где – распределение колебательной скорости по поверхности S в направлении нор мали n. В общем случае в выражении (2.1) может быть использована функция Грина для свободного пространства, представляющая собой поле некоторого источника, помещенного в точку P дальнего поля и имеющая особенность вида 1/R: , где . При этом амплитудно-фазовые распределения и на контрольной по верхности связаны между собой и каждая из них в отдельности полностью определяет поле В этом смысле интегральная формула (2.1) является переопределенной и мо жет быть сведена к интегральным уравнениям Фредгольма II-го рода, позволяющим полу чить распределение по известному распределению или наоборот [24,95-97]. Такой подход, в частности, использовался для расчета диаграмм направленности акустического излучателя произвольной формы по результатам измерений в его ближнем поле [95-97] , а также при определении сопротивления излучения цилиндра конечной высоты в [13,111]. Отдельное внимание уделялось при этом рассмотрению тестовых задач, базирующихся на расчете дальнего поля на основе распределения компонент ближнего поля, создаваемого совокупностями точечных источников, расположенных внутри поверхности [78,79].

Весьма удобной и разумной альтернативой данному подходу к использованию формулы (2.1) является особый выбор функции Грина , удовлетворяющей (2.2), но отличной от функции Грина свободного пространства (2.6). Такой путь, учитывающий относительный произвол в выборе функции Грина, позволяет значительно упростить выражение (2.1).

Оценка влияния насадки движителя модели подводного объекта на его звукоизлу чение в среднечастотном диапазоне

В общем случае при рассмотрении тестовых задач использование в качестве излучателя монопольного источника не может считаться удовлетворительным приближением. Для ориентировочных аналитических оценок влияния границ на волновые поля объемных излучателей при сложном колебании их поверхности может использоваться расчет таких полей на основе метода мнимых объемных излучателей (ММОИ)применительно к объектам простой геометрической формы (сфера, сфероид [68,93,109]). Как правило, такой подход применяется для излучателей малых волновых размеров и при малых отношениях D/h(гдеD –характерный размер излучателя).При этом суммарное поле действительного и мнимых источников определяется с помощью теорем сложения для соответствующих волновых функций [24,108].

Необходимая степень детализации модели при оценке возможного влияния границ определяется спецификой конкретного исследования. Так, например, в [105] рассмотрено применение ММИ для строгого описания поля направленного источника в разложении по мультиполям. Однако, полученные результаты не учитывают пространственной протяженности излучателя и дифракции от границ на нем.Спектральные характеристики рассеяния для тела в звуковом канале при ряде допущений получены в [110]. В [101] используется приближенный подход, основанный на представлении поля направленного источника произвольной ориентации в дальней зоне многомодового волновода с плавно меняющимися параметрами через диаграммы направленности этого источника в безграничной среде. Коэффициенты возбуждения нормальных мод волновода определяются здесь через вертикальные собственные функции путем спектрального разложения поля источника по цилиндрическим волнам. Эти результаты в основном аналогичны тем, которые были получены в [105]по ММИ. Данный подход справедлив для излучателей (рассеивате-лей) с малым отношением D/h, когда можно пренебречь влиянием границ на первичное поле объекта.

При использовании интегральных методов, а также принципа взаимности, в формуле Кирхгофа (2.1) могут быть примененыфункции Грина, учитывающие разложение поля по нормальным модам плоского волновода [90,106].Выражения для таких функций как первого (2.8), так и второго (2.10) задания граничного условия на поверхности тела произвольной формы, помещенного в идеальный волновод, в общем виде получены в [12,24,106]. Однако, ввиду их сложности, практическое использование таких соотношений для расчетов весьма затруднительно. Кроме того, они не учитывают реальных акустических параметров границ водного слоя.

В работах [82-85,107] в качестве протяженного излучающего объекта на основе ММОИ рассматривается линейная дискретная антенна в водном слое, а в [104] аналитиче ски доказано существование усредненного закона спадания в зоне Фраунгофера, что позволяет разработать приближенную схему пересчета ближнего поля в дальнее в услови ях волновода. Численный алгоритм для разделения прямого и отраженного от границ по лей излучателя при проведении измерений в ближнем поле реализуется с помощью введе ния на контрольной поверхности распределения фиктивных излучателей (монополей и диполей) [103]. В целом, в указанных выше исследованиях влияние границ изучается без строгого учета объемного характера и формы поверхности излучателя, а также (за исключением [103]отсутствуют непосредственные оценки корректности проведения измерений в ближнем поле объектов. В работе [102] получены решения уравнений колебаний жесткой сферы вблизи плоской поверхности путем введения мнимой сферы, что позволило получить некоторые аналитические оценки присоединенной массы, импеданса излучения и влияния объемного излучателя на суммарное акустическое поле. Данные результаты получены в предположении малых значений отношения /l (где - радиус сферы; l – расстояние от ее центра до поверхности), т.е. в суммарном поле учтена только первичная дифракция мнимой сферы и не оценивается роль многократного ее взаимодействия с действительной. Рекомендации по строгому учету взаимодействия излучателей аналитической формы с границей раздела сред по аналогии с задачами дифракции приведены в [99,108,109] для стационарных и в [98] для нестационарных задач. Так, в [99] рассмотрен алгоритм приме нения ММОИ к задаче дифракционного взаимодействия совокупности реального и двух ветвей мнимых источников с учетом вторично рассеянных полей (ВРП), т.е. многократно переотраженного границами исходного поля источника. В соответствии с этим представ ление суммарного поля источника при всестороннем учете влияния границ плоскопа раллельного волновода имеет вид: где - соответственно поле источника и рассеянное поле в безграничной среде, определяемые в виде разложений по соответствующим волновым ям; – совокупности ВРП при моделировании границ вкладами двух ветвей мнимых источников с рангом усечения N.

Разложения полей в ряды подставляются в граничные условия на поверхности реального и мнимого источников, которые по отношению к ВРП могут являться либо абсолютно жесткими, либо абсолютно мягкими. Это приводит к совокупности бесконечных системлинейных алгебраических уравнений для определения неизвестных коэффициентов разложений. В общем случае непосредственное решение таких систем даже для идеальных граничных условий оказывается достаточно громоздким, требует проведения соответствующей процедуры регуляризации и зачастую ограничивается лишь интегральным представлением. Доведение решения до численного результата возможно только для некоторых сравнительно простых частных случаев.

Общие подходы к нахождению решения систем, получаемых на основе представле ния (3.28) в плоской постановке при однородных граничных условиях рассмотрены в [108] применительно к идеальной сфере, а в [22,24] – к идеальному вытянутому сфероиду. В [108] анализируются различные варианты алгоритмов, позволяющих изменить порядок решения данной совокупности систем, упростить ее структуру и сократить время вычис лений.В первую очередь это касается, например, оценкипогрешности разделения исход ной совокупности на локальные независимые подсистемы, выполнения условий сходимо сти итерационных алгоритмов типа метода Зейделя для регулярных (квазирегулярных) систем, возможности перевода систем из комплексной области в вещественную, выбора ранга усечения N в зависимости от и т.д. Применение в данном алгоритме более слож ных моделей волноводов, рассмотренных, например, в [83-85]требует исследования дополнительных математических и физическихдопущений по выбору мнимых объемных излучателей.

В целом, численные модельные эксперименты [99]показывают, что при большинстве практически важных значений отношений искажения распределений полей объемных излучателей вследствие наличия идеальных границ и дифракционного взаимодействия могут быть соизмеримы с погрешностью измерений. Так, например, такие искажения для сферы могут не учитываться при , а для бесконечного цилиндра – при (где D- диаметры фигур). Дифракционное взаимодействие с жесткой грани цей может быть наиболее существенным при При этом конкретные циф ры должны корректироваться в зависимости от специфики возбуждения излучателя и ус ловий проведения измерений. Получение аналогичных оценок для сфероида и конечного цилиндра в рамках данного подхода затруднительно, но может быть реализовано численными методами. Тем не менее, в первом приближении для таких объектов можно ориентироваться, по-видимому, на приведенные выше значения.

В настоящей работе для оценки влияния границ плоского волновода на пространственно-частотную структуру звукового поля полунатурного объекта неканонической формы предлагается теоретико-экспериментальный алгоритм, основанный насовместном применении ММОИ, МФГ и непосредственных измерений гидроакустических характеристик объекта в натурных условиях.Результаты такой оценки позволили проанализировать условия корректных измерений в ближнем поле объекта, оценить возможность определения на их основе поля в дальней зоне, а также сравненить численные результаты для различных моделей грунта с экспериментальными.