Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Обзор основных механизмов взаимодействия акустического поля с обменными процессами 9
1.1. Основные факторы воздействия акустических волн на процессы тепло - массообмена 9
1.2. Увеличение коэффициента диффузии в акустическом поле 14
1.2.1. Основные факторы влияния акустического поля на коэффициент диффузий 14
1.2.2. Поглощение энергии звуковой волны 14
1.2.3. Адиабатическое сжатие среды в звуковом поле 16
1.2.4. Взаимодействие звуковой волны с границей раздела при нормальном падении 18
1.2.5. Анализ влияния рассмотренных механизмов на увеличение коэффициента диффузии в звуковом поле 19
1.3. Увеличение градиента концентрации на границе раздела в акустическом поле 19
1.3.1. Основные факторы влияния акустического поля на градиент концентрации 19
1.3.2. Увеличение градиента концентрации в газовых средах 22
1.3.3. Увеличение градиента концентрации в жидкости 23
2. Моделирование конвективного тепло- и м ассопереноса в герерогенных системах в условиях мощньтх акустических полей 30
2.1. Общая постановка задачи о расчёте параметров термодинамической системы 30
2.2. Приведение условий задачи о теплопереносе к безразмерному виду
2.3. Обобщение безразмерных условий задачи о теплопереносе на процессы массопереноса 39
2.4. Учёт влияния акустического поля на величину коэффициента теплоперсноса за счёт акустической конвекции 40
2.5. Определение общего вида коэффициента теплопереноса в условиях акустической конвекции из анализа его размерности 44
2.6. Определение коэффициента теплопереноса путём решения краевой задачи для уравнения Прандтля 50
3. Методика расчёта параметров термодинамической системы в условиях акустических течений 62
3.1. Основные классы задач для уравнения теплопроводности 62
3.2. Решение третьей краевой задачи для уравнения теплопроводности методом разделения переменных 66
3.3. Методика учёта влияния акустических течений при расчёте параметров теплопереноса 70
3.4. Методика учёта влияния акустических течений при расчёте параметров массообмена 72
3.5. Моделирование массообменных процессов на примере термодинамической системы 74
4. Экспериментальная установка для исследования теплообмена в акустическом поле 76
5. Описание экспериментальных исследований воздействия акустического поля на теплоперенос 95
Заключение 108
Список литературы 109
- Основные факторы влияния акустического поля на коэффициент диффузий
- Увеличение градиента концентрации в жидкости
- Приведение условий задачи о теплопереносе к безразмерному виду
- Решение третьей краевой задачи для уравнения теплопроводности методом разделения переменных
Введение к работе
Изучение теплообменных и массообменных процессов, как физического явления, имеет большое прикладное значение для решения многих исследовательских и инженерных задач. Круг явлений, в которых существенны теплопроводность, диффузия и взаимосвязанный тепло- и массоперенос, чрезвычайно широк и затрагивает практически все области естествознания, начиная от атмосферных и геофизических явлений и до вопросов жизнедеятельности в биологии. Теплообменные и массообменные процессы в настоящее время нашли самое широкое применение в разных отраслях промышленности, от металлургии и нефтепереработки до пищевой промышленности и фармакологии. Для каждой из этих отраслей большое значение имеет интенсификация и оптимизация технологических процессов с целью получения высококачественной конкурентоспособной продукции, экономного использования сырья и эффективной утилизации отходов. Создание нового высокоэффективного тепло- и массообменного оборудования требует новых технических решений, основанных на применении различных физических методов. Одним из таких методов может быть использование энергии акустического поля. Воздействие ультразвука большой интенсивности на физико-химические процессы, связанные с тепло и массообменном, оказывает на них существенное влияние и может способствовать их заметной интенсификации.
При этом нужно учитывать, что «понимание физических механизмов ультразвуковых процессов есть единственная основа рационального подхода к конструированию технологической аппаратуры и выбору оптимальных режимов. Чисто эмпирический подход к решению этих вопросов не даёт сколько-нибудь удовлетворительных результатов, так как картина, возникающая в звуковом поле высокой интенсивности, сложна и многообразна» [1]. Математическое описание тепло- и массообменных процессов, происходящих в поле звуковых волн, применительно к реальным условиям относится к сложнейшим задачам механики сплошных сред. Одним из эффективных методов исследования такого класса задач является вычислительный эксперимент.
Сложность математического моделирования рассматриваемых явлений обусловлена, прежде всего, сложностью моделирования самих тепло-массообменных процессов, на которые накладываются сложности описания распространения звуковых волн, в большинстве случаев с учётом нелинейных эффектов: акустических течений, кавитации и т.д.
Проблемам исследования и математического моделирования тепло- и массообменных процессов в поле звуковых волн посвящено большое количество работ. Не претендуя на полноту, отметим работы лишь некоторых ученых, заложивших основы ультразвуковой технологии. Это работы Розенберга Л.Д., Архангельского М.Е., Борисова Ю.Я., Статникова Ю.Г. и др., в которых были предложены математические модели, описывающие воздействие ультразвука на диффузные, электро- химические процессы и др..
Вместе с тем, следует отметить, что ввиду сложности математического описания рассматриваемых явлений, большая часть исследований была проведена в экспериментальном плане, полученные зависимости скорости процессов от различных факторов, математические модели носят приближённый, полуэмпирический характер. Поэтому построение математических моделей, позволяющих исследовать тепло и массообменные явления, происходящие в природе, а так же в самых разных технических устройствах и технологических процессах является в настоящее время актуальной и практически значимой задачей.
Целью работы является исследование влияния акустического поля на тепло- массоперенос в двухфазных средах, разработка математических моделей и вычислительных алгоритмов расчета воздействия вихревых мелкомасштабных потоков, возникающих в акустических полях большой мощности, на диффузные процессы, позволяющих моделировать различные технологические процессы, а так же переносить результаты моделирования тсплообменных систем на массообменные, ввиду их общего подобия.
Для достижения поставленных целей в работе были рассмотрены следующие научные задачи:
• Получение безразмерных критериев подобия, характеризующих соотношение основных параметров тепло - массопереноса в условиях акустической конвекции.
• Разработка математической модели и методики расчета коэффициента
теплопереноса (массопереноса) в гетерогенных средах в условиях акустической конвекции относительно полученных безразмерных критериев.
• Проведение численных исследований тепло и массообменных процессов в условиях акустической конвекции.
• Сопоставление расчетных результатов с результатами, полученными на физической модели теплообменной системы.
Научная новизна работы заключается в следующем: 1. Предложена математическая модель диффузных процессов через границу раздела жидкость - твёрдое тело в условиях мелкомасштабных вихревых потоков, возникающих в акустических полях большой мощности, учитывающая общее подобие тепло и массообменных процессов. В процессе моделирования совокупность основных показателей рассматриваемой физической системы была сведена к известному дифференциальному уравнению теплопереноса, которое было представлено относительно безразмерных параметров. Такое представление позволяет распространить полученные результаты на процессы массопереноса, путём замены соответствующих выражений безразмерных критериев, ввиду их общего подобия. 2. Получены аналитические выражения для коэффициентов тепло и массопереноса в условиях акустической конвекции. В полученном выражении для коэффициента теплопереноса отсутствуют недостатки, присущие ранее опубликованным результатам. Искомое выражение представлено в виде комбинации безразмерных параметров с числовыми коэффициентами, и было получено двумя методами. В первом случае из анализа размерностей была составлена нелинейная регрессия с неизвестными числовыми коэффициентами, которые можно определить экспериментально по методике регрессивного анализа. Во втором случае аналогичный по виду результат был получен путём аналитического решения краевой задачи для уравнения теплопроводности в приближении пограничного слоя.
3. На основе общей теории подобия предложены безразмерные критерии подобия, характеризующие соотношение основных параметров тепло • массопереноса в условиях акустической конвекции.
4. Предложена методика моделирования массообменных диффузных процессов на примере теплообменных физических моделей. Использование предложенной методики целесообразно ввиду большей технической сложности прямых замеров концентраций в исследуемых средах, в сравнении с замерами температуры.
5. В процессе экспериментальной проверки полученных результатов путём математического моделирования была предложена методика определения степени влияния мелкомасштабных вихревых акустических потоков на скорость диффузных процессов с учётом установившегося пространственного распределения акустических волн в измерительном объёме с имеющейся конфигурации границы раздела жидкость- твёрдое тело.
Практическая значимость работы заключается в следующем: 1. Повышение точности расчетных методик для проектирования ультразвукового тепло- массообменного технологического оборудования при использовании разработанной математической модели;
2. Повышение качества моделирования массообменных диффузных процессов в акустическом поле за счет переноса результатов исследования теилообменных физических моделей на массообмен, ввиду их общего подобия;
3. Повышение адекватности математических моделей за счет использования разработанной математической модели в составе более масштабных моделей, учитывающих влияние акустической конвекции.
В настоящей работе соискателем выносятся на защиту следующие положения:
1. Безразмерные критерии подобия, характеризующие тепло- массоперенос в условиях акустической конвекции и степень влияния на него акустического поля, для оценки подобия моделируемых процессов.
2. Математическая модель и методика математического моделирования диффузных процессов в условиях акустической конвекции, сформулированной относительно предложенных критериев подобия и учитывающей общее подобие тепло и массообменных процессов.
3. Методика расчёта степени влияния мелкомасштабных вихревых акустических потоков на скорость диффузных процессов с учётом установившегося пространственного распределения акустических волн в рассматриваемом объёме с имеющейся конфигурацией границы раздела жидкость - твёрдое тело.
Реализация результатов работы. Представленные в работе результаты были получены при выполнении научно-исследовательской работы «Влияние акустических полей на тепловые, массообменные и механические процессы при переработке гидробиоытов» ГБТ № 213/95-2000. Полученные результаты теоретических исследований и экспериментов, методы, модель и алгоритмы использовались в технологических процессах гальванического участка вагоноремонтного предприятия ООО «Трансвэй» на Московской железной дороге, производственного предприятия ООО «Демарк Восток» (г. Владивосток), а также в учебном процессе кафедры ЭГА и МТ.
Достоверность результатов обеспечивается обоснованным применением современной теории математического моделирования, использованием хорошо отработанных методик расчета и подтверждается согласованием теоретических результатов с экспериментальными данными.
Значительное место в диссертации занимает тестирование полученной математической модели путем сравнения получаемых решений с имеющимся экспериментальным материалом.
Апробация результатов работы. Разработанные методики и пакеты прикладных программ проходили апробацию в Дальневосточном государственном техническом университете (г. Владивосток) на кафедре «Гидроакустики», а так же в Рыбохозяйственном техническом университете (ДАЛЬРЫБВТУЗ) (г. Владивосток) в научно-исследовательской работе: «Влияние акустических полей на тепловые, массообменные и механические процессы при переработке гидробионтов». ГБТ № 213/95-2000. Работы проводились совместно с аспирантами и сотрудниками Рыбохозяйственного іехпического университета (ДАЛЬРЫБВТУЗ) г. Владивостока. Соискателем лично проводились эксперименты, а так же соискатель принимал участие в обработке их результатов. В процессе обработки результатов экспериментов были разработаны прикладные компьютерные программы.
Основные результаты работы докладывались на IV Всероссийской научной конференции с международным участием "Экология 2006 - море и человек" (г. Таганрог), на XVIII сессии РАО 11-14 сентября 2006 г. (г. Таганрог).
Публикации. По результатам диссертационной работы было опубликовано 5 статей, из них, одна - в издании, включённом в Перечень ВАК.
Основные факторы влияния акустического поля на коэффициент диффузий
Звуковая волна при распространении в среде поглощается, и потеря её энергии приводит к изменению температуры среды А Ті . Увеличение температуры для случая звуковых волн небольшой амплитуды можно вычислить из уравнения теплового баланса: Quomepb = CVPATXX , (1.12)" где 4/ 77 + а у У. потерь О V Є Р потерь 0 \ / о 3 2р0с0 ро - плотность среды, cv - удельная теплоёмкость среды, л- - путь, проходимый звуковой волной, 10 — интенсивность звуковой волны, С - коэффициент второй вязкости, X -коэффициент теплопроводности; сп — скорость звука в среде, со - циклическая частота звуковых колебаний. Зная параметры звуковой волны (10 и со), а так же параметры среды (cv ро, со и т.д.), можно по формуле (1.12) найти изменение температуры за счёт поглощения звуковой волны в среде.
Расчёты, приведённые для указанного случая [10, с. 519-520], показывают, что нагрев в воде за счёт поглощения не будет превышать 10 5 С. Для воздуха эта величина будет иметь порядок 10 2 С.
Для случая мощных акустических полей можно сказать, что степень паїрсва будет значительно выше за счёт нелинейных эффектов,,приводящих к обогащению спектра исходной волны высшими гармониками, образованию ударных фронтов в профиле волны и, соответственно, к увеличению поглощения энергии ультразвуковой волны и повышению эффективности нагрева. Эти эффекты широко используются в медицине в терапевтических целях, а так же в акустической хирургии [28]. Динамика этих процессов носит сложный характер. В работах [29; 30] приведены результаты исследования влияния акустической нелинейности на эффективность нагрева биологической ткани мощным сфокусированным ультразвуком при режимах, используемых в реальных клинических установках. Сравнивались предсказания двух моделей с учётом и без учёта акустической нелинейности ткани. Было показано, что в режиме, типичном для акустической хирургии, нелинейность существенно улучшает локальность воздействия и способствует увеличению мощности тепловых источников в фокусе (примерно на порядок), по сравнению со случаем линейного распространения волны. Отмечено так же, что существенное проявление нелинейных эффектов имеет место лишь в малой пространственной области, вблизи фокуса экспериментальной установки, в рассмотренном случае имеющей размеры примерно 1,5 мм в поперечном и 15 мм в продольном направлениях. При учёте акустической нелинейности максимальное приращение температуры в фокусе в несколько раз превышает значение, полученное в приближении линейного распространения волны, т.е. роль нелинейных процессов является принципиальной.
Таким образом, можно сделать вывод, что нагрев в свободной среде за счёт поглощения звука при линейном распространении волн оказывается незначительным. В случае возникновения нелинейных акустических эффектов нагрев может быть значительным и оказывать существенное влияние на процессы тепло- и массопереноса, но создание акустического поля нужной интенсивности представляет собой сложную задачу, и возможно только для небольших пространственных областей путём фокусирования звука.
Изменение температуры среды в акустическом поле, в общем случае, определяется выражением [22, с.353]: AT = LV где Cp — удельная теплоёмкость при постоянном давлении, VQ - амплитуда колебательной скорости звуковой волны, /? - коэффициент теплового расширения среды. Расчеты показывают, что изменение температуры в воде в этом случае не превышает АТ2 = 10" С, в воздухе ЛТ2 — 0,3 С, т.е. такое изменение температуры так же не может заметно влиять на коэффициент диффузии в звуковом поле. Наиболее значительный нагрев вследствие поглощения звуковой волны происходит в капиллярах и на поверхности раздела фаз. Энергия звука, поглощённая в капиллярах, согласно [22, с.422-428], равна а потерь Еп V2rc0 v + Л -1 Л (1.13) где г — радиус капилляра, v - кинематическая вязкость, X - коэффициент температуропроводности, Ео - энергия звуковой волны в капилляре. Расчёты, проведённые для трубки радиусом 1см и длиной 1см в [10, с.520], показывают, что изменение температуры в капилляре за счёт поглощения в нём звука для воды будет иметь порядок 10"3 С, а для воздуха 10""" С, т.е. очень незначительное. С уменьшением радиуса энергия, вошедшая в капилляр, резко падает, поэтому изменение температуры среды в топком капилляре так же будет очень малым.
Для реальных пористых тел, где отношение площади, не занятой порами, к общей площади пор равно q, энергия, вошедшая внутрь капилляров, определяется по формуле согласно Рэлею [5]: Еп = (1.14) AM 2М2+2М + 1 І t здесь: M = 2(1+ g) \VCP v Г у с.со Полагая, что g = 1, т.е. площадь пор равна площади, занятой порами, г = 10"4 см и со = 2л; 10 Гц, получим, что в случае жидкости, заполняющей капилляры, почти вся энергия войдёт в них и, согласно равенству (1.13) и уравнению теплового баланса (1.12), АТ3 = 1 С. Для воздуха со = 2ж 18 кГц, г = 10 см доля прошедшей энергии достигает 3,5 %, а нагрев воздуха в капиллярах составит 4 С.
При нормальном падении звуковой волны на плоскость, возможен сравнительно сильный нагрев среды. Причина этого явления заключается в том, что вблизи твёрдой стенки имеется периодически меняющаяся разность температур между жидкостью и стенкой. При этом на самой поверхности температуры соприкасающихся сред должны быть равны. В результате в гонком пристеночном слое возникает большой градиент температуры, который приводит к значительной диссипации энергии путём теплопроводности.
Используя это соотношение совместно с уравнением теплового баланса, получим, что изменение температуры среды в результате поглощения у стенки А7 4 при выше перечисленных условиях будет равно для воды 0,1 С и для воздуха — приблизительно 1 С. Такие же результаты были получены для воздуха [31] и для воды [32] экспериментально. 1.2.5. Анализ влияния рассмотренных механизмов на увеличение коэффициента диффузии в звуковом поле
Несколько большую величину это отношение имеет для случая пористых тел на воздухе. В этом случае оно может достигать единиц процентов и иметь практическое значение. В целом можно сделать вывод, что коэффициент диффузии в свободной среде и при наличии граничных поверхностей практически не меняется в звуковом поле. Таким образом, исходя из фундаментального соотношения Фика (1.2), можно считать, что скорость гетерогенных процессов, идущих по диффузной кинетике, в звуковом поле должна увеличиваться за счёт увеличения градиента концентрации реагирующих веществ на поверхности раздела фаз.
Увеличение градиента концентрации в жидкости
При получении математической модели влияния звука на диффузию в жидкости, метод вычислений остаётся прежним. Нужно решить уравнение (1.15)с граничными условиями (1.16), считая, что скорость движения среды представляет собой скорость акустических течений. При этом меняется ход вычислений, так как для жидкостей Рг » 1. Использовать соотношение (1.19) для описанного случая уже нецелесообразно, так как равенство (1.20) для жидкостей уже не верно.
Подробное решение этой задачи было рассмотрено в работе [35]. В работе рассмотрена конвективная диффузия на границе жидкость - твёрдое тело в стоячей звуковой волне, когда число Прандтля значительно больше единицы. Найдены в явном виде выражения для плотности потока переносимого вещества и его распределение вдоль поверхности раздела фаз с максимумом ускорения процесса в пучности звукового давления. На примере ускорения процесса проявления фотослоя в стоячей ультразвуковой волне было получено удовлетворительное совпадение теоретической модели с результатами эксперимента.
Для моделирования процесса влияния звука на диффузию в жидкости при решении уравнения (1.15) использовалась переменная «функция тока» 36].
Периодичность функции Ф{,а следовательно, и j по kx равна %, причём максимальное положительное значение она принимает в точках, близких к /г 7іп,\П — \},і,1...) что соответствует пучностям давления стоячей звуковой волны (1.25). Следовательно, решение (1.37) даёт локализацию мест ускорения гетерогенных процессов в стоячем звуковом поле аналогично полученной экспериментально.
Было отмечено, что решение (1.37) кроме того, описывает поведение скорости гетерогенных процессов в ультразвуковом поле в зависимости от его частоты, величины колебательной скорости и свойств среды. Экспериментальная проверка влияния акустического поля на процесс проявления фотопластинок показала довольно хорошее совпадение с расчётными данными, как по абсолютной величине, так и по локализации. В работе [10, с.262-282] была рассмотрена сходная задача переноса массы через границу раздела с жидкостью сформулированная для пузырька, колеблющегося под действием звуковых волн.
В работе был рассмотрен механизм массообмена для пузырька в звуковом поле за счёт воздействия на него стационарных акустических течений, возникающих, у его поверхности, в результате образования у границы сдвиговой волны вследствие торможения, вызванного вязкостью в акустическом пограничном слое, толщина которого зависит от частоты колебаний и вязкости среды.
При решении поставленной задачи было сделано предположение, что частота звука велика и за время единичной осцилляции пузырька в него диффундирует малое количество газа. При —.Ц/ «1 движение стенки R V /СО пузырька за счёт изменения его объёма вследствие диффузии медленнее, чем из-за воздействия звукового поля, и решение уравнения движения без учёта диффузии можно использовать для описания движения пузырька в уравнении диффузии. Таким способом можно разделить уравнения движения и диффузии. Поскольку уравнение диффузии (1.15) линейно относительно \ /Qrj _ , полный диффузионный поток приблизительно равен сумме потоков, возникающих за счёт колебаний пузырька и постоянного потока. В соответствии с этим можно поставить две отдельные задачи о нахождении диффузионных потоков за счёт каждого из этих эффектов. Для оценки диффузного потока 12, обусловленного микропотоками, предполагалось, что в уравнении диффузии (1.15) ((FPV)c)«((w)C).
Следует так же отметить, что, несмотря на то, что приведённые решения (1.37), (1.39), хорошо согласуются с экспериментальными данными по модулю, их размерность не соответствует размерности величин, которые они отражают. Необходимые размерности в системе СИ: Приведённое замечание оставляет открытым вопрос математического моделирования механизмов влияния звука на тепло- массоперенос в жидкости.
Приведение условий задачи о теплопереносе к безразмерному виду
Следуя методу подобия, приведём условия задачи к безразмерному виду. Это значительно сокращает число переменных, придаёт полученному решению обобщённость и упрощает анализ решения. Для приведения уравнения (2.4) к безразмерной форме произведём замену искомой величины Т так называемой избыточной температурой: 3 — Т — Т 2. Это означает, что отсчёт температуры ведётся от температуры жидкости. Так как " " , запись дифференциального уравнения (2.4) и граничных условий от такой замены не изменится: 33 д23 - =х& (гб) 3 = 3 1. Начальное условие при t=0n 0 х l где 30 =Т0- Т2 о [д%) 2. Граничное условие при х=0 и t 0 / ох о -а$% ) =Щ 3. Граничное условие при х=1 и t 0 / ох 1 LA — 1 г1 — J1 ГДЄ с с 2 Следующий шаг будет заключаться в том, что вместо избыточной температуры введём так называемую безразмерную избыточную гсмпературу 0=&_=(т2-т) & (т —Т } о V 2 о у Вместо координаты х введём безразмерную X = 7J координату / . Это означает, что в качестве масштаба для измерения температуры используется величина , а в качестве масштаба длины — величина /. Для сохранения равенств исходные уравнения в соответствующих местах необходимо умножить на масштабы температуры и длины. Для уравнения (2.6) получим: а х і2 ад-2 или после сокращения и преобразования: дв д2в tx/ Л дХ2 (2.7) I J V В такой форме дифференциальное уравнение безразмерно. Комплекс /,г безразмерен, называется критерием Фурье и обозначается как Fo. С учётом обозначения исходное уравнение (2.4) примет вид: дв д2в (2.8) dFo дХ2 g-fc-r) , где (т т\ безразмерная температура, /I - безразмерная координата, Fo =tx ,2- Критерий Фурье. Если рассматривать величину 1 / [сек.] как некоторый масштаб времени, то критерий Фурье можно трактовать как безразмерное время. С учётом этого, краевые условия запишутся как: 1. при Fo=0 6=1, (2.9) 2.щ Х=0 ШГ\ (2-Ю) 3. при =7 $%Х\=ВІ0І (2Л1) где У і - "7= zr\ - безразмерная температура на границе твердого тела, ВЇ — /а - критерий Био. Искомая функция теперь имеет следующий вид: 0 = f(Fo,BUX). Сравнивая его с выражением (2.5), можно увидеть, что число величин, влияющих на процесс, сократилось вдвое. Параметры процесса теперь выражены только одним комплексом - критерием Био. Уравнения, записанные в безразмерной форме, приобретают обобщённый смысл, так как определённому численному значению критериев -FО и J51 соответствует множество задач с различными значениями \Х #i» J, т.е. возможно рассматривать подобие процессов нестационарной теплопроводности. 2.3. Обобщение безразмерных условий задачи о гснлопереносе на процессы массопереноса
Учитывая общее подобие процессов тепло- и массо- переноса, полученные выражения можно так же использовать для описания процессов массопсрсиоса. Из условий задачи известно, что теплоперенос из воды в твердую среду происходит за счет теплообмена и массопереноса. В жидкой среде, вблизи границы раздела, при наличии конвекции, образуется некоторая область (пограничный слой), механизм теплопереноса через которую существенно отличается от теплопереноса в толще воды и в твердой среде. Явления, происходящие в этой области, определяют скорость теплообмена через границу, поэтому в рассматриваемом случае целесообразно от рассмотрения распределения скорости и температуры во всем объеме текучей среды к их рассмотрению только в непосредственной близости от границы раздела с твердой средой. Это позволяет использовать более простые уравнения пограничного слоя. Будем считать параметры акустического поля, не изменяющимися во времени и слабо зависящими от температуры. Потоки, возникающие при этом в пограничном слое, можно считать стационарными.
В условиях мощного акустического поля (0,01 - 0,1 Вт/см") наблюдается ускорение процессов теплопереноса за счёт возникновения вихревых потоков на границе раздела с жидкостью, турбулизирующих пограничный слой. Степень ускорения напрямую зависит от параметров возникающих вихрей. Исходя из геометрии задачи, можно установить, что наибольшее влияние на теплоперенос будут иметь потоки, описанные Шлихтипгом.
Для пояснения природы мелкомасштабных вихревых потоков рассмотрим качественную характеристику процессов, происходящих в акустическом пограничном слое. Скорость движения частиц среды на абсолютно жесткой поверхности должна обращаться в ноль, поэтому в пограничном слое градиент скорости велик. Это приводит к тому, что в пограничном слое резко меняется импульс звуковой волны и велики силы, вызывающие потоки. Эти силы при достаточно тонком пограничном слое намного превышают силы, возникающие в свободном звуковом поле из-за поглощения. Для того чтобы строго определить распределение скоростей в среде необходимо решить уравнение движения в системе основных гидродинамических уравнений с граничными условиями, учитывающими форму жесткой поверхности. Из-за сложности уравнения (Навье-Стокса) движения вязкой жидкости (даже в случае постоянных р, v и х), расчёт поля скоростей сопряжен со значительными математическими трудностями. Поэтому, при расчетах часто прибегают к приближению пограничного слоя. В пограничном слое можно полагать, что скорость изменения параметров среды (давление, скорость и т.д.) по нормали к жесткой поверхности во много раз превышает скорость их изменения в параллельном поверхности направлении. Второе упрощение уравнений движения жидкости связано с тем, что при сравнительно малой кривизне обтекаемой поверхности течение в пограничном слое можно считать плоским; это означает, что касательная компонента скорости намного больше нормальной компоненты.
Как показывают экспериментальные результаты [11], размеры вихрей пограничного слоя вблизи цилиндра согласуется с теорией Шлихтинга только при определении потока вблизи тел с радиусом кривизны а, если а/8 » 1. В работах [23, 24] приведено решение задачи о стационарных потоках вблизи круглого цилиндра, основывающееся не на уравнениях пограничного слоя, а на решении для несжимаемой среды уравнений гидродинамики первого и второго приближений. Из полученного решения следует, что качественно вид потоков не изменяется, но полученное решение слишком громоздко, чтобы его приводить здесь.
Решение третьей краевой задачи для уравнения теплопроводности методом разделения переменных
Рассмотрим пример аналитического решения третьей краевой задачи для уравнения теплопроводности. Одним из эффективных методов решения краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных, является метод разделения переменных. Метод был разработан Фурье, который предложил, что искомую температурную функцию (2.5) можно представить в виде произведения двух функций, одна из которых (p\t) зависит только от времени, а другая у(х) - только от координаты, т.е. в любой точке х, в любой момент времени Т должно быть: F(t,x) = cp{t)y/{x), или в безразмерной форме: О = (p{Fo)y/{x). Уравнение (3.14) является характеристическим уравнением для рассматриваемой задачи нестационарной теплопроводности, из него может быть определена величина М В общем случае уравнение (3.14) имеет множество решений. І Іоскольку правая часть уравнения (3.14) представляет собой периодическую функцию с периодом Я , в качестве решения мы будем иметь бесконечный ряд увеличивающихся значений Мп . Каждому значению числа Ві будет соответствовать свой ряд значений Мп Для предельных случаев: Ві — оо з получим ряд: jun = {in -l) / , Ві = О , получим ряд: jun =\п ч7 Каждому значению корня /л„ будет соответствовать своё частное ) распределение температуры в пластине: в„ = Ane-" F cos(ftlX). Поскольку исходное дифференциальное уравнение (2.8) линейно, то ему будет удовлетворять и сумма всех или нескольких частных решений. Окончательное решение будет справедливо, только если оно так же будет удовлетворять начальному условию (2.9). В соответствии с этим условием в начальный момент времени температура во всех точках пластины должна быть одинаковой (в общем случае - она может быть произвольной функцией координаты). Исходя из этого условия, можно сказать, что ни одно из частных решений не может быть окончательным. Величины /Jn представляют собой корни характеристического уравнения (3.14) и зависят только от значения критерия Ві, а коэффициенты Лп являются функциями от ju„ . Значения Мп в зависимости от Ві можно определить графически или из справочных таблиц (см. например [91, с. 42-431). Для практических расчётов обычно бывает достаточно учитывать в решении четыре первых члена ряда (3.15). 3.3. Методика учёта влияния акустических течений при расчёте параметров теплопереноса
Акустические потоки, возникающие на границе раздела сред в термодинамических системах будут турбулизировать приграничный слой жидкости и, за счёт этого, интенсифицировать теплоперенос. Формально это будет выражаться в увеличении значения коэффициента теплопереноса Я . 11ри расчётах распределения температуры с использованием аналитического решения вида (3.15) изменение значения Я будет влиять на выбор корней Цп характеристического уравнения (3.14). Выбор величины Ип производится в зависимости от значения параметра Био, которое можно определить из выражения.
Значения линейного размера / и коэффициента молекулярной теплопроводности aj , входящие в выражение для параметра Био, при выборе конкретной системы обычно известны и являются исходными. Значение коэффициента теплопереноса Я на практике обычно неизвестно.
Для расчёта теплопереноса в рассматриваемой термодинамической системе (см. рис. 2.1) следует учесть два фактора: совокупность явлений не связанных с акустическим полем, таких как молекулярная теплопроводность и гидродинамическая конвекция, акустическая конвекция в воде, вызванная наличием вихревых микропотоков у границы раздела, возникающих в акустическом поле. Таким образом, выражение для суммарного коэффициента теплопереноса можно представить в следующем виде: А = Л + Ада, (3.16) где Я - коэффициент теплопереноса, обусловленного явлением молекулярной теплопроводности и наличием гидродинамических потоков в воде; Лак - коэффициент теплопереноса, обусловленного явлением акустической конвекции. В отсутствии акустического поля интенсивность теплопереноса определяется термодинамическими параметрами среды, геометрией границы раздела и характером гидродинамических потоков. Получение аналитических выражений, для расчёта коэффициента теплопереноса в условиях гидродинамической конвекции представляет собой нетривиальную задачу. В настоящее время такие выражения получены только для простейших случаев и не учитывают всех существенных особенностей реальных термодинамических систем. На практике для определения значения Я обычно используются эмпирические выражения, в которые входят значения измеряемых параметров, влияющих на теплоперенос, с коэффициентами, определяемыми экспериментально.
Выражение (3.17) было получено для случая стоячей волны возле жёсткой плоской поверхности, расположенной параллельно направлению колебаний. Таким образом, в выражении использованы параметры акустической волны, за счёт энергии которой образуются вихревые потоки. В практических случаях и в экспериментальной установке, в частности, акустическое поле обычно носит сложный характер и представляет собой суперпозицию стоячих волн, образующихся за счёт переотражения звука от стенок объёма установки. В образовании вихревых потоков на границе раздела с образцом участвуют не все волны, а только волны, имеющие тангенциальную составляющую в направлении колебаний относительно границы раздела. Какая часть энергии акустического поля участвует в образовании потоков зависит от пространственных параметров поля. Для учёта этого обстоятельства в выражение (3.16) для суммарного коэффициента теплопереноса нужно ввести поправочный коэффициент: А = А + кЛак. (3.18) Значение поправочного коэффициента для конкретной установки можно определить экспериментально для некоторого значения амплитуды колебательной скорости. При изменении амплитуды колебательной скорости, значение акустического коэффициента теплопереноса можно определить согласно выражению (3.17) устанавливающему зависимость между параметрами акустического поля и теплопереноса через границу раздела между жидкостью и твёрдым телом.
