Введение к работе
Диссертационная работа посвящена разработке основ параметрической теории колебаний систем с распределенными параметрами. Суть теории заключается в линеаризации нелинейных механических колебательных систем уравнениями с переменными коэффициентами (параметрическими уравнениями). Разработанная теория применяется к моделированию колебаний струны, представляющей собой самый простой пример распределенной системы.
Актуальность исследования. При расчете и проектировании акустических приборов и систем применяется подход, суть которого заключается в том, что сложную механическую колебательную систему разделяют на простые подсистемы (звенья). При этом считается, что характеристики системы определяются совокупностью характеристик входящих в нее звеньев. Отсюда следует требование к линейности подсистем. Если какой-либо элемент акустической системы представляет собой распределенную механическую колебательную систему (например, диафрагма микрофона, диффузор громкоговорителя, представляющие собой оболочки вращения, излучающие элементы конструкций, представляющие собой стержни, пластины или оболочки), то ее параметры подбираются таким образом, чтобы рабочие частоты колебаний были расположены в окрестности основной (наинизшей) собственной частоты, тогда система рассматривается как сосредоточенная. Однако вблизи резонансной частоты амплитуда колебаний неизменно возрастает, и сказывается нелинейность системы. Возникает противоречие: с одной стороны система должна оставаться линейной, с другой стороны реальные физические процессы не позволяют пользоваться классической линейной теорией колебаний. Таким образом, актуальна задача линеаризации нелинейных колебательных систем с распределенными параметрами.
Кроме того, за последние годы возросло внимание к вопросам компьютерного синтеза звучаний музыкальных инструментов. Решение такого рода задач требует адекватных математических моделей колебательных процессов, происходящих в музыкальных инструментах.
Наконец, наличие теории, адекватно отражающей физические процессы, имеющие место в технических системах, способствует принятию более обоснованных инженерных решений. Поэтому исследования в области теории колебаний остаются актуальной задачей.
Объект исследования: колебания систем с распределенными параметрами.
Основная цель исследования заключается в разработке метода аппроксимации нелинейных волновых уравнений линейными уравнениями с переменными коэффициентами.
В соответствии с основной целью и предметом исследования определены следующие задачи исследования:
обосновать возможность описания нелинейных распределенных колебательных систем параметрическими уравнениями;
применить разработанный метод к описанию колебаний струны;
обосновать экспериментально выводы, сделанные на основе параметрической теории;
обеспечить внедрение полученных результатов.
Методологическую и теоретическую основы исследования составили работы отечественных и зарубежных авторов в области нелинейных и параметрических колебаний, работы, посвященные исследованию колебаний струн.
Методы исследования. Во время проведения исследования применялись методы теоретического анализа (математического, логического, системного, моделирования, обобщения опыта), спектрального анализа (экспериментального), численного моделирования (при решении
-5-дифференциальных уравнений - метод Рунге-Кутта восьмого порядка, при вычислении спектров - алгоритм быстрого преобразования Фурье).
Информационная база исследования. В качестве информационных источников проведенного исследования использованы:
научные источники в виде: журнальных статей, научных докладов и отчетов, материалов научных конференций, монографий отечественных и зарубежных авторов;
результаты собственных расчетов и проведенных экспериментов.
Научная новизна исследования.
-
Разработан метод аппроксимации нелинейных волновых уравнений линейными параметрическими волновыми уравнениями.
-
Указаны границы применимости данной аппроксимации.
-
Экспериментально установлены неизвестные ранее закономерности, заключающиеся в самопроизвольном параметрическом возбуждении собственных колебаний струны: при свободных колебаниях возбуждаются те моды, узлы которых совпадают с точкой возбуждения струны; при вынужденных колебаниях возможны субгармонические резонансы -собственные колебания возбуждаются при частотах вынуждающей силы, меньших, чем частоты возбуждаемых мод.
Обоснованность и достоверность полученных результатов подтверждается:
согласованностью ' теоретических выводов с результатами экспериментальной проверки;
использованием традиционных средств математического анализа и численного моделирования;
использованием традиционных методов измерений;
соответствием полученных результатов логически аргументированным ожиданиям.
Научная ценность результатов исследования:
преддожен метод линеаризации нелинейных волновых уравнений параметрическими уравнениями, который может быть применен к описанию колебательных процессов в мембранах, пластинах, оболочках и других более сложных распределенных системах;
полученные в диссертации результаты могут служить научным фундаментом для практического их использования, например, при моделировании колебательных процессов в акустических приборах и системах, при исследовании нелинейных искажений в микрофонах и громкоговорителях, при синтезе звучаний музыкальных инструментов.
Практическая значимость и реализация результатов работы.
Материалы диссертационной работы используются:
в научно-исследовательских работах, выполняемых ФГУП «ЦНИИ им. акад. А.Н. Крылова»;
в научно-исследовательских работах, выполняемых ООО «Неватон» при разработке новых микрофонов;
в учебном процессе Санкт-Петербургского государственного университета кино и телевидения: в учебно-исследовательских и научно-исследовательских работах студентов, при подготовке выпускных квалификационных работ бакалавров и специалистов.
Внедрение результатов диссертационной работы подтверждено соответствующими актами.
Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на научно-технических конференциях СПбГУКиТ в 2007 г.
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 3 статьи в виде депонированных рукописей и одна статья в периодическом издании, входящем в перечень ВАК.
Структура и объем работы. Диссертация содержит введение, основной текст из четырех глав, заключение, библиографический список использованной литературы и приложение. Объем основного текста с
-7-введением и заключением составляет 102 страницы, включая 31 рисунок на 22 страницах. Список литературы содержит 107 наименований. На защиту выносятся следующие положения.
-
Нелинейные волновые уравнения, описывающие колебания систем с распределенными параметрами могут быть аппроксимированы параметрическими уравнениями.
-
Границы устойчивости параметрических уравнений определяют пределы применимости параметрической теории.
-
Возможно самопроизвольное возбуждение собственных колебаний в распределенных системах, объясняемое неустойчивостью параметрических уравнений.
