"Линейные и нелинейные клиновые волны в твёрдых телах" Пупырёв Павел Дмитриевич

Содержание к диссертации

Введение

1 Метод функций Лагерра 18

1.1 Описание классических методов исследования ПАВ 18

1.2 Описание метода функций Лагерра в задаче об упругом полупространстве 21

1.3 Исследование метода функций Лагерра 25

1.4 Замечания к МФЛ 29

2 Линейная теория клиновых волн 31

2.1 Решение линейной задачи о клиновых волнах 32

2.1.1 Постановка задачи 32

2.1.2 Уравнения движения 38

2.1.3 Решение типа бегущей волны 40

2.1.4 Результаты расчёта линейной задачи 42

2.1.5 Моделирование поля смещения клиновой волны

2.2 Симметрии в задаче о клиновых волнах 51

2.3 Существование клиновых волн

2.3.1 Анизотропная упругая среда 57

2.3.2 Изотропная упругая среда 61

2.4 Формы импульсов клиновых волн 62

2.4.1 Режим абляции 64

2.4.2 Термоупругий режим 69

2.4.3 Расчёт профиля импульса 74

2.5 Плотность состояний на кромке и функция Грина 83

3 Нелинейная теория клиновых волн второго порядка 90

3.1 Постановка задачи 91

3.1.1 Уравнения движения 91

3.1.2 Эволюционное уравнение 95

3.1.3 Симметрии уравнения эволюции 99

3.2 Численные исследования 102

3.2.1 Уравнение эволюции для коэффициентов ряда Фурье 103

3.2.2 Ядро уравнения эволюции 104

3.2.3 Эволюция пробного импульса 110

3.2.4 Эволюция гармонической волны 118

3.3 Дисперсия и солитоны 120

Заключение 131

Литература

• Описание метода функций Лагерра в задаче об упругом полупространстве
• Решение типа бегущей волны
• Анизотропная упругая
• Уравнение эволюции для коэффициентов ряда Фурье

Введение к работе

Актуальность темы. Клиновые акустические волны в твёрдом теле — это третий фундаментальный тип волн, после объёмных и поверхностных волн, импульсы которых распространяются без изменений своих форм (дисперсия отсутствует). Систему упругого клина можно получить из системы упругого полупространства, “разрезав” его вдоль некоторой плоскости, а систему упругого полупространства можно получить из распределённой в пространстве упругой среды тем же методом, поэтому связи между поверхностными и объёмными волнами должны во многом повторяться при рассмотрении клиновых и поверхностных волн. Например, существование быстрых псевдоповерхностных волн в системе упругого полупространства, излучающих энергию при распространении в объёмные волны, имеет свой аналог и для системы упругого клина: совсем недавно были открыты псевдоклиновые волны, излучающие как объёмные, так и поверхностные волны по мере своего распространения. С другой стороны, в этой же последовательности объёмных, поверхностных и клиновых волн должны выделяться и отличительные особенности. Если поверхностные волны отличаются от объёмных волн тем, что они локализованы на двухмерной поверхности (объёмные волны являются нелокализованными), то клиновые волны локализованы вдоль одномерной поверхности (линии) — кромки клина. Клиновые волны — это волноводные акустические волны, которые распространяются без дифракционных потерь, а также они не обладают дисперсией, поскольку в системе бесконечного упругого клина нет ни одного параметра размерности длины.

Первое упоминание об упругом клине как волноводе относится к обзору волноводных акустических систем для микроэлектроники в 1969 г., в котором рассматривались возможные альтернативы поверхностным волнам, чтобы избежать возникающие при работе с ними ненужные дифракционные потери. В 1972–1973 гг. с помощью метода конечных элементов был изучен как волновод в форме клина конечной высоты на полупространстве, так и волновод в форме бесконечного клина. В то же время задача о клиновых волнах была независимо исследована с помощью метода функций Лагерра, который иногда называется методом ортогональных функций. Данный метод основан на разложении поля смещения волны в двойной ряд по функциям Лагерра. Задача о клиновых волнах в этом случае сводится к задаче на собственные значения, причём собственным векторам соответствуют коэффициенты разложения поля смещения по функциям Лагерра, а собственным значениям — скорости клиновых волн.

Поскольку теоретический аппарат, используемый в диссертации, основан именно на методе функций Лагерра, важным вопросом является воспроизводимость с помощью этого метода известных решений. В связи с этим необходимо упомянуть, что метод функций Лагерра был позже применён и для других задач, более известных и отчасти изученных на тот момент, а именно, были изучены поверхностные волны в кристаллах (и пьезокристрал-лах) и многослойных структурах.

Параллельно с изучением упругих клиньев с конечным углом при вершине рядом авторов исследовался вопрос о предельном случае упругого клина с углом при вершине , стремящимся к нулю. Для решения этой задачи были разработаны теория тонкой пластины, геометро-акустический подход, а также теория возмущений, которые в целом приводили к одинаковым результатам. Приближение тонкой пластины (и теория возмущения) позволило отыскать точные аналитические решения. Было обнаружено, что в предельном случае 0 поля смещений клиновых волн описываются в точности функциями Лагерра. Не прибегая к специальным функциям, с помощью геометро-акустического подхода были также получены асимптотики для скоростей некоторой части клиновых волн в изотропной среде в пределе бесконечно острого клина.

Вопрос о существовании клиновых волн на данный момент исследован лишь для случая клиньев изотропной упругой среды, а также для некоторых симметричных конфигураций в кристаллах. В исследованиях, посвящён-ных этому вопросу в изотропных средах, авторы строили тестовые функции, представляющие собой линейные комбинации модифицированных решений для поверхностных волн на обеих сторонах клина, распространяющихся в

направлении, параллельном его кромке, и на этих функциях исследовали область значений некоторого функционала. В диссертации показано, как нам, мне и соавторам, удалось распространить этот подход на некоторые конфигурации в кристаллах. Кроме того, предложен простой численный критерий существования клиновых волн, основанный на методе функций Лагерра.

Другим интересным событием, связанным с исследованием клиновых волн именно в кристаллах, было открытие несколько лет назад быстрых псевдоклиновых волн. Эти волны являются аналогами псевдоповерхностных волн в задаче об упругом полупространстве. В диссертации приведены основные численные результаты опубликованных мной и соавторами исследований, в которых также представлено подробное описание экспериментально измеренных характеристик этих волн.

Другая интересная задача, которая была изучена совсем недавно, — это задача о формировании импульса клиновых волн. Решение этой задачи позволяет рассчитывать формы импульсов клиновых волн, исходя из механизма генерации волн и конфигурации клина. Впервые этот вопрос был рассмотрен в 2011 г. в предположении генерации импульса клиновых волн в изотропном клине линейным лазерным источником в термоупругом режиме. Позднее нами, мной и соавторами, была представлена теория, также подробно изложенная в диссертации, которая позволяет рассчитывать формы импульсов клиновых волн в анизотропной упругой среде для двух механизмов генерации, термоупругого и абляционного, реализуемых, в частности, с помощью импульсного лазерного источника для широкого класса распределения интенсивности лазерного пятна на поверхности клина. Данная работа может сыграть важную роль в задачах неразрушающего контроля, а также в других задачах, где важным критерием является изменение формы импульса.

С экспериментальной точки зрения получение идеального клина представляет собой определённую сложность. В отличие от исследований поверхностных волн, где требуется лишь одна подготовленная поверхность, в задаче о клиновых волнах важно не только качество подготовки обеих граней клина, но и качество подготовки его кромки. Поэтому многие высокочастотные экспериментальные исследования на начальных этапах выявляли наличие дисперсии. Ряд работ был посвящён исследованию дисперсии клиновых волн, вызванной различными способами обработки кромки клина, исследован клин с билинейным профилем, изучена дисперсия, обусловленная наличием тонкой плёнки на одной из поверхностей клина, а также рассмотрена дисперсия цилиндрических клиновых волн, связанная с кривизной линии кромки.

Что касается применения клиновых волн, было предложено их использование в целях неразрушающего контроля состояния кромки упругой среды,

например, для контроля состояния кромок лопастей пропеллеров и турбин. В задачах такого рода именно клиновые волны являются наиболее чувствительными к дефектам на самих кромках. Ряд работ посвящён исследованию процесса взаимодействия клиновых волн с дефектами на кромке образца.

Недавно был представлен и изучен новый тип трансдьюсера, основанный на клиновидной линии задержки. С помощью него оказалось возможным измерение акустических возмущений на поверхности, имеющих как горизонтальную сдвиговую, так и продольную поляризации.

Величину дисперсии, вызванной дефектами на кромке, было предложено использовать для контроля износа режущего оборудования. Показано наличие стабильной зависимости наклона дисперсионной кривой для твердосплавного клина вдоль режущей части сверла от величины износа (области затупления) кромки.

Другой удачной реализацией устройств на клиновых волнах является прототип ультразвукового мотора, представленный в 2006 г. Статор мотора представлял собой стальной цилиндрический клин, находящийся в контакте с пьезокристаллическими элементами. Через контактные площадки на пье-зокристаллы передавалось гармонически модулированное напряжение, и на стальном цилиндрическом клине возникали бегущие волны. Цилиндрический ротор, приведённый в соприкосновение с клином статора, приходил в движение.

Немало работ посвящено задаче об упругом клине, погружённом в жидкость. Было обнаружено уменьшение скоростей волн в погружённом в воду клине, сильно зависящее от плотности материала клина. В качестве одного из возможных применений клиновых волн в жидкой среде была предложена идея небольшой подводной лодки, использующей упругие клиновые волны как источник тяги (по аналогии с некоторыми видами рыб, использующими такие же волнообразные движения для передвижения в океанской среде). Позднее был построен прототип подобного устройства. Другое возможное применение клиновых волн в жидкости — это использование их в качестве микронасосов и микромиксеров различных жидкостей в микросистемах типа “лаборатория на чипе”.

Заканчивая краткое описание исследований линейных клиновых волн, необходимо заметить, что всё многообразие устройств на поверхностных волнах, таких как физические и химические сенсоры, линии задержки, разнообразные фильтры и резонаторы, может быть перенесено и на клиновые волны. В одной из работ по клиновым волнам был представлен датчик влажности, представляющий собой алюминиевый клин с нанесённой на одну из его поверхностей тонкой плёнкой поливинилацетата. Экспериментально была пока-

зана сильная зависимость наклона дисперсионной кривой для первой клиновой моды от влажности воздуха, что объясняется способностью нанесённой на клин плёнки абсорбировать воду из окружающей среды.

В 1979-е годы нелинейные эффекты в клиновых волнах были впервые исследованы экспериментально. Была изучена качественная зависимости уровня сигнала на комбинационной частоте от мощности накачки. Экспериментально обнаружена достаточно слабая квадратичная и более сильная кубическая нелинейности. В этой же работе впервые сформулировано утверждение о том, что для клиновых антисимметричных мод в изотропных средах нелинейность в низшем порядке является кубической, в то время как в кристаллах нелинейность низшего порядка является квадратичной.

В первом теоретическом исследовании нелинейных клиновых волн рассматривались острые изотропные клинья в рамках теории пластины переменной толщины. Авторы обнаружили, что в низшем порядке нелинейность антисимметричных мод в изотропных средах является кубической. Кроме того, на основе геометро-акустического подхода были вычислены коэффициенты эффективности генерации третьей гармоники, а также некоторые другие коэффициенты. В другом исследовании острых клиньев в рамках той же теории пластины переменной толщины было показано, что ведущую роль в кубической нелинейности играет геометрическая нелинейность. Это означает, что нелинейность антисимметричных мод в тонких клиньях описывается в низшем порядке только линейными параметрами упругости среды, например, параметрами Ламе А и /і.

Только в 2009 г. была представлена теория нелинейной эволюции клиновых волн в кристаллах для клиньев произвольных углов, основанная на методе функций Лагерра, были впервые посчитаны ядра эволюционных уравнений, описывающих квадратичную нелинейность в кристаллах, а также численно найдены солитонные решения.

Совсем недавно нами, мной и соавторами, были опубликованы работы, в которых проведены первые симуляции нелинейной эволюции импульсов клиновых волн. Были впервые представлены результаты экспериментальных измерений с явно выраженным процессом нелинейной эволюции (на нераз-рушающей стадии) импульса клиновых волн, согласованные с численными расчётами.

Наконец, в той же работе нами была впервые рассмотрена задача об эволюции гармонической клиновой волны. Как известно, аналогичная задача для простых волн (волн Римана) в квадратичном приближении приводит к уравнению Бюргерса без затухания, которое имеет аналитическое решение, именуемое решением Бесселя-Фубини. На расстоянии хъ_г (или времени),

характеризуемом образованием разрывного волнового фронта, спектр решения приобретает степенной характер с некоторым показателем. По аналогии с исследованиями объёмных и поверхностных волн были представлены соответствующие численные и аналитические результаты для клиновых волн. Показано фундаментальное отличие нелинейных клиновых волн от нелинейных объёмных и поверхностных волн.

Целью данной работы является построение теории, способной во всей полноте описать клиновые акустические волны, не ограничиваясь ни фиксированным углом клина, ни типом симметрии упругой среды. Необходимо исследовать как линейные клиновые волны, так и особенности их нелинейной эволюции.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Поскольку данная диссертация целиком основана на методе функций Лагерра, необходимо исследовать этот метод на сходимость и устойчивость, а также на достоверность в области континуума собственных значений. Целесообразным является применение данного метода в известной задаче о поверхностных волнах для его проверки.

2. Разработать теорию, описывающую существование недавно открытых в экспериментах псевдоклиновых волн, обладающих скоростями, большими чем скорости поверхностных волн, которые распространяются в том же направлении (вдоль кромки) на обеих гранях клина.

3. Исследовать возможность получения критериев существования клиновых волн в кристаллах.

4. Разработать теорию, позволяющую вычислять формы импульсов клиновых волн при их генерации лазерным излучением как в режиме абляции, так и в термоупругом режиме.

5. Определить величину нелинейности клиновых волн в анизотропных средах. Практический интерес представляет поиск оптимальных конфигураций кристаллов для экспериментального наблюдения квадратичной нелинейности.

6. Исследовать отличительные особенности нелинейных клиновых волн по сравнению с нелинейными объёмными и поверхностными волнами. Разработать программные приложения, позволяющие интегрировать нелинейные уравнения движения для заданного исходного импульса.

7. Исследовать взаимодействие солитонных решений в нелинейной диспергирующей среде.

Основные положения, выносимые на защиту:

7. Метод функций Лагерра применим для построения функции динамического отклика на импульсный линейный источник (функция Грина) для задачи Лэмба в полупространстве. Эта функция устойчива к изменению модельных параметров. В предельном случае построенная функция сходится к классической функции Грина для этой задачи.

8. Метод функций Лагерра может быть использован для построения функции Грина для упругого клина, а также функции плотности состояний на кромке, которые позволяют теоретически описать недавно открытые в экспериментах псевдоклиновые волны. С помощью этих функции подтверждено существование псевдоклиновых волны в следующих кремниевых конфигурациях: (Пї)х(їїї), кромка [ПО]; (1ї1)х(1ї2), кромка [НО]; (1Ї2)х(Ї1Ї), кромка [НО]; (ЇЇО)х(ПЇ), кромка [112]; (ОЇ2)х(ЇЇО), кромка

9. Достаточное условие существования клиновых волн определяется свойствами поверхностных волн на гранях клина. Выведены условия существования клиновых волн в некоторых симметричных конфигурациях упругой среды, обладающей тетрагональной симметрией. В кубических кристаллах клиновые волны существуют в прямоугольных клиньях (010)х(001) и (ОЙ)х(ОИ) (найдены области существования симметричных и антисимметричных клиновых волн), в которых поверхностные волны, распространяющиеся на поверхностях этих клиньев в направлении вдоль кромки обладают наибольшей проекцией волнового вектора на кромку. Простой численный критерий существования клиновых волн, основанный на методе функций Лагерра, имеет вид: vlfm < vsaw.

10. Построенная в диссертации теория описывает формы импульсов клиновых волн, генерируемых как в режиме абляции, так и в термоупругом режиме.

11. Нелинейность клиновых волн в кремниевых клиновых конфигурациях описывается представленными в диссертации данными.

12. По сравнению с нелинейными объёмными и поверхностными волнами в нелинейных клиновых волнах более эффективно генерируются высшие гармоники и менее эффективно — низшие гармоники, что приводит к

более интенсивному эффекту "поджимания" области локализации энергии волн к кромке клина, по сравнению с аналогичным эффектом для нелинейных поверхностных волн. Представленная теория воспроизводит результаты экспериментальных исследований.

7. В клиновой конфигурации (Ї12)х(їії) кубического кристалла кремния при наличии слабой дисперсии типа Бенжамина-Оно существуют со-литонные решения. Продемонстрированы характерные особенности их взаимодействия.

Научная новизна:

13. Применение метода функций Лагерра для описания поверхностных волн не является новым, первое такое описание относится 70-ым годам. Однако непрерывная часть спектра, описывающая совокупность падающих и отражённых объёмных волн, впервые была исследована мной и соавторами совсем недавно. А также на основе этого метода впервые была воспроизведена классическая функция Грина.

14. Псевдоклиновые волны были открыты экспериментально лишь в 2012 году. На данный момент единственный способ их теоретического описания основан на впервые построенной нами функции Грина для упругого клина.

15. Впервые рассмотрена задача о существовании клиновых волн в кристаллах, получены соответствующие критерии существования. В рамках описанного подхода впервые представлен и обоснован простой численный критерий существования клиновых волн, основанный на методе функций Лагерра.

16. Впервые представлена линейная теория возбуждения клиновых волн в клиньях произвольных конфигураций (независимо от симметрий упругой среды и ориентации клина) для двух режимов генерации волн: термоупругом и абляционном. Наибольший практический интерес представляет открывшаяся возможность оптимальной селективной генерации отдельных клиновых мод.

17. Впервые рассчитаны ядра эволюционных уравнений для клиновых волн в кристаллах с квадратичной упругой нелинейностью в рассмотренных конфигурациях.

6. Впервые выполнено численное моделирование эволюции импульсов клиновых волн, а также гармонической клиновой волны. Впервые описаны фундаментальные отличия нелинейных клиновых волн от нелинейных объёмных и поверхностных волн.

7. Впервые продемонстрированы расчёты взаимодействия клиновых соли-тонов.

Научная и практическая значимость. Клиновые волны в современной теории упругости твёрдого тела можно рассматривать в одном ряду с такими фундаментальными волнами, как объёмные и поверхностные волны, и, более того, как логическое продолжение этой последовательности. Поскольку эта диссертация посвящена в основном теоретическому исследованию клиновых волн, основные положения, выносимые на защиту, носят в первую очередь научную значимость. Построение на основе метода функций Лагерра функции динамического отклика для упругого полупространства и упругого клина может быть распространено на более широкий класс задач. В свою очередь, обнаружение в численных исследованиях псевдоклиновых волн, открытых также экспериментально, помимо научной ценности может в дальнейшем найти и практическое применение. Большинство устройств, реализованных на поверхностных волнах, таких как линии задержки, физические и химические сенсоры, разнообразные фильтры и резонаторы, могут быть реализованы и на клиновых волнах. Открытие псевдоклиновых волн может дать толчок к применению их в подобных устройствах, как это произошло в своё время для псевдоповерхностных волн. Ведь кроме и без того привлекательных свойств, которыми обладают клиновые волны, одномерная локализация и отсутствие дифракционных потерь, многомодовость и низкие скорости волн, псевдоклиновые волны могут иметь все преимущества псевдоповерхностных волн: более низкую чувствительность к состоянию кромки и дефектам на ней, более высокую температурную стабильность и более высокий коэффициент электромеханической связи в пьезокристаллах. Результаты исследования задачи о форме импульса клиновых волн могут быть использованы в методах неразрушающего контроля состояния кромки упругой среды, где изменение формы импульса может свидетельствовать об определённом внешнем воздействии на кромку либо о структурном дефекте.

В то время как линейные клиновые волны уже сейчас находят своё применение, нелинейные клиновые волны интересны в основном с теоретической точки зрения. В отличие от объёмных и поверхностных волн эффективное нелинейное преобразование энергии клиновых волн в высокочастотные

гармоники происходит более интенсивно. Благодаря этому факту некоторые нелинейные эффекты, такие как образование разрывного фронта, в случае клиновых волн проявляются ярче и быстрее. Одна из заявленных целей диссертации — расчёт функции ядра эволюционного уравнения, характеризующей нелинейность клиновых волн, — вполне может сыграть важную (прикладную) роль, по крайней мере, в дальнейших экспериментальных исследованиях.

Степень достоверности представленных исследований обеспечивается экспериментальными результатами, опубликованными в работах [1–], и теоретической работой [], также опубликованной в рецензируемом журнале.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на следующих симпозиумах и конференциях:

1. “Nonlinear Acoustic Pulse Evolution at Solid Wedges” / Elena S. Sokolova, Pavel D. Pupyrev, Alexey M. Lomonosov, Andreas P. Mayer, Peter Hess, Alexander S. Kovalev // IEEE Ultrasonics Symposium, 7–10 октября 2012 года, Дрезден, Германия.

2. “Supersonic wedge waves at the edges of crystals” / Alexey Lomonosov, Andreas P. Mayer, Peter Hess, Pavel Pupyrev // ICALASE, 1–3 ноября 2012 года, Нанкин, Китай.

3. “Nonlinear Dispersive Waves in Elastic Wedges” / Elena S. Sokolova, Pavel D. Pupyrev, Alexey M. Lomonosov, Andreas P. Mayer, Alexander S. Kovalev // Proceedings of the 4th International Conference on Nonlinear Dynamics ND-KhPI2013, 19–22 июня 2013 года, Севастополь, Украина.

4. “Leaky Wedge Acoustic Waves in Single-Crystal Silicon” / Pavel Pupyrev, Alexey Lomonosov, Peter Hess, Andreas P. Mayer // IEEE Ultrasonic Symposium, 21–25 июля 2013 года, Прага, Чехия.

5. “Acoustic Pulses at Crystal Wedges Studied by Laser Ultrasonics” / Alexey Lomonosov, Pavel Pupyrev, Aleksandar Nikodijevic, Peter Hess, Andreas Mayer // IEEE International Ultrasonics Symposium, 3–6 сентября 2014 года, Чикаго, США.

6. “Клиновые и псевдоклиновые волны в кристаллах” / П. Д. Пупырёв // Третья конференция молодых учённых, 28 апреля 2015 года, ИОФ РАН, Москва, Россия.

7. “Supersonic Waves Guided by Crystal Edges” / A. M. Lomonosov, P. D. Pupyrev, P. Hess, A. P. Mayer // ICU, 10–14 мая 2015 года, Метц, Франция.

8. “Nonlinear Acoustic Pulse Exolution at the Edge of a Silicon Crystal” / A. M. Lomonosov, P. D. Pupyrev, P. Hess, A. P. Mayer // IEEE Ultrasonic Symposium, 21–24 октября 2015 года, Тайпей, Тайвань.

Кроме того, результаты исследований, на которых основана диссертация, докладывались на аспирантских коллоквиумах университета прикладных наук г. Оффенбурга в Германии и на научных семинарах Института общей физики им. А. М. Прохорова.

Личный вклад. Автор принимал активное участие во всех теоретических исследованиях, описанных в данной диссертации, а также в предшествующих не менее значимых исследованиях, не вошедших в данную работу.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 7 печатных изданиях [1–], 4 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК [1–].

Содержание работы

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и четырёх приложений. Полный объем диссертации составляет 160 страниц с 66 рисунками и 2 таблицами. Список литературы содержит 136 наименования.

Описание метода функций Лагерра в задаче об упругом полупространстве

В этом параграфе рассматривается задача о ПАВ в кристаллах. Все компоненты тензорных величин, описываемых в этой главе, записаны в декартовой системе координат, ось OZ которой совпадает с внутренней нормалью к границе полупространства, а направление распространения волн совпадает с осью OX (см. Рис. 1.1). Поскольку из преобразований координат нам понадобятся только преобразования поворота, нет смысла различать верх-18 ние и нижние индексы соответствующих тензоров. Классический расчёт параметров ПАВ в упругой среде со свободной поверхностью проводился методом детерминанта граничных условий [1], следуя реализации, описанной в работе [93]. Согласно этому методу, частное ре шение ищется в виде где 1 = (1,0,С). Для каждого предполагаемого значения скорости ПАВ v уравнения движения р д2иа даар dt2 дх/з где (Ja[3 = CafrS dxs (1.1.1) дают шесть корней Qs и соответствующих векторов поляризации Ua (s = 1,6). Далее отбираются только три решения, которые затухают в глубину (величина Qs с положительной мнимой частью) и, используя уравнения граничных условий для свободной поверхности с«з з=0 аЗ /ё дщ дх$ хз=0 = о, (1.1.2) составляется детерминант граничных условий, который равен нулю, если линейной комбинацией этих трёх решений с неравными нулю коэффициентами одновременно можно удовле-творить граничные условия на поверхности. Таким образом, перебирая предполагаемые скорости распространения ПАВ и находя ноль детерминанта граничных условий (в реальности ищется минимум модуля этого детерминанта), можно определить скорость ПАВ, распространяющихся в направлении ОХ на поверхности XOY (аналогичным методом ищутся скорости и псевдоповерхностных волн (пПАВ), подробнее смотрите [94]). Решение этой задачи означает определение коэффициентов вклада каждого частного решения уравнений движения в общее решение, а значит и профиль волны wa(x,t).

Ориентация декартовой системы координат от- Рисунок 1.2: Ориентация исследуемого полупро носительно упругой среды и направления распространения странства в кристаллографической системе коор ПАВ. динат. В данном параграфе строится функция Грина, которая описывает отклик системы на внешнее воздействие в виде источника поверхностных сил f через плоскость XOY в форме бесконечной прямой: (jas(x\,X2,t) = — fa8(x\) 8(t). (1.1.3) Знак минус в этом выражении возникает потому, что компоненты величины о записаны в системе координат, где положительное направление оси OZ совпадает с направлением внутренней нормали к границе полупространства. Функция Грина может быть построена по описаниям в работах [91,92]. Решение уравнений движения (1.1.1) для Фурье представления поля смещения можно записать в виде: з Ua(k,X2,Xs,U)) = У F Ua e Хз, (1.1.4) s=l где столбцы матрицы Ua(s), пронумерованные индексом (s), представляют собой векторы поляризации соответствующих решений системы линейных уравнений: (Cafilslfi{s) h{s) к2 - рш28аі)иі{з) = 0. (1.1.5)

Условие нетривиальной совместности системы линейных уравнений (1.1.5) сводится к равенству нулю соответствующего детерминанта, представляющего собой полином по компонентам вектора 1. Затем, перебирая все шесть корней Qs полученного многочлена, необходимо выбрать только те решения, которые либо затухают вглубь среды, величины Qs обладают при этом положительной мнимой частью, либо, если корни Qs действительны, переносят энергию вглубь среды, что определяется положительной компонентой вектора Пойтинга, усреднённого по времени (черта сверху означает усреднение по времени): P;i = —(JasUa 0. (1.1.6)

Изучая поведение этого решения на поверхности Хз = 0, можно получить выражения для весовых коэффициентов T(S из граничных условий (1.1.3). Подставляя эти соотношения обратно в представление (1.1.4) и фиксируя направление поверхностных сил вдоль одной из осей системы координат (индекс /3), мы получаем выражение для функции Грина G: где второе равенство вводит определение функции Грина. Здесь матрица Т описывает по-верхностные силы на плоскости Хз = 0, и её компоненты могут быть записаны в виде Ta(s) = kCaSjiUj +ikQ CaSjslIj . Функция Грина G(k,0,u)-\-ie) характеризует отклик сре-ды на внешнее воздействие на поверхности. Например, отклик среды в виде поверхностных волн отражается на мнимых частях компонент функции Грина как дельта-функция. Чтобы сделать этот пик отчётливо видимым, обычно рассматривают среду с затуханием, функцию Грина для которой можно получить, сделав замену ш — ш + іє. Параметр є предполагается много меньшим, чем частоты ПАВ в среде для заданного волнового вектора.

Другой метод, рассмотренный также в работах [16,17], предполагает представление решения уравнений (1.1.1) в виде конечной суммы первых N ортогональных функций Лагерра ірп с некоторыми коэффициентами по координате Хз вглубь полупространства: N-1 ua(x,t) = У e ipn(skxs)e kxi kvt + с.с, (1.2.1) га=0 ж/2 гщ где рп(%) = —г —(е ххп), п = 0,1,2,..., (1.2.2) п\ ахп а символы с.с. обозначают комплексно сопряжённое предшествующее выражение. Необходимо подчеркнуть, что выбор функций Лагерра в качестве системы функций, по которым предполагается разложение решения, может быть связан с тем, что данные функции являются точными решениями в задаче о клиновых волнах в пределе бесконечно тонких клиньев [19,25]. С другой стороны, от функций ірп требуется только их ортонормированность на полупрямой.

Множитель s, введённый в аргументы функций Лагерра ірп, называется масштабным фактором. Он был впервые введён в работе [11], где было показано, что подбором этого параметра можно значительно уменьшить число функций Лагерра, входящих в разложение (1.2.1) (параметр N), необходимое для сходимости полученных значений для скоростей КВ по отношению к увеличению этого числа.

По аналогии с первым параграфом мы вначале применим МФЛ к задаче о ПАВ на свободной поверхности, и в дальнейшем обратимся к задаче о динамическом отклике. Для решения задачи об упругих волнах в полупространстве остаётся найти коэффициенты разложения е . В работах [9,10,14] для этого осуществляется подстановка выражения (1.2.1) в модифицированные уравнения движения (1.1.1), в которых в выражении для сг вводится скачкообразная зависимость модулей упругости Сар (ё от координаты ж з (либо вводится двойная скачкообразная зависимость от линейных комбинаций координат в случае КВ), то есть Са/з-уб — Са/з-уб @(хз), где функция 9(хз) — ступенчатая функция Хевисайда. Комментарии по этому поводу были отчасти даны в работе по КВ [9], в которой изучался частный случай прямоугольных клиньев. Рассмотрим подробнее этот вопрос и заодно получим уравнения движения для коэффициентов разложения.

Решение типа бегущей волны

В случае анизотропной упругой среды (за исключением некоторых симметричных конфигураций) соотношения (2.2.8) для комплексной функции U уже не обладают силой. Это приводит к тому, что хвосты импульсов клиновых волн (области отличных от нулевых значений поля смещения вдали от кромки) могут отставать или опережать импульсы на самой кромке6. С целью описания (графического представления) не только амплитудного распределения поля смещения, но и распределения фазы гармонической волны может быть рассчитана двухмерная картина распределения поля смещения на одной из поверхностей клина (или поля наклона поверхности, то есть производная поля смещения по координате х вдоль кромки клина7). Представим поле смещения в виде интеграла Фурье (2.1.43): Г А п иа{х — vt,y, z) = / —A(q) eiq x v IIа (qy, qz) + c.c, (2.1.63) 2"7Г 0 N-l где Ua(qy,qz) = nfrnisq ) ipn(rqr]), (2.1.64) m,n=0 при q 0 и соответствующих подстановках (2.1.4). Определим переменную X = х — vt (координата в движущейся синхронно с импульсом системе отсчёта), тогда: n 2"7Г ua(X,y,z) dq = 2 Re —A(q) eiq Ua(qy,qz) 2"7Г (2.1.65) 7=o

Из соотношений (2.1.4) несложно получить, что условие г/ = 0 сводится к соотношению z = ту. Далее, вводя новую переменную у = у cos(7) + z sin(7) (расстояние на поверхности клина вдоль нормали к кромке), получаем у = у у/1 + т2. Наконец, рассчитывая нормальную (вдоль внутренней нормали) компоненту собственного вектора е по формуле етп = emnsm(7) + emracos(7), получаем следующее выражение: 6Надо заметить, что фаза соответствующих компонент комплексной функции U на поверхности клина во всех исследуемых конфигурациях обладает практически линейной зависимостью от расстояния до кромки клина. Это говорит о практически прямолинейных хвостах импульсов. 7Именно наклон поверхности фактически измеряется в экспериментах, результаты которых представлены ниже. +00 Г dq uns (X,y) = 2 Re — A(q) eiq Uns(qy) 2"7Г где U n3 (qy) = У Єтп Рт ( s / QV ) m,n=0 (2.1.66) (2.1.67) N-l Здесь и в дальнейшем будем полагать, что вектор е га нормирован на значение етп = 1. т,п=0 Данное условие означает, что функция Л представляет собой Фурье образ соответствующей компоненты смещения на кромке клина.

Для расчёта поля смещения в пространственных координатах Хиу достаточно воспользоваться соотношениями (2.1.66) и (2.1.67). Однако в эксперименте обычно проще достичь высокой точности временной задержки, чем пространственного разрешения. По этой причине перепишем поле смешения в координатах д = t — x/v (запаздывающее время), у:

Необходимо заметить, что когда мы работаем с экспериментальными данными, то имеем дело с дискретным преобразованием Фурье. Рассмотрим для наглядности набор N значений величины нормальной компоненты поля смещения8 на кромке {U3 }га=0 N- І (которые обозначим проще через {ип}), измеренных в моменты времени {„}. При расчёте коэффициентов Фурье всюду в диссертации приняты определения, используемые в таких математических пакетах, как SciLab, GNU Octave и MatLab. Пусть прямое преобразование Фурье (FFT) некоторой действительной величины {хп} определяет коэффициенты {Хк} согласно формуле N-1 Хк = У хпе "" v . (2.1.78) га=0 8На самом деле в сопутствующих экспериментах измерялась не величина поля смещения на поверхности, а величина наклона этой поверхности. Здесь же предполагается, что мы имеем какие-то данные о поле смещения. Тогда обратное преобразование Фурье (IFFT) имеет вид: N-l Пз(Хп,у) = 2 Re У АкЄіді " 11Пз (qiky). (2.1.85) Это означает, что Aо = 0. Надо заметить, что эта функция иПз(Х,у) представляет собой инвертированную по первой переменной и масштабированную коэффициентом v по той же переменной функцию uas(tR, у). С другой стороны, это вполне ожидаемо, поскольку при представлении данных во временном домене вначале отображаются данные, имеющие большие координаты по X, что означает в определённом смысле инверсию.

Восстановление поля наклона поверхности клина по произвольному спектру Другая особенность имеющих непосредственное отношение к данной диссертации экспериментальных исследований заключается в том, что фактически измеряется не смешение поверхности ипз, а её наклон дипз/дх. Для наклона поверхности в пространственных координатах получаем:

Все выведенные выше формулы для поля смещения на поверхности верны и для поля наклона. Так, например, если имеется набор величин {ипзгі} в моменты времени {„}, то, рассчитывая коэффициенты Фурье по формуле { &} = IFFT {гхПзд}, остаётся воспользоваться формулой (2.1.82), сделав в ней замену А — &.

Аналогично, если имеются значения поля наклона на кромке {ипз}\} на пространственной сетке {А }, то, рассчитывая коэффициенты Фурье по формуле { &} = (IFFT{wra3;i}) , остаётся воспользоваться формулой (2.1.85), сделав в ней замену А — В .

Рассмотрим, наконец, применение выведенных соотношений для представления поля наклона поверхности прямоугольного клина кубического кристалла кремния конфигурации d, изображённой на Рис. C.2 в соответствующем приложении. Пусть ось ОХ направлена вдоль [112], ось OY направлена вдоль [111], а ось OZ — вдоль [110]. Нас будет интересовать поле наклона поверхности ипзгі = м3д. На Рис. 2.4 представлены результаты экспериментальных измерений наклона поверхности на плоскости (110) в координатах t и d [3]. Символом d обозначено расстояние на поверхности клина от кромки, то есть величина у. Поле наклона этой поверхности на кромке клина изображено отдельно на Рис. 2.5. Используя лишь данные, представленные на Рис. 2.5, согласно приведённым здесь формулам было рассчитано поле наклона поверхности как на поверхности (110), так и на поверхности (111) (см. Рис. 2.6 и Рис. 2.7).

Рис. 2.6 показывает высокую степень воспроизводимости экспериментальных данных с помощью описанной теории. Чтобы оценить угол отклонения хвоста импульса, а также саму его форму, последние два изображения были представлены в пространственных координатах X и d. Надо заметить, что, хотя на данных рисунках отчётливо видно отклонение хвоста импульса от нормали к кромке, в реальности для данной геометрии это отклонение не так велико (различные масштабы по осям способствуют восприятию увеличенных отклонений).

Анизотропная упругая

В случае изотропной упругой среды результаты исследования задачи о существовании клиновых волн в рамках описанного подхода опубликованы работе [27]. Здесь же для полноты картины представлены результаты, полученные с помощью МФЛ.

Идея применения МФЛ для решения задачи о существовании клиновых волн сводится к сравнению скоростей рассчитанных клиновых мод (собственных значений соответствующей матрицы) со скоростями поверхностных волн. Моды, обладающие меньшими скоростями, рассматриваются как клиновые волны, причём дальнейшие исследования собственных векторов этих мод позволяет определить симметрию решений14. Остальные моды, образующие континуум [3,28], могут рассматриваться как совокупность падающих и отражённых поверхностных и объёмных волн, обладающих эффективным суммарным волновым вектором вдоль кромки клина.

В описанном здесь подходе (как и в работах [27,28]), по-сути, исследуется минимум некоторого функционала на функциях, которые могут быть представлены как линейные комбинации модифицированных решений для поверхностных волн. Ставка делается на тот факт, что сами решения для поверхностных волн могут быть выражены аналитически. Если же поставить цель получения численного критерия существования клиновых волн, то уже нет необходимости использовать для тестовой функции решения для поверхностных волн. Сам метод функций Лагерра, по сути, предоставляет коэффициенты разложения тестового решения для клиновых волн по функциям Лагерра. Поэтому простое условие vw vsurf (2.3.11) само по себе является численным критерием существования клиновых волн. Таким образом, МФЛ приводит к картине существование клиновых волн для изотропных сред, изображённой на Рис. 2.17.

На данном рисунке отмечены области существования как симметричных, так и антисимметричных мод. Эти результаты находятся в согласии с результатами исследований [27,28]. Выделим важные особенности полученных результатов для изотропных клиньев (в дополнение к уже отмеченным ранее особенностям в подпараграфе 2.1.4):

Заканчивая параграф, ещё раз заметим, что подход, описанный в начале данного параграфа позволяет получить области существования клиновых волн, а также классифицировать их как симметричные и антисимметричные волны. Однако, во-первых, полученная классификация верна лишь тогда, когда известно, что не существует одновременно симметричной и антисимметричной волны. Во-вторых, сам подход не позволяет рассматривать области, в которых условие (2.3.5) не выполняется как области, в которых клиновых волн не существует. Невыполнение условия (2.3.5) лишь говорит о том, что с помощью решения для поверхностных волн не удалось подобрать подходящую тестовую функцию.

В англоязычной литературе существует удобное понятие лазерного ультразвука. Под этим понятием подразумевается совокупность методов измерения и контроля различных параметров среды (таких как толщина и плотность плёнки, параметры дефектов и др.) с помощью лазеров. Лазерный ультразвук играет большую роль при изучении состояния среды бесконтактными неразрушающими методами. Методы лазерного ультразвука основаны как на измерении параметров прошедшей через среду акустической волны при помощи лазера, так на лазерном возбуждении акустических волн. В этом параграфе изучаются особенности лазерного возбуждения клиновых волн.

В зависимости от состояния среды между источником и приёмником акустических волн такие параметры, как время прихода импульса и сама его форма, могут различаться. Скорость распространения клиновых волн, которая определяет время прихода волнового импульса, в случае идеального состояния кромки упругой среды определяется решением линейной задачи, рассмотренной ранее в параграфе 2.1. Для изучения вопроса об изменении формы импульса акустических волн при их распространении необходимо иметь представление о форме волнового импульса в момент его возбуждения. В этом параграфе представлена теория, описывающая форму генерируемого импульса клиновых волн в зависимости от упругих (и термоупругих) свойств среды при некоторых допущениях об источнике возбуждения.

В следующей главе диссертации частично изучен вопрос об изменении формы импульса при его распространении. Рассмотрены процессы изменения формы импульса за счёт нелинейности среды, а также за счёт дисперсии и диссипации в среде.

Необходимо заметить, что существуют различные подходы к решению поставленной задачи. Один из способов заключается в использовании метода конечных разностей по временной области (FDTD) для решения дифференциальных уравнений (уравнения движения для упругой среды) с граничными условиями (см. [103]). В этом случае можно получить информацию не только о форме импульса, но также и о фазовых скоростях (а, следовательно, и групповых скоростях) существующих в среде акустических волн. Однако данный подход имеет и свои ограничения. Ведь для того, чтобы получить информацию о формах импульсов различных мод, необходимо, чтобы эти импульсы разошлись на достаточное расстояние. Только в случае отсутствия перекрытий между импульсами можно говорить об их формах. С другой стороны, точность решения таких задач со временем (или с увеличением расстояния между импульсами) неизбежно падает.

Другой возможный подход заключается в построении аналога функции источника. В случае пооверхностных волн в изотропной упругой среде можно построить точное аналитическое решение для формы импульса (см. [104]). При некоторых приближениях можно получить полуаналитические решения и в некоторых особых направлениях в кристаллах (см. [105]). В общем случае формы импульсов поверхностных волн в кристаллах несложно посчитать числено (см. [98,106]).

Что касается формы импульсов клиновых волн, то помимо работы автора [33], на которой основан этот параграф, на данный момент опубликована работа [32] с экспериментальными и теоретическими результатами по термоупругому режиму возбуждения клиновых волн в изотропных средах при наличии дисперсии. В данном параграфе изучается форма импульса клиновых волн, генерируемых в клиньях с произвольными конфигурациями в кристаллах, для двух различных режимов возбуждения: режима абляции и термоупругого режима. Поскольку исходно клин считается невозмущённым, и возмущение происходит в момент времени t = 0, после которого, как показано далее, возникают бегущие волны, то в этом разделе используется представление Лапласа (2.1.48).

Необходимо заметить, что помимо термоупругого и абляционного режимов возбуждения акустических волн возможна генерация звуковых волн за счёт концентрационно-деформационного механизма в полупроводниках (см. [104]), в котором предполагается, что сдвиги энергетических уровней зарядов (электронов и дырок) в первом приближении пропорциональны тензору деформации. Таким образом, помимо изучаемых режимов возможна генерация звука за счёт пространственной модуляции концентрации носителей заряда оптическим излучением.

Уравнение эволюции для коэффициентов ряда Фурье

В данном подпараграфе представлены результаты расчёта ядер эволюционного уравнения для некоторых клиновых конфигураций кристалла кремния. Под ядром уравнения договоримся понимать именно функцию G(), выражение для которой следует из формул (3.2.7) и (3.1.31). Из последней формулы видно, что расчёт ядра сводится к вычислению собственного вектора е и интегралов нескольких видов, один из который можно записать следующим образом:

Данный интеграл несложно берётся аналитически, результат представлен формулой (D.16) в Приложении D. Остальные интегралы отличаются от данного тем, что вместо каждой функции Лагерра ірі может быть её производная. В этом случае, раскрывая производные по формуле (D.7), опять приходим к формуле (D.16).

Прежде чем представить результаты численных расчётов, необходимо оценить их сходимость. Возьмём, например, следующую клиновую конфигурацию кубического кристалла кремния: ось ОХ направлена вдоль [112], ось OY направлена вдоль [110], а ось OZ — вдоль [111]. Клин имеет прямой угол при вершине и занимает четверть пространства, ограниченную плоскостями с внутренними нормалями вдоль осей OY и OZ. Нормировка предполагается на внутреннюю нормаль к поверхности (110). На Рис. 3.5а и 3.56 представлены результаты расчётов G(0.25) и G(0.5) в зависимости от N, числа функций Лагерра, участвующих в разложении поля смещения. Сплошными кривыми представлены расчёты для случая постоянных модельных параметров сходимости s = r = 1.5 и s = r = 0.7. Три случая: когда s = r = 1, когда используется оптимизация единственного параметра сходимости (s = r) и когда оптимизируются оба параметра сходимости s и r, привели приблизительно к одинаковым результатам, которые изображены серой пунктирной кривой. Результаты оптимизации факторов сходимости представлены на правом изображении Рис. 3.5c: сплошная чёрная кривая отвечает единственному оптимизируемому параметру (s = r), а две другие пунктирные кривые определяют оптимальные значения параметров сходимости в модели, когда количество оптимизируемых параметров равно двум (s и r).

В случае, когда угол клина равен 45 (Рис. 3.6), кривые для модели, в которой предполагается s = r = 1 (сплошная серая кривая), и для модели с подбором одного или двух оптимальных параметров (эти два случая неразличимы на рисунках a) и b) и изображены пунктирной кривой) не совпадают. Эти результаты лишний раз показывают обоснованность введения факторов сходимости с целью получения более точных результатов при той же сложности задачи (при одинаково затраченном вычислительном времени).

Из приведённых изображений можно сделать вывод, что если не требуется точность вычисления ядра уравнения более 1%, то можно выполнять эти расчёты при N 7, вычислив предварительно оптимальные значения факторов сходимости.

Прежде чем перейти к результатам расчётов функции ядра эволюционного уравнения, остановимся ещё раз на вопросе о нормировке. Значение функции ядра зависит от нормировки собственного вектора, и, значит, связана с поверхностью клина, наклон которой измеряется в эксперименте. Как было написано в конце подпараграфа 3.1.2, при измерении наклона поверхности, нормаль которой направлена вдоль некоторого вектора п, нужно N-1 пользоваться ядром, рассчитанным для собственного вектора с нормировкой У ] е"; = 1. к,1=0 Для краткости обозначим поверхность клина в плоскости XOY в карте h\ (Рис. 2.9) за щ, а вторую поверхность клина — за П2. Тогда под Gn2 и Gra3 будем понимать ядра, рассчитанные для соответствующих нормировок собственных векторов.

Несложно заметить, что из формул (3.2.7) и (3.1.31) следует соотношение G(ae) = aG(e), где а — это комплексное число, а е - краткое обозначение собственного вектора. Тогда, рассчитав величину G(() для некоторого собственного вектора, а также величину нормальных компонент этого собственного вектора РП2 и Рпз, можно с лёгкостью найти выражения для Gm и G„3: Gn2 = G/Pn2, Gn3 = G/Pn3- (3.2.9)

Заметим, что при малых значениях нормальных компонент Рп можно получить большое значение для ядра Gn. Но при такой нормировке на компоненту вдоль нормали п собственная мода будет обладать много большей энергией (за счёт остальных компонент поля смещения). Поэтому нет ничего удивительного, что в этом случае можно получить сильную нелинейность (большие значения функции Gn). Чтобы оценить величину нелинейности для импульса единичной энергии, договоримся считать функцию ядра для собственного вектора с нормой е2 = sr (1 — т2) / (pv2). Тогда для оценки величины нелинейности необходимо рассматривать G(()10.

Итак, подведём итог в обозначениях интересующих нас величин. Если нам интересна величина нелинейности, то будем говорить о G(), где ядро рассчитывается для собственного вектора с нормой е2 = sr (1 — т2) / (pv2). Если речь идёт о ядре в уравнении эволюции для Фурье коэффициентов наклона поверхности, то будем обращаться к Gn, не конкретизируя поверхность (или Gm, или G„3, если мы говорим о конкретной поверхности). В тех случаях, когда мы говорим об общих свойствах функции ядра, будем просто записывать G.

Приведём теперь результаты расчёта ядер для некоторых клиновых конфигураций. Стоит отметить, что расчёт значения ядра в одной точке при N = 8 занимает время поряд 10 Реальные и мнимые части данного ядра рассматривать смысла не имеет, поскольку условие на норму е не фиксирует фазу собственного вектора. ка секунды на среднестатистическом ПК, что немыслимо затормозило бы интегрирование уравнения эволюции. Чтобы значительно ускорить это интегрирование, функция ядра вычисляется в нескольких точках и аппроксимируется полиномом. В таблице 3.1 приведены коэффициенты разложения реальной и мнимой частей функций ядер G(() для различных конфигураций из Приложения C по чётным степеням (( — 1/2), что учитывает симметрию ядра G(() = G(l — (). То есть значение, например, действительной части функции ядра может быть рассчитано исходя их следующей формулы: